2020-2021学年上海市实验学校高一上学期期末数学试题

20202021学年上海市实验学校高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知是一元二次方程的两个不同的实根，则“且”是“且”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分条件与必要条件的概念，直接判断，即可得出结果.【详解】若且，则；但是时，满足，但不满足．所以“且”是“且”的充分不必要条件．故选：A.【点睛】本题主要考查充分不必要条件的判定，熟记充分条件与必要条件的概念即可，属于基础题型.2．若函数（且）在区间上的最大值比最小值多2，则（）A．2或 B．3或 C．4或 D．2或【答案】A【分析】分别讨论和，然后利用对数函数的单调性列方程即可得解.【详解】由题意解得或（舍去），①当时，函数在定义域内为增函数，则由题意得，所以即，解得或（舍去）；②当时，函数在定义域内为减函数，则由题意得，所以即，解得；综上可得：或.故选：A.【点睛】本题考查了分类讨论思想的应用，考查了对数函数单调性的应用，属于基础题.3．定义在R上的偶函数在上是增函数，且，则不等式的解集为（）A． B．C． D．【答案】D【分析】分和两种情况讨论，利用函数的奇偶性和单调性可解得结果.【详解】当时，可化为，又为偶函数且，所以不等式可化为，因为在上是增函数，所以，解得；当时，可化为，又为偶函数且，所以不等式可化为，因为在上是增函数，所以，解得；综上所述：不等式的解集为.故选：D【点睛】关键点点睛：利用函数的奇偶性和单调性求解是解题关键.4．设是有理数，集合，在下列集合中；（1）；（2）；（3）；（4）；与相同的集合有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】B【分析】将分别代入（1）、（2）、（3）中，化简并判断与是否一一对应，再举反例判断（4）.【详解】对于（1），由，得，一一对应，则对于（2），由，得，一一对应，则对于（3），由，得，一一对应，则对于（4），，但方程无解，则与不相同故选：B二、填空题5．集合且，用列举法表示集合________【答案】【分析】由已知可得，则，解得且，结合题意，逐个验证，即可求解.【详解】由题意，集合且，可得，则，解得且，当时，，满足题意；当时，，不满足题意；当时，，不满足题意；当时，，满足题意；当时，，满足题意；当时，，满足题意；当时，，此时分母为零，不满足题意；当时，，满足题意；当时，，满足题意；当时，，满足题意；当时，，不满足题意；当时，，不满足题意；当时，，满足题意；综上可得，集合.故答案为：.6．若关于的不等式的解集是，则________【答案】【分析】根据一元二次不等式与一元二次方程之间的关系求解出结果即可．【详解】解：由题设可知：关于的一元二次方程的两根为与，由韦达定理可得：，解得：，，故答案为：．7．若，且，则________.【答案】【分析】将指数式化为对数式，然后利用对数运算，化简求得的值.【详解】,,.,.又∵,,即,,.故答案为：8．设函数的反函数为，若，___________.【答案】【分析】本题首先可根据题意以及反函数的性质得出，然后根据求出的值，最后代入，即可得出结果.【详解】因为函数的反函数为，，所以，即，解得，，则，故答案为：.9．设函数是定义在上的增函数，则实数的取值范围是________【答案】【分析】根据题意，由函数单调性的定义可得，解可得的取值范围，即可得答案．【详解】解：根据题意，函数是定义在上的增函数，则有，解可得，即的取值范围为，故答案为：．10．若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为_______.【答案】【详解】试题分析：时，有，对任意恒成立；时，若不等式对任意恒成立，则需，解得，综上可知，实数的取值范围为．【解析】含参数不等式恒成立问题，需对二次项系数讨论11．若，则的最小值为___________.【答案】【分析】利用对数运算法则得出满足的等式，然后利用基本不等式求最值．【详解】∵，∴，即，∴，则或，若，，则，，不合题意，∴．∴，当且仅当，即时等号成立，∴所求最小值为8．故答案为：8．【点睛】本题考查对数的运算法则，考查基本不等式求最值．属于中档题．12．已知函数的定义域为，其图象关于原点对称，且当时，则不等式的解集为______（用区间表示）.【答案】【分析】当时，注意到且单调递增可得的解集为，再利用奇函数图象的性质可得时，不等式的解集为.【详解】易知当时，函数单调递增，且，故当时，，当时，，所以当时，不等式的解集为.因为函数的图象关于原点对称，所以，且当时，不等式的解集为.故不等式的解集为.故答案为：.【点睛】本题考查利用函数的单调性解不等式，涉及到函数的奇偶性，考查学生的数形结合的思想，是一道中档题.13．