第4章两个原理的应用培优课课件高二上学期数学选择性

培优课两个原理的应用第4章计数原理湘教版

数学

选择性必修第一册重难探究·能力素养速提升目录索引

学以致用·随堂检测促达标重难探究·能力素养速提升探究点一组数问题【例1】用0,1,2,3,4五个数字,(1)可以组成多少个三个数字的电话号码?(2)可以组成多少个三位数?(3)可以组成多少个能被2整除的无重复数字的三位数?分析

根据所组数字的特征,利用两个原理求解.解

(1)三个数字的电话号码,数字可以是0,数字也可以重复,每个位置上的数字都有5种取法,根据分步乘法计数原理,可以组成5×5×5=125个三个数字的电话号码.(2)三位数的百位上的数字不能为0,但可以有重复数字,首先考虑百位上的数字的取法,除0外共有4种取法,个位、十位上的数字可以取0,根据分步乘法计数原理,可以组成4×5×5=100个三位数.(3)被2整除的数即偶数,个位数字可取0,2,4,因此,可以分两类,一类是个位数字是0,可以组成4×3=12个无重复数字的三位数;一类是个位数字不是0,则个位上的数字有2种取法,即2或4,再考虑百位上的数字,因为0不能是百位上的数字,所以有3种取法,十位有3种取法,因此有2×3×3=18个无重复数字的三位数.因而有12+18=30(个)三位数,即可以组成30个能被2整除的无重复数字的三位数.变式探究用本例中的五个数字可组成多少个无重复数字的四位奇数?解

完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事,可以分四步:第1步,定个位,只能从1,3中任取一个,有2种方法;第2步,定千位,把1,2,3,4中除去用过的一个数,在剩下的3个数中任取一个,有3种方法;第3步,把剩下的包括0在内的3个数字先排百位,有3种方法;第4步,排十位,有2种方法.由分步乘法计数原理知,共能组成2×3×3×2=36个无重复数字的四位奇数.规律方法

利用两个原理求解数字组数问题的方法(1)明确特殊位置或特殊数字,是我们采用“分类”还是“分步”的关键.一般按特殊位置(或特殊元素)分类,分类中再按特殊位置(或特殊元素)优先的策略分步完成;如果正面分类较多,可采用间接法求解.(2)要注意数字“0”不能排在两位数或两位以上的数字的最高位.探究点二涂色问题【例2】如图,将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色,并使同一条棱的两端异色,如果只有5种颜色可供使用,求不同的染色方法种数.分析由于5种颜色可用,因此可以按照颜色种类分类,也可以按照四棱锥的5个字母的顺序分布颜色.解

(方法1

先分步再分类)

按S,A,B,C,D的顺序分步染色:第一步,S点染色,有5种方法;第二步,A点染色,与S在同一条棱上,有4种方法;第三步,B点染色,与S,A分别在同一条棱上,有3种方法;第四步,C点染色,但考虑到D点与S,A,C分别在同一条棱上,需要针对A与C是否同色进行分类,当A与C同色时,D点有3种染色方法;当A与C不同色时,因为C与S,B也不同色,所以C点有2种染色方法,D点也有2种染色方法.由分步乘法计数原理、分类加法计数原理,得不同的染色方法种数为5×4×3×(3×1+2×2)=420.(方法2

先分类再分步)

按所用颜色种类分类:第一类,5种颜色全用,共有5×4×3×2×1=120种不同的方法;第二类,只有4种颜色,则必有某两个顶点同色(A与C或B与D),共有2×5×4×3×2=240种不同的方法;第三类,只有3种颜色,则A与C,B与D必定同色,共有5×4×3=60种不同的方法.由分类加法计数原理,得不同的染色方法种数为120+240+60=420.规律方法

求解涂色问题、种植问题一般常用方法涂色问题一般是综合利用两个计数原理求解,有几种常用方法:(1)按区域的不同,以区域为主分步计数,用分步乘法计数原理分析.(2)以颜色为主分类讨论,适用于“区域、点、线段”等问题,用分类加法计数原理分析.(3)将空间问题平面化,转化为平面区域的涂色问题.种植问题按种植的顺序分步进行,用分步乘法计数原理计数或按种植品种恰当选取情况分类,用分类加法计数原理计数.变式训练有4种不同的作物可供选择种植在如图所示的4块试验田中,每块种植一种作物,相邻的试验田(有公共边)不能种植同一种作物,共有多少种不同的种植方法?ABCD解

