备考2025高考数学一轮知识清单（上好课）专题05 九种函数与抽象函数模型归类（含解析）

备考2025高考数学一轮知识清单（上好课）专题05九种函数与抽象函数模型归类（含解析）专题05九种函数与抽象函数模型归类目录TOC\o"1-1"\h\u题型一：三大补充函数：对勾函数 1题型二：三大补充函数：复杂分式型“反比例”函数 2题型三：三大补充函数：双曲函数（双刀函数） 3题型四：一元三次函数 3题型五：高斯取整函数 4题型六：绝对值函数 5题型七：对数绝对值型 7题型八：对数无理型 8题型九：对数反比例型 8题型十：指数反比例型 9题型十一：抽象函数模型：过原点直线型 10题型十二：抽象函数模型：不过原点直线型 11题型十三：抽象函数模型：正切型 11题型十四：抽象函数模型：一元二次型 12题型十五：抽象函数模型：一元三次函数型 13题型十六：抽象函数模型：余弦或者双曲余弦模型 13题型一：三大补充函数：对勾函数对勾函数：对勾函数：图像特征形如称为对勾函数1.有“渐近线”：y=ax2.“拐点”：解方程（即第一象限均值不等式取等处）1.（2022秋·四川成都·高三成都七中校考阶段练习）若对任意的，不等式恒成立，则的最大值是.2.（2022·安徽合肥·高二校联考开学考试）已知函数，关于x的不等式只有一个整数解，则正数a的取值范围是．3.．（2023·高三单元测试）已知函数，若存在，使得，则正整数的最大值为.4.（2022·上海闵行·高三上海市七宝中学校考开学考试）已知函数，若对任意的，长为的三条线段均可以构成三角形，则正实数的取值范围是.题型二：三大补充函数：复杂分式型“反比例”函数反比例与分式型函数反比例与分式型函数解分式不等式，一般是移项（一侧为零），通分，化商为积，化为一元二次求解，或者高次不等式，再用穿线法求解形如：。对称中为P，其中①；②③一、三或者二、四象限，通过计算判断1.（2022·湖北武汉·高三校联考模拟）已知函数为奇函数，与的图像有8个交点，分别为，则.2.（2023·全国·高三对口高考）函数的值域是或，则此函数的定义域为.3.（2023·全国·高三专题练习）已知集合，其中且，函数，且对任意，都有，则的值是．4.（2023·浙江·高二校联考开学考试）已知函数，若函数在的最大值为2，则实数的值为.题型三：三大补充函数：双曲函数（双刀函数）双刀函数双刀函数（两支各自增），或者（两支各自减）1.有“渐近线”：y=ax与y=-ax2.“零点”：解方程（即方程等0处）1.（2023·江苏南通·高二统考期末）已知函数，则关于x的不等式的解集是.2.（2023春·湖北·高二统考期末）已知奇函数，有三个零点，则t的取值范围为.3.（2023春·辽宁铁岭·高二校联考期末）已知函数若，则．4...2023春·上海黄浦·高三上海市大同中学校考）已知函数，则不等式的解集为．题型四：一元三次函数一元三次函数：一元三次函数：所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图像的对称中心，设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．1.．给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”．经研究发现所有的三次函都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图像的对称中心．若函数，则（

）A． B． C． D．2.已知函数fx=ax3+3x2+1，若至少存在两个实数m，使得f A.3条 B.2条 C.1条 D.0条3.（多选）（全国名校大联考2022-2023学年高三上学期第三次联考数学试卷）对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若函数，则下列说法正确的是（

）A．的极大值点为B．有且仅有3个零点C．点是的对称中心D．4.（多选）（江苏省苏州市常熟市2022-2023学年高三上学期12月抽测二数学试题）对于三次函数,给出定义:设是函数的导数,是的导数,若方程有实数解,则称点为函数的“拐点”.经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”,任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.设函数,则以下说法正确的是（

）A．B．当时,有三个零点C．D．当有两个极值点时,过的直线必过点题型五：高斯取整函数取整函数取整函数表示不超过的最大整数，又叫做“高斯函数”，1.（黑龙江省大庆市铁人中学2022-2023学年高三月考数学试题）符号表示不超过的最大整数，如，，，定义函数则下列说法正确的个数是（）①函数的定义域为R②函数的值域为③函数是增函数④函数是奇函数A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2.（广东省广州市第四中学2021-2022学年高三上学期月考数学试题）高斯（1777-1855）是德国著名数学家，物理学家，天文学家，大地测量学家，近代数学奠基者之一，并享有“数学王子”之称，高斯一生的数学成就很多，其中：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，，设函数的值域为集合，则中所有负整数元素个数为（）A．2 B．3 C．4 D．53.（百师联盟2020-2021学年高三上学期一轮复习联考（四）全国卷I理科数学试题）高斯是德国著名数学家，物理学家，天文学家，大地测量学家，近代数学奠基者之一.高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称，用其名字命名的高斯函数为：设用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：已知函数.设函数的值域为集合，则中所有正整数元素个数为（）A． B． C． D．4.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设，用表示不超过的最大整数，也被称为“高斯函数”，例如：，.已知函数，下列说法中正确的是（）A．是周期函数 B．的值域是C．在上是减函数 D．，题型六：绝对值函数绝对值函数：绝对值函数：1.（2023春·湖南长沙·高二长沙一中校考阶段练习）定义为与距离最近的整数，令函数，如：.2.（2023·天津和平·统考三模）已知函数，若关于的方程恰有三个不相等的实数解，则实数的取值集合为.3.（2022·浙江·高三模拟）已知函数，有下列结论：①，等式恒成立；②，方程有两个不等实根；③，若，则一定有；④存在无数多个实数k，使得方程在上有三个不同的实数根．则其中正确结论序号为．4.（2023春·上海松江·高三上海市松江一中校考阶段练习）已知若存在，使得成立的最大正整数为6，则的取值范围为.题型七：对数绝对值型对数绝对值型函数对数绝对值型函数对于，若有两个零点，则满足1.2.3.要注意上述结论在对称轴作用下的“变与不变”1.（2022·吉林白山·抚松县第一中学校考二模）已知函数，若方程有4个不同的根，，，，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．2.（2023春·江苏苏州·高二星海实验中学校考阶段练习）设函数，若关于x的方程有四个实根（），则的最小值为（

