专题02直线与直线的位置关系

【解析版】专题02直线与直线的位置关系本章主要讨论三维空间中的直线与平面，从四个简单直观的公理（也称为“基本事实”)出发，通过演绎推理的方法建立起关于空间的点、直线与平面之间基本关系的比较系统完整的理论；这方面的要求与“二期课改“教材相比，有明显的提高，因此课程的难度也略有增大；作这样变化的目的在于克服学生空间直观想象和逻辑推理上的不足；所以，充分利用教材的内容但不要超越教材的难度，注意给学生铺设好从平面到立体的台阶，聚焦培养学生的能力和索养；因此，在学习过程中，培养学生的空间观念与空间想象能力是学习立体几何的关键；教学中，应关注空间图形及其位置关系的多种表征方式；如实物、模型、图形、符号及文字等，并通过不同表征方式的相互转化来帮助学生理解空间概念、图形和解决，用好长方体这一直观的模型；一、《必修第二册》目录与内容提要【本章教材目录】第10章空间直线与平面10.1平面及其基本性质10.1.1空间的点、直线与平面；10.1.2相交平面；10.1.3空间图形的平面直观图的画法；10.2直线与直线的位置关系10.2.1空间的平行直线；10.2.2异面直线；10.2.3两条异面直线所成的角；10.3直线与平面的位置关系10.3.1直线与平面平行；10.3.2直线与平面垂直；10.3.3直线与平面所成的角；10.3.4三垂线定理；10.4平面与平面的位置关系10.4.1平面与平面平行；10.4.2二面角*10.5异面直线间的距离【本章内容提要】1、立体几何中的公理及其推论（1）公理1如果一条直线上有两点在一个平面上，那么这条直线上所有的点都在这个平面上；（2）公理2不在同一直线上的三点确定一个平面；推论1一条直线和这条直线外的一点确定一个平面；推论2两条相交直线确定一个平面；推论3两条平行直线确定一个平面；（3）公理3如果两个不同的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线；（4）公理4平行于同一条直线的两条直线互相平行；2、直线与直线的位置关系（1）有三种可能的位置关系：相交、平行、异面；（2）等角定理如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等；推论1如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补；推论2如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等；（3）异面直线的定义：不同在任何一个平面上的两条直线叫做异面直线；（4）异面直线判定定理：过平面外一点与平面上一点的直线，和此平面上不经过该点的任何一条直线是异面直线；（5异面直线所成的角的定义：两条异面直线平移到相交位置时所得到的锐角或直角，称为这两条异面直线所成的角；3、直线与平面的位置关系（1）直线与平面平行的判定定理：如果不在平面上的一条直线与这个平面上的一条直线平行，那么该直线与这个平面平行；（2）直线与平面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，过这条直线的一个平面与此平面相交，那么其交线必与该直线平行；（3）线面垂直的定义：如果一条直线与平面上的任意一条直线都垂直，就说这条直线与这个平面互相垂直；（4）直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与平面上的两条相交直线都垂直，那么直线与该平面垂直；（5）直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线互相平行；推论1：过一点有且只有一个平面与给定的直线垂直；推论:2：过一点有且只有一条直线与给定的平面垂直；（6）线面所成的角的定义：平面的一条斜线和它在平面上的投影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角；（7）三垂线定理：平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线在平面上的投影垂直；4、平面与平面的位置关系（1）两个平面平行的判定定理：如果一个平面上的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行；（2）两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行；（3）一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，一个二面角的大小等于它的平面角的大小；（4）平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