(方法1)第一步,种植A试验田有4种方法;第二步,种植B试验田有3种方法;第三步,若C试验田种植的作物与B试验田相同,则D试验田有3种方法,此时有1×3=3种种植方法.若C试验田种植的作物与B试验田不同,则C试验田有2种种植方法,D试验田也有2种种植方法,共有2×2=4种种植方法.由分类加法计数原理知,有3+4=7种种植方法.第四步,由分步乘法计数原理得,共有4×3×7=84种不同的种植方法.(方法2)若A试验田,D试验田种植同种作物,则A试验田,D试验田有4种不同的种法,B试验田有3种种植方法,C试验田也有3种种植方法,由分步乘法计数原理得,共有4×3×3=36种种植方法;若A试验田,D试验田种植不同作物,则A试验田有4种种植方法,D试验田有3种种植方法,B试验田有2种种植方法,C试验田有2种种植方法,由分步乘法计数原理得,共有4×3×2×2=48种种植方法.综上所述,由分类加法计数原理得,共有36+48=84种种植方法.学以致用·随堂检测促达标123456789101112131415A级必备知识基础练1.某班要从a,b,c,d,e共5个人中选1名班长,1名副班长,但a不能当副班长,不同选法的种数是(

)A.20 B.16

C.10 D.6B解析

分两类进行:第一类,当a当班长时,共有1×4=4种选法;第二类,当a不当班长时,又因为a也不能当副班长,则共有4×3=12种选法.根据分类加法计数原理,共有4+12=16种选法.故选B.1234567891011121314152.现有4种不同的颜色为一行字“严勤活实”涂颜色,要求相邻的两个字涂色不同,则不同的涂色种数为(

)A.27 B.54

C.81 D.108D解析

第一步,给“严”字涂色的方法有4种;第二步,给“勤”字涂色的方法有3种;第三步,给“活”字涂色的方法有3种;第四步,给“实”字涂色的方法有3种.由分步乘法计数原理可知,共有4×3×3×3=108种.故选D.1234567891011121314153.若一个三位数的自然数的各位数字中,有且仅有两个数字一样,我们就把这样的三位数定义为“单重数”,例如232,114等,则不超过200的“单重数”有(

)A.22个

B.24个

C.26个

D.28个D解析

依题意,当两个数字一样同为0时,有100,200,有2个;两个数字一样同为1时,有110,101,112,121,113,131,一直到191,119,共18个;两个数字一样同为2时,有122,有1个;同理,两个数字一样同为3,4,5,6,7,8,9时,各1个.综上,不超过200的“单重数”共有2+18+8=28个.1234567891011121314154.由0,1,2,3,5组成的无重复数字的五位偶数共有(

)A.36个

B.42个

C.48个

D.120个B解析

依题意,无重复数字的五位偶数分两类:第一类,若五位数的个位数是0,则可以组成4×3×2×1=24个无重复数字的五位偶数;第二类,若五位数的个位数是2,由于0不排首位,因此只有1,3,5,有3种选择,中间的三个位置有3×2×1=6种排法,可以组成3×6=18个无重复数字的五位偶数.由分类加法计数原理,可得所有无重复五位偶数的个数为24+18=42.故选B.1234567891011121314155.(多选题)某学校高一年级数学课外活动小组中有男生7人,女生3人,则下列说法正确的是(

)A.从中选2人,1人做正组长,1人做副组长,共有100种不同的选法B.从中选2人参加数学竞赛,其中男、女生各1人,共有21种不同的选法C.从中选1人参加数学竞赛,共有10种不同的选法D.若报名参加学校的足球队、羽毛球队,每人限报其中的1个队,共有100种不同的报名方法BC123456789101112131415解析

对于A,选1人做正组长,1人做副组长需要分两步:第一步,先选正组长有10种选法;第二步,再选副组长有9种选法.根据分步乘法计数原理,共有10×9=90种不同的选法,故A错误;对于B,从中选2人参加数学竞赛,其中男、女生各1人,则共有7×3=21种不同的选法,故B正确;对于C,选1人参加数学竞赛,既可以选男生,也可以选女生,则共有7+3=10种不同的选法,故C正确;对于D,每人报名都有2种选择,共有10人,则共有210=1

024种不同的报名方法,故D错误.故选BC.1234567891011121314156.如图所示的几何体是由一个三棱锥P-ABC

与三棱柱ABC-A1B1C1组合而成的,现用3种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面A1B1C1不涂色),要求相邻的面均不同色,则不同的涂色方案共有

种.

