2020-2021学年高中数学必修第一册32 函数的基本性质(含答案解析)

2020-2021学年高中数学必修第一册3.2函数的基本性质

一.选择题(共22小题)

x—2,%>5

1.设fQ)=,则/(3)的值为()

JW+3)),x<5

A.2B.3C.4D.5

x2+1(^>2)

2.已知函数f(x)=生+3)。<2)'则/⑴=()

A.2B.12C.7D.17

有3^2>o,则不

3.函数/(“)是R上的奇函数，/(I)=2,且对任意X1>X2»

Xl-X2

等式・2W/(x・1)W2的解集为()

A.[0,2]B.10,1]C.[-1,1JD.[-1,0J

4.设/(x)的定义域为R,图象关于)，轴对称，且f(x)在［0,+8)上为增函数，则/(・

2),/(-TT),f(3)的大小顺序是()

A./(-H)</(-2)</(3)B./(-2)</(3)</(-n)

C./(-n)</(3)</(-2)D./(3)</(-2)</(-TT)

X2(X1WX2)都有"小)一"犯)

5.定义在R上的奇函数/(x)对任意xi，<0,若s满足不

X1-X2

等式f(，-25+3)W-/(s-2，+3),则s的取值范围是()

A.[-3,2JB.[-3,-2]C.[-2,3)D.[-3,-1)

6.已知偶函数/(x)在(・8,0)上单调递增，则()

A./(I)>/(2)B./(I)</(2)

C./(I)=/(2)D.以上都有可能

7.已知定义在R上的函数满足/(x)=/(K+5),当X€［-2,0)时，f(x)=-(x+2)

2,当.隹[0,3)时，/(x)=筋则/(I)4/(2)+-••+/(2021)=()

A.809B.811C.1011D.1013

8.下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是()

1

A.y=7B.f(x)=/c./(x)D.y=-x

9.定义在R上的偶函数，(x)在［0,5］上是增函数，且/(5)=3,则/(x)在［-5,0］上

是()

A.增函数，且最大值是3B.减函数，且最大值是3

第1页共23页

C.增函数，且最小值是3D.减函数，且最小值是3

10.己知函数f(x)=-l+若f=多则/(-a)=()

2248

---c----

A.3B.33D.3

11.已知函数/(x)=-x|x|+2x,则下列结论正确的是()

A.递增区间是(0,+8)B.递减区间是(-8,-1)

C.递增区间是(-8,・1)D.递增区间是(-1,1)

12.若函数/G)=|3户〃|的单调递减区间是(-8,3］,则〃的值为()

A.9B.3C.-9D.-3

13.已知函数/(外=4-4x+8在［5,10］上单调递减，且/(x)在［5,10］上的最小值为一

32,则实数k的值为()

441

A.B.0C.0或一春D.0或一

□□7

14.若定义在R上的偶函数/(上和奇函数gG)满足/(x)-2g(x)=2?-3+3,则/

(-2)=()

A.11B.6C.10D.12

15.函数/G)=一3%+2的单调递增区间是()

3

A.(-8,-)B.(2,+8)C.(1,+8)D.(-8,1)

2

16.已知函数/⑺，己,且/(x)满足脏1)+1#(-%)=2%,则f⑵的值是()

A.4.5B.3.5C.2.5D.1.5

17.下列函数中在定义域上既是奇函数又是增函数的为()

A.y=x+lB.y=-C.y=/D.尸一：

18.已知函数/(x)在R上单调递减，若/(4+«)2/(-。)，则实数。的取值范围是()

A.［-2,+8)B.(-8,-2］C.(-2,+8)D.(-8,-2)

19.已知函数/(%)=j^+ax^+bx-8,若/(-3)=10,则/(3)=()

A.-26B.26C.18D.10

20.设函数/(l)=/+(«-1)，+以，若f(x)为奇函数，则a的值为()

A.0B.1C.-1D.1或0

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21.已知定义在R上的偶函数/G)满足/(x)=/(2-x),且工曰0,1］时，=/,

贝疗(一当=()

113

A.-B.-C.-D.I

424

22.下列函数既是偶函数，又在(0,+8)上为减函数的是()

A.y=x2B.y=x2C.y=xiD.y=x4

二.填空题(共9小题)

23.若f(x)为偶函数，且当“WO时，=2x-1,则不等式f5)>/(2v-1)的解

集.