直；（5）平面与平面垂直的性质定理：如果果两个平面垂直，那么其中一个平面上垂直于两个平面交线的直线与另一个平面垂直；*5、异面直线间的距离（1）定理：对于任意给定的两条异面直线，存在唯一的一条直线与这两条直线都垂直并且相交；（2）定义：两条异面直线的公垂线段的长度叫做这两条异面直线的距离；1、公理4文字语言符号语言图形语言平行同一直线的两条直线平行a//b，b//c⇒a//c2、等角定理文字语言图形语言如果空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补；3、空间两条直线的三种位置关系文字语言（是否有公共点）图形语言共面直线相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：在同一平面内，没有公共点；异面直线不同在任何一个平面上的两条直线，没有公共点；4、异面直线判定定理文字语言符号语言图形语言异面直线判定定理：过平面外一点与平面上一点的直线，和此平面上不经过该点的任何一条直线都是异面直线；如图，若AB∩α=B，A∉α，a⊂α，B∉a，⇒直线AB与α为异面直线5、异面直线所成的角文字语言异面直线所成的角的范围图形语言已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，所成的角的大小与点的选择无关，把所成的锐角（或直角）叫异面直线所成的角（或夹角）；【注意】为了简便，点通常取在异面直线的一条上；.（0°，90]；特别地，当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b.求两条异面直线所成的角的一般步骤：（1）作：恰当地选择一个点（经常在其中一条线上取一点），作出（常用平移法)异面直线所成的角(或其补角)；（2）证：证明(1)中所作出的角(或其补角)就是所求异面直线所成的角；（注：证明线线平行）（3）求：通过解三角形或其他方法，求出(1)中所构造的角的大小；（注：假如所构造的角的大小为α，若0°<α≤90°，则α即为所求异面直线所成角的大小；若90°<α<180°，则180°－α即为所求）；题型1、对公理4的直接理解例1、（1）已知a，b是平行直线，直线c∥直线a，则c与b()A．不平行B．相交C．平行D．垂直【提示】在空间，涉及平行问题注意构建与公理4的联系；【答案】C；【解析】∵a∥b，c∥a，∴c∥b.；（2）如图所示，E，F分别是长方体A1B1C1D1‒ABCD的棱A1A，C1C的中点．求证：四边形B1EDF是平行四边形．【证明】设Q是DD1的中点，连接EQ，QC1.∵E是AA1的中点，∴EQ∥A1D1；又在矩形A1B1C1D1中，A1D1∥B1C1，∴EQ∥B1C1（公理4），∴四边形EQC1B1为平行四边形．∴B1E∥C1Q，又∵Q，F是DD1，C1C两边的中点，∴QD∥C1F，∴四边形QDFC1为平行四边形，∴C1Q∥DF；又∵B1E∥C1Q，∴B1E∥DF；∴四边形B1EDF为平行四边形；【说明】空间中判别两直线平行的方法：1、借助平面几何知识证明，如三角形中位线性质、平行四边形的性质、用成比例线段证平行等；2、利用公理4，即可判别两直线都与第三条直线平行；题型2、证明直线与直线平行例2、（1）如图所示，在空间四边形ABCD(不共面的四边形称为空间四边形)中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点；（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；（2）如果AC＝BD，求证：四边形EFGH是菱形；【证明】（1）因为空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，所以EF∥AC，HG∥AC，EF＝HG＝eq\f(1,2)AC，所以EF∥HG，EF＝HG，所以四边形EFGH是平行四边形；（2）因为空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，所以EH∥BD，EH＝eq\f(1,2)BD，因为EF＝eq\f(1,2)AC，AC＝BD，所以EH＝EF，又因为四边形EFGH是平行四边形，所以四边形EFGH是菱形；（2）如图，E，F分别是长方体ABCD－A1B1C1D1的棱A1A，C1C的中点；求证：四边形B1EDF为平行四边形；【证明】如图，取DD1的中点Q，连接EQ，QC1；∵E是AA1的中点，∴EQA1D1.