初中数学复习攻略

整式

知识点：

1、代数式、代数式的值、整式、同类项、合并同类项、去括号与去括号法则；

2、事的运算法则、整式的加减乘除乘方运算法则、乘法公式、正整数指数越、

零指数越、负整数指数易的运算；

3、因式分解定义，提取公因式、应用公式法、分组分解法、二次三项式的因式

（十字相乘法、求根）、因式分解一般步骤。

教学目标：

1、了解代数式的概念，会列简单的代数式；理解代数式的值的概念，能正确地

求出代数式的值；

2、理解整式、单项式、多项式的概念，会把多项式按字母的降累（或升越）排

歹U，理解同类项的概念，会合并同类项；

3、掌握同底数哥的乘法和除法、哥的乘方和积的乘方运算法则，并能熟练地进

行数字指数累的运算；

4、能熟练地运用乘法公式（平方差公式，完全平方公式）进行运算；

5、掌握整式的加减乘除乘方运算，会进行整式的加减乘除乘方的简单混合运算;

6、理解因式分解的概念，掌握提取公因式法、公式法、分组分解法等因式分解

方法，掌握利用二次方程求根公式分解二次二项式的方法，能把简单多项式

分解因式。

教学重难点：

1、掌握整式有关运算法则，并能熟练地进行运算；

2、掌握整数指数易的运算；

3、提取公因式、应用公式法、分组分解法及它们的综合运用。

教学过程：

1.知识要点：

考点1.代数式的有关概念：

1）代数式：代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数

的字母连结而成的式子。单独的一个数或者一个字母也是代数式；

2）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果p叫做代数式

的值；求代数式的值可以直接代入、计算；如果给出的代数式可以化简，要先

化简再求值。

考点2.整式的有关概念：

1）单项式：只含有数与字母的积的代数式叫做单项式；单独的一个数或者一个

字母也是单项式；一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数;

2）多项式：几个单项式的和，叫做多项式；一个多项式中，次数最高的项的次

数叫做这个多项式的次数；

注意：常数的次数为0,如一5的次数是0；字母x的次数是1而不是0；单项式

的系数包括前面的符号，如-坦的系数为-4；

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3）多项式的降幕排列与升幕排列：

把一个多项式技某一个字母的指数从大列小的顺序排列起来，叫做把这个多

项式按这个字母降易排列；把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺斤排

列起来，叫做把这个多项式技这个字母升越排列；给出一个多项式，要会根据要

求对它进行降嘉排列或升嘉排列；

考点3同类项、合并同类项：

所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项，叫做同类项。常数

项都是同类项。

把多项式中的同类项合并为一项叫做合并同类项；合并同类项时同类项

的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。

注意：（1）同类项是不要考虑字母的排列顺序，如一7孙与尹是同类项；

C2）只有同类项才能合并，如/+/不能合并。

考点4.整式的运算：

1）整式的加减：

一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，再合并同类项。

2）整式的乘除：

①嘉的运算：

am-an=am+n（m,〃是整数）am=am-n（a丰0,加，〃是整数）

（Q"V=屋"〃（私”是整数）（必）"是整数）

p

a°=l(tzW0)a~=-^-(a2为正整数)

a'

②单项式相乘（除）：把它们的系数、相同字母分别相乘（除），对于只在一个单项

式（被除式）里含有的字母，则连同它的指数作为积（商）的一个因式相同字母相乘

（除）要用到同底数易的运算性质；

③多项式乘（除）以单项式：先把这个多项式的每一项乘（除）以这个单项式，再把

所得的积（商）相加；

④多项式与多项式相乘：先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，

再把所得的积相加；

⑤乘法公式：

(〃+b)(a—b)—a~—Z72

(a±Z?)2=a±lab+b2

考点5因式分解：

多项式的因式分解，就是把一个多项式化为几个整式的积。分解因式要进

行到每一个因式都不能再分解为止。分解因式的常用方法有：

(1)提公因式法

如多项式am+bm+cm=m(a+b+c),其中m叫做这个多项式各项的公因式,

m既可以是一个单项式，也可以是一个多项式。

(2)运用公式法，即用

a2-b2=(a+b)(a-b)士2ab+Z72=(a±Z?)2

(3)十字相乘法

对于二次项系数为1的二次三项式/+px+q,寻找满足ab=q,a+b=p

的a,b,如有，则X?+px+“=(x+a)(x+6)；对于一般的二次三项式

ax~+bx+c(tz。0),寻找:两aia2=a,ciC2=c,aic?+a2cl=b的a"a2,ci,C2,

如有，

贝Uax2+bx+c=(fljX+ci)(a2x+c2).

