专题23基本不等式（2）（原卷版）新高一数学暑假衔接与新课重难点预习（人教A版2019）

专题23基本不等式（2）基本不等式是开学后第一次月考的重难点题型高一学生初见它，笑容就渐渐消失，直呼：“这是基本不懂式”；高二学生再见它，小小眼睛装大大的疑惑：“啊？这道题还得用它啊。”高三学生刷到它相关的题，人生若只如初见：“我们高一高二的时候学过这个？”模块一模块一总览热点题型解读（目录）TOC\o"13"\n\h\z\u【题型1】判断不等式是否能成立【题型2】基本不等式与几何图形结合【题型3】和，积，平方和之间的转化【题型4】基本不等式的实际应用问题【题型5】基本不等式恒成立问题【题型6】基本不等式能成立问题【题型7】消参法求最值【题型8】因式分解型【题型9】同除型（构造齐次式）【题型10】万能“k”法【题型11】含有根式的配凑（根式平方和为定值型）【题型12】运用基本不等式证明不等式【课后作业】模块二模块二【核心题型突破】·举一反三【题型1】判断不等式是否能成立（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．（2）连续使用不等式要注意取得一致．（多选）下列函数中，最小值为2的是（

）A． B．C． D．（多选）已知，，且，下列结论中正确的是（

）A．的最大值是 B．的最小值是C．的最小值是8 D．的最小值是【巩固练习1】（多选）下列命题中，真命题的是（

）A．，都有B．，使得C．任意非零实数，都有D．若，则的最小值为4【巩固练习2】（多选）若实数m，，满足，以下选项中正确的有（

）A．mn的最大值为 B．的最小值为C．的最小值为 D．最小值为【巩固练习3】（多选）下列说法正确的是（

）A．的最小值是2 B．的最小值是2C．的最小值是 D．若，则的最大值是【巩固练习4】（多选）已知，且，则（

）A．的最小值是 B．最小值为C．的最大值是 D．的最小值是【题型2】基本不等式与几何图形结合基本不等式链的无字证明：如图，在C是以AB为直径的半圆上一点，CD⊥AB，DE⊥CO，记AD＝a，BD＝b，则有（1）证明：，由射影定理可得：（几何平均数），（算术平均数），显然，即（2）证明：，由三角函数可得：，显然（3）对于，若通过以上图形来解会有些复杂，可以结合完全平方公式来证明会更方便设，，称为a、b的调和平均数．如图，C为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆．过点C作的垂线交半圆于D，连接、、．过点C作的垂线，垂足为E．则图中线段的长度是a、b的算术平均数，线段的长度是a、b的几何平均数．

数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设，，用该图形能证明的不等式为（

）．A． B．C． D．（多选）几何原本中的几何代数法以几何方法研究代数问题成为了后世数学家处理问题的重要依据通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明如图，在AB上取一点C，使得，，过点C作交半圆周于点D，连接作交OD于点下面不能由直接证明的不等式为（

）A． B．C． D．【巩固练习1】《几何原本》中的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，因此这种方法也被称之为“无字证明”．如图所示，AB是半圆O的直径，点C是AB上一点(不同于A，B，O)，点D在半圆O上，且CD⊥AB，CE⊥OD于点E，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的“无字证明”为()A．ab≤a＋b2(a＞0，b＞B．a＋b2＜2aba＋b(a＞0，C．2aba＋b≤ab(a＞0，b＞D．2aba＋b＜ab＜a＋b2(a＞【巩固练习2】如图，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C，已知AB＝4，AD＝3，那么当BM＝时，矩形花坛的AMPN面积最小，最小面积为．【巩固练习3】（2324高一上·江西南昌·期中）图1的弦图是由我国三国时期的数学家赵爽提出的，故称赵爽弦图，利用这个弦图，我们可以给基本不等式一个非常形象的几何解释．数学探究课上，同学们对赵爽弦图从边长、周长、面积、角度等方面进行了探究，得出了很多优美的结论．如图2，某探究小组将赵爽弦图中的直角的直角边延长交另一个直角三角形的斜边为点，记的周长为，面积为，则的最大值为（