3

24.已知函数/(X)是奇函数，且满足/(x)=f(3-x),若当xE［0,［时，/(X)=五，

则/(2020)=.

Y+1xV0

(2%13>0'则/(/(0))=.

26.设函数f⑺%>°,贝Y(-3)=.

/(x+2),x<0

27.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数且f(l+x)=/(1-x),若/(1)=9,则/(2019)

28.如果函数f(x)=7-2改+2在区间(3,+8)上是增函数，则q的取值范围为.

29.函数尸与Lxe［3,5］的最小值是.

30.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x20时,/(x)=PhAUiJ/(-1)=.

31.已知f(2r+l)=?-2x,则/>(9)=.

三.解答题(共11小题)

32.已知函数/(X)=占，xG(2,+8).

(1)若。=4,判断函数/(x)在定义域上的单调性，并利用单调性定义证明你的结论.

(2)若函数f(x)在区间(2,+8)上单调递减，写出〃的取值范围(无需证明).

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33.已知函数f(x)=W+C2a-1)x-3.

(1)当a=2,尤［-2,3］时，求函数/(x)的值域.

(2)若函数/(x)在［-1,3］上单调递增，求实数。的取值范围.

34.已知函数/(x)是定义在R上的偶函数，当x20时，/(x)=f-4x+l.

(1)求/(x)的解析式：

(2)求函数/(jv)在［6f+1］(，20)上的最小值g(r).

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35.已知函数/(x)是定义在(7,1)上的奇函数，且在炬(-1,0)时，有/(x)=

/-X.

(1)求/(x)在(0,1)上的解析式;

(2)若/(x)T，求实数x的值.

36.已知/(x)=

(1)用定义证明f(%)在区间［1,+8)上是增函数；

(2)求该函数在区间［2,4］上的最大值与最小值以及取最值时K的值.

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37.对于任意的实数a,b,〃〃川a"}表示a,b中较小的那个数，即min{a,b]=]

(b,a>b

已知函数f(x)=3-x2,g(x)=1-x.

(1)求函数f(x)在区间[-1,1]上的最小值；

(2)设人(x)=min{f(x),g(x)),AGR,求函数人(x)的最大值.

38.已知函数f(x)=至¥.

X,i"4

(1)证明函数f(x)在(・2,+8)上单调递减；

(2)当在(-2,2)时，有了(-2〃?+3)>/(m2),求利的范围.

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39.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，/G)=-X2+2X.

(1)求函数在R内的解析式；

(2)若函数f(x)在区间L1，上是单调函数，求实数。的取值范围.

40.己知函数/(x)=衣氐.

(I)求fg)+/(2)的值；

(II)求V<2)+…"(2019)V<2020)的值.

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41.定义在R上的奇函数f(x)是单调函数，满足/(3)=6,且/(x+y)=f(x)+f(y)

(x,yGR).

(1)求/(0),/(1)；

(2)若对于任意无£成，3］都有f(扇)t/•⑵-1)V0成立，求实数2的取值范围.

42.己知函数/(%)满足/(2-x)=f(2+x),当xW2时，f(x)=-x^+kx+2.

(1)求/(x)的解析式；

(2)求/(x)在［2,4］上的最大值.

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2020-2021学年高中数学必修第一册3.2函数的基本性质

参考答案与试题解析

一.选择题(共22小题)

x-2,x>5

1.设(f%),则/(3)的值为()

/(7(%+3))，x<5

A.2B.3C.4D.5

x-2,x>5

【解答】解：•・•/•(%)=

/(/Q+3))，

・"(3)="(6)]=/(4)=fif⑺]=/(5)=5-2=3.

故选：B.

x2+1Q>2)

2.己知函数f(%)-,则/(I)=()

/(%+3)(x<2)

A.2B.12C.7D.17

x2+l(x>2)

【解答】解：•・•函数/(x)=

/(x+3)(x<2)

：.f(1)=/(4)=42+l=17.