(4)分组分解法：把各项适当分组，先使分解因式能分组进行，再使分解因式在

各组之间进行；分组时要用到添括号：括号前面是“+”号，括到括号里的各项

都不变符号；括号前面是号，括到括号里的各项都改变符号.

※0)求根公式法：如果a/+bx+c=0(。。0),有两个根再，x2,那么

ax2+bx+c=

2.典型考题：《中考总复习导与练》P4-5“考点突破”

3.课堂练习：《中考总复习导与练》P5“知能达标”1.-8.

4.作业：《中考总复习导与练》P5“知能达标”9.-12.X13.和14.

教学反馈：

分式

知识点：

分式，分式的基本性质，最简分式，分式的运算。

教学目标：

了解分式的概念，会确定使分式有意义的分式中字母的取值范围。掌握分式

的基本性质，会约分，通分。会进行简单的分式的加减乘除乘方的运算。

教学重难点：

分式的化简求值（在中考题中，经常出现分式的计算就或化简求值，有关习

题多为中档的解答题。注意解答有关习题时，要按照试题的要求，先化简后求值,

化简要认真仔细）。

教学过程：

1、知识要点：

考点1分式的有关概念：

设A、B表示两个整式，如果B中含有字母，式子乌A就叫做分式；注意分

B

母B的值不能为零，否则分式没有意义（分式有意义的条件：BWO；

分式的值为0的条件：A=0且BWO);

分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式。如果分子分母有公因式，要进

行约分化简。

考点2分式的基本性质：

4=4且，A=A^M（M为不等于零的整式）；

BBxMBB+M

考点3分式的运算：（分式的运算法则与分数的运算法则类似）

a,cad±bc=八……「《八

7±—=———（异分母相加，先通分）；

baba

ac_acac_ad_ada_an

bdbd'bdbebe,bbn

2.典型考题：《中考总复习导与练》P6〜7“考点突破”

3.课堂练习：《中考总复习导与练》P7“知能达标”1.〜8.

4.作业：《中考总复习导与练》P7“知能达标”9.-12.※心

教学反馈：

数的开方与二次根式

知识点：

平方根、立方根、算术平方根、二次根式、二次根式性质、最简二次根式、

同类二次根式、二次根式运算、分母有理化

教学目标：

1.理解平方根、立方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根

和算术平方根；会求实数的平方根、算术平方根和立方根；

2.了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念，会辨别最简二次根式和

同类二次根式；掌握二次根式的性质，会化简简单的二次根式，能根据指定字

母的取值范围将二次根式化简；

3.掌握二次根式的运算法则，能进行二次根式的加减乘除四则运算，会进行简单

的分母有理化。

教学重难点：

1.平方根、算术平方根、立方根的概念（有关试题在试题中出现的频率很高，习

题类型多为选择题或填空题）；

2.最简二次根式、同类二次根式概念（有关习题经常出现在选择题中）；

3.二次根式的计算或化简求值（有关问题在中考题中出现的频率非常高，在选择

题和中档解答题中出现的较多）。

教学过程：

1、知识要点：

考点1平方根、算术平方根与立方根：

若％2=Q（QN0）,则x叫做a的平方根，记作士后；正数a的正的平方根

叫做a的算术平方根，0的算术平方根是0。当a20时，。的算术平方根记作品。

注意：1、非负数是指正数或0,常见的非负数有：1）绝对值：|«|>0；

2）实数的平方：a2>0；3）算术平方根：>0（a>0）o

2、如果a、b、c是实数，且满足同+匕2+JZ=°,

则有a=0,b=Q,c=0

考点2二次根式的有关概念：

1、二次根式：式子&（a20）叫做二次根式（注意被开方数只能是正数或0）；

2、最简二次根式：被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的

因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式；

3、同类二次根式：

①化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式；

②二次根式的性质：（几）2=a（a>0）J?=1Q1=["3"?

-a（a<0）

Vab=y[a•y[b（a>0;Z?>0）（a>0;Z?>0）

考点3二次根式的运算：

1、二次根式的加减：

二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式

分别合并；

2、二次根式的乘法：

二次根式相乘，等于各个因式的被开方数的积的算术平方根，即

4a-4b=4ab（a>0,b>0）.

（二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行；两个含有二次根式的代数

式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个二次根式互为有理化因式）;

3、二次根式的除法：

二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理

化因式，把分母的根号化去（或分子、分母约分）；把分母的根号化去，叫做分母

有理化。

2.典型考题：《中考总复习导与练》P8“考点突破”

3.课堂练习：《中考总复习导与练》P9“知能达标”1.-7.

4.作业：《中考总复习导与练》P7“知能达标”8.-12.X13.

