第三讲集合间的基本关系讲义高一上学期暑假高中数学预科

第三讲集合间的基本关系知识点梳理：1．Venn图在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．2．子集、真子集、集合相等（1）子集一般地，对于两个集中任意一个元素都是集合B中的元素，就的子集（subset）．记作A⊆B（或），读作“A包含于B”（或“B包含A”）用Venn图表示如下：（2）集合相等集，且集合B也用Venn图表示如下：如果集合A⊆B，但存在元素，且合A是集合B的真子集（propersubset）．记作A⫋B（或），读作“A真包含于B”（或“B真包含A”）用Venn图表示如下：3．空集一般地，我们把不含有任何元素的集合称为空集（emptyset），记作．规定空集是任何集合的子集．4．集合关系的性质（1）任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A．（2）对于集合A，B，C，①若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C；②若A⫋B，B⫋C，则A⫋C．（3）若A⊆B，A≠B，则A⫋B．（4）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集5．区间的概念（1）设a，b是两个实数，而且a<b．我们规定：①满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a，b]；②满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为（a，b）；③满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a，b），（a，b]．这里的实数a与b都叫做相应区间的端点．实数集R可以用区间表示为（﹣∞，＋∞），“∞”读作“无穷大”，“﹣∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．

重难点解析：1．Venn图（1）表示集合的Venn图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线．（2）用Venn图表示集合的优点是能直观地表示集合间的关系，缺点是集合元素的公共特征不明显．2．集合间的基本关系（1）任何两个集合之间是否一定有包含关系呢？答案是：不一定．如集合A＝{0，1，2}，B＝{－1，0，1}，这两个集合就不存在包含关系．（2）的子集分两种情况：一是的真子集，二是3．子集的个数问题（1）分类讨论是写出所有子集的有效方法，一般按集合中元素个数的多少来划分，遵循由少到多的原则，做到不重不漏．（2）若集合A中有n个元素，则集合A有个子集，有个真子集，有个非空子集，有个非空真子集，该结论可在选择题或填空题中直接使用．

例题讲解：题型1集合间基本关系的判断【例1】已知集合太平洋，大西洋，集合，则集合与集合的关系为A． B． C． D．【例2】集合，与，之间的关系是A．B．C．D．A不是B的子集【例3】已知集合，集合满足，则可以为A．， B．， C． D．题型2求集合的子集【例4】已知集合，，，，写出集合的含元素的所有真子集．【例5】已知集合，，，且．（1）求；（2）写出集合的所有子集．【例6】已知（1）用列举法表示集合；（2）写出集合的所有子集．题型3子集、真子集的个数【例7】已知集合，2，，，1，2，3，4，，若，则满足集合的个数为A．4 B．6 C．7 D．8【例8】已知集合，0，，，，，则集合的真子集个数是A．3 B．4 C．7 D．8题型4集合的相等【例9】知集合，1，，，0，，若，则等于A．或3 B．0或 C．3 D．【例10】已知集合，，，，，，其中，，求的值．【例11】若，，集合，，，，，求．