一道与整数部分有关的递推数列问题的解法梳理

PAGEPAGE1一道与整数部分有关的递推数列问题的解法梳理【题【题数列满足a=a a=a2+2a+1，则使得n1n+1n n nanm值最小的整数m=（ ）A.62B.63C.64D.651a解法1（）an1-an=an

+2>2(n³2)，an=an-an1)+an1-an-2)++3-a2)+a2>2n-)+4=2n，n³)所以a2018

63.5，2201840364032.25an+2201840364032.25an+1anan又an1an=an+)an

= + ，2n+ 2n+ n2n+ n-1(an+1anann所以 - an+1anann

= < = 22n

- n-)，( 2018 (a2018a3n2017则 - <a2018a3n2017

2ån=2

- n-)= 2(

-)，a2018201740342故 < 2( -)+2= +2- <63.6+2-1.4=64.2，a2018201740342a2018an综上：63.5< <64.2，故使得 -m值最小的整数m=a2018an解法2（）a

n+1

1a=an+a40554032.25n40554032.25

+2，ana

n+1

1a-an=an

+2>2，a2018可得an2n1a2018

63.5，由a

a=12<149,(n³3)ann

9n1，n n+1

an a2 4

n 4 2于是a 55.75，a

2018252155.754096，所以

64.a201825a2018

49综上得

a201863.5,64，故m64，于是选Ca2018解法3（）1=,a2=,3=6.2,a4=8.4,5»10.52，n³22n£an2n+1，下面用数学归纳法证明这个猜想。（1）当n=2时，4£an=4<5，猜想成立；（2）nk(n³2)2k£ak2k+1，x因为函数f(x)=x+1在(1,+x

)上单调递增，所以2k+12k

+2£a

k

1a=ak+ak

1 +2<(2k+1)+2k+1+2，而2k+2£2k+12k

1 1 +2,(2k+1)+2k+1+2<(2k+3)+2k+3+2，2k2£a

k

1 <(2k+3)+2k+3+2，即当n=k+1时猜想也成立。（1（2n³2，都有2n£an<2n+1.an因此4036£a2018<4037于是63.5<a2018<64故使得 -m值最小的整数m=64.an数列}数列}a1an1n+1=an1+a2a2019n( ,1),kk+1k1N*则k=.【答案】63.【分析】a

= an

1两边取倒数，得

=1+a，n+1

n1+a2n

nan+1 ann令b=，则问题转化为：已知b1b

1=b+，bn n

Î(kk+1kÎN*k。abn 1 n+1abbbn nbb

20191（广东阳江曾广荣由b

b+1可得b2

=b2+

1+2

-b2=

1+2>2nbn+1nb--b2

n+1 n 2+++b2-b2

n+1 n 2n40383969n³2b2=b2-40383969n³2b2=b2-b2+b2

n-1

n-2) (3 2)2220192n+n2n+n220192n+n2n+n-12nn-1+b2>2(n-2)+4=2n，

63，又bn+1

12nb1-= <2nb1n

= < = (- )，(2018 (n2018则b2019-b4<n2018

ån=4

- n-)= 2(

- 3)，故b < - +5= -220182 40362201824036

5 26<63.53-2.45+2.9=63.98<64，62019

( )2 +2+5综上：63<b2019<64，故k63.数列}a1an1n+1=an1+a2a2019n( ,1),kk+1k1N*则k=.【分析】a

= an

1 1n两边取倒数，得 = +a，nn+1

n1+a2n

an+1 an令b=

1，则问题转化为：已知b1b

1=b+，bn n

Î(kk+1kÎN*k。abn 1 n+1abn n

20192（广东阳江曾广荣）由b

b+1可得b2

=b2+

1+2，nbn+1nbn

n+1 n 2nbn猜想当n³2时，2n£b2<2n+1，下面用数学归纳法证明这个猜想：bn2（1）当n=2时，4£b2=4<5，猜想成立；2k（2）nk(n³2)2k£b22k+1，kx由于函数f(x)=x+1在(1,+x

)上单调递增，则f(2k)£则f(2k)£fb2<f(2k+1)<f(2k+3)，所以2k+12k

+2£b2

=b2+

1 1 bk2+2<(2k+1)+2k+1+2，bkkk而2kkk2k

1 1 +2>2k+2,(2k+1)+2k+1+2<(2k+3)+2k+3+2，2k2£b2

1 k<(2k+3)+2k+3+2，即当n=kk40384039n（1（2n³2，都有2n£b2<2n+1.40384039n20194038£b22019

4039，故

£< ，403830