教学反馈：

整式方程（组）及其应用

知识点:

等式及基本性质、方程、方程的解、解方程、一元一次方程、二元一次方程

（组）、一元二次方程、分式方程及其它们的应用；一元二次方程根的判别式、

判别式与根的个数关系。

教学目标：

1、理解方程和一元一次方程、一元二次方程、分式方程的概念；了解方程组和

它的解、解方程组等概念；

2、理解等式的基本性质，能利用等式的基本性质进行方程的变形，掌握解一元

一次方程的一般步骤，能熟练地解一元一次方程；

3、灵活运用代入法、加减法解二元一次方程组；

4、会推导一元二次方程的求根公式，理解公式法与用直接开平方法、配方法解

一元二次方程的关系，会选用适当的方法熟练地解一元二次方程；会判断常数

系数一元二次方程根的情况。对含有字母系数的由一元二次方程，会根据字母

的取值范围判断根的情况，也会根据根的情况确定字母的取值范围；

5、能熟练地解分式方程；

6、体验“未知”与“已知”的对立统一关系；能够列方程（组）解应用题。

教学重难点：

一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程的解法及其应用。

教学过程：

1、知识要点：

考点1等式的概念和等式的性质：

1）等式：表示相等关系的式子，叫做等式；

2）等式的性质：

①等式两边加（或减）同一个数或一个整式所得的结果仍相等：

如果a=b,那么a土c=b±c

②等式两边都乘（或除以）同一个数（除数不为0）所得的结果仍是等式：

如果a=b,那么ac=bc或3=2（cWO）

CC

考点2方程的有关概念：

含有未知数的等式叫做方程；使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方

程的解（只含有一个未知数的方程的解，也叫做根）；

考点3一次方程的解法：

只含有一个未知数，并且未知数的次数是1,系数不为零的方程，叫做一元

一次方程。

解一元一次方程的一般步骤是：

1）去分母：在方程两边都乘各分母的最小公倍数，注意别漏乘；

2）去括号：注意括号前的系数与符号；

3）移项：把含有未知数的项移到方程的一边，其他项移到另一边，注意移项，

要改变符号；

4）合并同类项：把方程化成ax=b（aWO）的形式；

5）系数化为1：方程两边同除以x的系数，得x=2的形式。

a

考点4二元一次方程的有关概念：

1）二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式

方程；

2）二元一次方程的解：适合一个二元一次方程的每一对未知数的值，任何一个

二元一次方程都有无数解；由这些解组成的集合，叫做这个二元一次方程的解集;

考点5二元一次方程组的解法：

常用方法：代入消元法，加减消元法。

注意：

1）在用代入法求解时，能正确用其中一个未知数去表示另一个未知数；

2）二元一次方程组的解应写成一的形式。

x=b

考点6一次方程（组）应用：

列方程（组）的应用题的一般步骤：

1）审：审清题意，分清题中的已知量、未知量；

2）设：设未知数，设其中某个未知量为x,并注意单位，对于含有两个未知数

的问题，需要设两个未知数；

3）歹U：根据题意寻找等量关系列方程（组）；

4）解：解方程（组）；

5）验：检验方程（组）的解是否符合题意；

6）答：写出答案（包括单位）。

注意：审题是基础，列方程是关键。

考点7常见的几种方程类型及等量关系：

1）行程问题中的基本量之间的关系：路程=速度X时间；

2）相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程；

3）追及问题：若甲为快者，则被追路程=甲走的路程一乙走的路程；

4）流水问题：V顺:丫静+V水，V逆=丫静一V水；

5）工程问题中的基本量之间的关系：工作效率=甘|§；

工作时间

6）甲、乙合做的工作效率=甲的工作效率+乙的工作效率；

7）通常把工作总量看作“1”。

考点8一元二次方程的概念及一般形式

1）一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数最高次数是2的整式方程；

2）一般形式：ax2+bx+c=0（aWO）

考点9一元二次方程的解法：

1）直接开平方法：它适合于（x+a）2=（cx+d）2形式的方程;

2)因式分解法：它最常用的方法主要运用提公因式法，平方差公式，完全平方

公式和二次三项式/+(p+q)x+pq型因式分解；

3)公式法：它是一种“万能”的公式，一定要先把方程整理成一般形式；方程

ax2+bx+c=0,且/"ac》。在因式分解不能奏效时，往往用公式法，使用公式

法时，则”=一一"2一4

2a

4)配方法：这是一种重要数学方法，也是一种“万能”的方法，若没有特别的

规定一般不用来解方程；配方法解方程的步骤：化方程项系数为1一把常数项

移到方程的另一边一在方程两边加上一次项系数一半的平方一把方程整理成

(x+a)2=b的形式一运用直接开平方法解方程。

考点10一元二次方程的应用：

1)增长率中的等量关系：

①增长率=增量+基础量；

②设a为原来的量，m为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量，则

a(l+m)n=b»当m为平均下降率时a(l-m)"=b；

2)利率中的等量关系：

①本息和=本金+利息;