题型5空集【例12】下列集合是空集的是A． B． C． D．，，【例13】若集合，则实数的取值范围是．【例14】已知集合，．（1）若是空集，求的取值范围；（2）若中至多只有一个元素，求的取值范围．题型6集合关系中的参数取值问题【例15】设集合A＝{x|1＜x≤2}，B＝{x|x＜a}，若A⊆B，则a的取值范围是（）A．{a|a≥1} B．{a|a≤1} C．{a|a≥2} D．{a|a＞2}【例17】集合，中只含有1个元素，则实数的取值是．【例18】已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣10≤0}（1）若B⊆A，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，求实数m的取值范围；（2）若A＝B，B＝{x|m﹣6≤x≤2m﹣1}，求实数m的取值范围；（3）若A⊆B，B＝{x|m﹣6≤x≤2m﹣1}，求实数m的取值范围．解题梳理：1．符号“∈”与“⊆”的区别符号“∈”表示元素与集合间的关系，而“⊆”表示集合与集合之间的关系．2．空集（1）{0}与{0}表示一个集合，且集合中有且仅有一个元素0；而表示空集，其不含有任何元素，故{0}≠．⊆{0}．（2）空集是任何集合的子集．（3）空集是任何非空集合的真子集．3．判断集合关系的方法（1）观察法：一一列举观察．（2）元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系．（3）数形结合法：利用数轴或Venn图．4．子集、真子集个数的有关结论假设集合A中含有n个元素，则有（1）A的子集的个数有2n个．（2）A的非空子集的个数有2n－1个．（3）A的真子集的个数有2n－1个．（4）A的非空真子集的个数有2n－2个．5．两集合相等的常见考法及解法（1）若两个集合相等，则所含元素完全相同，与顺序无关，但要注意检验，排除与集合元素互异性或与已知相矛盾的情形．（2）若两个集合中元素均有无限多个，则要看两集合的代表元素是否一致，再看代表元素满足的条件是否一致．若均一致，则两集合相等．（3）证明集合A与B相等的常用思路是“证A⊆B且B⊆A”．6．利用集合的关系求参数（1）利用集合的关系求参数的范围问题，常涉及两个集合，其中一个为动集合（含参数），另一个为静集合（具体的），解答时常借助数轴来建立变量间的关系，需特别注意端点问题．（2）空集是任何集合的子集，因此在解A⊆B（B≠）的含参数的问题时，要注意讨论A＝和A≠两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面．涉及“B⊆A”或“⫋且A≠”的问题，一定要分B＝和B≠两种情况进行讨论，其中B＝的情况易被忽略，应引起足够的重视．变式练习：1．集合{x∈N|﹣1≤x≤1}的真子集的个数为（）A．3 B．4 C．7 D．82．已知集合A＝{1，3，a2}，B＝{1，a+2}，若B⊆A，则a＝（）A．1 B．﹣1或2 C．2 D．﹣13．下列Venn图能正确表示集合M＝{0，1，2}和N＝{x|x2﹣2x＝0}关系的是（）A． B． C． D．4．设m为实数，M＝{2，m}，N＝{2m，2}，若M＝N，则m的值为（）A．0 B．1 C．2 D．45．已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|a≤x＜3}．若A⊆B，则a的最大值为（）A．2 B．0 C．﹣1 D．﹣26．若集合A＝{1，2，3}，B＝{（x，y）|x+y﹣4＞0，x，y∈A}，则集合B的真子集个数为（）A．5 B．6 C．7 D．87．已知集合A＝{x|x2+3x+2＞0}，集合B＝{x|0≤x≤2024}，则（）A．A∩B＝∅ B．A∪B＝R C．A⊆B D．B⊆A8．已知集合A＝{x|x2﹣ax＝0}，B＝{2a，0，1}，若A⊆B，则a的值可以为（）A．1 B．0 C．