备考2025高考数学一轮知识清单（上好课）专题10 复数及其应用（4知识点+2重难点+6方法技巧+3易错易混）（含解析）

备考2025高考数学一轮知识清单（上好课）专题10复数及其应用（4知识点+2重难点+6方法技巧+3易错易混）（含解析）专题10复数及其应用（思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧+易混易错）知识点1复数的基本概念1、复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中实部是a，虚部是b．2、复数的分类：eq\a\vs4\al(复数z＝a＋bi,a，b∈R)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(实数b＝0，,虚数b≠0\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(纯虚数a＝0，,非纯虚数a≠0.))))3、复数的有关概念复数相等a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)共轭复数a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)复数的模向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝eq\r(a2＋b2)(r≥0，a，b∈R)知识点2复数的几何意义1、复平面的概念：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面；2、实轴、虚轴：在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚轴上的点都表示纯虚数；3、复数的几何表示：复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)平面向量．知识点3复数的四则运算1、复数的运算法则设，(a，b，c，d∈R)，则（1）z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；（2）z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；（3）z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；（4）．2、复数运算的几个重要结论（1）|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2(|z1|2＋|z2|2)．（2）eq\x\to(z)·z＝|z|2＝|eq\x\to(z)|2．（3）若z为虚数，则|z|2≠z2．（4）(1±i)2＝±2i．（4）eq\f(1＋i,1－i)＝i；eq\f(1－i,1＋i)＝－i．（5）i4n＝1；i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i．知识点4复数的三角形式1、复数的辅角（1）辅角的定义：设复数z=a+bi的对应向量为OZ，以x轴的非负半轴为始边，向量OZ所在的射线（射线OZ）为终边的角θ，叫做复数z的辅角（2）辅角的主值：根据辅角的定义及任意角的概念可知，任何一个不为零的复数辅角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍．规定：其中在0≤θ<2π范围内的辅角θ的值为辅角的主值，通常记作argz【注意】因为复数0对应零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辅角是任意的．2、复数的三角形式及运算（1）定义：任何一个复数都可以表示成z=r(cosθ+isinθ)的形式，其中r是复数的模，θ【注意】复数的三角形式必须满足：模非负，角相同，余正弦，加号连．（2）复数乘法运算的三角表示：已知z1=r则z1这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辅角等于各复数的辅角的和．（3）复数除法运算的三角表示：已知z1=则z1这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辅角等于被除数的辅角减去除数的辅角所得的差．重难点01与复数有关的最值问题求复数模的范围与最值问题的解题策略（1）把复数问题实数化、直观化、熟悉化，即将复数问题转化为实数问题来处理，转化为实数范围内，求模的范围与最值问题来解决；（2）发掘问题的几何意义，利用几何图形的直观性来解答，把陌生的问题转化为熟悉的问题来解答；（3）利用三角函数解决．【典例1】（2024·山东烟台·三模）若复数z满足，则的最小值为（

）A．1 B． C． D．2【典例2】（2024·云南·二模）已知为虚数单位，复数z满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．0重难点02共轭复数与复数运算的综合问题共轭复数问题的求解技巧：1、若复数的代数式已知，则根据共轭复数的定义，可以写出，再进行复数的四则运算．2、已知关于和的方程，而复数的代数形式位置，求解.解决此类问题的常规思路是：设，则，代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程（组）求解．【典例1】（2024·福建泉州·一模）（多选）已知复数z满足，则（

）A． B． C． D．【典例2】（23-24高三下·湖南娄底·阶段练习）（多选）已知复数的共轭复数分别为，下列结论正确的是（

）A．若为纯虚数，则B．若，则C．若，则D．若，则在复平而内对应的点的轨迹为直线一、复数的分类对于复数a＋bi，（1）当且仅当b＝0时，它是实数；（2）当且仅当a＝b＝0时，它是实数0；（3）当b≠0时，叫做虚数；（4）当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数．【典例1】（2024·广东东莞·模拟预测）若复数z满足，则复数z的虚部是（