②利息=本金X利率X期数；

③利息税总额=利息总额X利息税率；

3)利润中的等量关系：

①毛利润=售出价-进货价；

②纯利润=售出价一进货价一其他费用；

③利润率=利润+进货价。

考点11一元二次方程的根的判别式：

一元二次方程ax,bx+cHKaW0)的根的判别式△=b?—4ac

当△>◊时，方程有两个不相等的实数根；

当△=()时，方程有两个相等的实数根；

当△<()时，方程没有实数根。

考点12一元二次方程的根与系数的关系：

1)如果一元二次方程ax2+bx+c=0(aW0)的两个根是xi，X2,那么玉+x,=-2,三方=反

aa

2)如果方程x2+px+q=0的两个根是X1，X2，那么X1+X2=—P,

xix2=q

3)以X1，X2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是

2

X—(X1+x2)x+X1X2=0；

考点13分式方程：

1）分式方程：分母里含有未知数的方程叫做分式方程；

2）使方程的分母等于零的根：在方程的变形时，有时可能产生不适合原方程的

根，使方程中的分母为0,因此解分式方程要验根，其方法是代入最简公分母中

看分母是不是为0；

3）解分式方程的基本思想：

把分式方程转化为整式方程，即分式方程学学一整式方程。

换兀

考点14分式方程的常用解法：

直接去分母法，方程两边同乘各分式的公分母，约去分母，化为整式方程,

再求根、验根。

考点15列分式方程解应用题的注意事项：

列分式方程解应用题的步骤跟其他应用题有点不一样的是：要检验两次，既

要检验求出来的解是否为原方程的根，又要检验是否符合题意。

2.典型考题：《中考总复习导与练》P10、12〜13、17〜18、“考点突破”

3.课堂练习：《中考总复习导与练》P11、13、19“知能达标"1.〜⑧

4.作业：《中考总复习导与练》P11、14、19“知能达标”8.-12.

XP1213.14.P14、1913.

教学反馈：

不等式（组）

知识点：

不等式概念，不等式基本性质，不等式的解集，解不等式，不等式组，不等

式组的解集，解不等式组，一元一次不等式，一元一次不等式组。

教学目标：

1、理解不等式，不等式的解等概念，会在数轴上表示不等式的解；

2、理解不等式的基本性质，会应用不等式的基本性质进行简单的不等式变形，

会解一元一次不等式；

3、理解一元一次不等式组和它的解的概念，会解一元一次不等式组；

4、能应用一元一次不等式（组）的知识分析和解决简单的数学问题和实际问题。

教学重难点：解一元一次不等式（组）的能力。

教学过程：

1、知识要点：

考点1不等式：

1）不等式的概念及分类：

一般地，用不等号连结的式子叫做不等式；

不等式常分两类：①表示大小关系的不等式；②表示不等关系的不等式；

常见不等式的基本语言有：

①x是正数，则x>0；②x是负数，则x<0；

③x是非负数，则x20；④x是非正数，贝UxWO；

⑤x大于y,贝x—y>0；⑥x小于y,贝x—y<0；

⑦x不小于y,则x2y；⑧x不大于y,则xWy。

2）不等式的解、解集：

使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解；

能使不等式成立的未知数的取值范围叫做不等式的解集；

3）不等式的基本性质

①不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；

②不等式两边同乘（或除以）一个正数，不等号的方向不变；

③不等式两边同乘（或除以）一个负数，不等号的方向改变。

注意：①一定要注意应用不等式的基本性质3时，要改变不等号的方向；

②当不等式两边都乘（或除以）的式子中含有字母时，一定要对字母分

类讨论。

考点2一元一次不等式：

1）一元一次不等式：只含有一个未知数，且未知数的次数是1的不等式，叫做

一元一次不等式，其一般形式ax+b>0或ax+b〈O（aWO）；

2）解一元一次不等式的一般步骤：

①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1。

考点3一元一次不等式组：

1）含有相同未知数的若干个一元一次不等式所组成的不等式组叫做一元一次不

等式组；

2）解不等式组一般先分别求出不等式组中各个不等式的解集并表示在数轴上，

再求出它们的公共部分就得到不等式的解集；

3）由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集，可划分为以下四种情况：（以

下假设a<b）

一元一次不等式组解集图示语言叙述（便于记忆）

x>a

<x>b同大取大

x>bb

x<ax<a

V同小取小

x<bab

x>a

<a<x<bwZvzj大小小大中间找

x<b

ab

x<a

<无解小小大大找不到

—------------------------------►

x>ba

考点4一元一次不等式（组）的应用：

1）列不等式（组）解应用题的步骤：

①找出实际问题中的不等关系，设定未知数，列出不等式（组）;