0或1 D．1或29．若非空集合A，B，C，D满足：A∩C＝C，B∩C＝D，则（）A．A⊆C B．D⊆A C．A∩B＝∅ D．A∩D＝∅10．已知集合，则（）A．M⊆N B．N⊆M C．M＝N D．M∩N＝∅11．已知a是实数，若集合{x|x2+x+a＝0}是任何集合的子集，则a的取值范围值是．12．已知集合M＝{2，0，﹣1}，N＝{x||x﹣a|＜1}．若M∩N的真子集个数是3，则实数a的取值范围是．13．集合A是{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}的子集，且A中的元素有完全平方数，则满足条件的集合A共有个．14．已知集合A＝{x|3＜x≤25，x∈Z}，那么A的真子集有个．15．已知集合A＝{x|﹣3≤x≤2}，B＝{x|x≥a}且A⊆B，则实数a的取值范围是．16．已知集合A＝{m+2，1，4}，B＝{m2，1}，若B⊆A，则实数m＝．17．已知集合A＝{x∈R|ax2+2x+3＝0}．（Ⅰ）当a＝0时，求集合A；（Ⅱ）若集合A只有2个子集，求实数a的值．18．已知集合A＝{x|﹣3≤x≤5}，B＝{x|m+1≤x≤3m﹣1}．（1）当m＝2时，求集合A∩B；（2）若B⊆A，求实数m的取值范围．19．已知集合A＝{1}，集合B＝{x|x2﹣3x+a＝0，x∈R}．（1）若B＝∅，求实数a的取值范围；（2）若A⊆B，求实数a的值．20．已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣10≤0}（1）若B⊆A，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，求实数m的取值范围；（2）若A＝B，B＝{x|m﹣6≤x≤2m﹣1}，求实数m的取值范围；（3）若A⊆B，B＝{x|m﹣6≤x≤2m﹣1}，求实数m的取值范围．

答案与解析【例1】已知集合太平洋，大西洋，集合，则集合与集合的关系为A． B． C． D．【答案】【分析】根据集合，求出集合可得结果．【解答】解：因为集合，，太平洋，大西洋，太平洋，大西洋，所以．故选：．【例2】集合，与，之间的关系是A．B．C．D．A不是B的子集【答案】【分析】分和两种情况讨论，可得集合，的关系．【解答】解：当时，集合，；当时，集合，；又，，所以．故选：．【例3】已知集合，集合满足，则可以为A．， B．， C． D．【答案】【分析】先解出或，根据，可得结果．【解答】解：由集合或，，则满足．故选：．【例4】已知集合，，，，写出集合的含元素的所有真子集．【答案】，，，，，，，，，，，，，，，．【分析】根据真子集的定义写出含的所有真子集即可．【解答】解：，，，的含元素的所有真子集为：，，，，，，，，，，，，，，，．【例5】已知集合，，，且．（1）求；（2）写出集合的所有子集．【分析】（1）由，则或．由此能求出．（2）由，，，能写出的子集．【解答】解：（1），则或．或．当时，，集合不满足互异性，（舍去），当时，经检验，符合题意，故；（2）由（1）知，，的子集为：，，，，，，，，，，，，．【例6】已知（1）用列举法表示集合；（2）写出集合的所有子集．【分析】（1）解方程，即可用列举法表示集合；（2）子集是指属于集合的部分或所有元素组成的集合，包括空集，列举出来即可．【解答】解：（1），；（2）的所有子集为：，，，，．【例7】已知集合，2，，，1，2，3，4，，若，则满足集合的个数为A．4 B．6 C．7 D．8【答案】【分析】根据已知条件，结合集合的包含关系，直接列举，即可求解．【解答】解：集合，2，，，1，2，3，4，，，则，2，，，2，3，，，2，3，，，2，3，，，2，3，0，，，2，3，0，，，2，3，4，，，1，2，3，4，，共8个．故选：．【例8】已知集合，0，，，，，则集合的真子集个数是A．3 B．4 C．7 D．8【答案】【分析】根据题意得到集合，然后根据集合中元素的个数求集合的真子集个数即可．