）A． B．16 C． D．173.（2020秋·陕西延安·高三校考模拟）已知，则函数的零点个数是（

）A．5 B．4 C．3 D．24.（2023春·安徽安庆·高三统考模拟）设函数，若（其中），则的取值范围是（

）A． B． C． D．题型八：对数无理型对数与无理式复合是奇函数：对数与无理式复合是奇函数：，如1.（2023春·黑龙江绥化·高二校考期末）已知函数，若任意的正数，均满足，则的最小值为．2.（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若，则的取值范围是.3.（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校考模拟）已知函数的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝．4.（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若正实数满足，则的最小值为.题型九：对数反比例型1.（2024·江苏泰州·模拟预测）已知函数，若函数的图象关于点对称，则（

）A．-3 B．-2 C． D．2.（21-22高三上·云南曲靖·阶段练习）设定义在区间上的函数是奇函数，且.若表示不超过的最大整数，是函数的零点，则A． B．或 C． D．3.（2024·山东菏泽·模拟预测）已知函数是定义在区间上的奇函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．4.（23-24高三上·浙江宁波·模拟）已知是奇函数，则（

）A．1 B． C．2 D．题型十：指数反比例型变化变化1.（23-24高三上·河南·模拟）已知函数是定义在上的奇函数，且对任意，不等式恒成立，则实数有（

）A．最大值 B．最小值 C．最小值 D．最大值2.（23-24高三上·安徽铜陵·阶段练习）已知函数，若实数满足，则的最大值为（

）A． B． C． D．3.（21-22高三上·辽宁锦州·模拟）已知函数的图像与过点的直线有3个不同的交点，，，则（

）A．8 B．10 C．13 D．184.（2024·河北衡水·模拟预测）设，若函数是偶函数，则（

）A． B． C．2 D．3题型十一：抽象函数模型：过原点直线型--过原点直线型f（x）=kx--过原点直线型f（x）=kx1.（23-24高三上·山东泰安·模拟）已知函数对于任意的，都有成立，则（

多选

）A．B．是上的偶函数C．若，则D．当时，，则在上单调递增2.（23-24高三上·江苏·阶段练习）已知函数，，对于任意，，，且当时，均有，则（

多选

）A．B．C．D．若，则3.（23-24高二下·广东深圳·阶段练习）定义在上的函数满足，当时，，则函数满足（

）A． B．是偶函数C．在上有最小值 D．的解集为4.（2023·广西玉林·三模）函数对任意x，总有，当时，，，则下列命题中正确的是（

）A．是偶函数 B．是R上的减函数C．在上的最小值为 D．若，则实数x的取值范围为题型十二：抽象函数模型：不过原点直线型1.（多选）（23-24高三上·四川成都·阶段练习）设函数满足：对任意实数、都有,且当时，.设.则下列命题正确的是（

）A． B．函数有对称中心C．函数为奇函数 D．函数为减函数2.（多选）（23-24高三上·辽宁朝阳·模拟）若定义在R上的函数满足，且当时，，则（

）A．B．为奇函数C．在上是减函数D．若，则不等式的解集为3.（23-24高三上·湖南株洲·模拟）已知函数对，都有，若在上存在最大值M和最小值m，则（

）A．8 B．4 C．2 D．04.（23-24高三下·河南周口·开学考试）已知定义在上的函数满足，若函数的最大值和最小值分别为，则．题型十三：抽象函数模型：正切型1.（20-21高三上·浙江宁波·模拟）已知函数的图象是连续不断的，其定义域为，满足：当时，；任意的x，，均有.若，则x的取值范围是（

）（e是自然对数的底数）A． B． C． D．2.（山东·高考真题）给出下列三个等式：，，．下列函数中不满足其中任何一个等式的是（

）A． B． C． D．3.（多选）（2023·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，且，，则（

多选

）A．B．为偶函数C．为周期函数，且4为的周期D．4.（20-21高三上·浙江宁波·模拟）已知函数的图象是连续不断的，其定义域为，满足：当时，；任意的x，，均有.若，则x的取值范围是（

）（e是自然对数的底数）A． B． C． D．题型十四：抽象函数模型：一元二次型1.（23-24高三上·上海普陀·模拟）已知对于任意的整数、、，，有成立，且，则2.（23-24高三上·内蒙古赤峰·开学考试）已知函数的定义域为R，，，则下列说法不正确的是（