∵在矩形A1B1C1D1中，A1D1綉B1C1，∴EQB1C1，∴四边形EQC1B1为平行四边形，∴B1EC1Q；又Q，F分别是D1D，C1C的中点，∴QDC1F，∴四边形DQC1F为平行四边形，∴C1QFD；又B1EC1Q，∴B1EFD，故四边形B1EDF为平行四边形；【说明】证明两直线平行，目前有两种途径：一是应用公理4，即找到第三条直线，证明这两条直线都与之平行；二是证明同一个平面内这两条直线无公共点；题型3、等角定理及其应用例3、（1）若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，则下列结论中正确的是()A．OB∥O1B1且方向相同B．OB∥O1B1C．OB与O1B1不平行D．OB与O1B1不一定平行【答案】D【解析】如图所示：∴OB与O1B1不一定平行；（2）如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱CC1，BB1，DD1的中点，试证明：∠BGC＝∠FD1E.【证明】因为F为BB1的中点，所以BFeq\f(1,2)BB1，因为G为DD1的中点，所以D1Geq\f(1,2)DD1.BB1∥DD1，BB1＝DD1，所以BF∥D1G，BF＝D1G.所以，四边形D1GBF为平行四边形．所以，D1F∥GB，同理D1E∥GC.所以，∠BGC与∠FD1E的对应边平行且方向相同，所以，∠BGC＝∠FD1E；【说明】等角定理的应用是：1、根据空间中相应的定理证明角的边分别平行，即先证明线线平行；2、根据角的两边的方向判定两角相等或互补；题型4、公理4与等角定理的综合应用例4、（1）已知∠BAC＝∠B1A1C1，AB∥A1B1，则AC与A1C1的位置关系是()A．相交B．异面C．平行D．以上均有可能【答案】D；【解析】如图所示，∠BAC＝∠B1A1C1，AB∥A1B1，则AC与A1C1的位置关系是平行、相交或异面；故选D.（2）如图，已知在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点.（1）求证：四边形MNA1C1是梯形；（2）求证：∠DNM＝∠D1A1C1；【证明】(1)连接AC，在△ACD中，∵M，N分别是棱CD，AD的中点，∴MN是△ACD的中位线，∴MN∥AC，MN＝eq\f(1,2)AC；由正方体的性质得AC∥A1C1，AC＝A1C1.∴MN∥A1C1，且MN＝eq\f(1,2)A1C1，即MN≠A1C1，易知NA1与MC1不平行，∴M，N，A1，C1四点共面，且四边形MNA1C1是梯形.（2）由（1）可知MN∥A1C1，又ND∥A1D1，∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补，又∠DNM与∠D1A1C1对应的两边方向相同，∴∠DNM＝∠D1A1C1；【说明】1、判断两条直线平行是立体几何中的一个重要组成部分，除了平面几何中常用的判断方法以外，公理4也是判断两直线平行的重要依据；2、证明角相等，利用空间等角定理是常用的方法，在证明过程中一定要说明两个角的对应边方向都相同或都相反.另外也可以通过证明两个三角形全等或相似来证明两角相等；具体为：（1）空间等角定理实质上是由以下两个结论组成的：①若一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行且方向都相同或相反，那么这两个角相等；②若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，有一组对边方向相同，另一组对边方向相反，那么这两个角互补；（2）证明角相等，一般采用三种途径：①利用等角定理及推论；②利用三角形相似；③利用三角形全等；题型5、准确判别空间中两直线位置关系例5、（1）若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是()A．平行B．异面C．相交D．平行、相交或异面【答案】D【解析】如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，A′D′所在直线为a，AB所在直线为b，已知a和b是异面直线，b和c是异面直线，则c可以是长方体ABCD－A′B′C′D′中的B′C′，CC′，DD′.故a和c可以平行、相交或异面；（2）如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，判断下列直线的位置关系：①直线A1B与直线D1C的位置关系是________；②直线A1B与直线B1C的位置关系是________；③直线D1D与直线D1C的位置关系是________；④直线AB与直线B1C的位置关系是________.【答案】①平行②异面③相交④异面【解析】根据题目条件知道直线D1D与直线D1C相交于D1点，所以③应该填“相交”；直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线“平行”.