故选：D.

3.函数/(%)是R上的奇函数，/(I)=2,且对任意XI>M，有""i)一>0,则不

Xi-x2

等式・2W/(x・1)W2的解集为()

A.[0,2]B.[0,1]C.[-1,1]D.[-1,0]

【解答】解：•・•对任意X1>X2,有‘"1)一""2)>任

Xi-xz

：.f(x)在R上单调递增,

又/(x)是R上的奇函数，/(I)=2,

所以/(-1)=-2,

则由不等式-2Wf(x-1)W2可得/(-1)-1)Wf(1),

所以・IWX-1W1,

解可得，(XW2.

故选：A.

4.设/(公的定义域为R,图象关于)，轴对称，且fCr)在［0,+8)上为增函数，则/(-

2),/(-TT),/(3)的大小顺序是()

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A./(-K)</(-2)</(3)B./(-2)</(3)</(-n)

C./(-n)</(3)</(-2)D./(3)</(-2)</(-TT)

【解答】解：•./(x)(xWR)图象关于)，轴对称，故为偶函数，

.*./(-2)=/(2),/(-n)=/(TT),

V/(x)在[0,+8)上是增函数，2V3Vn,

A/(2)</(3)</(n),

・•・/(-2)</(3)</(-n),

故选：B.

5.定义在R上的奇函数f(%)对任意汨，。(X1WX2)都有"必)—"'2)vo,若$满足不

X1-X2

等式f(，-25+3)W-/(s-2s2+3),则s的取值范围是()

A.[-3,2JB.[-3,-2]C.[-2,3)D.[-3,-1)

【解答】解：因为对任意M，XI(X|#X2)都有&'一""21a,

%1—32

所以f(%)在R上单调递减，且为奇函数，

若s满足不等式/(，-2+3)w-/(s-2s2+3)=/(-S+2S2-3)

贝ijs2-2s+32-s+2s2-3,

所以J+s-6W0,

解可得，-3WsW2

故选:A.

6.已知偶函数/(x)在(-8,0)上单调递增，则()

A./(1)>f(2)B./(1)</(2)

C./(I)=/(2)D.以上都有可能

【解答】解：•・•已知偶函数/5)在(-8,0)上单调递增，

：.f(x)在(0,+8)上单调递减，

：.f(1)>/(2),

故选：A.

7.已知定义在R上的函数/(%)满足"4)=/(x+5),当xE[-2,0)时，/(x)=-(x+2)

2,当x€[0,3)时，/(x)=第则/(I)+f(2)+-V(2021)=()

A.809B.811C.1011D.1013

【解答】解：由f(x)=/(x+5)可知f(x)周期为5,

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当4日-2,0)时，/(x)=-(x+2)2,当文日0,3)时，/(x)=■

可知f(-2)=0,/(-1)=-1,/(0)=0,/(I)=1,/(2)=2,

・•・/(・2)4/(・1)4/(0)4/(1)^(2)=2,

・•・每个周期：

/(x)+f(.x+\)+f(x+2)+f(x+3)+f(x+4)=2,

：.f(1)+f<2)+-+f(2021)=/(l)+2X404=809.

故选：A.

8.下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是()

A.y=j?B.f(x)=/C.f(x)=D.y=-x

【解答】解：根据题意，依次分析选项：

对于4,y=/,是对称轴为)，袖的一次函数，是偶函数，不符合题意，

对于8,/(x)=?,是幕函数，是奇函数但在R上是增函数，不符合题意，

对于C,f(x)=g是反比例函数，是奇函数但在其定义域上不是减函数，需分开区间

来说，不符合题意，

对于。，y=-x,是正比例函数，既是奇函数又是减函数，符合题意，

故选：。.

9.定义在R上的偶函数f(上)在［0,5］上是增函数，且/(5)=3,则f(x)在［-5,0］上

是()

A.增函数，且最大值是3B.减函数，且最大值是3

C.增函数，且最小值是3D.减函数，且最小值是3

【解答】解：•・,定义域为R的偶函数/(外在［0,5］上是增函数，

・••在［-5,0)上是减函数，

A/(x)在［-5,0］上有最大值/(-5),

又・"(5)=3,：.f(-5)=/(5)=3,

故选：B.