）A． B．C．是奇函数 D．是偶函数3.（23-24高三上·吉林长春·模拟）函数满足：任意，.且.则的最小值是（

）A．1775 B．1850 C．1925 D．20004.（23-24高三上·河北保定·模拟）已知函数满足：，，成立，且，则（

）A． B． C． D．题型十五：抽象函数模型：一元三次函数型1.（多选）（2024·福建莆田·二模）已知定义在上的函数满足：，则（

）A．是奇函数B．若，则C．若，则为增函数D．若，则为增函数2.（多选）（2024·贵州·三模）已知定义域为的函数满足为的导函数，且，则（

）A．B．为奇函数C．D．设，则3.（多选）（2024·辽宁大连·一模）已知函数是定义域为R的可导函数，若，且，则（

）A．是奇函数 B．是减函数C． D．是的极小值点题型十六：抽象函数模型：余弦或者双曲余弦模型（2）模型二：双曲余弦函数（2）模型二：双曲余弦函数特征：1.（多选）（23-24高三上·浙江湖州·模拟）已知函数对任意实数，都满足，且，则下列说法正确的是（

）A．是偶函数 B．C． D．2.（多选）（23-24高三上·河南许昌·模拟）已知函数满足，且，则下列命题正确的是（

）A． B．为奇函数C．为周期函数 D．，使得成立3.（多选）（2024·河南·模拟预测）已知定义在上的函数，满足，且，则下列说法正确的是（

）A． B．为偶函数C． D．2是函数的一个周期4.（多选）（23-24高三下·重庆·阶段练习）函数的定义域为R，且满足，，则下列结论正确的有（

）A． B．C．为偶函数 D．的图象关于对称备考2025高考数学一轮知识清单（上好课）专题05九种函数与抽象函数模型归类（含解析）专题05九种函数与抽象函数模型归类目录TOC\o"1-1"\h\u题型一：三大补充函数：对勾函数 1题型二：三大补充函数：复杂分式型“反比例”函数 4题型三：三大补充函数：双曲函数（双刀函数） 6题型四：一元三次函数 9题型五：高斯取整函数 12题型六：绝对值函数 15题型七：对数绝对值型 19题型八：对数无理型 22题型九：对数反比例型 24题型十：指数反比例型 26题型十一：抽象函数模型：过原点直线型 28题型十二：抽象函数模型：不过原点直线型 30题型十三：抽象函数模型：正切型 33题型十四：抽象函数模型：一元二次型 35题型十五：抽象函数模型：一元三次函数型 37题型十六：抽象函数模型：余弦或者双曲余弦模型 39题型一：三大补充函数：对勾函数对勾函数：对勾函数：图像特征形如称为对勾函数1.有“渐近线”：y=ax2.“拐点”：解方程（即第一象限均值不等式取等处）1.（2022秋·四川成都·高三成都七中校考阶段练习）若对任意的，不等式恒成立，则的最大值是.【答案】【分析】令，讨论的取值范围，确定函数的单调性，根据单调性确定函数的最大值与最小值，使且恒成立，进而确定的取值范围以及的取值范围，即求.【详解】令I.当时，函数显然单调递增，所以，，由题意可得，这与矛盾，故舍去；II，当时，在单调递减，单调递增，①.当时，即，所以，由题意可得，这与矛盾（舍去）.②．当时，即，所以，，由题意得，a.当时，此时，所以，故，而，故，b.当时，此时，所以，故，而，故.③．当时，即，所以，，由题意可得，这与矛盾，综上所述：.故答案为：2.（2022·安徽合肥·高二校联考开学考试）已知函数，关于x的不等式只有一个整数解，则正数a的取值范围是．【答案】【分析】将函数解析式变形，结合打勾函数的图像与性质可求得的值域，进而结合不等式可知；因为不等式只有一个解，因而计算后与比较即可确定这个解为；进而由不等式成立条件可得正数a的取值范围.【详解】函数，结合打勾函数性质可知，，关于x的不等式，因为求正数a的取值范围，因而，化简不等式可得，所以，即则，因为关于x的不等式只有一个整数解，所以由以上数据可知整数解为，所以，解得，所以故答案为：.3.．（2023·高三单元测试）已知函数，若存在，使得，则正整数的最大值为.【答案】4【分析】根据单调性得到，要使正整数尽可能大，则可以是，得到答案.【详解】当时，，单调递减，故，要使正整数尽可能大，则可以是，故的最大值为4.故答案为：4.4.（2022·上海闵行·高三上海市七宝中学校考开学考试）已知函数，若对任意的，长为的三条线段均可以构成三角形，则正实数的取值范围是.【答案】【分析】求出的导数，分类讨论可得最小值和最大值，由题意可得最小值的2倍大于最大值，解不等式即可得到所求的范围．【详解】函数的导数为，当时，，递增；当时，，递减．当即时，，为减区间，即有的最大值为；最小值为．由题意可得只要满足，解得；当且即时，，为减区间，，为增区间，即有的最大值为；最小值为．由题意可得只要满足，解得，所以；当且（1）即时，，为减区间，，为增区间，即有的最大值为；最小值为．由题意可得只要满足，解得，所以；当，即时，，为增区间，即有的最小值为；最大值为．由题意可得只要满足，解得．综上可得，的取值范围是．故答案为：．题型二：三大补充函数：复杂分式型“反比例”函数反比例与分式型函数反比例与分式型函数解分式不等式，一般是移项（一侧为零），通分，化商为积，化为一元二次求解，或者高次不等式，再用穿线法求解形如：。对称中为P，其中①；②③一、三或者二、四象限，通过计算判断1.（2022·湖北武汉·高三校联考模拟）已知函数为奇函数，与的图像有8个交点，分别为，则.【答案】16【分析】由为奇函数可得函数关于点对称，分离常数可知函数关于点对称，继而可得与图像的8个交点关于点对称，则，可求，结果可得.【详解】为奇函数函数关于点对称函数关于点对称与图像的8个交点关于点对称,,,可得同理可知故答案为：2.（2023·全国·高三对口高考）函数的值域是或，则此函数的定义域为.【答案】【分析】利用反函数,可将原函数化为,(其中或),求出的值域即得的定义域.【详解】，其中或，当时,是减函数,此时，当时,是减函数,此时，∴函数的定义域为.故答案为：.3.（2023·全国·高三专题练习）已知集合，其中且，函数，且对任意，都有，则的值是．【答案】或3.【分析】先判断区间与的关系可得，再分析时定义域与值域的关系，根据函数的单调性可确定定义域与值域的区间端点的不等式，进而求得和即可.最后分析当时，，从而确定定义域与值域的关系，列不等式求解即可【详解】先判断区间与的关系，因为，故或.因为当，即时，由题意，当时，，故不成立；故.再分析区间与的关系，因为，故或.①当，即时，因为在区间上为减函数，故当，，因为，而，故此时，即，因为，故即，故，解得，因为，故.此时区间在左侧，在右侧.故当时，，因为，故，所以，此时，故，解得，因为，故；②当时，在区间上单调递减，易得，故此时且，即且，所以，故，故，即，，因为，故；综上所述，或3。故答案为：或3.4.（2023·浙江·高二校联考开学考试）已知函数，若函数在的最大值为2，则实数的值为.【答案】或2【解析】由题意可得三个非负端点值，分别令它们为最大值2求，再验证是否符合题设即可求的值.【详解】，由题意知：，∴时，；时，；时，；若时，或，而有，有，故与题设矛盾；若时，或，而有，所以只有时成立；若时，或，而有，所以只有时成立；综上有：或，故答案为：或2题型三：三大补充函数：双曲函数（双刀函数）双刀函数双刀函数（两支各自增），或者（两支各自减）1.有“渐近线”：y=ax与y=-ax2.“零点”：解方程（即方程等0处）1.（2023·江苏南通·高二统考期末）已知函数，则关于x的不等式的解集是.【答案】【分析】求出是奇函数，且在定义域上是单减函数，变形再利用单调性解不等式可得解.【详解】，

