第03讲交集并集（四大题型归纳易错分层练）

第03讲交集、并集【苏教版2019必修一】目录TOC\o"13"\h\z\u题型归纳 1题型01交集 3题型02并集 5题型03交并补的综合运算 7题型04区间及其表示 9易错归纳 11分层练习 12夯实基础 12能力提升 17创新拓展 22一、交集1．交集的概念自然语言由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”)符号语言A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}图形语言2.交集的性质(1)A∩B＝B∩A.(2)A∩B⊆A，A∩B⊆B.注意点：(1)A∩B仍是一个集合．(2)文字语言中“所有”的含义：A∩B中任一元素都是A与B的公共元素，A与B的公共元素都属于A∩B.(3)如果两个集合没有公共元素，不能说两个集合没有交集，而是A∩B＝∅.二、并集1．并集的概念自然语言由所有属于集合A或者属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”)符号语言A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}图形语言2.并集的性质(1)A∪B＝B∪A.(2)A⊆A∪B，B⊆A∪B.注意点：(1)A∪B仍是一个集合．(2)并集符号语言中的“或”包含三种情况：①x∈A且x∉B；②x∈A且x∈B；③x∉A且x∈B.(3)对概念中“所有”的理解，要注意集合元素的互异性．三、区间及其表示1．区间概念(a，b为实数，且a<b)定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间[a，b]{x|a<x<b}开区间(a，b){x|a≤x<b}左闭右开区间[a，b){x|a<x≤b}左开右闭区间(a，b]2.其他区间的表示定义R{x|x≥a}{x|x>a}{x|x≤a}{x|x<a}区间(－∞，＋∞)[a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，a](－∞，a)注意点：(1)区间只能表示连续的数集，不能表示有限集，开闭不能混淆．(2)区间是实数集的一种表示形式，集合的运算仍然成立．(3)用数轴表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别．(4)∞是一个符号，而不是一个数．题型01交集【解题策略】交集运算的注意点若A，B是无限连续的数集，多利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实心点表示，不含有端点的值用空心点表示．【典例分析】【例1】．（2324高一下·广东梅州·期中）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】解出一元二次方程，再利用交集含义即可.【详解】，则，故选：C.【变式演练】【变式1】（2324高一下·江西抚州·期中）若集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据交集的定义计算可得.【详解】因为，，所以.故选：D.【变式2】若A＝{x|1≤x≤10，x∈N}，B＝{x|x2＋x－6＝0，x∈Z}，则图中阴影部分表示的集合为()A．{2} B．{3}C．{－3,2} D．{－2,3}【答案】A【详解】易知A＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，B＝{－3，2}，图中阴影部分表示的集合为A∩B＝{2}．【变式3】（2324高一上·安徽芜湖·阶段练习）设，，若，则的取值范围是．【答案】【分析】根据交集的结果直接得到.【详解】因为，且，所以，即的取值范围是.故答案为：题型02并集【解题策略】(1)并集的运算技巧①若集合是有限集，则直接根据并集的定义求解，但要注意集合中元素的互异性．②若集合是无限集，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意是否去掉端点值．(2)利用集合交集、并集的性质解题的技巧在进行集合运算时，若条件中出现A∩B＝A或A∪B＝B，应转化为A⊆B，然后用集合间的关系解决问题，并注意A＝∅的情况．【典例分析】【例2】（2324高一下·湖南郴州·阶段练习）1963年3月5日，毛泽东主席为沈阳部队某部因公牺牲的英雄战士雷锋的题词“向雷锋同志学习”在《人民日报》发表．为发扬雷锋精神，国家将每年的3月5日规定为“学雷锋纪念日．某学校学生会自发地组织了若干个团队分别去社会开展“学雷锋，做好事”志愿者活动．记到社区参加志愿者活动的同学的集合为，到敬老院参加志愿者活动的同学的集合为，则集合的含义是（