【解答】解；由题意得，0，，所以集合的真子集个数为．故选：．【例9】知集合，1，，，0，，若，则等于A．或3 B．0或 C．3 D．【答案】【分析】根据即可得出，解出，并检验是否满足集合元素的互异性即可．【解答】解：，解得，或3，不满足集合元素的互异性，应舍去，．故选：．【例10】已知集合，，，，，，其中，，求的值．【答案】1或．【分析】利用集合相等的定义可得或，然后分别解方程即可求解．【解答】解：因为集合，，，，，，其中，，则或，解得或．【例11】若，，集合，，，，，求．【分析】先由分式成立可得，根据集合相等得，又，，，代入即可求值．【解答】解：，，即，0，，，，又，，，则．【例12】下列集合是空集的是A． B． C． D．，，【答案】【分析】由已知结合空集的定义检验各选项即可判断．【解答】解：，符合题意；，符合题意；，不符合题意；，，，不符合题意．故选：．【例13】若集合，则实数的取值范围是．【答案】，．【分析】利用空集的定义，将问题转化为无解，分和两种情况，分别求解即可．【解答】解：因为集合，所以无解，当时，方程无解，符合题意；当时，△，解得．综上所述，的取值范围为，．故答案为：，．【例14】已知集合，．（1）若是空集，求的取值范围；（2）若中至多只有一个元素，求的取值范围．【分析】（1）分和讨论，时不满足题意，时由一元二次方程的判别式小于0求解；（2）时满足题意，时求出方程有两个不等根的的范围，然后由补集思想求得的范围．【解答】解：（1）当时，方程化为，解集非空；当时，要使是空集，则△，解得．使是空集的的取值范围是；（2）当，集合中有一个元素；当时，若中有两个元素，则△，解得．综上，使中至多只有一个元素的的取值范围是．【例15】设集合A＝{x|1＜x≤2}，B＝{x|x＜a}，若A⊆B，则a的取值范围是（）A．{a|a≥1} B．{a|a≤1} C．{a|a≥2} D．{a|a＞2}【分析】考察集合的包含关系，利用数轴求解即可．【解答】解：由题意作图则a＞2即可，故选：D．【例17】集合，中只含有1个元素，则实数的取值是．【分析】集合表示的是方程的解；讨论当二次项系数为0时是一次方程满足题意；再讨论二次项系数非0时，令判别式等于0即可．【解答】解：当时，满足题意当时，要集合仅含一个元素需满足△解得故的值为0；1故答案为：0或1【例18】已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣10≤0}（1）若B⊆A，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，求实数m的取值范围；（2）若A＝B，B＝{x|m﹣6≤x≤2m﹣1}，求实数m的取值范围；（3）若A⊆B，B＝{x|m﹣6≤x≤2m﹣1}，求实数m的取值范围．【分析】（1）分两种情况考虑：当集合B不为空集时，得到m+1小于2m﹣1列出不等式，求出不等式的解集得到m的范围，由B为A的子集，列出关于m的不等式，求出不等式的解集，找出m范围的交集得到m的取值范围；当集合B为空集时，符合题意，得出m+1大于2m﹣1，列出不等式，求出不等式的解集得到m的范围，综上，得到所有满足题意的m范围．（2）A＝B，m﹣6＝﹣2且2m﹣1＝5，m无解；（3）利用A⊆B，B＝{x|m﹣6≤x≤2m﹣1，m为常数}，建立不等式，即可求得结论．【解答】解：（1）集合A＝{x|﹣2≤x≤5}，分两种情况考虑：（i）若B不为空集，可得m+1≤2m﹣1，解得：m≥2，∵B⊆A，A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|m+1＜x＜2m﹣6}，∴m+1≥﹣2，且2m﹣1≤5，解得：﹣3≤m≤3，∴2≤m≤3（ii）若B为空集，符合题意，可得m+1＞2m﹣1，解得：m＜2，综上，实数m的范围为m≤3；（2）A＝B，m﹣6＝﹣2且2m﹣1＝5，∴m无解；（3）∵A⊆B，B＝{x|m﹣6≤x≤2m﹣1，m为常数}，∴m﹣6≤﹣2，且2m﹣1≥5，∴m≤4，且m≥3，∴3≤m≤4．