10.己知函数/(x)=-1+昼亍若/(。)=则/(-。)=()

2248

---C--a--

A.3B.333

【解答】解：根据题意，函数,f(x)=则/(・x)=7+号=

第11页共23页

则有/(x)=-2,

若/(〃)=|,则/(-a)=-2-1=-1,

故选：O.

11.已知函数/(x)=・xR+2x,则下列结论正确的是()

A.递增区间是(0,+8)B.递减区间是(・8,-1)

C.递增区间是(-8,-1)D,递增区间是(-1,1)

【解答】解：/(1)=-沏+久=『『+2-x>0f

{,X24-2x,x<0

当x20时，/(x)的开口向下，对称轴为x=l,

单调递增区间为［0,1),单调递减区间为(1,+8)；

当xVO时./(x)的开口向卜,对称轴为x=-1.

单调递增区间为(・1,0),单调递减区间为(・8,-1),

综上，函数/(x)的单调递增区间为(-1,1),单调递减区间为(-8,-1)和(1,

+8).

故选：。.

12.若函数/(%)=|3x+a|的单调递减区间是(-8,31，则。的值为()

A.9B.3C.-9D.-3

【解答】解：/(x)=|3x+a|是由y=|3x|的图象向左或向右平移自个单位得到，

而y=|3x|的单调递减区间为(・8,0］,

所以./•(%)一|3x+a|的单调递减区间为(-e,_«］,

O

所以一卷=3,所以a=-9.

故选：C.

13.已知函数/(x)=扇-叙+8在［5,10］上单调递减，且f(x)在［5,10］上的最小值为-

32,则实数k的值为()

A.一/B.0C.0或一？D.0或一

□07

【解答】解：由函数的单调性可知当x=10时，函数有最小值，即：

100)1-40+8=-32,解得：k=0,

当4=0时，f(x)=-4x+8,函数单调递减，满足题意.

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故选：B.

14.若定义在R上的偶函数/&)和奇函数g(x)满足/CO-2gJ)=2?-J+3,则/

(-2)=()

A.11B.6C.10D.12

【解答】解：；定义在R上的偶函数/(x)和奇函数g(x),

:・f(-x)=f(x),g(-X)=-g(x)

V/(x)-2g(x)=2?-^+3,

・••令x=2,/(2)-2g(2)=3,①

令4=-2,/(-2)-2g(-2)=19,

/./(2)+2g(2)=19,②，

①+②，2/(2)=22,：.f(2)=11,

・•・/(-2)=/(2)=11.

故选：A.

15.函数/(x)=A//-3%+2的单调递增区间是()

3

A.(-8,-)B.(2,+8)C.(1,+°°)D.(-8,1)

2

【解答】解：函数有意义，则：/-3x+220,解得：“22或W1,

二次函数y=9-3x+2在区间(2,+oo)上单调递增，在区间(-8,1)上单调递减，

事函数y=正在定义域内单调递增，

由复合函数单调性的法则可得，函数f(x)=Vx2-3%+2的单调递增区间为(2,+8).

故选：B.

16.已知函数/(%),GW0),且“%)满足/$+》(-%)=2%,则/72)的值是()

A.4.5B.3.5C.2.5D.1.5

【解答】解：根据题意，函数/(x)满足f(3+9f(-x)=2x,

令x=-2可得：/(-1)(2)=・4①，

令大=扣得：/(2)+2f(-1)=1②

②X2-①可得：/(2)=1=4.5,

故选：A.

17.下列函数中在定义域上既是奇函数又是增函数的为()

第13页共23页

A.y=x+\B.y=-J?C.y=dD.y=-i

【解答】解:A.y=x+l的图象不关于原点对称，不是奇函数，，该选项错误；

B,y=-f是偶函数；.♦・该选项错误；

C,y=/为第函数，在其定义域上为奇函数，且是增函数，符合题意；

产-1为反比例函数，在其定义域上为奇函数，但不是增函数，不符合题意；

故选：C.