12解析

先涂三棱锥P-ABC的三个侧面,再涂三棱柱的三个侧面,由分步乘法计数原理,共有3×2×1×2=12种不同的涂法.1234567891011121314157.将红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示“田”字形的4个小方格内,每格涂一种颜色,相邻两格涂不同的颜色.如果颜色可以反复使用,共有多少种不同的涂色方法?123456789101112131415解

分两类进行:第一类,第1个小方格可以从5种颜色中任取一种颜色涂上,有5种不同的涂法;当第2个、第3个小方格涂不同颜色时,有4×3=12种不同的涂法;第4个小方格有3种不同的涂法.由分步乘法计数原理,可知有5×12×3=180种不同的涂法;第二类,第1个小方格可以从5种颜色中任取一种颜色涂上,有5种不同的涂法;当第2个、第3个小方格涂相同颜色时,有4种涂法;由于相邻两格不同色,第4个小方格也有4种不同的涂法.由分步乘法计数原理可知有5×4×4=80种不同的涂法.由分类加法计数原理可得共有180+80=260种不同的涂法.1234567891011121314158.在由0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中,能被5整除的有(

)A.512个 B.192个 C.240个

D.108个B级关键能力提升练D解析

能被5整除的四位数,可分为两类:第一类,个位为0,共有5×4×3=60个没有重复数字,能被5整除的四位数;第二类,个位为5,共有4×4×3=48个没有重复数字,能被5整除的四位数.由分类加法计数原理,共有60+48=108个没有重复数字,能被5整除的四位数.1234567891011121314159.用5种不同颜色给图中A,B,C,D四个区域涂色,规定每个区域只涂一种颜色,相邻区域颜色不同,则不同的涂色方法种数为(

)A.120 B.160

C.180

D.240C12345678910111213141510.如图,给7条线段的5个端点涂色,要求同一条线段的两个端点不能同色,现有4种不同的颜色可供选择,则不同的涂色方法种数为(

)A.24 B.48

C.96

D.120C12345678910111213141511.一个三位数,其十位上的数字既小于百位上的数字也小于个位上的数字(735,414等),那么这样的三位数共有(

)A.240个 B.249个 C.285个

D.330个C12345678910111213141512.甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动,要求每人参加一天且每天至多安排一人,并要求甲安排在另外两位前面,则不同的安排方法共有

种.

20解析

分三类:第一类,若甲在周一,则乙、丙有4×3=12种排法;第二类,若甲在周二,则乙、丙有3×2=6种排法;第三类,若甲在周三,则乙、丙有2×1=2种排法.根据分类加法计数原理,不同的安排方法共有12+6+2=20种.12345678910111213141513.有一项活动,需在3名教师、8名男学生和5名女学生中选人参加.(1)若只需1名参加,共有多少种选法?(2)若需教师、男学生、女学生各1名参加,共有多少种选法?解

(1)只要选出1名就可以完成这件事,而选出的1名有3种不同类型,即教师、男学生或女学生,因此要分3类相加:第1类,选出的是教师,有3种选法;第2类,选出的是男学生,有8种选法;第3类,选出的是女学生,有5种选法.根据分类加法计数原理,共有N=3+8+5=16种选法.(2)完成这件事,需要分别选出1名教师、1名男学生和1名女学生,可以先选教师,再选男学生,最后选女学生,因此要分3步相乘:第1步,选1名教师,有3种选法;第2步,选1名男学生,有8种选法;第3步,选1名女学生,有5种选法.根据分步乘法计数原理,共有N=3×8×5=120种选法.12345678910111213141514.如图所示的A,B,C,D按照下列要求涂色.(1)用3种不同颜色填涂图中A,B,C,D四个区域,且使相邻区域不同色,若按从左到右依次涂色,有多少种不同的涂色方案?(2)若有3种不同颜色,恰好用2种不同颜色涂完四个区域,且相邻区域不同色,共有多少种不同的涂色方案?解

(1)先涂A区域,有3种涂法,B,C,D区域各有2种不同的涂法,由分步乘法计数原理知,共有3×2×2×2=