所以①应该填“平行”；点A1、B、B1在一个平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C“异面”.同理，直线AB与直线B1C“异面”.所以②④都应该填“异面”；【说明】判断空间中两直线的位置关系可利用定义，常常借助空间几何体，把要判断的直线和平面放在某些具体的空间图形(如长方体、正方体)中，有利于作出正确的判断，同时对于错误的说法也便于找出反例；题型6、会判别空间两条直线为异面直线例6、（1）已知α，β为不同的平面，a，b，c为不同的直线，则下列说法正确的是()A．若a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线B．若a与b异面，b与c异面，则a与c异面C．若a，b不同在平面α内，则a与b异面D．若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面【答案】D；【解析】若a⊂α，b⊂β，则a与b可能平行，可能相交，也可能异面，故A错误；若a与b异面，b与c异面，则a与c可能平行，可能相交，也可能异面，故B错误；若a，b不同在平面α内，则a与b可能平行，可能相交，也可能异面，故C错误；由异面直线的定义，知D正确.（2）如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论为(填序号)．【答案】③④；【解析】直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，故①②错误；③④正确．【说明】1、判定两条直线是异面直线的方法：（1）定义法：证明两条直线既不平行又不相交；（2）定理：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为l⊂α，A∉α，B∈α，B∉l⇒AB与l是异面直线(如图)．2、判断空间中两条直线位置关系的诀窍（1）建立空间观念，全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系．特别关注异面直线；（2）重视正方体等常见几何体模型的应用，会举例说明两条直线的位置关系；题型7、证明异面直线的方法例7、（1）如图：，，，，直线与具有怎样的位置关系？为什么？【证明】直线与是异面直线理由如下．若直线与直线不是异面直线，则它们相交或平行；设它们确定的平面为，则，；由于经过点与直线有且仅有一个平面，因此平面与平面，从而，进而，这与产生矛盾，所以，直线与是异面直线；（2）已知A、B、C、D是空间四个点，且直线AB与CD是两条异面直线.用反证法证明：直线AC与BD也是异面直线.【提示】根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，先假设直线AC、BD是共面直线，再推出错误结论，即可得证；【证明】假设直线AC、BD是共面直线；则A，B，C，D四点共面，所以AB、CD共面，这与AB、CD是异面直线矛盾；所以假设错误，即直线AC、BD也是异面直线；【说明】判定两条直线是异面直线的方法①定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内；②反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面；③判定定理：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线；用符号语言可表示为：，，，与l是异面直线（如图）；题型8、求异面直线所成的角的方法例8、（1）如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是．【答案】90°；【解析】如图，过点M作ME∥DN交CC1于点E，连接A1E，则∠A1ME为异面直线A1M与DN所成的角(或其补角)．设正方体的棱长为a，则A1M＝eq\f(3,2)a，ME＝eq\f(\r(5),4)a，A1E＝eq\f(\r(41),4)a，所以A1M2＋ME2＝A1E2，所以∠A1ME＝90°，即异面直线A1M与DN所成的角为90°.答案：90°（2）如图所示，在空间四边形ABCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E，F分别为BC，AD的中点，求EF和AB所成的角；【解析】如图，取BD的中点G，连接EG，FG.因为E，F分别为BC，AD的中点，AB＝CD，所以EG∥CD，GF∥AB，且EG＝eq\f(1,2)CD，GF＝eq\f(1,2)AB.所以∠GFE就是EF与AB所成的角或其补角，EG＝GF.因为AB⊥CD，所以EG⊥GF.