18.己知函数/(外在R上单调递减，若f(4+a)2/(-。)，则实数。的取值范围是()

A.[-2,+8)B.(-8,-2]C.(-2,+8)D.(-8,-2)

【解答】解：•・•函数/(x)在R上单调递减，f(4+〃)2/(-。)，

所以4+aW-a,解得aW-2,

即实数a的取值范围是(・8,・21.

故选：B.

19.已知函数f(x)=^+ax^+bx-8,若f(-3)=10,则/(3)=()

A.-26B.26C.18D.10

【解答】解：令g(x)=9+-+法，由函数奇偶性的定义，易得其为奇函数；

则/(x)=g(X)-8,

所以f(-3)=g(-3)-8=10,

得g(-3)=18,又因为g(x)是奇函数，即g(3)=-g(-3),

所以g(3)=-18,则f(3)=g(3)-8=-26.

故选:A.

20.设函数/(x)=/+(a-1)?+ar,若/(x)为奇函数，则a的值为()

A.0B.1C.-1D.1或0

【解答】解：由奇函数的性质可知，/(-x)=-/(外恒成立，

故-d+(a-1)x2-ax=-x3-(a-1)x2-ax,

整理可得，(a-1)f=0即a-1=0,

所以a=\.

故选：B.

21.已知定义在R上的偶函数/(%)满足/(x)=/(2-x),且46[0,1]时，/(x)=7,

则/(-¥)=()

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D.1

【解答】解：由/(x)=/(2-x)=/(-X),

可可得f(x)=f(x+2)即/(如为周期为2的函数，

所以f(一号)=/(—芋+6)=/(}=

故选:A.

22.下列函数既是偶函数，又在(0,+8)上为减函数的是()

A.y=x2B.y=x'2C.y=dD.y=x4

【解答】解：根据题意，依次分析选项：

对于A,)，=%：=依，函数的定义域为［0,+8),不是偶函数，不符合题意，

对于从y=/2,是基函数，既是偶函数，又在(0,+8)上为减函数，符合题意，

对于C,y=/,是幕函数，是奇函数不是偶函数，不符合题意，

对于。，y=x4,是基函数，是偶函数，在区间(0,+8)上为增函数，不符合题意，

故选:B.

二.填空题(共9小题)

23.若/'(x)为偶函数，且当xWO时，/(x)=2x-L则不等式fCr)>/(2x-1)的解

集Ur>l或x<|j_.

【解答】解：因为/(x)为偶函数，且当xWO时，/Xx)=2x-l单调递增，

根据偶函数的对称性可知，当x>0时，函数单调递减，距离对称轴越远，函数值越小，

则由不等式/(X)1)可得|x|V|2x-1|,

两边平方可得，；V47-4x+L

整理可得，(3l1)(厂1)>0,

解可得，Q1或xj

故答案为：{小>1或xV4}

3

24.已知函数/(X)是奇函数，且满足/(幻=/(3-x),若当房［0,习时，/(x)=《,

则/(2020)=-1.

【解答】解：因为/(%)是奇函数，

所以/(-%)=-f(x),

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又fQx)=/(3-x)即/'(3+x)=/(-x)=-f(x),

所以/(x+6)=f3,

当x6[0,卞时，f(X)=Vx»

则/(2020)=/(336X6+4)=/(4)=・/(l)=-1.

故答案为：■1

Y+1YV0

{2/1~>Q,则f(/(0))=1.

【解答】解：・函数/(x)=户1'

[2X-1,x>0

/./(0)=0+1=1,

/(/(0))=/(1)=2-1=1.

故答案为：1.

26.设函数/(x)="+.，X>0,则/(-3)=4.

/(X+2),<0

3

【解答】解：因为/⑺="丁X>Q,

f(x+2),x<0

所以当4V0时，有/(・3)=/(-1)=/(1),

当x>0时，/(I)=1+3=4,则/(-3)=4.

故答案为：4.

