第二章　第二节　基本不等式

PAGE温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。板块。第二节基本不等式【课标解读】【课程标准】1.掌握基本不等式ab≤a+b2(a,b>0)2.结合具体实例,能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题.【核心素养】数学抽象、数学运算、逻辑推理.【命题说明】考向考法利用基本不等式求最值是高考的重点,通常与函数、数列、解析几何、导数等内容相结合,题型以选择题、填空题为主,中低档难度.预测2025年备考仍以选择题、解答题为主,重点关注利用基本不等式进行大小判断、求最值和求取值范围的问题.【必备知识·逐点夯实】知识梳理·归纳1.基本不等式:ab≤a(1)基本不等式成立的条件:a>0,b>0.(2)等号成立的条件:当且仅当a=b时,等号成立.(3)其中a+b2叫做正数a,b的算术平均数,ab叫做正数a,微点拨利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”.2.利用基本不等式求最值(1)已知x,y都是正数,如果积xy等于定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值2P.(2)已知x,y都是正数,如果和x+y等于定值S,那么当x=y时,积xy有最大值14S2微点拨记忆口诀:两正数的和定积最大,两正数的积定和最小.常用结论1.ab≤(a+b2)2≤a2.常见求最值的模型模型一:mx+nx≥2mn(m>0,n>0,x>0),当且仅当x=n模型二:mx+nx-a=m(x-a)+nx-a+ma≥2mn+ma(m>0,n>0,x>a),当且仅当模型三:xax2+bx+c=1ax+b+cx模型四:x(n-mx)=mx(n-mx)m≤1m·(mx+n-mx2)2=n24基础诊断·自测类型辨析改编易错高考题号14231.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)两个不等式a2+b2≥2ab与a+b2≥ab成立的条件是相同的.(提示:(1)不等式a2+b2≥2ab成立的条件是a,b∈R;不等式a+b2≥ab成立的条件是a>0,(2)函数y=x+1x(x>0)的最小值是2.(√提示:(2)由基本不等式可知y=x+1x≥2,当且仅当x=1时等号成立,故(2)正确(3)函数f(x)=sinx+4sinx的最小值为4.(×提示:(3)函数f(x)=sinx+4sinx(4)x>0且y>0是xy+yx≥2的充分不必要条件.(√提示:(4)由x>0且y>0可以得到xy+yx≥2,反之不成立,所以x>0且y>0是xy+2.(忽视等号成立的条件)函数y=x2+4x2-2(-1<x<0)的值域为(A.{y|y>2} B.{y|y≥2}C.yy≥3 【解析】选D.令t=x2,0<t<1,所以y=x2+4x2-2=t+4t-2,因为对勾函数y=t+4t在0<t<1上单调递减,且没有最大值,所以y=t+4t>1+41=5,所以y=3.(多选题)(2022·新高考Ⅱ卷)若x,y满足x2+y2-xy=1,则()A.x+y≤1 B.x+y≥-2 C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1【解析】选BC.因为ab≤a+b22≤a2+b22(a,b∈R),由x2+y2-xy=1可变形为(x+y)2-1=3xy≤3x+y22,解得-2≤x+y≤2,当且仅当x=y由x2+y2-xy=1可变形为(x2+y2)-1=xy≤x2+y22,解得x2+y2因为x2+y2-xy=1变形可得x-y22+34y2=1,设x-y2=cosθ,32y13sinθ,y=23sinθ,因此x2+y2=cos2θ+53sin2θ+23sinθcosθ=1+13sin2θ-13cos2θ+13=43+23sin2θ4.(人A必修第一册P48习题2.2T1(2)变条件)函数y=x(3-2x)(0≤x≤1)的最大值是.