）A．2 B． C．3 D．【典例2】（23-24高三上·甘肃庆阳·阶段练习）（多选）下列各式的运算结果是实数的是（

）A． B．C． D．二、求复数标准代数式形式的两种方法1、直接法：将复数用已知复数式表示出来，利用复数的四则运算化简为复数的标准代数式；2、待定系数法：将复数设为标准式，代入已知的等式中，利用复数相等的条件列出关于复数实部和虚部的方程（组），通过解方程（组）求出复数的实部与虚部．【典例1】（2024·新疆·三模）复数满足，则的虚部为（

）A． B． C． D．【典例2】（2024·福建泉州·模拟预测）已知复数满足，，则（

）A． B．2 C．-2 D．三、复数的几何意义（1）任一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的．（2）一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的向量OZ=(a,b)【典例1】（2024·四川自贡·三模）在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则复数对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【典例2】（2024·安徽马鞍山·三模）已知复数满足，若在复平面内对应的点不在第一象限，则．四、虚数单位i的乘方计算复数的乘积要用到虚数的单位i的乘方，in有如下性质：i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1，从而对于任何n∈N＋，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i，同理可证i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1.这就是说，如果n∈N＋，那么有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1．由此可进一步得(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，eq\f(1－i,1＋i)＝－1，eq\f(1＋i,1－i)＝i，eq\f(1,i)＝－i．【典例1】（2024·湖北·二模）已知复数，则（

）A．1 B． C． D．i【典例2】（2024·河北·三模）已知复数满足，则的共轭复数的虚部是（

）A． B． C． D．五、复数方程的解在复数范围内，实系数一元二次方程ax（1）求根公式法：=1\*GB3①当∆≥0时，x=-b±b2-4ac2a=2\*GB3②（2）利用复数相等的定义求解，设方程的根为x=m+ni(将此代入方程ax【典例1】（23-24高三下·西藏拉萨·阶段练习）已知是方程的根，则（

）A． B． C．2 D．3【典例2】（2024·江苏盐城·模拟预测）（多选）已知，为方程的两根，则（

）A． B．C． D．六、复数的三角表示将复数z=a+bi(a,b∈R)（1）r=a（2）cosθ=ar，sinθ=br，其中当a=0，b>0时，argz=【注意】每一个不等于零的复数有唯一的模与辅角的主值，并且由它的模与辅角的主值唯一确定。因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辅角的主值分别相等．【典例1】（23-24高三下·江苏苏州·阶段练习）（多选）任何一个复数（，，为虚数单位）都可以表示成（，）的形式，通常称之为复数的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：（），我们称这个结论为棣莫弗定理，则下列说法正确的有（

）A．复数的三角形式为B．当，时，C．当，时，D．当，时，“为偶数”是“为纯虚数”的充分不必要条件【典例2】（2024·黑龙江哈尔滨·三模）复数是虚数单位在复平面内对应点为，设是以轴的非负半轴为始边，以所在的射线为终边的角，则，把叫做复数的三角形式，利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，，例如：，，复数满足：，则可能取值为（

）A． B．C． D．易错点1忽视复数是纯虚数的充要条件点拨：对复数为纯虚数理解不透彻，对于复数为纯虚数，往往容易忽略虚部不等于0．【典例1】（24-25高三上·湖南·开学考试）已知复数，若复数为纯虚数，则实数的值为（

）A． B． C．-2 D．2【典例2】（23-24高三上·广西·开学考试）已知i是虚数单位，若是纯虚数，则实数（

）A． B． C．1 D．易错点2错误的理解复数比大小点拨：两个复数不能直接比大小，但如果成立，等价于．【典例1】（2024·辽宁·三模）已知复数在复平面上对应的点为，若，则实数的值为（

）A．0 B． C．1 D．1或【典例2】（2024·湖南永州·三模）已知复数，，若（为的共轭复数），则实数的取值范围为.易错点3错误的惯性思维理解复数的模点拨：对复数模长的理解错误，复数的模长计算与实数不同，尤其要注意模长性质的应用．【典例1】（2024·陕西商洛·模拟预测）已知是虚数单位，则（