变式练习：1．集合{x∈N|﹣1≤x≤1}的真子集的个数为（）A．3 B．4 C．7 D．8【分析】计算出该集合后，可得元素个数，从而得到真子集个数．【解答】解：{x∈N|﹣1≤x≤1}＝{0，1}，共有两个元素，故其真子集的个数为22﹣1＝3．故选：A．2．已知集合A＝{1，3，a2}，B＝{1，a+2}，若B⊆A，则a＝（）A．1 B．﹣1或2 C．2 D．﹣1【分析】依题意可得a+2＝3或a+2＝a2，求出a，再代入检验即可．【解答】解：因为合A＝{1，3，a2}，B＝{1，a+2}且B⊆A，所以a+2＝3或a+2＝a2，解得a＝1或a＝﹣1或a＝2，当a＝±1时a2＝1，集合A不满足元素的互异性，故a≠±1，当a＝2时A＝{1，3，4}，B＝{1，4}符合题意．故选：C．3．下列Venn图能正确表示集合M＝{0，1，2}和N＝{x|x2﹣2x＝0}关系的是（）A． B． C． D．【分析】由已知先求出集合N，然后结合集合的包含关系进行判断即可．【解答】解：因为N＝{x|x2﹣2x＝0}＝{0，2}，M＝{0，1，2}，故N⊆M．故选：B．4．设m为实数，M＝{2，m}，N＝{2m，2}，若M＝N，则m的值为（）A．0 B．1 C．2 D．4【分析】根据集合相等的定义求解．【解答】解：∵M＝{2，m}，N＝{2m，2}，且M＝N，∴m＝2m，解得m＝0，当m＝0时，M＝{2，0}，N＝{0，2}，符合题意．故选：A．5．已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|a≤x＜3}．若A⊆B，则a的最大值为（）A．2 B．0 C．﹣1 D．﹣2【分析】由已知结合集合的包含关系可求a的范围即可求解．【解答】解：因为集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|a≤x＜3}，若A⊆B，则a≤﹣1．故选：C．6．若集合A＝{1，2，3}，B＝{（x，y）|x+y﹣4＞0，x，y∈A}，则集合B的真子集个数为（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】由已知先求出集合B，然后结合集合子集与集合元素的关系即可求解．【解答】解：因为集合A＝{1，2，3}，B＝{x，y|x+y﹣4＞0，x，y∈A}＝{（2，3），（3，2），（3，3）}．故B的真子集个数为23﹣1＝7个．故选：C．7．已知集合A＝{x|x2+3x+2＞0}，集合B＝{x|0≤x≤2024}，则（）A．A∩B＝∅ B．A∪B＝R C．A⊆B D．B⊆A【分析】根据集合的交集和并集运算，以及集合间的关系判断即可．【解答】解：集合A＝{x|x2+3x+2＞0}＝{x|x＜﹣2或x＞﹣1}，集合B＝{x|0≤x≤2024}，则A∩B＝{x|0≤x≤2024}＝B，A∪B＝{x|x＜﹣2或x＞﹣1}＝A，A，B，C错误，D正确．故选：D．8．已知集合A＝{x|x2﹣ax＝0}，B＝{2a，0，1}，若A⊆B，则a的值可以为（）A．1 B．0 C．0或1 D．1或2【分析】根据互异性可知a≠0且，求出集合A，然后根据包含关系求解即可．【解答】解：对于集合B，由元素的互异性知a≠0且，则A＝{0，a}．由A⊆B得{0，a}⊆{2a，0，1}．若a＝1，则B＝{2，0，1}，满足A⊆B；若a＝2a，则a＝0，矛盾，舍去．故选：A．9．若非空集合A，B，C，D满足：A∩C＝C，B∩C＝D，则（）A．A⊆C B．D⊆A C．A∩B＝∅ D．A∩D＝∅【分析】根据集合间的关系逐一检验选项即可．【解答】解：∵A∩C＝C，∴C⊆A，A错误；∵B∩C＝D，∴D⊆B，D⊆C⊆A，B正确，C，D错误．故选：B．10．已知集合，则（）A．M⊆N B．N⊆M C．