是奇函数，又是上的减函数，是上的增函数，由函数单调性质得是上的减函数.,则，由奇函数得

且是上的减函数.，，又不等式的解集是故答案为：2.（2023春·湖北·高二统考期末）已知奇函数，有三个零点，则t的取值范围为.【答案】【分析】由为奇函数求出的值，再利用导数研究函数和单调性和极值点，由有三个零点，求t的取值范围.【详解】若，，函数没有三个零点，所以，为奇函数，则，即，得，设，函数定义域为R，，为偶函数，，是R上的增函数，且，则，解得；，解得，即在上单调递减，在上单调递增，，由，则有，所以，，由，当且仅当时等号成立，则，若，则，单调递减，没有三个零点；若，令，则方程，即，判别式，方程有两个不相等实数根，设两根为且，则有，，所以，令，，由，则且，，即，即，解得，得；，即，即，解得或，得或，所以在和上单调递减，在上单调递增，由，则有，，由函数的单调性和递增速度可知，时，存在，的图像如图所示，

此时奇函数有三个零点.综上可知，t的取值范围为.故答案为：3.（2023春·辽宁铁岭·高二校联考期末）已知函数若，则．【答案】3【分析】利用，求得的值.【详解】根据题意，函数，则，则，故有，又由，则，故答案为：3.4...2023春·上海黄浦·高三上海市大同中学校考）已知函数，则不等式的解集为．【答案】【分析】令，分析函数的定义域、奇偶性与单调性，将所求不等式变形为，结合函数的单调性可得出关于的不等式，解之即可.【详解】设，则函数是定义域为，因为，故函数为奇函数，因为函数、、、均为上的增函数，故函数为上的增函数，因为，由可得，可得，所以，，即，解得.因此，不等式的解集为.故答案为：.题型四：一元三次函数一元三次函数：一元三次函数：所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图像的对称中心，设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．1.．给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”．经研究发现所有的三次函都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图像的对称中心．若函数，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用题中给出的定义，得到的拐点为，从而得到的对称中心为，即，由此分析计算即可．【详解】解：因为函数，则，，令，解得，且，由题意可知，的拐点为，故的对称中心为，所以，所以．故选：A．2.已知函数fx=ax3+3x2+1，若至少存在两个实数m，使得f A.3条 B.2条 C.1条 D.0条【答案】B 【解析】至少存在两个实数m，使得f-m，f1，可得f-m+f2+m=2f1=2a+4，即有ffʺx=6ax+6，由fʺx=0，可得x=-1a，由即有fx=-x3+3x2+1，fʹx=-3x当0<t<1时，gʹt<0，gt递减；当t>1或t<0时，gʹ可得gt在t=0处取得极大值，且为1>0；在t=1处取得极小值，且为0可知2t3-3t23.（多选）（全国名校大联考2022-2023学年高三上学期第三次联考数学试卷）对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若函数，则下列说法正确的是（

）A．的极大值点为B．有且仅有3个零点C．点是的对称中心D．【答案】BCD【分析】求出，得到函数的单调区间，即可求得极值，要注意极值点是一个数，可判断A项；根据极大值、极小值的正负，可得到函数零点的个数，即判断B项；根据的解的情况，可判断C项；由对称中心可推得，用倒序相加法即可求得式子的和，判断D项.【详解】由题意知.令，解得或，所以在上单调递增，在上单调递增；令，解得，所以在上单调递减.又，.所以，在处有极大值，在处有极小值.所以的极大值点为-2，A项错误；又极大值，极小值，作出的图象，有图象可知，有且仅有3个零点，故B正确；，令，解得，又，由题意可知，点是的对称中心，故C正确；因为点是的对称中心，所以有，即.令，又，所以，，所以.故D正确.故选：BCD.4.（多选）（江苏省苏州市常熟市2022-2023学年高三上学期12月抽测二数学试题）对于三次函数,给出定义:设是函数的导数,是的导数,若方程有实数解,则称点为函数的“拐点”.经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”,任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.设函数,则以下说法正确的是（

