2024届陕西省宝鸡实验高级中学高三上学期12月联考理数试题及答案

2024届高三联考数学（理科）试卷第Ⅰ卷60分）本试卷共4页，23题（含选考题）。全卷满分分。考试用时120分钟。一、选择题：（本大题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将正确的答案填涂在答题卡上。）x1．设集合A=xy=3−x,B=xZ0，则A（）x−4A．x0x．x0xC．xNxD．x0x=(++)=(+−)，则“m=2”是“a⊥b”的（2．已知向量am2m1,bm5）A．充分不必要条件B．必要不充分条件．充要条件D．既不充分也不必要条件3.设n是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列命题：m⊥nmnm⊥nnm⊥①若③若，∥，则⊥.②若④若，∥，则.m⊥m⊥m⊥，m⊥，则∥∥，则.，.其中正确命题的序号是(A.①③④)②③④4.fx5是定义在R上的奇函数，且当xm时，fx单调递增，要确保fx的零点唯一，则m的值可以为（A．−4．0①②④①②③(−)()()）C．−5D51(3x2−)3n2x5.若的展开式中含有常数项非零),则正整数n的可能值是（C.5）A.3()N90,26.某地市在X服从正态分布()=()=P88X920.32，PX85m，则下列结论正确的是（A.0m0.34B.m=C.0.34m0.68m=）()=x+)(7.fxsinπ的部分图象如图，)0,0π4fx)m+sin2x恒成立，∥xx则m的取值范围是（）312C．−−3−−，−−−−D．，1A．，．22a+a=a=9aa.a28.等比数列n的各项均为正数，且设123261b=a+a+......+a,bn则数列的前项和Sn=（）n31323n2nn+1114nnn+）A.−2nB.−C.[1-（）n]−239.已知双曲线E：x22−y22=ab0)的右焦点为F点F的直线交双曲线Eab于A、B两点.若AB的中点坐标为，则E的方程为()x2y2x2y2x2y2x2y2A.−=1B.−=1C.−=1−=1520169916151010．某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到10年内每年此农产倍再减去32023产品的销售额为万元，则按照计划该公司从20232032年该产品的销售总额约为（参考数据：10）A3937B.3837．D3637万元11.已知点，BCx2+y2=4上运动，且ABBCP的坐标为（，0|PA+PB+PC|的最大值为（）A7B10C11D14fxx3exa2lnxx1()=(−)+(−+)+)()fx12.已知函数在上有两个极值点,且在()1,2a上单调递增则实数的取值范围是()B.,2e2)e,2e2))(2e2+)A.(e,+)第Ⅱ卷（共90二、填空题：本大题共小题，每小题5分，共分．把答案填在答题卡的相应位置．13.若z=1−i，则|iz−3z|=.14.在△中,内角A、B、C的对边分别是a、b、c,且a的最大值是=b+c+.已知222a=3,S为△的面积则S3cosBcosC+.n+1==x+n+nN)15.已知数列n的前n项和为Sn13,点(S,S)在直线ynn1+n上.则数列n的通项是16.已知曲线f(x)=x+ex在（0，f(0)处的切线与曲线.y=ln(x−+a相切，则a=.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第、题为选考题，考生根据要求作答．17.（本小题满分2设函数=++2.f(x)cos(2x)sinx24（）求函数f(x)[-上的最大值和最小值；,]1231（g(x)xRx[0,]g(x)=−f(x)；g(x+)=g(x)222求函数g(x)在[,0]上的解析式.18.（本小题满分分）2023年10月17日至日，第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，此会的胜利召开进一步促进了国内产品走出国门的一种零件，为了了解零件的生产质量，在某次抽检中，从该厂的中抽出个，测得其内径尺寸（单位：）如下：8，6，4，28.4811p，28.541，28.537，q这里用xn表示有n个尺寸为x的零件，p,q个零件中随机抽8取1个，则这个零件的内径尺寸小于的概率为（）求p,q的值．．25（）已知这个零件内径尺寸的平均数为mm，标准差为，且s=0.02，在某次−+抽检中，若抽取的零件中至少有的零件内径尺寸在xs,xs内，则称本次抽检的零件合格．