所以∠EGF＝90°.所以△EFG为等腰直角三角形．所以∠GFE＝45°，即EF与AB所成的角为45°.【说明】1、异面直线一般依附于某几何体，所以在求异面直线所成的角时，首先将异面直线平移成相交直线，而定义中的点O常选取两异面直线中其中一个线段的端点或中点或几何体中的某个特殊点．2、求异面直线所成的角的一般步骤（1）作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角.（2）证：证明作出的角就是要求的角.（3）计算：求角的值，常利用解三角形得出.可用“一作二证三计算”来概括.同时注意异面直线所成角的范围是0°<θ≤90°；题型9、忽略异面直线所成的角的范围致错例1、如图，已知空间四边形ABCD中，AD＝BC，M，N分别为AB，CD的中点，且直线BC与MN所成的角为30°，求BC与AD所成的角．【解析】如图，连接BD，并取其中点E，连接EN，EM，则EN∥BC，ME∥AD，故∠ENM(或其补角)为BC与MN所成的角，∠MEN(或其补角)为BC与AD所成的角；由AD＝BC，知ME＝EN，∴∠EMN＝∠ENM＝30°，∴∠MEN＝180°－30°－30°＝120°，即BC与AD所成的角为60°.【说明】1、易错警示：解本题时易忽略异面直线所成的角θ的范围是0°<θ≤90°，从而由∠MEN＝120°直接得出BC与AD所成的角为120°这一错解．事实上，在未判断出∠MEN是锐角、直角还是钝角之前，不能断定它就是两条异面直线所成的角，如果∠MEN为钝角，那么它的补角才是直线所成的角；2、纠错措施：求异面直线所成的角θ的时候，要注意它的取值范围是0°<θ≤90°.两条异面直线所成的角转化为一个三角形的内角时，容易忽略这个三角形的内角可能等于两条异面直线所成的角，也可能等于其补角；题型10、公理4的应用画交线例1、（1）如图所示为一长方体木料，经过木料的面A1C1内有一点P，经过点P作棱BC的平行线，应该怎样画？并说明理由．【解析】如图所示，在面A1C1内过P作直线EF∥B1C1，交A1B1于点E，交C1D1于点F，则直线EF即为所求．理由：因为EF∥B1C1，BC∥B1C1，所以EF∥BC.（2）.一块长方体木料如图所示，现在因做某种家具，需将此木料沿边BC和面A1B1C1D1内一点P锯开，工人师傅怎样操作才能达到要求?请你设计一个方案解决此问题，并说明理由.【解析】如图所示，在面A1B1C1D1内过点P作直线EF∥B1C1，交A1B1于点E，交C1D1于点F，连接BE，CF，沿BC，BE，CF，EF锯开木料即可.理由:因为EF∥B1C1，BC∥B1C1，所以EF∥BC.所以EF，BC共面.1、分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是【答案】异面或相交；【解析】如图有两种情况.2、若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是【答案】相交、平行或异面【解析】异面直线不具有传递性，可以以长方体为载体加以说明，a、b异面，直线c的位置可如图所示．3、空间两个角α，β的两边分别对应平行，且α＝60°，则β角的大小为【答案】60°或120°【解析】∵空间两个角α，β的两边对应平行，∴这两个角相等或互补，∵α＝60°，∴β＝60°或120°；4、已知在棱长为a的正方体ABCD­A′B′C′D′中，M，N分别为CD，AD的中点，则MN与A′C′的位置关系是________．【答案】平行；【解析】如图所示，∵M，N分别为CD，AD的中点，∴MNeq\f(1,2)AC，由正方体的性质可得ACA′C′，∴MN綉eq\f(1,2)A′C′，即MN与A′C′平行．答案：平行5、对角线互相垂直的空间四边形ABCD各边中点分别为M，N，P，Q，则四边形MNPQ是________.【答案】矩形【解析】如图所示.∵点M，N，P，Q分别是四条边的中点，∴MN∥AC且MN＝eq\f(1,2)AC，PQ∥AC且PQ＝eq\f(1,2)AC，即MN∥PQ且MN＝PQ，∴四边形MNPQ是平行四边形.又∵BD∥MQ，AC⊥BD，∴MN⊥MQ，∴平行四边形MNPQ是矩形.6、如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：（1）直线A1B与直线D1C的位置关系是（2）直线A1B与直线B1C的位置关系是（3）直线D1D与直线D1C的位置关系是（4）直线AB与直线B1C的位置关系是【答案】（1）平行；（2）异面；（3）相交；（4）异面；【解析】序号结论理由（1）平行因为A1D1∥BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，所以A1B∥D1C（2）异面A1B与B1C不同在任