）A．B．当时,有三个零点C．D．当有两个极值点时,过的直线必过点【答案】AB【分析】根据题意令二次导数为零即可求出拐点,即对称中心,即可得选项A的正误,先讨论时是否为零点,然后进行全分离,设新函数求导求单调性,求特殊值,画函数图象即可判断选项B的正误,根据选项A,将代入再相加即可得选项C的正误,两点在一条直线上,则中点也在直线上,根据为极值点,令导函数为0,用韦达定理即可得,根据选项A,可得,即可求出中点坐标,即可判断选项D的正误.【详解】解:由题知,关于选项A:,令可得,的拐点为,,对称中心为,即成立,-故选项A正确;关于选项B:当时,,不是的零点,令,即有三个根,令,,时,单调递增,时,单调递减,时,单调递减,,,,,画图象如下:由图可知:时,与有三个交点,即有三个零点,故选项B正确;关于选项C:由选项A可知:,,两式相加可得,故选项C错误;关于选项D:由于有两个极值点有两根,,由于直线过,则直线一定过中点,由选项A知,且有,中点坐标为,则直线一定过,故选项D错误.故选:AB题型五：高斯取整函数取整函数取整函数表示不超过的最大整数，又叫做“高斯函数”，1.（黑龙江省大庆市铁人中学2022-2023学年高三月考数学试题）符号表示不超过的最大整数，如，，，定义函数则下列说法正确的个数是（）①函数的定义域为R②函数的值域为③函数是增函数④函数是奇函数A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】根据题中定义、增函数的性质、奇函数的性质，结合特例法进行判断即可.【详解】①：函数的定义域为全体实数，故本说法正确；②：因为表示不超过的最大整数，所以，因此本说法不正确；③：因为，显然函数在整个实数集上不是增函数，所以本说法不正确；④：因为，，所以，因此本函数不是奇函数，所以本说法不正确，故选：A2.（广东省广州市第四中学2021-2022学年高三上学期月考数学试题）高斯（1777-1855）是德国著名数学家，物理学家，天文学家，大地测量学家，近代数学奠基者之一，并享有“数学王子”之称，高斯一生的数学成就很多，其中：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，，设函数的值域为集合，则中所有负整数元素个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根据二次函数的性质求出函数的值域，然后再进行判断即可.【详解】函数图象的对称轴为，当时，易知，，所以的值域，故其值域中所有负整数元素为，，，个数为3.故选：B.3.（百师联盟2020-2021学年高三上学期一轮复习联考（四）全国卷I理科数学试题）高斯是德国著名数学家，物理学家，天文学家，大地测量学家，近代数学奠基者之一.高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称，用其名字命名的高斯函数为：设用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：已知函数.设函数的值域为集合，则中所有正整数元素个数为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求解出二次函数的值域，然后根据高斯函数的定义确定出集合，从而中所有正整数元素个数可知.【详解】函数图象的对称轴为，当时，，，所以，所以的值域，故其值域中所有正整数元素为个数为，故选：.4.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设，用表示不超过的最大整数，也被称为“高斯函数”，例如：，.已知函数，下列说法中正确的是（）A．是周期函数 B．的值域是C．在上是减函数 D．，【答案】AC【分析】根据定义将函数写成分段函数的形式，再画出函数的图象，根据图象判断函数的性质.【详解】由题意可知，，可画出函数图像，如图：可得到函数是周期为1的函数，且值域为，在上单调递减，故选项AC正确，B错误；对于D，取，则，故D错误.故选：AC．题型六：绝对值函数绝对值函数：绝对值函数：1.（2023春·湖南长沙·高二长沙一中校考阶段练习）定义为与距离最近的整数，令函数，如：.【答案】19【分析】令，则，即，所以，满足此不等式的正整数的个数有，即共有个数，由此求解即可得出答案.【详解】令，则，即，即，所以，满足此不等式的正整数的个数有，即共有个数；时则有2个，即；时则有4个，即；时则有6个，即；时则有18个，即，（其中）；又，所以，其中共有10个数；所以.故答案为：19.2.（2023·天津和平·统考三模）已知函数，若关于的方程恰有三个不相等的实数解，则实数的取值集合为.【答案】【分析】分类讨论的不同取值，并作出的图象，利用数形结合的思想，结合函数图象确定两个函数图象的交点的个数即可求解.【详解】，当时，，此时无解，不满足题意；当时，设，则与的图象大致如下，则对应的2个根为，此时方程均无解，即方程无解，不满足题意；当时，设，则与的图象大致如下，则则对应的2个根为，若方程恰有三个不相等的实数解，则与函数的图象共有3个不同的交点，①当时，与函数的图象共有2个交点，如图所示，所以与函数的图象只有1个交点，则，所以，解得；②当时，与函数的图象共有2个交点，所以与函数的图象只有1个交点，则，与矛盾，不合题意；③当时，与函数的图象共有2个交点，如图所示，所以与函数的图象只有1个交点，则，所以，解得；综上，的取值集合为，故答案为:.3.（2022·浙江·高三模拟）已知函数，有下列结论：①，等式恒成立；②，方程有两个不等实根；③，若，则一定有；④存在无数多个实数k，使得方程在上有三个不同的实数根．则其中正确结论序号为．【答案】①③④【分析】①根据函数表达式计算判断；②举反例判断；③根据函数单调性判断；④用数形结合法判断.【详解】已知函数，有下列结论：对于①，因为，，所以①对；对于②，因为当时，方程，只有一个实根，所以②错；对于③，因为当时，，单调递增，当时，单调递增，所以在上单调递增，所以，若，则一定有，所以③对；对于④，方程在上有三个不同的实数根，即方程在上有三个不同的实数根，因为必为一根，只要方程有两个不同的实数根，即只要有两个不同的实数根，由函数图像知，即，所以④对．故答案为：①③④·4.（2023春·上海松江·高三上海市松江一中校考阶段练习）已知若存在，使得成立的最大正整数为6，则的取值范围为.【答案】【分析】由题意得，分类讨论作出函数图象，求得最值解不等式组即可.【详解】原问题等价于，当时，函数图象如图此时，则，解得：；当时，函数图象如图此时，则，解得：；当时，函数图象如图此时，则，解得：；当时，函数图象如图此时，则，解得：；综上，满足条件的取值范围为.故答案为：题型七：对数绝对值型对数绝对值型函数对数绝对值型函数对于，若有两个零点，则满足1.2.3.要注意上述结论在对称轴作用下的“变与不变”1.（2022·吉林白山·抚松县第一中学校考二模）已知函数，若方程有4个不同的根，，，，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】作出函数与的图像，得到关于对称，化简条件，利用对勾函数的性质可求解.【详解】作函数与的图像如下：方程有4个不同的根，，，，且，可知关于对称，即，且，则，即，则即，则；当得或，则；；故，；则函数，在上为减函数，在上为增函数；故取得最小值为，而当时，函数值最大值为.即函数取值范围是.故选：D.2.（2023春·江苏苏州·高二星海实验中学校考阶段练习）设函数，若关于x的方程有四个实根（），则的最小值为（