）A．同时到社区和敬老院参加志愿者活动的全体同学B．只到社区而没有去敬老院参加志愿者活动的同学C．只到敬老院而没有去社区参加志愿者活动的同学D．到社区或到敬老院参加志愿者活动的同学【答案】D【分析】根据并集的概念直接得到答案.【详解】集合包含“到社区参加志愿者活动的同学或到敬老院参加志愿者活动的同学”，故选：D【变式演练】【变式1】（2022高一上·全国·专题练习）已知集合，则（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据集合的并运算即可求解.【详解】，故选：B【变式2】（2324高一上·北京顺义·期中）已知集合，，且，则a的取值范围为．【答案】【分析】根据并集的运算性质，即可求解.【详解】因为，所以.故答案为：【变式3】（2324高一上·上海虹口·期中）若集合，，若满足的所有m的值组成的集合记为Q，则Q的真子集个数为．【答案】7【分析】根据子集关系可分类求解，进而得到，根据子集的个数公式即可求解.【详解】由可得，由于，所以，当时，，当时，则，解得，当时，则，解得，所以,故Q的真子集个数为，故答案为：7题型03交并补的综合运算【解题策略】交、并、补集的运算性质A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅；∁U(∁UA)＝A；∁UU＝∅；∁U∅＝U；A⊆B⇔∁UB⊆∁UA；B⊆A⇔∁UA⊆∁UB；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)；∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．【典例分析】【例3】（2324高一上·陕西宝鸡·期中）已知则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知集合的交集及补集定义运算即得．【详解】因则,故.故选：D．【变式演练】【变式1】（多选）（2324高一上·安徽芜湖·阶段练习）若全集，，，则集合等于（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】根据交并补的混合运算逐个选项判断即可.【详解】对A，，，故，故A错误；对B，，故，故B正确；对C，，故，故C正确；对D，，故，故D正确.故选BCD【变式2】（2223高一下·湖南张家界·开学考试）已知全集，集合，，则【答案】【分析】根据集合的交集和补集运算求解.【详解】由题意可知：，所以.故答案为：.【变式3】（2324高一下·四川成都·开学考试）已知集合，或．(1)当时，求；(2)若，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据补集、交集的定义计算可得；（2）分和两种情况讨论，分别得到不等式（组），求出参数的取值范围，即可得解.【详解】（1）当时，，又或，所以，所以.（2）因为，又且，当，即时，符合题意；当时，则，解得，综上可得，即实数的取值范围是.题型04区间及其表示【解题策略】用区间表示数集的方法(1)区间左端点值小于右端点值．(2)区间两端点之间用“，”隔开．(3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号．(4)以“－∞”“＋∞”为区间的一端时，这端必须用小括号．【典例分析】【例4】把下列数集用区间表示：(1){x|x≥－1}；(2){x|x<0}；(3){x|－1<x<1}；(4){x|0<x<1，或2≤x≤4}．【详解】(1){x|x≥－1}＝[－1，＋∞)．(2){x|x<0}＝(－∞，0)．(3){x|－1<x<1}＝(－1,1)．(4){x|0<x<1，或2≤x≤4}＝(0,1)∪[2,4]．【变式演练】【变式1】．（2324高一上·上海浦东新·阶段练习）设全集，集合，集合，则如图阴影部分表示的集合为（用区间表示）

【答案】【分析】根据图形知所求集合，再由交集、补集运算求解.【详解】由图形可知，阴影部分表示的集合为，因为集合，集合，所以，故答案为：【变式2】（2324高一上·河北石家庄·期中）用区间表示为；用区间表示为．【答案】【分析】根据区间的定义直接得到答案.【详解】，.故答案为；.【变式3】（2023高一·全国·专题练习）用区间表示下列集合：(1)；(2)不等式的所有解组成的集合.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据区间的定义即可求解；（2）求解一元一次不等式，即可由区间定义求解.【详解】（1），故集合可用区间表示；（2）由可得，所以不等式的解集为，即用区间表示为.易错点含参数的集合运算中忽视对空集的讨论而致错1．(多选)已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}，则使A∪B＝A的实数m的取值范围可以是()A．{m|－3≤m≤4}B．{m|－3<m<4}C．{m|2<m<4}D．{m|m≤4}【解析】∵A∪B＝A，∴B⊆A.①若B不为空集，则m＋1＜2m－1，解得m＞2.∵A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}，∴m＋1≥－2，且2m－1≤7,解得－3≤m≤4.此时2＜m≤4.②若B为空集，则m＋1≥2m－1，解得m≤2，符合题意．综上，实数m满足m≤4即可，故选ABCD.2.(多选)[湖北孝感部分学校2022高一期中联考]已知集合A＝{－1，1}，集合B＝{x|ax－1＝0}，若A∩B＝B，则实数a的取值可能是()A．2B．－1C．1D．0【解析】∵集合A＝{－1，1}，集合B＝{x|ax－1＝0}，A∩B＝B，∴B⊆A.当a＝0时，B＝∅，成立；当a≠0时，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))，故eq\f(1,a)＝－1或eq\f(1,a)＝1，解得a＝－1或a＝1.综上，a的取值可能是－1，0，1.故选BCD.【夯实基础】一、单选题1．（2324高一下·浙江·阶段练习）设，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据给定条件，利用交集的定义直接求解即可.【详解】因为，，所以，故选：A2．（2324高三下·云南·阶段练习）设集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据补集和交集求出答案.【详解】或，故.故选：B.3．（2324高一下·浙江杭州·期中）已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，由交集的运算，即可得到结果.【详解】因为，则.故选：B4．（2324高一上·浙江丽水·期末）设集合，，若，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意，由交集运算的结果，即可得到答案.【详解】因为集合，，且，则.故选：C二、多选题5．（2324高一上·湖北·期中）下列说法正确的是（