27.已知函数/(x)是定义在R上的奇函数且/(1+x)=/(1-x),若/(1)=9,则/(2019)

=-9.

【解答】解：函数/(x)是定义在R上的奇函数，

所以/(-X)=-/(X)；

又/(1+X)=/(1-X),

所以f(2+x)=/(1-(1+x))=/(-x),

所以，(x+2)=

所以f(x+4)=-f(x+2)=/(x),

所以函数f(x)是周期为4的周期函数；

所以/(2019)=/(-1+505X4)=/(-1)=-/(I)=-9.

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故答案为：-9.

28.如果函数/(x)=/-2办+2在区间(3,+8)上是增函数，则”的取值范围为(-

8,3].

【解答】解：根据题意，函数/(x)=?-2or+2=(x-a)2+2-J,是对称轴为

开口向上的二次函数，

在区间(小+8)上为增函数，

若/(x)在区间(3,+8)上是增函数，必有aW3,即a的取值范围为(-8,3],

故答案为：(-8,3].

29.函数尸与工工日3,5]的最小值是

【解答】解：根据题意，尸铝=2-｝，其导数y=2+上＞0,则该函数在区间[3,

5]为增函数，

则尸3时，函数尸铝取得最小值，其最小值为尸誓士=东

故答案为：|.

30.已知函数/(x)是定义在R上的偶函数，当x20时,/(x)=/+/,则-1)=2.

【解答】解：根据题意，当x20时，/(x)=/+/,则/(I)=1+1=2,

又由f(x)是定义在R上的偶函数，则;•(1)=/(-1)=2,

故答案为：2

31.已知f(2r+l)=?-2x,则/'(9)=8.

【解答】解：根据题意，令2r+l=9,则x=4,

在/(2x+l)・2%中，令x=4HT得，f(9)=16・8=8,

故答案为：8

三.解答题(共H小题)

32.已知函数f(%)=头，尤(2,+8).

(1)若。=4,判断函数/(x)在定义域上的单调性，并利用单调性定义证明你的结论.

(2)若函数/Cv)在区间(2,+8)上单调递减，写出。的取值范围(无需证明).

【解答】解：(1)根据题意，若。=4,则f(x)=当=三半=1+岛，在定义域上

X—LX—LX—L

为减函数，

设2Vxi〈X2,

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则f5）.八a=（1+贵）-（1+端）=（；与短?2），

又由2Vxi〈刈，贝!j（xi-2）>O»（刈-2）>0,（.X2-xi）>0»

则/(xi)-f(JV2)>0,

f(x)在定义域上为减函数,

x+a

⑵/⑴、=—=-x--2+^a+—2=1,+,a—+2,

若函数/(x)在区间(2,+8)上单调递减，必有。+2>0,即。>・2,

。的取值范围是(-2,+8).

33.已知函数f(%)=/+(2。-1)x-3.

(1)当a=2,xE［-2,3］时，求函数/(x)的值域.

(2)若函数f(x)在［-1,3］上单调递增，求实数。的取值范围.

【解答】解：(1)当。=2,xE［-2,3］时，函数/(x)=d+(2^-1)x-3=f+3x-3=

(、

(%+,/32-彳21，

故当户-怖时，函数取得最小值为-笄，当x=3时，函数取得最大值为15,故函数/(x)

的值域为［-亍，15］.

3

-

(2)若函数/(x)在［-1,3］上单调递增,2即实数。的范围为

3、

［-»+8)

34.已知函数/(%)是定义在R上的偶函数，当时，f(x)=^-4.v+l.

(1)求/(x)的解析式；

(2)求函数/(£)在口什1］C20)上的最小值g(Q.

【解答】解：(1)设xVO,则-x>0,

因为函数/(x)是定义在R上的偶函数，当x2O时，/(x)=f-4x+l,

所以/(x)=/(-x)=(-x)2+4X+1=7+4X+1,

X2-4x+1,x>0

所以/(“)=

,x2+4x+1,x<0

(2)在上，什1］G2O)上，f(x)=/-4x+l,开口向上，对称轴x=2,

当1+1W2即/W1时，函数的最小值g(1)=f(f+l)=?-2r-2,

当［22时，函数的最小值g(/)—f(/)=?-4/+1,

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当1V/V2时，函数的最小值g⑺=/（2）=-3,

。2-2（-2,L<1

-3,l<t<2

（t2-4C+1,t>2

35.已知函数/（x）是定义在（7,1）上的奇函数，且在尤（・1,0）时，有/（x）=

x2,-X.