函数为定义在上的奇函数，且满足，若，则__________．【答案】3【分析】首先由函数的奇偶性和对称性，分析函数的周期性，再求值.【详解】，，又为奇函数，是周期为的周期函数，是定义在上的奇函数，，，.故答案为：3．【点睛】本题考查利用函数的奇偶性、对称性和周期性求解函数值的问题，属于中档题型，本题关键是能够通过对称性与周期性的关系确定函数的周期，进而确定函数值的变化特点．14．已知函数，且，则满足条件的所有整数的和是______.【答案】10【分析】先分析出是偶函数且，然后即可求出所有的的值【详解】因为所以所以是偶函数若则或解得或2或4又因为所以当时也成立故满足条件的所有整数的和是故答案为：10【点睛】要善于从一个函数的解析式分析出其性质，比如单调性、奇偶性和一些特有的性质.三、解答题15．已知全集，集合，.（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）或；（2）.【分析】（1）先化简集合，再由集合的补集和交集运算求解即可；（2）由得，再讨论，两种情况，根据包含关系得出不等式组，求解得出实数的取值范围.【详解】（1）或或（2）当时，满足，由，解得当时，要使得，必须，解得综上，【点睛】关键点睛：在第二问中，关键是将并集运算转化为包含关系，即得，注意不要忽略集合为空集的情况.16．已知函数，.（1）求的值；（2）设，求函数在上的值域.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）可求出，从而可得出的值；（2），时，可得出的值域，进而可得出在，上的值域．【详解】解：（1）因为，所以，；（2），，时，，，在上的值域为．17．如图所示，设矩形（）的周长为20厘米，把沿向折叠，折过去后交于点，设厘米，厘米.（1）证明：；（2）建立变量与之间的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）求的最大面积以及此时的的值.【答案】（1）证明过程见解析；（2），定义域为：；（3）的最大面积为，此时.【分析】（1）根据矩形的性质，结合折叠图形的不变性、三角形全等的判定定理和性质定理进行证明即可；（2）直接运用周长公式进行求解即可；（3）根据（1）（2），结合三角形面积公式和基本不等式进行求解即可.【详解】（1）因为是矩形，所以有，，因为是沿向折叠所得，所以有，，因此有，，在和中，所以，因此；（2）因为，，矩形的周长为20厘米，所以，因为，所以，解得，所以，定义域为：；（3）由（1）可知：，所以设，而是矩形，所以，因此，在直角三角形中，有，所以，化简得：，当且仅当时取等号，即时，的最大面积为.18．已知函数是定义域为上的奇函数.（1）求的值；（2）用定义法证明函数的单调性，并求不等式的解集；（3）若在上的最小值为，求的值.【答案】（1）；（2）证明见解析，；（3）．【分析】（1）因为是定义域为上的奇函数，根据奇函数性质，结合已知，即可求得答案；（2）先根据定义法判断的单调性，结合奇函数性质，即可求解不等式的解集；（3）因为，令，可得，分别讨论和，即可求得的值.【详解】（1）是定义域为上的奇函数，根据奇函数性质可得当时，可得即：解得：（2）由（1）可得：可知的定义为在上任取，且，即在上单调递增，可化简为：，即，解得或．不等式的解集为．（3）．令，则．，．当时，则当时，，解得；当时，则当时，，解得，(舍去)．综上所述，．【点睛】关键点点睛：本题主要考查了根据奇偶性和单调性解不等式和根据函数最值求参数，解题关键是掌握定义法判断函数单调性的步骤和根据函数最值求参数的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.19．设函数，其中.（1）当时，解不等式；（2）若关于的不等式恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据题意得到，分，，三种情况讨论，即可得出结果；（2）先由关于的不等式恒成立，得到恒成立，代入特殊值可知f（2）≥1，从而有a≤1或a≥3；令F（x）＝f（x）﹣x+1，分类讨论a≤1或a≥3时F（x）的最小值，使得F（x）min≥0，可求出a的取值范围.【详解】（1）当时，即为，当时，，解得；当时，，可得解集为空集；当时，，解得解集为空集，综上，原不等式的解集为；（2）关于的不等式恒成立，即为恒成立，因为f（2）≥1成立，即|2﹣a|≥1，解得a≤1或a≥3，设函数F（x）＝f（x）﹣x+1，则F（x）≥0恒成立，若a≥3，则F（x）＝，由此F（x）min＝﹣1与F（x）≥0恒成立矛盾，若a≤1，则F（x）＝，由此F（x）min＝1﹣a≥0恒成立，符合F（x）≥0恒成立的要求，综上，a的取值范围为（﹣∞，1]．【点睛】方法点睛：（1）含绝对值的不等式的解法，通常需