）A． B．若，则C．若，则 D．若，，则【答案】BD【分析】利用有理数的意义判断A；利用并集、交集的性质推理判断B；利用交集的意义判断CD.【详解】对于A，，A错误；对于B，由，，得，而，则，同理得，于是，B正确；对于C，由，，得，C错误；对于D，由，，得，D正确．故选：BD6．（2324高一上·江苏泰州·期中）设，若，则实数的值可以为（

）A．0 B． C． D．2【答案】ABC【分析】根据一元二次方程解得集合，结合交集的结果，利用分类讨论思想，可得答案.【详解】，由，则，当时，方程无解，则；当时，即，方程的解为，可得或，解得或.故选：ABC.7．（2324高一上·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知，集合，集合，则下列正确的是（

）A．若，则实数的取值范围是B．若，则实数的取值范围是C．若，则实数的取值范围是D．若，则实数的取值范围是【答案】AD【分析】由交集、并集和补集的定义对选项一一判断即可得出答案.【详解】，集合，集合，则A，若，则实数的取值范围是；若，则实数的取值范围是，故选：AD.三、填空题8．（2223高一·全国·课堂例题）用区间表示下列数集：（1）；（2）；（3）且；（4）；（5）．【答案】【分析】根据区间的定义逐个分析可得结果.【详解】；；且；；.故答案为：；；；；.9．（2425高一上·全国·课后作业）填空：（1）被9除余2的所有整数组成的集合可表示为；（2）不等式组的解集为A，则；（3）已知集合，，则；（4）满足的集合B的个数是；（5）已知集合或，，则与的关系是．【答案】或4是的真子集【分析】（1）根据数的分类直接写出集合；（2）根据不等式组写出集合，然后由补集的定义可得结果；（3）由并集的定义写出，然后根据补集的运算可得结果；（4）由题意分析集合的范围，写出可能取值；（5）求解补集，可得出集合之间的关系.【详解】（1）被9除余2的所有整数组成的集合可表示为；（2）不等式组的解集为，则或；（3）或，则；（4），则且，所以集合可能是，所以集合有4个；（5）因为全集为，所以，，所以是的真子集.10．（2324高一上·天津滨海新·期末）已知集合或，，其中.（ⅰ）当时，；（ⅱ）若，则实数的取值范围为.【答案】或【分析】根据并集的定义，结合交集的运算性质进行求解即可.【详解】（ⅰ）当时，集合或，，所以或；（ⅱ）因为，所以，于是有或，即或，因此实数的取值范围为，故答案为：或；四、解答题11．（2324高一上·北京·期中）已知集合，集合．(1)当时，求，，;(2)若，求实数的取值范围；【答案】(1)，，或(2)【分析】（1）由交集并集补集的定义求解；（2）由集合的包含关系求参数的取值范围.【详解】（1）当时，，则，，或；（2）由知解得，即实数的取值范围为【能力提升】一、单选题1．（2324高一下·湖南长沙·开学考试）已知全集，则集合（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题意，结合集合的运算，即可得到结果.【详解】，且，则集合中不包含元素，即.故选：C2．（2122高一上·内蒙古赤峰·期中）已知集合，，且，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由并集的性质计算即可得.【详解】由，且，故.故选：D.3．（2324高一上·四川泸州·期末）已知A，B均为全集的子集，且，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据补集与交集的定义进行计算得出结果.【详解】已知全集，且，所以，又，所以，若，则，所以，这与矛盾，所以，同理.所以.故选：D.4．（2324高三上·湖南长沙·阶段练习）已知集合，.若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题设2是方程的解求得，进而确定集合B，应用并运算求结果.【详解】由题设知：2是方程的解，将代入方程，得，所以的解为或，所以，所以，故选：B二、多选题5．（2324高一上·四川内江·期末）若非空集合满足：，，则（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】先根据条件得到集合之间的包含关系，根据包含关系逐一判断选项.【详解】由得，由得，B错误；所以，，D正确；则，，A正确，C错误；故选：AD.6．（2324高一上·江西吉安·期末）如图，全集为U，集合A，B是U的两个子集，则阴影部分可表示为（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】由已知韦恩图分析出了阴影部分所表示的集合的元素满足的条件，进而根据集合运算的定义可得答案.【详解】根据图中阴影可知，符合题意，又，∴也符合题意．故选：AC三、填空题7．（2324高一上·江苏连云港·阶段练习）已知，则.（用区间形式书写）【答案】【分析】根据交集的知识求得正确答案.【详解】依题意，，所以.故答案为：8．（2324高一上·湖北·期中）已知全集是小于的自然数，，，则.【答案】【分析】根据并集、补集的定义计算可得.【详解】因为是小于的自然数，又，，所以，所以.故答案为：四、解答题9．（2324高一上·全国·课后作业）把下列数集用区间表示：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】根据区间与集合的对应关系即可写出对应的区间表示.【详解】（1）（2）（3）（4）10．（2324高一上·北京东城·期