试问这次抽检的零件是否合格？说明你的理由．19.（本小题满分如图，在底面为矩形的四棱锥P−中，平面(1)证明：⊥平面；⊥平面．PAD=1(2)若=10,=32,且=3，求与平面=，在棱E上，AD所成角的正弦值．20.（本小题满分已知抛物线C:y2=2(p的准线与椭圆x2=1相交所得线段长为3.+y24（）求抛物线C的方程；（）设圆M过(2,0)，且圆心M在抛物线C上，是圆Ｍ在y轴上截得的弦当Ｍ在抛物线C上运动时，弦的长是否有定值？说明理由；（F作互相垂直的两条直线交抛物线C于的面积最小值．21.（本小题满分1已知函数f(x)=−x+ax．x（）讨论f(x)的单调性；（）若f(x)存在两个极值点x,x，证明：f(1)−f(x2)．a−2121−x2请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22.（本小题满分分）选修4-4：坐标系与参数方程=xy=sin3在直角坐标系xOy中，曲线1的参数方程为，以坐标原点为极点，以x()轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为+)=22.24（）写出C的普通方程和C的直角坐标方程；12（）设点P在C上，点Q在C上，求的最小值及此时P的直角坐标.1223.（本小题满分分）选修4-5：不等式选讲已知函数f(x)|2xa|a（）当a=2时，求不等式f(x)6的解集；（）设函数当xR时，f(x)+g(x)3，求a的取值范围.=−+g(x)|2x1|,=−2024届高三联考数学（理科）参考答案一．选择题：题号答案1C2B3A4C5C6A7B8B9D10A11C12D二、填空题13．22．315．an1=+．4+ln2n三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17.（本小题满分122设函数f(x)=cos(2x+)+sin2x24（）求函数f(x),]上的最大值和最小值；31（）设函数g(x)对任意xR，有，且当x[0,]时，g(x)=−f(x)；g(x+)=g(x)222求函数g(x)在[,0]上的解析式.2f(x)=cos(2x+)+sinx22421−2x112=（2x-sin2xsin)+=−sin2x+24422解析：（）由已知..........2分x[-,]2x[-,]12363又因为所以则1sin2x[-]32====，即f(x)f(-)f(x)f()01244,]3f(x)3所以函数在区间上的最大值和最小值分别为和0...........6分4g(x+)=g(x)g(x)（）由2可知函数最小正周期为2，1g(x)=sin2xx[0,]22又由（）可知（）.........7分11x[−0]x+[0，]g(x+)=sin2(x+)=−sin2x222则2222当由当由时，11g(x)=sin2(x+)=−sin2xg(x+)=g(x)2222知..........9分11x[,−)x+[0，)g(x+)=sin2(x+)=sin2x2222时，则1g(x)=sin2xg(x+)=g(x)知..........11分21−sin2x(−x0)22g(x)=1sin2x(x−)22综上，..........12分18.（本小题满分122023年10月日至日，第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，此会的胜利召开进一步促进了国内产品走出国门.某工厂要为“一带一路”沿线某国生产一批内径为个零件中抽出50）如下：8，6，4，28.4811p，28.541，28.537，q这里用xn表示有n个尺寸为x的零件，p,q个零件中随机抽取18个零件的内径尺寸小于的概率为（）求p,q的值．．25（）已知这50个零件内径尺寸的平均数为mm，标准差为，且s=0.02，在某次抽检中，若抽−+取的零件中至少有80%的零件内径尺寸在xs,xs内，则称本次抽检的零件合格．试问这次抽检的零件是否合格？说明你的理由．8+6+4+11+p+1+7+q=p=q=5.1）依题意可得+解得..........5分11q8=,5025（）将每个数据都减去28.50后所得新数据的平均数为10.018+0.02604++(−)+(−)+++(−)=，0.02110.0180.0410.0370.035050所以x=0+28.50=28.50，..........7分所以x−s=x+s=，−+所以这个零件内径尺寸在xs,xs内的个数为50-1-7-5=37...........10分3740因为=0.8，所以这次抽检的零件不合格．..........12分505019.