②解不等式（组）；

③从不等式（组）的解集中求出符合题意的答案；

2）利用不等式（组）对代数式进行比较，以确定最佳方案，获取最大收益，考

查对数学的应用能力，考查的热点是与实际生活密切相关的不等式（组）应用

题。这类问题，首先要认真分析题意，即读懂题目，然后建立数学模型，即用

列不等式（组）的方法求解，解决这类问题的关键是正确地设未知数，找出不

等关系，从不等式（组）的解集中寻求正确的符合题意的答案。

注意：①根据题目所给的信息，运用不等式知识建立数学模型，再对可能出现

的各种情况进行分类讨论而获解，这是本节内容的一种常见题型，应注意加强自

我练习，以增强数学的应用能力；

②列不等式（组）解应用题的步骤大体与列方程（组）解应用题相同，应紧紧

抓住“至多”、“至少”、“不大于”、“不小于”、“不超过”、“大于”、“小于”等关

键词。注意分析题目中的不等量关系，能准确分析题意，列出不等量关系式，然

后根据不等式（组）的解法求解。

2.典型考题：《中考总复习导与练》P15〜16“考点突破”

3.课堂练习：《中考总复习导与练》P16“知能达标”1.〜8.

4.作业：《中考总复习导与练》P16-17“知能达标”9.〜12.※心

教学反馈：

坐标系与函数

知识点：

平面直角坐标系、常量与变量、函数与自变量、函数表示方法。

教学目标：

1、了解平面直角坐标系的有关概念，会画直角坐标系，能由点的坐标系确定点

的位置，由点的位置确定点的坐标；

2、理解常量和变量的意义，了解函数的一般概念，会用解析法表示简单函数；

3、理解自变量的取值范围和函数值的意义，会用描点法画出函数的图像。

教学重点：

1、会画直角坐标系，能由点的坐标系确定点的位置，由点的位置确定点的坐标;

2、理解自变量的取值范围和函数值的意义。

教学过程：

1、知识要点：

考点1平面直角坐标系的初步知识：

在平面内画两条互相垂直的数轴，就组成平面直角坐标系，水平的数轴叫做

x轴或横轴（正方向向右），铅直的数轴叫做y轴或纵轴（正方向向上），两轴交点

。是原点，这个平面叫做坐标平面。

x轴和y把坐标平面分成四个象限（每个象限都不包括坐标轴上的点），要注

意象限的编号顺序及各象限内点的坐标的符号：

由坐标平面内一点向X轴作垂线,垂足在X轴上的坐标叫做这个点的横坐标,

由这个点向y轴作垂线，垂足在y轴上的坐标叫做这个点的纵坐标，这个点的横

坐标、纵坐标合在一起叫做这个点的坐标(横坐标在前，纵坐标在后)。一个点

的坐标是一对有序实数，对于坐标平面内任意一点，都有唯一一对有序实数和它

对应，对于任意一对有序实数，在坐标平面都有一点和它对应，也就是说，坐标

平面内的点与有序实数对是一一对应的。

说明：1)x轴、y轴上的点不属于任何象限；

2)平面内点的坐标的特征：

①象限内点的坐标的特征：

点P(x,y)在第一象限Q(+,+)；点P(x,y)在第二象限=(一,+)；

点P(x,y)在第三象限=(一，—)；点P(x,y)在第四象限<=>(+,—)0

②坐标轴上点的坐标的特征：

点P(x,y)在x轴上=y=O；点P(x,y)在y轴上=x=O；

点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上=x、y同时为零，即点P的坐标为(0,0)