）A． B． C． D．【题型3】和，积，平方和之间的转化涉及和，积，平方和的最值问题时利用基本不等式变形求解常用不等式链：（主要用于和积转换）已知，则的最大值为（

）A．2 B．4 C．8 D．（2023上·湖南长沙·高一长郡中学校考）已知，且，则的取值范围为．【巩固练习1】（2324高一上·天津河北·期中）若，，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【巩固练习2】若，则的最小值是（

）A． B．1C．2 D．【巩固练习3】已知实数，满足，则的最大值为________【巩固练习4】（多选题）已知正数满足，则（

）A． B．C． D．【题型4】基本不等式的实际应用问题不等式的应用题常以函数为背景，多是解决现实生活、生产中的优化问题，在解题中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值，构建数学模型是关键，重点培养数学建模、数学运算素养．调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数：若，则（当且仅当时取“=”）其中，为的调和平均值反应了平均速度（2024·高一·浙江杭州·期中）2023年8月29日，华为在官方网站发布了Mate60系列，全系搭载麒麟芯片强势回归，5G技术更是遥遥领先，正所谓“轻舟已过万重山”.发布后的第一周销量约达80万台，第二周的增长率为a，第三周的增长率为b，这两周的平均增长率为x（a，b，x均大于零），则（

）A． B．C． D．两次购买同一种物品，不考虑物品价格的升降（假设第一次价格为，第二次价格为）可以用两种不同的策略，第一种是每次购买这种物品数量一定;第二种是每次购买这种物品所花的钱数一定，哪种购物方式比较经济（

）A．第一种 B．第二种 C．都一样 D．不确定（2024·高一·广东深圳·期末）某公司为了提高生产效率，决定投入160万元买一套生产设备，预计使用该设备后，前年的支出成本为万元，每年的销售收入98万元.使用若干年后对该设备处理的方案有两种，方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以30万元的价格处理.哪种方案较为合理？并说明理由.（注：年平均盈利额）【巩固练习1】小李从甲地到乙地的平均速度为，从乙地到甲地的平均速度为，他往返甲乙两地的平均速度为，则（

）A． B．C． D．【巩固练习2】如图，某灯光设计公司生产一种长方形线路板，长方形的周长为4，沿折叠使点B到点位置，交于点P．研究发现当的面积最大时用电最少，则用电最少时，的长度为（

）

A． B． C． D．【巩固练习3】（2324高一上·江苏连云港·月考）某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4800，深度为3m．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价为多少元？【巩固练习4】某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室，由于此警务室的后背靠墙，无需建造费用，工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米元，左､右两面新建墙体报价为每平方米元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元，设屋子的左，右两面墙的长度均为米，房屋的造价为.(1)写出关于的表达式.(2)当左、右两面墙的长度为多少时，工程队报价最低？并求出最低报价.【题型5】基本不等式恒成立问题，使得，等价于，，使得，等价于1、参变分离法：如果能够将参数分离出来,建立起明确的参数和变量x的关系,那么a>y恒成立⇔a>ymax;a<y2、变更主元：在有几个变量的问题中,常常有一个变量处于主要地位,我们称之为主元。在解含有参数的不等式时,有时若能换一个角度,变参数为主元,则可以得到意想不到的效果。3、判别式法：对于含有参数的一元二次不等式问题,若能把不等式转化成二次函数或二次方程,则通过根的判别式或数形结合思想,可使问题顺利解决,这里一定要注意对含参数的二次项系数进行分类讨论。已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．若不等式对恒成立，则实数m的最大值为（

）A．7 B．8 C．9 D．10【巩固练习1】若对于任意，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是.【巩固练习2】已知，，且，若不等式恒成立，则a的取值范围是（