）A．1 B． C．2 D．【典例2】（24-25高三上·山西大同·期末）（多选）已知复数，下列说法正确的是（

）A．若，则 B．C． D．专题10复数及其应用（思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧+易混易错）知识点1复数的基本概念1、复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中实部是a，虚部是b．2、复数的分类：eq\a\vs4\al(复数z＝a＋bi,a，b∈R)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(实数b＝0，,虚数b≠0\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(纯虚数a＝0，,非纯虚数a≠0.))))3、复数的有关概念复数相等a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)共轭复数a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)复数的模向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝eq\r(a2＋b2)(r≥0，a，b∈R)知识点2复数的几何意义1、复平面的概念：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面；2、实轴、虚轴：在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚轴上的点都表示纯虚数；3、复数的几何表示：复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)平面向量．知识点3复数的四则运算1、复数的运算法则设，(a，b，c，d∈R)，则（1）z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；（2）z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；（3）z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；（4）．2、复数运算的几个重要结论（1）|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2(|z1|2＋|z2|2)．（2）eq\x\to(z)·z＝|z|2＝|eq\x\to(z)|2．（3）若z为虚数，则|z|2≠z2．（4）(1±i)2＝±2i．（4）eq\f(1＋i,1－i)＝i；eq\f(1－i,1＋i)＝－i．（5）i4n＝1；i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i．知识点4复数的三角形式1、复数的辅角（1）辅角的定义：设复数z=a+bi的对应向量为OZ，以x轴的非负半轴为始边，向量OZ所在的射线（射线OZ）为终边的角θ，叫做复数z的辅角（2）辅角的主值：根据辅角的定义及任意角的概念可知，任何一个不为零的复数辅角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍．规定：其中在0≤θ<2π范围内的辅角θ的值为辅角的主值，通常记作argz【注意】因为复数0对应零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辅角是任意的．2、复数的三角形式及运算（1）定义：任何一个复数都可以表示成z=r(cosθ+isinθ)的形式，其中r是复数的模，θ【注意】复数的三角形式必须满足：模非负，角相同，余正弦，加号连．（2）复数乘法运算的三角表示：已知z1=r则z1这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辅角等于各复数的辅角的和．（3）复数除法运算的三角表示：已知z1=则z1这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辅角等于被除数的辅角减去除数的辅角所得的差．重难点01与复数有关的最值问题求复数模的范围与最值问题的解题策略（1）把复数问题实数化、直观化、熟悉化，即将复数问题转化为实数问题来处理，转化为实数范围内，求模的范围与最值问题来解决；（2）发掘问题的几何意义，利用几何图形的直观性来解答，把陌生的问题转化为熟悉的问题来解答；（3）利用三角函数解决．【典例1】（2024·山东烟台·三模）若复数z满足，则的最小值为（

）A．1 B． C． D．2【答案】B【解析】若复数z满足，则由复数的几何意义可知复数对应的点集是线段的垂直平分线，其中，所以的最小值为.故选：B.【典例2】（2024·云南·二模）已知为虚数单位，复数z满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．0【答案】A【解析】设，而，所以，即，所以，等号成立当且仅当，综上所述，的最小值为.故选：A.重难点02共轭复数与复数运算的综合问题共轭复数问题的求解技巧：1、若复数的代数式已知，则根据共轭复数的定义，可以写出，再进行复数的四则运算．2、已知关于和的方程，而复数的代数形式位置，求解.解决此类问题的常规思路是：设，则，代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程（组）求解．【典例1】（2024·福建泉州·一模）（多选）已知复数z满足，则（

）A． B． C． D．【答案】AD【解析】设复数，可得因为复数z满足，可得，则，可得且，由时，可得或，当时，可得，此时；当时，方程，无解；对于A中，当，可得，可得；当，可得，可得，所以A正确；对于B中，当，可得，且，则，所以B不正确；对于C中，当，可得，可得，所以C不正确；对于D中，当，可得，可得，则；当，可得，可得，则，所以D正确.故选：AD.【典例2】（23-24高三下·湖南娄底·阶段练习）（多选）已知复数的共轭复数分别为，下列结论正确的是（

）A．若为纯虚数，则B．若，则C．若，则D．若，则在复平而内对应的点的轨迹为直线【答案】ACD【解析】对于A，设，，故成立，故A正确，对于B，设，，则满足，但，故B错误，对于C，设，，则，，故，，解得，，则，故C正确，对于D，设，因为，，，所以，化简得，故在复平而内对应的点的轨迹为直线，故D正确.故选：ACD.一、复数的分类对于复数a＋bi，（1）当且仅当b＝0时，它是实数；（2）当且仅当a＝b＝0时，它是实数0；（3）当b≠0时，叫做虚数；（4）当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数．【典例1】（2024·广东东莞·模拟预测）若复数z满足，则复数z的虚部是（