）A． B．16 C． D．17【答案】B【分析】作出函数的大致图象，可知，由与的图象有四个交点可得，计算求得的值即可得的范围，根据可得与的关系，再根据基本不等式计算的最小值即可求解.【详解】作出函数的大致图象，如图所示：当时，对称轴为，所以，若关于的方程有四个实根，，，，则，由，得或，则，又，所以，所以，所以，且，所以，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为.故选：B.3.（2020秋·陕西延安·高三校考模拟）已知，则函数的零点个数是（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】A【分析】首先由函数的零点转化为方程和的根，再利用数形结合即可求得函数的零点个数.【详解】函数的零点，即方程和的根，函数的图象如下图所示：

由图可得方程和共有5个根，即函数有5个零点，故选：A4.（2023春·安徽安庆·高三统考模拟）设函数，若（其中），则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分析函数的性质并作出图象，将问题转化为直线与函数的图象的四个交点问题，结合图象性质再构造函数，借助单调性求解作答.【详解】当时，函数在上递减，函数值集合为，在上递增，函数值集合为，当时，函数在上递减，函数值集合为，在上递增，函数值集合为，作出函数的图象，如图，设，

当时，直线与函数的图象有四个交点，且交点的横坐标分别为，且，当时，由，解得或，于是，由，得，则，即，而，因此，令，显然函数在上递减，且，于是，所以的取值范围是．故选：D题型八：对数无理型对数与无理式复合是奇函数：对数与无理式复合是奇函数：，如1.（2023春·黑龙江绥化·高二校考期末）已知函数，若任意的正数，均满足，则的最小值为．【答案】【分析】先判断出的单调性和奇偶性，再由得出与满足的等式，再由基本不等式“1”的妙用求解即可.【详解】∵恒成立，∴函数的定义域为．，有成立，，，∴，∴为定义在上的奇函数．由复合函数的单调性易知，当时，与均单调递减，∴在区间上单调递减，又∵为定义在上的奇函数，∴在上单调递减.∴由得，∴正数，满足，即，∴由基本不等式，，当且仅当，即，时等号成立，∴的最小值为．故答案为：．2.（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若，则的取值范围是.【答案】【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.【详解】因为函数，定义域为，且，则，即，即为奇函数，当时，，均单调递增，所以在上单调递增，则在上单调递增，所以是奇函数且在上单调递增，由，可得，则，解得，即的取值范围为.故答案为：3.（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校考模拟）已知函数的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝．【答案】【分析】设，判断是奇函数，故，从而可求解.【详解】设，则的定义域为，则，∴，是奇函数，因此.又，，∴，．故答案为:.4.（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若正实数满足，则的最小值为.【答案】16【分析】根据题意设，利用函数奇偶性可以得到设，再利用基本不等式即可求出结果.【详解】由函数，设，则的定义域为，，则，所以是奇函数，则，又因为正实数满足，所以，，当且仅当时取到等号.故答案为：16.题型九：对数反比例型1.（2024·江苏泰州·模拟预测）已知函数，若函数的图象关于点对称，则（

