3.4函数的应用(一)课件高一上学期数学人教A版

第三章函数的概念与性质3.4函数的应用(一)人教A版

数学必修第一册1.理解函数是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.2.在实际情境中,会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律.3.会应用一次函数、二次函数和幂函数模型解决一些简单的实际问题.课程标准基础落实·必备知识一遍过知识点1

常见的函数模型1.一次函数模型形如y=kx+b(k≠0)的函数模型是一次函数模型,应用一次函数的性质及图象解题时,应注意:(1)一次函数有单调递增(一次项系数为正)和单调递减(一次项系数为负)两种情况;(2)一次函数的图象是一条直线.2.二次函数模型形如y=ax2+bx+c(a≠0)的函数模型是二次函数模型.二次函数模型是重要的数学模型之一,依据实际问题建立二次函数的解析式后,利用配方法求最值简单易懂,有时也可以依据二次函数的性质求最值,从而解决利润最大、用料最省等问题.3.分段函数模型这个模型实质是一次函数、正比例函数(形如y=kx,k≠0)、反比例函数

、二次函数模型中两种及以上的综合.4.幂函数模型y=axα+b(a,b,α为常数,a≠0,α≠1).思考辨析函数模型在实际应用中,函数的自变量有什么特点?提示

在实际应用中,函数的自变量x往往具有实际意义,如x表示件数时,x≥0,且x∈Z等.在解答时,必须要考虑这些实际意义.自主诊断[苏教版教材例题]某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为200万元,生产每台计算机的可变成本为3000元,每台计算机的售价为5000元.分别写出总成本C(单位:万元)、单位成本P(单位:万元)、销售收入R(单位:万元)以及利润L(单位:万元)关于总产量x(单位:台)的函数关系式.解

总成本与总产量的关系为C=200+0.3x,x∈N*.销售收入与总产量的关系为R=0.5x,x∈N*.利润与总产量的关系为L=R-C=0.2x-200,x∈N*.知识点2

实际问题的函数建模实际问题的函数建模是将实际问题转化为数学问题的关键,结合对函数性质的研究,通过解决数学问题达到解决实际问题的目的.一般步骤为:(1)设恰当的变量:研究实际问题中量与量之间的关系,确定变量之间的关系,并用x,y分别表示问题中的变量.(2)建立函数模型:将变量y表示为x的函数,在中学数学阶段,我们建立的函数模型一般都是函数的解析式,注意函数的定义域.(3)求解函数模型:根据已知条件求解函数模型.(4)给出实际问题的解:将数学模型的解还原为实际问题的解,得出实际问题的解.思考辨析在实际问题中,哪种情境下我们一般建立函数模型?提示

当问题情境中存在两个变量,这两个变量存在对应关系,表现在一个变量随着另一个的变化而变化,此时我们选择建立函数模型.自主诊断1.某商场以每件30元的价格购进一种商品,试销售中发现,这种商品每天的销量m(单位:件)与每件的售价x(单位:元)满足一次函数m=162-3x.若要每天获得最大的销售利润,每件商品的售价应定为(

)A.30元

B.42元

C.54元

D.越高越好B解析

设每天的销售利润为y元,则y=(x-30)(162-3x),30≤x≤54,整理得y=-3(x-42)2+432,当x=42时,y取得最大值.故每件商品的售价定为42元时,每天才能获得最大的销售利润.2.[2024福建高三模拟]某公司市场营销部员工的个人月收入y(单位:元)与月销售量x(单位:百件)成一次函数关系,其对应关系如图所示.由图示信息可知,月销售量为3百件时员工的月收入是(

)A.2100元 B.2400元C.2700元 D.3000元C解析

设一次函数关系式为y=kx+b(k≠0),解得k=300,b=1

800,故公司市场营销部员工的个人月收入与月销售量之间的函数关系为y=300x+1

800,令x=3,可得y=300×3+1

800=2

700元,故选C.3.某工厂生产某种产品的固定成本为2000万元,并且每生产一单位产品,成本增加10万元.又知总收入K是单位产品数Q的函数,K(Q)=40Q-Q2,则总利润L(Q)的最大值是

万元.

2500重难探究·能力素养速提升探究点一一次函数、二次函数模型的应用【例1】

在一次会展期间某企业向展销商销售一种商品,根据市场调查,每件商品售价x(单位:元)与销量t(单位:万件)之间的函数关系如图所示,又知供货价格与销量成反比,比例系数为50.(注:每件产品利润=售价-供货价格)(1)求售价为20元时的销量及此时的供货价格;(2)当售价为多少时总利润最大,并求出最大利润.解

(1)由题图知每件商品的售价与销量之间的函数关系为一次函数,设t=kx+b,供货价格为y元.当售价为20元时,销量为t=-20+30=10(万件).又供货价格与销量成反比,比例系数为50,规律方法1.一次函数模型的重要特征是均匀变化,且满足条件的点在一条直线上,求解时可设一次函数模型为y=kx+b,利用待定系数法建立方程(组)求k,b.2.二次函数模型的解析式为g(x)=ax2+bx+c(a≠0).在函数建模中,它占有重要的地位.在根据实际问题建立函数解析式后,可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法结合函数的定义域求最值.变式训练1甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租,下面是两公司经理的一段对话:甲公司经理:如果我公司每辆汽车月租费3000元,那么50辆汽车可以全部租出.如果每辆汽车的月租费每增加50元,那么将少租出1辆汽车.另外,公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元.乙公司经理:我公司每辆汽车月租费3500元,无论是否租出汽车,公司均需一次性支付月维护费共计1850元.说明:①汽车数量为整数;②月利润=月租车费-月维护费;③两公司月利润差=月利润较高公司的利润-月利润较低公司的利润.在两公司租出的汽车数量相等的条件下,根据上述信息,当每个公司租出的汽车为10辆时,甲公司的月利润是

元;当每个公司租出的汽车为

辆时,两公司的月利润相等.