（本小题满分12分）如图，在底面为矩形的四棱锥P−中，平面⊥平面．PAD(1)证明：⊥平面=1(2)若=10,=32,=，在棱上，且=3，求与平面所成角的EAD正弦值．解：过点A作AH⊥PD垂足为H∵平面⊥平面∩平面PCD=PD又AH面AH⊥又∵CD平面PCD∴⊥CD∵AB//CD∴⊥(2)由知⊥平面∴AB⊥∴AH⊥平面分∵ABAH∩AD=AAB⊥平面..........6分∴在三角形,在△中,AB=1∴=PD=32,由勾股定理逆定理可知分以点A为坐标原点，分别以方向为X轴Y轴Z轴建立坐标系如图所示则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,3,0),P(0,0,3),E(0,1,0),∴PB=(1,0,-3),PD=(0,3,-3),PE=(0,1,-3)设平面的法向量为n=,即x−3z=0可知n=3y−3z=0nPB=0设与平面所成角为θ，则211055sin|PE,n==1110∴与平面所成角的正弦值为...........12分20.（本小题满分x2已知抛物线C:y2=2(p的准线与椭圆+y=1相交所得线段长为3.24（）求抛物线C的方程；（M过A(2,0)M在抛物线C上，是圆Ｍ在y轴上截得的弦当Ｍ在抛物线C动时，弦的长是否有定值？说明理由；（）过F作互相垂直的两条直线交抛物线C于、、R、，求四边形的面积最小值．p3p3)代入椭圆1C的准线与椭圆相交线段的一个端点坐标是(−,)(−,2222p23方程化简得+=1，解得p=24所以抛物线C的方程为y2=4x...........4分（）假设Ｍ在抛物线C上运动时弦长有定值，理由如下设M(x,y)在抛物线C上，可知M(x,y)到y轴距离为|x|00000根据圆的弦长公式可知：=2由已知：=(0-2)+y02，y0所以=2−|0|=202−|0|2222=40222−40+4+02−0=42则Ｍ在抛物线C的长的定值为4...........8分（）设过F的直线方程为y=k(x−,Gx,y,Hx,y()()1122y=k(x−由2k2+44得k2x2−(2k2+4)x+k2=0得x+x=，则=2+x+x=4+12y=4x212k2k2同理得=4+k21141所以，四边形的面积T=RS=(4+)(4+4k2)=+k2+)32222k2k即四边形的面积的最小值为32...........12分21.（本小题满分1已知函数f(x)=−x+ax．x（）讨论f(x)的单调性；()−()f1f2（）若f(x)存在两个极值点x,x，证明：a−2．12−121ax−ax+12=−−+=−f(x)1f(x)的定义域为)x2xx2解:1）（）=a)单调递减.40时，即a2或a2时，...........2分=2402a2时，f(x)0a=2，x=1时f(x)0f(x)在=a2（），在)f(x)0上所以f(x)在)单调递减.①若a2a−a2−4a+a−42x=x==②若a2时，令f(x)0得，或.22a−a2−4a+a2−4x),+)f(x)022当当时，；a−a2−4a+a2−4x(,)f(x)022时，.a−a2−4a+a),(2−4(0,,+)f(x)22所以在单调递减，a−a2−4a+a2−4(,)22在单调递增.综上，若a2时，f(x)在)单调递减.a−a2−4a+a),(2−4(0,,+)f(x)22若在a2时，在单调递减，a−a2−4a+a−42(,)22单调递增...........6分f(x)（）由（）知，存在两个极值点当且仅当a2.由于的两个极值点满足，所以=1，f(x)x,xx2−+1=0xx1212xxx12不妨设，则.由于12f(x)−f(x)11−21−22ln212=−−1+a=−2+a=−2+a−xx1212−12−112−22，f(x)−f(x)112a−2−x+2lnx0221−2x2所以等价于.1g(x)=−x+2lnxg(x)在)g=0，x设函数从而当，由（1）知，单调递减，又x)g(x)0.时，1f(x)−f(x)12−x+2lnx0a−222−12x2所以，即...........12分请考生在第22、两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22.（本小题满分分）选修4-4：坐标系与参数方程=xy=sin3cos为参数)在直角坐标系xOy中，曲线1的参数方程为，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为+)=