）A．-3 B．-2 C． D．【答案】C【分析】方法一：由题意，推出是奇函数，根据定义域的对称性依次求得的值，即可求得；方法二：直接利用，将其化成，再由等式恒成立得到，继而求得.【详解】方法一：依题意将函数的图象向左移1个单位长度关于原点对称，即是奇函数，因奇函数的定义域关于原点对称，而时函数无意义，故时也无意义，即，解得此时为奇函数，则解得故.故选：C．方法二：依题意恒成立，代入得化简得，,整理得：，即(*)，依题意，此式在函数的定义域内恒成立，故须使，则得，回代(*)可得，，即，故.故选：C.2.（21-22高三上·云南曲靖·阶段练习）设定义在区间上的函数是奇函数，且.若表示不超过的最大整数，是函数的零点，则A． B．或 C． D．【答案】C【详解】由奇函数的定义可得，即，也即；当时，，则，与题设不符，所以，由，所以．由于，所以若时，，则函数的零点；则由题设中的新定义的概念可得．若时，，则函数无零点，则由题设中的新定义的概念可得，应选答案C．3.（2024·山东菏泽·模拟预测）已知函数是定义在区间上的奇函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据是奇函数求出的值，再求出的定义域即可求出的取值范围.【详解】，，即，即，，，是定义在区间上的奇函数，，即，，解得（舍）或，的定义域为，.故选：D.4.（23-24高三上·浙江宁波·模拟）已知是奇函数，则（

）A．1 B． C．2 D．【答案】D【分析】根据奇函数的定义域关于原点对称,得到,即可求出的值,求出函数的定义域，再由奇函数的性质,求出的值,即可得到结果。【详解】因为是奇函数，可知定义域关于原点对称，由，可得，显然，则且，可得，解得，所以函数的定义域为，则，解得,此时,且，即，符合题意，所以.故选：D.题型十：指数反比例型变化变化1.（23-24高三上·河南·模拟）已知函数是定义在上的奇函数，且对任意，不等式恒成立，则实数有（

）A．最大值 B．最小值 C．最小值 D．最大值【答案】D【分析】先由奇函数确定的值，然后对变形得到其单调性，结合函数奇偶性将不等式等价变形为对任意恒成立，故只需求出函数的最小值即可，由复合函数单调性，即可得出其单调性，进而得到其最小值.【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，得，，从而由复合函数单调性可知在上单调递增，且注意到是定义在上的奇函数，所以不等式等价于，即等价于，亦即，该不等式对任意恒成立，则不大于的最小值．因为由复合函数单调性可知在区间上单调递增，所以当时，的最小值为所以，等号成立当且仅当．故选：D.2.（23-24高三上·安徽铜陵·阶段练习）已知函数，若实数满足，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先由题意推出，然后由基本不等式即可求解.【详解】一方面由题意有，另一方面若有成立，结合以上两方面有，且注意到，所以由复合函数单调性可得在上严格单调递增，若，则只能，因此当且仅当；又已知，所以，即，由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为.故选：C.3.（21-22高三上·辽宁锦州·模拟）已知函数的图像与过点的直线有3个不同的交点，，，则（

）A．8 B．10 C．13 D．18【答案】D【分析】分析函数的对称性，再借助对称性的性质计算作答.【详解】函数定义域为R，且，即点在函数图象上，，，因此，函数的图象关于点对称，依题意，不妨令，则点与关于点对称，即且，所以.故选：D4.（2024·河北衡水·模拟预测）设，若函数是偶函数，则（

）A． B． C．2 D．3【答案】D【分析】根据对数的运算性质，结合偶函数满足的等量关系，即可求解.【详解】的定义域为，关于原点对称，故所以，故或（舍去），故选：D题型十一：抽象函数模型：过原点直线型--过原点直线型f（x）=kx--过原点直线型f（x）=kx1.（23-24高三上·山东泰安·模拟）已知函数对于任意的，都有成立，则（

多选

）A．B．是上的偶函数C．若，则D．当时，，则在上单调递增【答案】AC【分析】A选项，令，得到A正确；B选项，令，得到，但f(x)不一定恒为0可判断B；C选项，令即可；D选项，令，得到，得到在上单调递减.【详解】A选项，当时，，解得，A正确；B选项，令得，即，故是上的奇函数，但不一定是偶函数,因为不一定恒为0，B错误；C选项，令，则，因为，则，C正确；D选项，令，则，则，故在上单调递减，D错误.故选：AC2.（23-24高三上·江苏·阶段练习）已知函数，，对于任意，，，且当时，均有，则（

多选

）A．B．C．D．若，则【答案】BCD【分析】根据抽象函数的性质，利用赋值法可判断A，根据性质可判断B，由赋值法及性质可判断C，根据抽象函数的性质判断函数的单调性可判断D.【详解】令，则，解得，故A错；因为，故B正确；因为，所以，故C正确；设任意的，且，则，所以，即，所以函数为上的增函数，因为，所以，解得，故D正确.故选：BCD3.（23-24高二下·广东深圳·阶段练习）定义在上的函数满足，当时，，则函数满足（

）A． B．是偶函数C．在上有最小值 D．的解集为【答案】C【分析】根据抽象函数的关系，利用赋值法可判断选项A；利用赋值法和函数奇偶性的定义可判断选项B；根据函数单调性的定义可判断选项C；根据函数的奇偶性和单调性可判断选项D.【详解】令，，由可得：，解得，故选项A错误；令，由可得：，即，则是奇函数，故选项B错误；任取，且，则，所以，即所以函数在上单调递减.因为是奇函数，所以函数为上的减函数.所以在上有最小值，故选项C正确；因为是为上的奇函数，且为上的减函数，所以当时有，解得，故选项D错误.故选：C4.（2023·广西玉林·三模）函数对任意x，总有，当时，，，则下列命题中正确的是（