【解析】因为0≤x≤1,所以3-2x>0,所以y=12·2x·(3-2x)≤12[2x+(3-2x)2]2=答案:9【核心考点·分类突破】考点一利用基本不等式求最值考情提示利用基本不等式求最值时应注意基本不等式成立的条件.高考时,一般不会直接应用基本不等式求最值,常常需要对题目进行“添加项”“换元”或“常数代换”后再利用基本不等式求最值.角度1直接法[例1](1)(2024·滨州模拟)若x>0,则fx=4x+9x的最小值为(A.4 B.9 C.12 D.21【解析】选C.因为x>0,由基本不等式得:fx=4x+9x≥24x·9x=12,当且仅当4x=9x,即x(2)已知a,b∈R,且2a-b-2=0,则9a+13b的最小值为(A.2 B.4 C.6 D.8【解析】选C.因为2a-b-2=0,所以2a-b=2,因为32a>0,3-b>0,所以9a+13b=32a+3-232a×3-当且仅当32a=3-b2a解题技法利用基本不等式求最值的条件必须满足的三个条件为“一正、二定、三相等”.(1)“一正”:各项必须为正数.(2)“二定”:要求和的最小值,必须把构成和的两项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值.(3)“三相等”:利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号,则这个定值就不是所求的最值.角度2配凑法[例2](1)若x<23,则f(x)=3x+1+93xA.最大值0 B.最小值9C.最大值-3 D.最小值-3【解析】选C.因为x<23,所以3xf(x)=3x-2+93x-2+3=-[(2-3x)+9当且仅当2-3x=92-3x,即x(2)已知0<x<22,则x1-2【解析】因为0<x<22所以1-2x2>0,x1-2x2=22·2x1-2x2≤22·2x2+1-答案:2解题技法配凑法求最值的解题策略1.配凑法就是将相关代数式进行适当的变形,通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式,然后利用基本不等式求解最值的方法;2.对于一次二次或二次一次提醒:注意验证等号取得的条件.角度3常数代换法[例3](1)(2024·昆明模拟)已知实数x>0,y>0,x+3y=2,则1x+1y的最小值为(A.3 B.1+3 C.2+32 D【解析】选D.因为x>0,y>0,且x+3y=2,所以1x+1y=121x+1当且仅当3yx=xy,即y=3-3(2)已知正数a,b满足a+b=ab-1,则a+b的最小值为.

【解析】因为a+b=ab-1,所以a=b+1所以b>1.所以a+b=b+1b-1+b=b-1+2=1+2b-1+(b-1)+1=2+(b2+2(b-1)·2b-1=2+22答案:2+22解题技法常数代换法求最值的步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数).(2)把确定的定值(常数)变形为1.(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,进而构造和或积的形式.(4)利用基本不等式求解最值.角度4消元法[例4](2024·烟台模拟)已知x>0,y>0,x+3y+xy=9,则x+3y的最小值为.

【解析】方法一(换元消元法):由已知得9-(x+3y)=xy=13·x·3y≤13·(x+3y2)2,当且仅当x=3y,即x=3,y=1时取等号.即(x+3y)2令x+3y=t,则t>0且t2+12t-108≥0,得t≥6,即x+3y的最小值为6.方法二(代入消元法):由x+3y+xy=9,得x=9-所以x+3y=9-3y1+=9+3y2=3(1+y)+121+y-6≥2=12-6=6,当且仅当3(1+y)=121+y,即y=1,x=3时取等号,所以x+3y答案:6解题技法利用消元法、换元法求最值的方法(1)消元法,即根据条件建立两个量之间的函数关系,然后代入代数式转化为函数的最值求解.有时会出现多元的问题,解决方法是消元后利用基本不等式求解.(2)换元法,求较复杂的式子的最值时,通常利用换元法将式子恰当变形,简化式子,再利用基本不等式求解.角度5由条件等式求a+b或ab的取值范围或最值教考衔接教材情境·研习·典题类[例5](必修第一册P58T5变形式)若a,b>0,且ab=a+b+3,则ab的取值范围为.