（1）求/（x）在（0,1）上的解析式；

（2）若/（x）=|,求实数x的值.

【解答】解：（1）根据题意，设（0,1）,则-在（-1,0）,

则/1（・X）=（・X）2・（-X）=/+%,

又由函数f（X）为奇函数，则f（X）=-/（-x）=-/-x,

故f（x）=-x2-x,xE（0,1）,

所以当XW(-1,0)时，f(x)=JT-X,

3

-

所以f(x)=A7x=4解得六=-2或（舍）:

当XW（0,1）时，/（X）=--X,

所以/G）=-?-x=1,无解，

故x=—

36.已知f（x）=

（1）用定义证明/（”）在区间［1,+8）上是增函数；

（2）求该函数在区间［2,4］上的最大值与最小值以及取最值时x的值.

【解答】证明：（1）任取用，X2€［b+8）,且加<X2,

xx

则/(%1)—/(小)=^^2X2+1_i~2

上+1(xi+l)(x2+l),

Vxi<X2».*.X1-X2<o»而X]+l>0,X2+l>0,

/./（xi）-f（X2）VO,即f（XI）</（X2）>

•V（x）在区间［1,+8）上是增函数；

解：（2）由（1）知，fG）在区间［2,4］上是单调增函数,

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.一、2x2+152x4+19

・・fOOmin=/(2)=2+1=yf^max=fW=4+1=+

37.对于任意的实数a,b,min{a,b}表示a,b中较小的那个数，即min{a,例={；0.

已知函数f(x)=3-7,g(x)=1-x.

(1)求函数/Cr)在区间［7,1］上的最小值；

(2)设A(x)=min{f(x),g(x)},AGR,求函数0(x)的最大值.

【解答】解：(1)由二次函数的图象及性质可知，函数/(x)在［-1,0］递增，在(0,

1］递减，

又f(-1)=/(1)=2,

・•・函数7•(%)在区间［7,1］上的最小值为2；

(2)令3-7W1-X,解得或x>2,

令3-7>1-x,解得-1VXV2,

.、(3xW—1她22

..h(x)=<,

(1—x,—1<x<2

作出函数/?(x)的图象如下图所示,

38.已知函数/(%)=韶.

(1)证明函数/CO在(-2,+8)上单调递减；

(2)当尤(-2,2)时，有f(-2〃?+3)>/(w2),求加的范围.

【解答】解：(1)证明：根据题意，/(x)=整=3(寰*=3+七,

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设-2〈用VM，则人加)-/(M)=(3+表)-(3+表)=表一表=Q*蔑+2)，

又由-2VX］VM，则加+2>0,刈+2>0,刈-加>0,

则/(XI)-f(JV2)>0,

则/(x)在区间(-2,+8)上单调递减；

(2)根据题意，/(x)在区间(・2,+8)上单调递减，

-2<-2m+3<2

-2<m2<2,

(-2m+3<m2

解可得：IV"v及，即机的范围是(I,V2).

39.已知函数/(%)是定义在R上的奇函数，当x>0时，/(x)=-』+2x.

(1)求函数f(x)在R内的解析式；

(2)若函数f(x)在区间［-1,a-1］上是单调函数，求实数，的取值范围.

【解答】解：(1)设xVO,则・x>0,/(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x.

又/(x)为奇函数，所以/(-x)=-f(x).

于是x〈0时f(x)=x1+2x,

又/(O)=0

-x2+2x,(x>0)

所以f(%)=

,x24-2x,(%VO)

(2)由题意，/(x)在［7,。・1］上单调递增，且xVO时/(x)=，+2x的对称轴工=

当x>0时/(x)=-f+2x的时称轴x=1,

则卜