）A．是偶函数 B．是R上的减函数C．在上的最小值为 D．若，则实数x的取值范围为【答案】C【分析】利用赋值法，结合函数奇偶性的定义，即可判断A；根据函数单调性的定义，结合条件，即可判断B；根据函数的单调性，和奇偶性，以及条件，即可判断C；不等式转化为，利用函数的单调性，即可判断D.【详解】解：取，，则，解得，，则．即，函数是奇函数，所以选项A错误；令，，且，则，因为当时，，所以．则．即，函数是R上的增函数，所以选项B错误；因为函数是R上的增函数，所以函数在上的最小值为，，，．故，在的最小值为-2，所以选项C正确；，即，因为函数是R上的增函数，所以，所以，所以实数x的取值范围为，所以选项D不正确．故选：C．题型十二：抽象函数模型：不过原点直线型1.（多选）（23-24高三上·四川成都·阶段练习）设函数满足：对任意实数、都有,且当时，.设.则下列命题正确的是（

）A． B．函数有对称中心C．函数为奇函数 D．函数为减函数【答案】ABC【分析】令，可得，再令，判断选项A；令，即可判断选项B；由，判断选项C；令,利用函数的单调性定义进行判断选项D.【详解】由对于任意实数，，令，则，即,再令,则，即，故A正确;令，则，即，故B正确；由，则，即是奇函数，故C正确；对于任意,则，当时，，则，所以单调递增，即单调递增，故D错误.故选：ABC2.（多选）（23-24高三上·辽宁朝阳·模拟）若定义在R上的函数满足，且当时，，则（

）A．B．为奇函数C．在上是减函数D．若，则不等式的解集为【答案】AB【分析】令，得，可求解选项A，利用奇函数的定义可求解选项B，利用函数单调性的定义可求解选项C，利用函数的单调性解抽象不等式可求解选项D.【详解】对A，令，得，A正确；对B，，所以函数为奇函数，B正确；对C，在R上任取，则，所以,又，所以函数在R上是增函数，C错误；由，得．由得．因为函数在R上是增函数，所以，解得或．故原不等式的解集为或，D错误．故选:AB．3.（23-24高三上·湖南株洲·模拟）已知函数对，都有，若在上存在最大值M和最小值m，则（

）A．8 B．4 C．2 D．0【答案】B【分析】根据赋值法可得，进而根据奇函数的性质得为奇函数，即可根据奇函数的性质求解.【详解】令，则，得；令，则，所以；令，则，所以为奇函数，故，即，所以．故选：B．4.（23-24高三下·河南周口·开学考试）已知定义在上的函数满足，若函数的最大值和最小值分别为，则．【答案】4048【分析】利用赋值法可得为奇函数，则，令，根据定义法证得为奇函数，则，结合，即可求解.【详解】令，得，令，则，所以，令，所以，为奇函数，．令，则，即为奇函数，所以．而，所以．故答案为：4048题型十三：抽象函数模型：正切型1.（20-21高三上·浙江宁波·模拟）已知函数的图象是连续不断的，其定义域为，满足：当时，；任意的x，，均有.若，则x的取值范围是（

）（e是自然对数的底数）A． B． C． D．【答案】D【分析】令，解得，再令，得到，从而是奇函数，用替代，结合是奇函数，得到，再由时，，利用单调性定义得到在上递增，则在上递增，将转化为求解.【详解】解：令，即，则，令，即，则，因为定义域为，所以是奇函数，由，用替代，得，因为是奇函数，所以，，且，则，因为当时，，所以，，即，所以在上递增，又是定义域为的奇函数，所以在上递增，则等价于，解得，故选：D2.（山东·高考真题）给出下列三个等式：，，．下列函数中不满足其中任何一个等式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】依据指、对数的运算性质，和角公式，逐一验证各个选项满足的某个等式即可判断作答【详解】对于A，因，则满足，A不是；对于C，因，则满足，C不是；对于D，因，则满足，D不是；对于B，显然不能变形，，因此不满足三个等式中任一个，B是.故选：B3.（多选）（2023·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，且，，则（

多选

）A．B．为偶函数C．为周期函数，且4为的周期D．【答案】ACD【分析】对于选项A：令中，即可得出答案；对于选项B：令中，得出，根据已知得出其定义域关于轴对称，即可根据函数奇偶性的定义得出答案；对于选项C：令中，得出，即可根据周期定义得出答案；对于选项D：根据周期得出答案.【详解】A选项：令，得，故A正确.B选项：令，则，因此，又的定义域为，关于轴对称，所以为奇函数，故B错误.C选项：令，则，所以，因此，所以为周期函数，且周期为4，故C正确.D选项：，故D正确.故选：ACD.4.（20-21高三上·浙江宁波·模拟）已知函数的图象是连续不断的，其定义域为，满足：当时，；任意的x，，均有.若，则x的取值范围是（

）（e是自然对数的底数）A． B． C． D．【答案】D【分析】令，解得，再令，得到，从而是奇函数，用替代，结合是奇函数，得到，再由时，，利用单调性定义得到在上递增，则在上递增，将转化为求解.【详解】解：令，即，则，令，即，则，因为定义域为，所以是奇函数，由，用替代，得，因为是奇函数，所以，，且，则，因为当时，，所以，，即，所以在上递增，又是定义域为的奇函数，所以在上递增，则等价于，解得，故选：D题型十四：抽象函数模型：一元二次型1.（23-24高三上·上海普陀·模拟）已知对于任意的整数、、，，有成立，且，则【答案】【分析】通过对、不断赋值，求得，可得出，利用累加法求出的表达式，即可得出的表达式.【详解】在等式中，令，可得，解得，令，可得，可得，令，，则，可得，令，，其中，则，则当且时，，故当且时，，当时，也满足，故对任意的，，所以，.故答案为：.2.（23-24高三上·内蒙古赤峰·开学考试）已知函数的定义域为R，，，则下列说法不正确的是（

）A． B．C．是奇