③平行于坐标轴的直线上的点的坐标的特征：

平行于x(或垂直于y轴)的直线上点的纵坐标相等；

平行于y(或垂直于x轴)的直线上点的横坐标相等。

④各象限角平分线上的点的坐标的特征：

第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等；

第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。

3)点与坐标轴的距离：

①点P(a,b)到x轴的距离等于点P的纵坐标的绝对值，即网；

②点P(a,b)到y轴的距离等于点P的横坐标的绝对值，即时。

4)平面直角坐标系中的对称点的坐标特征：

点P(x,y)关于％轴对称的点片的坐标为Pi(x,—y)；关于y轴对称的点B的

坐标P2(—x,y)；关于原点对称的点尸3的坐标为P3(—%，—y)；

以上规律可归纳为：关于关于％轴对称，横坐标不变，纵坐标变为相反数；关

于关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标变为相反数；关于原点对称，横、纵坐

标都变为相反数。

考点2函数的有关概念：

1）常量与变量：

在某一变化过程中，始终保持不变的量叫做常量，数值发生变化的量叫变

量。

2）函数：

①函数的概念：

一般地，在某个变化过程中，如果有两个变量x与y,对于x的每一个确

定的值y都有唯一确定的值与之对应，我们称x是自变量，y是x的函数。

注意：函数不是数，它是指某一变化过程中的两个变量之间的关系。

②自变量的取值范围：

常见函数的自变量取值范围：

。整式函数，其自变量取值范围是全体实数，如y=——i；

b.含有分式的函数，其自变量取值范围是使分母不为零，如y=」一中，xWl；

X—1

C.有二次根式的函数，其自变量取值范围是使被开方数为非负数，

如y=J2-x中,xW2；

d.与实际问题有关的函数，其自变量的取值范围要考虑实际背景（包括图形背

景），使实际问题有意义，如三角形中，要考虑任意两条边之和大于第三边等。

③函数值：

对于一个函数，如果当自变量x=a时，因变量y=b,那么b叫做自变量

的值为a时的函数值。

3）函数的表示：

通常有三种表示函数的方法：①列表法；②解析法；③图象法。

注意：表示函数时，要根据具体的情况选择适当的方法，有时为了全面认识问题,

可同时使用几种方法。

4）函数的图象：

①一般地，对于一个函数，如果自变量与函数的每对对应值分别作为点的横坐

标、纵坐标，那么坐标平面由这些点组成的图形，就是这个函数的图象；

②描点法画函数图象的一般步骤：

。列表：在自变量的取值范围内取一些值，算出对应的函数值，列成表；

b.描点：把表中自变量的值和与它相应的函数值分别作为横坐标与纵坐标，

在坐标平面内描出相应的点；

c.连线：按照自变量由小到大的顺序、用平滑的曲线把所描各点连结起来。

2.典型考题：《中考总复习导与练》P20-21“考点突破”

3.课堂练习：《中考总复习导与练》P21“知能达标”1.-8.

4.作业：《中考总复习导与练》P21〜22“知能达标”9.〜11.X12.

教学反馈：

正比例、反比例、一次函数

知识点：

正比例函数及其图像、一次函数及其图像、反比例函数及其图像。

教学目标：

1、理解正比例函数、一次函数、反比例函数的概念和性质并会画出它们的图像；

2、会用待定系数法求正比例、反比例函数、一次函数的解析式。

教学重难点：

1、理解正比例函数、一次函数、反比例函数的概念和性质并会画出它们的图像；

2、会用待定系数法求正比例、反比例函数、一次函数的解析式并能利用函数解

决实际问题。

教学过程：

1、知识要点：

考点1一次函数与正比例函数的概念：

一般地，如果y=kx+b（k、b都是常数，kWO）,那么y叫做x的一次函数，

特别地，当b=0时，一次函数y=kx+b变为y=kx（（k都是常数，kWO）,这时y

叫做x的正比例函数。

考点2正比例函数、一次函数的图象和性质：

1）一次函数的图象：一次函数丫=&+6（kWO）是经过点（0,b）和（一一，0）

k

的一条直线；正比例函数y=kx（kWO）是经过原点和点（1,k）的一条直线。

注意：因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线可知画一次函数图

象时，只要取两个点即可。

2）一次函数的性质：

函数

函数大致图象经过的象限函数性质

取值

j之

K>0I、IIIy随x增大而增大

y=kxX

(kWO)

i、y

K<0\。'n、ivy随x增大而减小

X

i/y

y=kx+bk>0

/i、n、iny随x增大而增大

(kWO)b>00

X

ik

k>0

rz0”i、in、iv

b<0/

X

i,y

K<0

I、IRIV

b>0b

J攵

y随x增大而减小

y

k<07

10n、in、iv

b<0

X

注意：①正比例函数性质只与k有关，与b的取值无关；

图象过一、三象限=k>0；图象过二、四象限=k<0；

②一次函数y=kx+b可由正比例函数y=kx平移得到，b>0,上移b个单位;