M＝N D．M∩N＝∅【分析】通分，根据数字特征即可判断两集合之间关系．【解答】解：，，因为2k+1，k∈Z表示所有的奇数，而k+2，k∈Z表示所有的整数，则M⊆N．故选：A．二．填空题（共6小题）11．已知a是实数，若集合{x|x2+x+a＝0}是任何集合的子集，则a的取值范围值是{a|}．【分析】根据题意分析可知方程x2+x+a＝0无解，结合Δ判别式分析求解．【解答】解：由题意可知：集合{x|x2+x+a＝0}是空集，即方程x2+x+a＝0无解，则Δ＝1﹣4a＜0，解得，所以a的取值范围值是．故答案为：{a|}．12．已知集合M＝{2，0，﹣1}，N＝{x||x﹣a|＜1}．若M∩N的真子集个数是3，则实数a的取值范围是（﹣1，0）．【分析】结合交集、真子集的定义，即可求解．【解答】解：集合M＝{2，0，﹣1}，N＝{x||x﹣a|＜1}＝{x|﹣1+a＜x＜1+a}，若M∩N＝{﹣1，0}，则，解得﹣1＜a＜0，M∩N的真子集个数是3，则该交集元素个数为2个，若M∩N＝{0，2}，则，无解，综上所述，实数a的取值范围为﹣1＜a＜0．故答案为：（﹣1，0）．13．集合A是{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}的子集，且A中的元素有完全平方数，则满足条件的集合A共有896个．【分析】根据题意，用间接法分析：先计算集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}的全部子集数目，排除其中不含完全平方数的子集，即可得答案．【解答】解：根据题意，集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}中共10个元素，有210＝1024个子集，其元素中，2、3、5、6、7、8，10不是完全平方数，则其子集中，不含完全平方数的子集数目为27＝128，故满足条件的集合A共有1024﹣128＝896个．故答案为：896．14．已知集合A＝{x|3＜x≤25，x∈Z}，那么A的真子集有222﹣1个．【分析】先求出集合A的元素个数，再结合真子集的定义，即可求解．【解答】解：集合A＝{x|3＜x≤25，x∈Z}＝{4，5，6，7，•••，25}，集合A中共有22个元素，则A的真子集有222﹣1．故答案为：222﹣1．15．已知集合A＝{x|﹣3≤x≤2}，B＝{x|x≥a}且A⊆B，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3]．【分析】由集合A＝{x|﹣3≤x≤2}，B＝{x|x≥a}且A⊆B，可得a≤﹣3，用区间表示可得a的取值范围．【解答】解：∵集合A＝{x|﹣3≤x≤2}，B＝{x|x≥a}且A⊆B，∴a≤﹣3，∴实数a的取值范围是：（﹣∞，﹣3]，故答案为：（﹣∞，﹣3]16．已知集合A＝{m+2，1，4}，B＝{m2，1}，若B⊆A，则实数m＝﹣2．【分析】据子集关系求出可能解，再利用集合中元素的互异性求出不能取的值即可得出m的值．【解答】解：因为B⊆A，所以m2＝m+2或m2＝4，⇒m＝﹣1或m＝±2，又由集合中元素的互异性可知m+2≠1且m+2≠4且m2≠1，⇒m≠±1且m≠2，综上m＝﹣2．故答案为：﹣2．17．已知集合A＝{x∈R|ax2+2x+3＝0}．（Ⅰ）当a＝0时，求集合A；（Ⅱ）若集合A只有2个子集，求实数a的值．【分析】（Ⅰ）代入a＝0求出方程的解，进而可得集合A；（Ⅱ）分a＝0和a≠0两种情况，结合Δ求解即可．【解答】解：（Ⅰ）当a＝0时，集合A＝{x∈R|ax2+2x+3＝0}＝{x∈R|2x+3＝0}＝{﹣}；（Ⅱ）若集合A只有2个子集，则集合A中只有一个元素，当a＝0时，A＝{﹣}，符合题意，当a≠0时，则Δ＝4﹣4a×3＝0，解得a＝，综上所述，a的值为0或．18．已知集合A＝{x|﹣3≤x≤5}，B＝{x|m+1≤x≤3m﹣1}．