4800037解析

由题意可得[(50-10)×50+3

000]×10-200×10=48

000元,所以当每个公司租出的汽车为10辆时,甲公司的月利润是48

000元.设每个公司租出的汽车为x辆,设两公司的月利润分别为y甲,y乙,月利润差为y元,则y甲=[(50-x)×50+3

000]x-200x,y乙=3

500x-1

850,由题意可得y甲=y乙,∴-50x2+5

300x=3

500x-1

850,解得x=37或x=-1(舍),∴当每个公司租出的汽车为37辆时,两公司的月利润相等.探究点二分段函数模型的应用【例2】

某种商品在30天内每件的销售价格P(单位:元)与时间t(t∈N*)(单位:天)的函数关系用如图的两条线段表示,该商品在30天内日销售量Q(单位:件)与时间t(t∈N*)(单位:天)之间的关系如下表:t/天5102030Q/件35302010(1)根据提供的图象(如图),写出该商品每件的销售价格P与时间t的函数关系式;(2)根据上表提供的数据,且已知Q与t之间为一次函数关系,写出日销售量Q与时间t的函数关系式;(3)求该商品日销售金额y(单位:元)的最大值,并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天(日销售金额=每件的销售价格×日销售量).(2)日销售量Q与时间t的函数关系式为Q=-t+40(0<t≤30,t∈N*).当0<t<25,t=10时,y取最大值900;当25≤t≤30,t=25时,y取最大值,此时y=(25-70)2-900=1

125.∴第25天时,该商品日销售金额的最大值为1

125元.规律方法1.分段函数主要是每一段的变化规律不全相同,可以先将其当作几个问题,将各段的变化规律分别找出来,再将其合到一起,要注意各段自变量的取值范围,特别是端点值.2.分段函数的最大值是各段最大值中最大的,分段函数的最小值是各段最小值中最小的.变式训练2某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召,因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现:某珍惜水果树的单株产量W(单位:千克)与施用肥料x(单位:千克)满足如下关系:W(x)=肥料成本投入为10x元,其他成本投入(如培育管理、施肥等人工费)为20x元.已知这种水果的市场售价大约为15元/千克,且销售畅通供不应求,记该水果树的单株利润为f(x)(单位:元).(1)写单株利润f(x)关于施用肥料x的关系式;(2)当施用肥料为多少千克时,该水果单株利润最大?最大利润是多少?解

(1)依题意f(x)=15W(x)-10x-20x,∵465<480,∴当x=4时,f(x)max=480.∴当施用肥料为4千克时,种植该果树单株获得的最大利润是480元.探究点三幂函数模型的应用【例3】

为了给消费者带来放心的蔬菜,某农村合作社每年投入资金200万元,搭建甲、乙两个无公害蔬菜大棚,每个大棚至少要投入资金20万元,其中甲大棚种西红柿,乙大棚种黄瓜.根据以往的种菜经验,发现种西红柿的年收入P(单位:万元)、种黄瓜的年收入Q(单位:万元)与各自的资金投入a1,a2(单位:万元)满足P=80+4,Q=a2+120.设甲大棚的资金投入为x(单位:万元),每年两个大棚的总收入为f(x)(单位:万元).(1)求f(50)的值;(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的资金投入,才能使总收入f(x)最大.解

(1)当甲大棚的资金投入为50万元时,乙大棚资金投入为150万元,变式训练3某民营企业生产A,B两种产品,根据市场调查和预测,A产品的利润与投资的函数模型为y=k1x,B产品的利润与投资的函数模型为y=k2xα(利润和投资的单位为百万元),其关系分别如图①,图②所示.(1)分别求出A,B两种产品的利润与投资的函数关系式.(2)该企业已筹集到资金1千万元,并准备全部投入到A,B两种产品的生产中,问怎样分配这1千万元,才能使企业获得最大利润,其最大利润为多少?(精确到万元)(2)设投资B产品x百万元,则投资A产品(10-x)百万元,故当投资A产品844万元,投资B产品156万元时,总利润最大,最大值约为578万元.学以致用·随堂检测促达标1.一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示,那么图象所对应的函数模型是(

)A.一次函数模型 B.二次函数模型C.分段函数模型 D.无法确定C解析

由s与t的图象,可知t分4段,则函数模型为分段函数模型.

2.网上购鞋常常看到下面这样一张表,第一行可以理解为脚的长度,第二行是我们习惯称呼的“鞋号”.习惯称为“30号”的童鞋,对应的脚实际尺寸为(

)A.150mm B.200mm C.180mm D.210mm中国鞋码实际标准(mm)220225230235240245250255260265中国鞋码习惯叫法(号)34353637383940414243B解析

设脚的长度为y

mm,对应的鞋码为x码,则由表可得y与x的关系式为y=5x+50,当x=30时,y=5×30+50=200.故选B.

3.生产一定数量商品的全部费用称为生产成本,某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为

x2+2x+20万元,商品的售价是每件20元,为获取最大利润(利润=收入-成本),该企业一个月应生产该商品数量为(

)A.9万件 B.18万件

C.22万件 D.36万件B解析

由题意可得,获得最大利润时的收入是20x万元,

当且仅当x=18时,取最大值,即为获取最大利润,该企业一个月应生产18万件商品.4.在固定电压差(电压为常数)的前提下,当电流通过圆柱形的电线时,其电流强度I(单位:安)与电线半径r(单位:毫米)的三次方成正比.若已知电流通过半径为4毫米的电线时,电流强度为320安,则电流通过半径为3毫米的电线时,电流强度为(

)A.60安

B.240安

C