）A． B．C． D．【巩固练习3】已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【题型6】基本不等式能成立问题能成立问题又称有解问题，使得，等价于，，使得，等价于若正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围．【巩固练习1】若两个正实数满足，且存在这样的使不等式有解，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【巩固练习2】若存在，使不等式成立，则a的取值范围为.【题型7】消参法求最值消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.已知x>0,y>0，xy+2x-y=10，则x+y的最小值为．【巩固练习1】若正数x,y满足x2-2xy+2=0，则x+y的最小值是（A．6 B．62 C．22 D【巩固练习2】若a>0,b>0,ab=2，则a+4b+2b3b2+1【巩固练习3】（多选）已知，且，则（

）A．的取值范围是B．的取值范围是C．的最小值是3D．的最小值是E．【题型8】因式分解型含有这类结构的式子，可以考虑因式分解配凑成的结构，再结合整体思想来求最值（2023·重庆巴蜀中学校考）已知，，且，则的最小值是（

）A．4 B．5 C．7 D．9【巩固练习1】已知为正实数，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．【巩固练习2】（2324高一上·福建莆田·期中）已知，，，则的最小值是（

）A． B． C． D．【巩固练习3】（2324高一上·辽宁·期中）若，且满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．【题型9】同除型（构造齐次式）齐次化就是含有多元的问题，通过分子、分母同时除以得到一个整体，然后转化为运用基本不等式进行求解．设正实数、、满足，则的最大值为（）A．B．C．D．【巩固练习1】已知正实数x，y满足5x2＋4xy－y²＝1，12x2＋8xy－y2的最小值为________．【题型10】万能“k”法设k法的三个步骤：⑴问谁设谁：求谁，谁就是k；⑵代入整理：整理成某个变量的一元二次方程（或不等式）；⑶确认最值：方程有解（或不等式用均值放缩），≥0确定最值已知实数，满足，则的最大值为（

）A． B． C． D．【巩固练习1】（重庆巴蜀中学校考）已知实数，满足，则的最小值为________【巩固练习2】已知正实数x、y满足则xy的取值范围是________【题型11】含有根式的配凑（根式平方和为定值型）对于，求最大值可以设，配好系数后的与可以凑出定值已知a，b是正实数，且2a2＋3b2＝10，求的最大值．【巩固练习1】已知为正实数，且，求的最大值【巩固练习2】若x>0，y>0，且2x2＋eq\f(y2,3)＝8，则xeq\r(6＋2y2)的最大值为________．【题型12】运用基本不等式证明不等式三元基本不等式：（均为正实数），当且仅当时等号成立．柯西不等式：若，则（当且仅当，即时取等号）已知，求证:(1);(2).【巩固练习1】设a，b，c均为正数，求证：．【巩固练习2】（2324高一上·安徽淮南·期中）已知是正实数.(1)证明：；(2)若，证明：.(3)已知是正数，且，求证：．【课后作业】模块模块三【课后作业】（2324高一上·四川广安·期中）（多选）在下列函数中，最小值是2的是（

）．A． B．C． D．（多选）已知，，且，则下列不等式成立的是（

）A． B． C． D．（多选）已知实数满足，则（

）A． B．C． D．两个正实数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是.若两个正实数满足，且存在这样的使不等式有解，则实数m的取值范围是.设，为正实数，若，则的最小值是（

）A．4 B．3 C．2 D．1（多选）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆，过点作的垂线交半圆于，连接、、，过点作的垂线，垂足为.则该图形可以完成的所有的无字证明为（

）A． B．C． D．原油作为“工业血液”､“黑色黄金”，其价格的波动牵动着整个化工产业甚至世界经济．小李在某段时间内共加油两次，这段时间燃油价格有升有降，现小李有两种加油方案：第一种方案是每次加油40升，第二种方案是每次