【解析】解法一(基本不等式法):由已知得a+b=ab-3,又a,b>0时,a+b≥2ab,所以ab-3≥2ab,所以(ab)2则(ab-3)(ab+1)≥0,所以ab≥3或ab≤-1(舍去),所以ab≥3,则ab≥9,当且仅当a=b=3时,等号成立,所以ab的取值范围为[9,+∞).解法二(换元法):令ab=t(t>0),则a=tb(t>0),代入ab=a+b整理得b2+(3-t)b+t=0,因为该方程有正根,所以Δ即t≥9或t所以ab的取值范围为[9,+∞).答案:[9,+∞)解题导思看问题双变量求范围问题提信息a,b>0,ab=a+b+3定思路[思路①]从结构特征上看,联想到基本不等式法.利用a+b≥2ab与ab=a+b+3建立关于ab的不等式,求解ab的取值范围.[思路②]从方程角度上分析,联想到换元法.令ab=t(t>0),与ab=a+b+3联立建立关于b(或a)的一元二次方程,根据方程有正根,建立关于t的不等式求解t的范围,从而求出ab的取值范围.高考链接(2023·全国乙卷)已知实数x,y满足x2+y2-4x-2y-4=0,则x-y的最大值是()A.1+322 B.4 C.1+32 D【解析】选C.解法一(换元法):令x-y=t,则x=t+y,代入x2+y2-4x-2y-4=0,整理得2y2+(2t-6)y+t2-4t-4=0,因为存在实数y,则Δ≥0,即(2t-6)2-4×2(t2-4t-4)≥0,化简得t2-2t-17≤0,解得1-32≤t≤1+32.所以x-y的最大值为1+32.解法二(基本不等式法):由a2+b2≥2ab(a,b∈R)得a2+b由已知得(x-2)2+(y-1)2=9,所以92==(x-2当且仅当x-2=1-y,即x=4+32y=2-322或x=4-3即92≥x-y-122则|x-y-1|≤32,所以1-32≤x-y≤1+32,故x-y的最大值为1+32.[溯源点评]从命题情境角度上,高考真题与教材题目“形似”,都考查了二元二次方程相关的知识.从解题方法上看“法同”,通过构造变形采用基本不等式法和换元法求解.体现了高考试题对于同一考点可以变换角度与变换题型进行考查.对点训练1.(2024·曲靖模拟)已知0<x<5,则x5-A.1 B.2 C.52 D.【解析】选C.因为0<x<5所以x5-x2=x当且仅当x2=5-x2,即x=10所以x5-x2.若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是()A.2 B.3 C.4 D.5【解析】选D.方法一:由条件得y=x5由x>0,y>0知x>35从而3x+4y=3x+4x5x-3=3x+4x-35+12当且仅当3x-35即x=1,y=12时取等号故3x+4y的最小值为5.方法二:对原条件式转化得3x+1则3x+4y=153x+1当且仅当12yx=3xy,x+3y=5xy,即x=1,y=12时取等号.故33.已知ab>0,a+b=1,则a+4bab【解析】因为ab>0,a+b=1,所以a+4bab=a+b1b+4a=ab+4ba+5≥2ab·4ba答案:9考点二基本不等式的综合应用[例6](1)对任意m,n∈(0,+∞),都有m2-amn+2n2≥0,则实数a的最大值为()A.2 B.22 C.4 D【解析】选B.因为对任意m,n∈(0,+∞),都有m2-amn+2n2≥0,所以m2+2n2≥amn,即a≤m2+2n2mn因为mn+2nm≥2当且仅当mn=2nm,即m=所以a≤22,故实数a的最大值为2(2)已知正数x,y满足4x+9y=xy且x+y<m2-24m有解,则实数m的取值范围是.

【解析】由已知,得4y+9x=1,x+y=(x+y)·(4y+9x)=4x当且仅当4xy=9yx,即x由题意得,(x+y)min<m2-24m,即m2-24m>25,解得m<-1或m>25.答案:(-∞,-1)∪(25,+∞)解题技法利用基本不等式求解综合问题的求解策略(1)当基本不等式与其他知识相结合时,往往是提供一个应用基本不等式的条件,然后利用常数代换法求最值.(2)求参数的值或取值范围时,一般需要结合题目特征,分离参数,利用基本不等式确定等号成立的条件,从而得到参数的值或取值范围.对点训练1.(多选题)实数x,y满足xy+3x=30<x<12,若3x+1y-3<mA.-3 B.-2 C.4 D.5【解析】选AD.因为实数x,y满足xy+3x=3(0<x<12),则x=3y+3,由0<3y+3所以3x+1y-3=y+3+1y-3当且仅当y=4时,等号成立,所以m2-2m>8,即m2-2m-8>0,解得m<-2或m>4.2.(2024·潮州模拟)正实数x,y满足1x+4y=2,且不等式x+y4≥m2-m恒成立,则实数m【解析】因为不等式x+y4≥m2-m所以(x+y4)min因为x>0,y>0,且1x+4所以x+y4=12(x+y4)(1x+4y)=2当且仅当2xy=y8x,即x=1,y=4时,等号成立,所以(x+即(m+1)(m-2)≤0,解得-1≤m≤2.答案:-【加练备选】若∃x∈12,2,使得2x2-λx+1<0成立是假命题,则实数λA.22 B.23 C.4 D.5【解析】选A.因为原命题为假命题,所以其否定:∀x∈12,2,2x2即∀x∈12,2,λ≤2x又2x+1x≥22x·1x=22(当且仅当2x=1x,即x=22时取等号),所以λ考点三基本不等式的实际应用[例7]某公司购买了一批机器投入生产,若每台机器生产的产品可获得的总利润s(单位:万元)与机器运转时间t(单位:年,t∈N*)的关系为s=-t2+23t-64,要使年平均利润最大,则每台机器运转的时间t为()A.5 B.6 C.7 D.8【解析】选D.由题意得,年平均利润y=st=-t-64t+23=-t+64t+23≤-2t·64t+23=7,当且仅当t解题技法有关函数最值的实际问题的解题技巧(1)根据实际问题建立函数的解析式,再利用基本不等式求得函数的最值.(2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.(3)解应用题时,一定要注意变量的实际意义及其取值范围.(4)在应用基本不等式求函数最值时,若等号取不到,可利用函数的单调性求解.对点训练某校生物兴趣小组为开展课题研究,分得一块面积为32m2的矩形空地,并计划在该空地上设置三块全等的矩形试验区(如图所示).要求试验区四周各空0.5m,各试验区之间也空0.5m.则每块试验区的面积的最大值为m2.