b<0,下移Ibl个单位。

3）直线与坐标轴的交点坐标、两直线交点坐标、直线与坐标轴围成的三角形

面积：

①求一次函数与x轴交点坐标：设y=0,求出对应的x值；

②求一次函数与y轴交点坐标：设x=0,求出对应的y值；

③求两直线的交点坐标，只要解由直线所对应的两个函数解析式组成的二元一

次方程组，所求出的方程组的解即两直线的交点坐标；

④求直线y=依+6与坐标轴围成的三角形面积，只要先求直线y=+b与x轴

交点为（一工，0）,与y轴交点为（0,b）,再利用公式求所构成的三角形面积。

考点3由待定系数法求一次函数的解析式：

因为在一次函数y=+b伏。0）中有两个未知数k和b,所以，要确定其

关系式，一般需要两个条件，常见的是已知两点坐标仇），22（出力2）代入

b-/7k+b

得1—1'求出k、b的值即可，这种方法叫做待定系数法。

b2=a2k+b

考点4一次函数与一次方程（组），一元一次不等式（组）：

一次函数的值为0时，相应的自变量的值为方程的根，一次函数值大于（或

者小于）0,相应的自变量的值为不等式的解集。

考点5用一次函数解决实际问题：

一次函数在现在生活中有着广泛的应用，在解答一次函数的应用题时，应从

给定的信息中抽象出一次函数关系，理清哪个是自变量，哪个是因变量的函数，

再利用一次函数的图象与性质求解，同时要注意自变量的取值范围。一次函数

>1=&+》（左。0）的自变量*的范围是全体实数。图象是直线，因此没有最大值与

最小值，但由实际问题得到的一次函数解析式，自变量的取值范围一般受到限制，

则图象为线段和射线，根据函数图象的性质，就存在最大值和最小值。

常见类型有：

1）求一次函数的解析式；

2）利用一次函数的图象与性质解决某些问题。如利用一次函数解决资源收费问

题；利用一次函数解决个税收取问题；利用一次函数解决水，电，煤气等资源收

费问题。

考点6反比例函数的概念：

形如y=&（左是常数，左。0）的函数叫做反比例函数，其中x是自变量，y是x

X

的函数，k是比例系数。

注意：1）kWO；2）自变量xWO；3）函数yWO；

4）反比例函数y=8的变式或xy=k（kWO）。

x

考点7反比例函数的图象与性质：

1）反比例函数y=8（kWO）的图象是双曲线，且关于y轴对称；

X

2）反比例函数y=L（kWO）的图象和性质：

函数图象所在象限性质

1

一、三象限在每个象限内，y

K>0

（X,y同号）随X增大而减小

y=—(kWO)

XJ

K<0在每个象限内，y

二、四象限

随X增大而增大

厂（x,y异同号）

3）反比例函数y=8（kWO）中的比例系数k的几何意

X

义：如图过双曲线上任意一点P（x,y）做x轴，y轴的

垂线PM、PN所得的矩形PMON的面积

S=PM•PN=\y\»\x\=\xy\

X

y=—xy=k：.S=|H

x

注意：反比例函数图象上的点(x,y)具有两坐标之积

(町=左)为常数这一特点，即过双曲线上任意一点，向两坐标轴做垂线，两条

垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为常数,同时要注意它的演变图形。

考点8反正例函数而应通

利用待定系数法确定反比例函数；

根据两变量之间的反比例关系，设y=&,由已知条件求出k的值，从而确

X

定函数关系式。

注意：因为反比例函数只有一个待定的k,所以只需要一个条件即可确定反比例

函数，这个条件可以是图象上的一个点的坐标，也可以是X,y的一对对应值。

2.典型考题：《中考总复习导与练》P22〜27“考点突破”

3.课堂练习：《中考总复习导与练》P24“知能达标”1.〜9.

P27“知能达标”1.〜8.

4.作业：《中考总复习导与练》P25“知能达标”10.-13.派14.

P27-28“知能达标”9.〜11.X12.和13.

教学反馈:

二次函数

知识点：二次函数、抛物线的顶点、对称轴和开口方向。

教学目标：

1、理解二次函数的概念；

2、会把二次函数的一般式化为顶点式，确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方

向，会用描点法画二次函数的图象；

3、会平移二次函数y=ax2(aW0)的图象得到二次函数y=a(x—h)2+k的图象，了

解特殊与一般相互联系和转化的思想；

4、会用待定系数法求二次函数的解析式；

5、利用二次函数的图象，了解二次函数的增减性，会求二次函数的图象与x轴

的交点坐标和函数的最大值、最小值，了解二次函数与一元二次方程和不等式

之间的联系。

教学重难点：

1、用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值；

2、用待定系数法求二次函数的解析式；

3、代数与几何的综合能力的运用。

教学过程：

1、知识要点：

考点1二次函数的概念：

一般地，如果y=a/+bx+c(a>b、c是常数，。。0)那么y叫做x的二

次函数。

注意:二次函数丁="2+法+。的结构特征是：①等号左边是函数，右边是关于

自变量X的二次式，X的最高次数是2；②二次项系数。。0。

考点2二次函数的图象及画法：

1)二次函数的图象是抛物线，可用描点法画出二次函数的图象；

2)抛物线的顶点、对称轴和开口方向：

抛物线y=ax?+bx+c(aWO)的顶点是(-2,也士)，对称轴是》=--,

2a4ala

当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下。

抛物线y=a(x—h)2+k(aW0)的顶点是(h,k),对称轴是x=h；

3)用描点法画二次函数的步骤：

①用配方法化成y=a(x-h)2+k(aW0)的形式；

②确定图象的开口方向，对称轴及顶点坐标；

③在对称轴的两侧利用对称性描点画图；

4)画抛物线的草图，要确定五点，即：①开口方向，②对称轴，③顶点，

④与y轴交点，⑤与x轴的交点。

考点3二次函数的性质：

b4ac-b2b4ac-b2

顶点坐标（2a’4a）（2/4a）

hh

在对称轴的左侧，即当x<-2在对称轴的左侧，即当x<——

2a2a

时，y随x的增大而减小；在对称时，y随x的增大而增大；在对称

增减性

轴的右侧，即当X〉-2时，y随轴的右侧，即当x>-■时，y随

2a2a

X的增大而增大；简记“左增右X的增大而减小；简记“左减右

减”。增”。

h

抛物线有最低点，当％=时，抛物线有最高点，当x=-2时，

2a2a

最值

y有最小值，y最小值=y有取大值，y最大值=

4a4a

考点4用待定系数法求二次函数的解析式：

用待定系数法可求二次函数的解析式，确定二次函数一般需要三个独立条

件，根据不同条件选择不同的设法：

1）设一般式y=ax2+bx+c（aW0）（若已知条件是图象上的三个点，根据不同条件

代入所设一般式，求出。、b、c的值）

2）设顶点式y=a（x-h）2+k（aW0）（若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程

与最大值（或最小值），将已知条件代入所设的顶点式，求出待定系数）

考点5二次函数与一元二次方程的关系：

二次函数y=ax2+bx+c与一元二次方程ax?+bx+c=0有着密切的关系,

二次函数y=a/+bx+c的图象与％轴的交点的横坐标是对应的方程

+bx+c=0的实数根，抛物线与x轴的交点情况可由对应的方程

ax2+bx+c=O的根的判另U式/-4（7C的符号判定：

1）有两个交点Qb2-4ac>00方程有两个不相等的实数根.；

2）有一个交点=/—4℃=00方程有两个相等的实数根；

3）没有交点=A?-4ac<0=方程没有实数根。

考点6二次函数旷=以2+/+。的图象特征a、b、c及判别式尸—4ac的符

号之间的关系:

页目

字球、字母的符号图象的特征

a>0开口向上

a>Qa<0开口向下

b=0对称轴为y轴

bab>0（Z?与a同号）对称轴在y轴左侧

ab<0（b与a异号）对称轴在y轴右侧

c=0经过原点

cc>0与y轴的正半轴相交

c<0与y轴的负半轴相交

与X轴有唯一的交点（顶

b2-4ac=0

点）

b2-4acb2-4ac>0与X轴有两个不同的交点

b2-4ac<0与X轴没有交点

当x=1时,y-a+b+c;当无=-1时,

2）若a+匕+c>0,即x=1时，y>0;若。一方+c>0,即x=-1时，y>0.

3）。的大小决定抛物线与y轴的交点位置，当c=0时，抛物线过原点；

当c〉0时，抛物线与y轴交于正半轴；c<0时，抛物线与y轴交于负半轴；

4）ab的符合决定抛物线的对称轴的位置.当ab=0时，对称轴为y轴；

当ab>0,对称轴在y轴左侧；当仍<0时，对称轴在y轴右侧。

考点7二次函数图像的平移：

将抛物线一般式y=ax2+bx+c（a。0）用配方法可化成顶点式

y=a（x-h）~+k的形式，而任意抛物线y=a（x-/z）2+上均可由y=a/平移得

到。

考点8用二次函数的性质解决实际问题：

二次函数的应用关键在于建立二次函数的数学模型，这就需要认真审题，

理解题意，利用二次函数解决实际问题，应用最多的是根据二次函数的最值确定

最大利润，最节省方案等问题。

考点9建立平面直角坐标系，用二次函数图像解决实际问题：

建立平面直角坐标系，把代数问题与几何问题进行互相转化，充分运用三

角函数，解直角三角形，相似，全等，圆等知识解决