）A．2 B． C．3 D．【答案】C【解析】设，根据题意，可得，化简为，根据复数相等，得，解得，所以，即复数z的虚部是3.故选：C【典例2】（23-24高三上·甘肃庆阳·阶段练习）（多选）下列各式的运算结果是实数的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】A项中，，故A正确；B项中，，故B错误；C项中，，故C正确；D项中，，故D错误.故选：AC.二、求复数标准代数式形式的两种方法1、直接法：将复数用已知复数式表示出来，利用复数的四则运算化简为复数的标准代数式；2、待定系数法：将复数设为标准式，代入已知的等式中，利用复数相等的条件列出关于复数实部和虚部的方程（组），通过解方程（组）求出复数的实部与虚部．【典例1】（2024·新疆·三模）复数满足，则的虚部为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设且，则，因为，所以,解得：，则的虚部为.故选：C【典例2】（2024·福建泉州·模拟预测）已知复数满足，，则（

）A． B．2 C．-2 D．【答案】B【解析】设复数，，由，得，解得，，∴，∴.故选：B．三、复数的几何意义（1）任一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的．（2）一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的向量OZ=(a,b)【典例1】（2024·四川自贡·三模）在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则复数对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】因为复数，对应的向量分别是，，所以，，所以，所以复数对应的点为，位于第四象限.故选：D【典例2】（2024·安徽马鞍山·三模）已知复数满足，若在复平面内对应的点不在第一象限，则．【答案】【解析】设，则，因为，则，解得或，又因为在复平面内对应的点不在第一象限，可知，可知，所以.故答案为：.四、虚数单位i的乘方计算复数的乘积要用到虚数的单位i的乘方，in有如下性质：i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1，从而对于任何n∈N＋，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i，同理可证i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1.这就是说，如果n∈N＋，那么有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1．由此可进一步得(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，eq\f(1－i,1＋i)＝－1，eq\f(1＋i,1－i)＝i，eq\f(1,i)＝－i．【典例1】（2024·湖北·二模）已知复数，则（

）A．1 B． C． D．i【答案】A【解析】因为，所以，所以.故选：A【典例2】（2024·河北·三模）已知复数满足，则的共轭复数的虚部是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，可得，所以，所以，所以，所以的共轭复数的虚部是.故选：D.五、复数方程的解在复数范围内，实系数一元二次方程ax（1）求根公式法：=1\*GB3①当∆≥0时，x=-b±b2-4ac2a=2\*GB3②（2）利用复数相等的定义求解，设方程的根为x=m+ni(将此代入方程ax【典例1】（23-24高三下·西藏拉萨·阶段练习）已知是方程的根，则（

）A． B． C．2 D．3【答案】A【解析】由题意，得，即，所以，且，解得，所以.故选：A.【典例2】（2024·江苏盐城·模拟预测）（多选）已知，为方程的两根，则（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】方程的两根分别为和，且，，所以不妨设，，，所以，故错误；，故正确；，故正确；，，所以，故错误.故选：.六、复数的三角表示将复数z=a+bi(a,b∈R)（1）r=a（2）cosθ=ar，sinθ=br，其中当a=0，b>0时，argz=【注意】每一个不等于零的复数有唯一的模与辅角的主值，并且由它的模与辅角的主值唯一确定。因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辅角的主值分别相等．【典例1】（23-24高三下·江苏苏州·阶段练习）（多选）任何一个复数（，，为虚数单位）都可以表示成（，）的形式，通常称之为复数的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：（），我们称这个结论为棣莫弗定理，则下列说法正确的有（

）A．复数的三角形式为B．当，时，C．当，时，D．当，时，“为偶数”是“为纯虚数”的充分不必要条件【答案】BC【解析】复数的三角形式为，故错误；当，时，，因为，，所以，故正确；当，时，，，故正确；当，时，，，若为纯虚数，则，则，所以，，虽然，是偶数，但是偶数还有，的形式的数，所以“为偶数”是“为纯虚数”的必要不充分条件，故错误.故选：.【典例2】（2024·黑龙江哈尔滨·三