【解析】设矩形空地的长为xm,则宽为32xm,设试验区的总面积为Sm2,所以S=(x-0.5×4)·(32x-0.5×2)=34-x-64x≤34-2x·64x=18,当且仅当x=64x答案:6【加练备选】已知圆锥的母线长为2,侧面积为S,体积为V,则VS取得最大值时圆锥的体积为(A.2π3 B.42π3 C.2【解析】选D.设圆锥底面半径为r,高为h,由题意可得母线l=2,所以圆锥的侧面积为S=πrl=2πr,且h=l2-r2=4-r2,所以圆锥的体积为V=13πr2h=13πr2·4-r2,则VS=13πr24-r22πr=16r4-r2≤1【重难突破柯西不等式】柯西不等式是数学中一个非常重要的不等式,除了用柯西不等式来证明一些不等式成立外,柯西不等式还常用于选择、填空求最值的问题中,借助柯西不等式的技巧可以达到事半功倍的效果.1.柯西不等式的代数形式设a,b,c,d均为实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时,等号成立.推广:设a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn∈R,则(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn…+anbn)2,当且仅当bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个实数k,使得ai=kbi(i=1,2,…,n)时,等号成立.2.柯西不等式的向量形式设α,β为平面上的两个向量,则|α||β|≥|α·β|,当且仅当β是零向量,或存在实数k,使α=kβ时,等号成立.3.柯西不等式的三角不等式设x1,y1,x2,y2,x3,y3为任意实数,则(x1≥(x类型一利用柯西不等式求最值[例1](1)(2023·浙江模拟)若sinx+cosy+sin(x+y)=2,则sinx的最小值是()A.0 B.2-3 C.3-7 D.1【解析】选C.由已知sinx+cosy+sinxcosy+cosxsiny=2整理得2-sinx=(sinx+1)cosy+cosxsiny,由柯西不等式得(sinx+1)cosy+cosxsiny≤(sinx=2+2sinx当且仅当(sinx+1)siny=cosycosx时取等号,所以(2-sinx)2≤2+2sinx,即sin2x-6sinx+2≤0,解得3-7≤sinx≤1,所以sinx的最小值为3-7.(2)函数f(x)=25-x+x-4的最大值及取得最大值时A.5,215 B.3,215 C.13,6113 D.【解析】选A.由柯西不等式可知,(25-x+x-4)2≤(22+12)[(5-x)所以25-x+x-4≤5,当且仅当2x-4=故函数f(x)=25-x+x-4的最大值及取得最大值时x的值分别为解题技法柯西不等式求解最值的策略关键是构建条件与结论之间的联系,通过合理的恒等变形与配凑转化,使之符合柯西不等式的结构,利用柯西不等式来转化所求的代数关系式,联系条件来确定对应的最值问题.对点训练1.已知x>0,y>0,x24+y2=1,则22x+2y【解析】由柯西不等式得(x24+y2)(12+12)≥(x2×1+y×1)2=(x2+y)2,所以1×2≥(x2当且仅当x2=y,即x=2,y=22所以x2+y≤2,即22x+2y答案:22.函数y=22-x+2x【解析】因为y=22-x+2x-3=2-x(2-x当且仅当2-x=2x-3所以函数y的最大值为3.答案:3类型二利用柯西不等式证明不等式[例2](1)若直线xa+yb=1过点M(cosα,sinα),则(A.a2+b2≤1 B.a2+b2≥1 C.1a2+1b2≤1 D.【解析】选D.由柯西不等式,得[(1a)2+(1b)2](cos2α+sin2α)≥(cosαa+当且仅当sinαa=又因为点M在直线xa+yb=1上,即cosαa+sinαb(2)已知a1,a2,b1,b2为正实数,求证:(a1b1+a2b2)·(a1b1+a2b2)≥(a1【证明】(a1b1+a2b2)(a1b1+a2b2)=[(a1b1)2+(a2b2)≥(a1b1·a1b1+a2b2·a2b当且仅当b1=b2时,等号成立.解题技法柯西不等式证明不等式成立的策略(1)结合所要证明的不等式,引入一次线性关系式进行配凑,利用柯西不等式加以转化,并利用不等式的性质与恒等变形来证明对应的不等式成立;(2)通过巧妙引入(x2+y2+z2)2,利用柯西不等式的转化,并结合基本不等