第七章《随机变量及其分布》章末复习提升与检测

第七章《随机变量及其分布》章末复习提升与检测知识体系能力整合一、条件概率与全概率公式1．求条件概率有两种方法：一种是基于样本空间Ω，先计算P(A)和P(AB)，再利用P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)求解；另一种是缩小样本空间，即以A为样本空间计算AB的概率．2．掌握条件概率与全概率运算，重点提升逻辑推理和数学运算的核心素养．【例1】(1)（2023•甲卷（理））有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为A．0.8 B．0.4 C．0.2 D．0.1【答案】【解析】根据题意，在报名足球或乒乓球俱乐部的70人中，设某人报足球俱乐部为事件，报乒乓球俱乐部为事件，则（A），由于有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，则同时报名两个俱乐部的由人，则，则．故选．(2)某饮料厂生产两种型号的饮料，已知这两种饮料的生产比例分别为，且这两种饮料中的碳酸饮料的比例分别为，若从该厂生产的饮料中任选一瓶，则选到非碳酸饮料的概率约为（

）A．0.12 B．0.20 C．0.44 D．0.32【答案】C【解析】由题意，选到非碳酸饮料的概率为.故选：C.【解题技法】计算条件概率要注意以下三点(1)明白是在谁的条件下，计算谁的概率．(2)明确P(A)，P(B|A)以及P(AB)三者间的关系，实现三者间的互化．(3)理解全概率公式P(A)＝eq\i\su(i＝1,n,P)(Bi)P(A|Bi)中化整为零的计算思想．【跟踪训练】1．某部门对一家食品店的奶类饮品和面包类食品进行质检，已知该食品店中奶类饮品占，面包类食品占，奶类饮品不合格的概率为0.02，面包类食品不合格的概率为0.01．现从该食品店随机抽检一件商品，则该商品不合格的概率为（

）A．0.03 B．0.024 C．0.012 D．0.015【答案】C【解析】设事件表示“抽到的商品为奶类饮品”，事件表示“抽到的商品为面包类食品”，则，设事件表示“抽检的商品不合格”，则，所以，故选：C．2.（2022•天津）52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到的概率为；已知第一次抽到的是，则第二次抽取的概率为．【答案】；．【解析】由题意，设第一次抽到的事件为，第二次抽到的事件为，则，（B），，二、离散型随机变量的分布列、均值和方差1．均值和方差都是随机变量的重要的数字特征，方差是建立在均值的基础之上，它表明了随机变量所取的值相对于它的均值的集中与离散程度，二者的联系密切，在现实生产生活中的应用比较广泛．2．掌握离散型随机变量的分布列、均值和方差，重点提升逻辑推理与运算的核心素养．角度1二项分布的均值、方差【例2】某厂有4台大型机器，在一个月中，一台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修，每台机器出现故障需要维修的概率为．（1）问该厂至少有多少名维修工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不小于？（2）已知1名工人每月只有维修1台机器的能力，每月需支付给每位工人1万元的工资，每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，能使该厂产生5万元的利润，否则将不产生利润．若该厂现有2名工人，求该厂每月获利的均值．【解】（1）设“机器出现故障设”为事件，则．设出现故障的机器台数为，则，，，，，．故的分布列为01234设该厂有名工人，则“每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修”为，，，，…，，这个互斥事件的和事件，则01234因为，所以至少要3名工人，才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不小于．（2）设该厂获利为万元，则的所有可能取值为18，13，8，，，．故的分布列为18138所以，故该厂获利的均值为万元．角度2超几何分布的均值、方差【例3】某学院为了调查本校学生2023年4月“健康上网”(健康上网是指每天上网不超过两个小时)的天数情况，随机抽取了40名本校学生，统计他们在该月30天内健康上网的天数，并将所得的数据分成以下六组：[0,5]，(5,10]，(10,15]，…，(25,30]，由此画出样本的频率分布直方图，如图所示．(1)根据频率分布直方图，求这40名学生中健康上网天数超过20的人数；(2)现从这40名学生中任取2名，设Y为取出的2名学生中健康上网天数超过20的人数，求Y的分布列及均值E(Y)．【解】(1)由图可知，健康上网天数未超过20的频率为(0.01＋0.02＋0.03＋0.09)×5＝0.15×5＝0.75，所以健康上网天数超过20的学生人数是40×(1－0.75)＝40×0.25＝10.(2)随机变量Y的所有可能取值为0,1,2，且Y服从超几何分布．所以P(Y＝0)＝eq\f(C\o\al(2,30),C\o\al(2,40))＝eq\f(29,52)，P(Y＝1)＝eq\f(C\o\al(1,10)C\o\al(1,30),C\o\al(2,40))＝eq\f(5,13)，P(Y＝2)＝eq\f(C\o\al(2,10),C\o\al(2,40))＝eq\f(3,52).所以Y的分布列为Y012Peq\f(29,52)eq\f(5,13)eq\f(3,52)所以Y的均值E(Y)＝1×eq\f(5,13)＋2×eq\f(3,52)＝eq\f(1,2).【解题技法】(1)关于二项分布的应用把握二项分布的关键是理解随机试验中n次、独立、重复这些字眼，即试验是多次进行，试验之间是相互独立的，每次试验的概率是相同的，判定随机变量符合二项分布后结合相应的公式进行计算．(2)关于超几何分布的应用不放回取次品是超几何分布的典型试验，可以将取球、选队员等试验归入超几何分布问题，再利用其概率、均值公式进行计算．【跟踪训练】1．2022年卡塔尔世界杯决赛中，阿根廷队与法国队在120分钟比赛中战平，经过四轮点球大战阿根廷队以总分战胜法国队，第三次获得世界杯冠军．其中门将马丁内斯扑出法国队员的点球，表现神勇，扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有的可能性扑不到球．若不考虑其他因素，在点球大战中，门将在前四次扑出点球的个数X的期望为（

）A． B． C． D．2【答案】C【解析】依题意可得，门将每次可以扑出点球的概率为．门将在前四次扑出点球的个数X可能的取值为0，1，2，3，4．，，，1，2，3，4．期望．故选：C．2．某学校实行自主招生，参加自主招生的学生从8道试题中随机挑选4道进行作答，至少答对3道才能通过初试.记在这8道试题中甲能答对6道，甲答对试题的个数为，则甲通过自主招生初试的概率为，.【答案】3【解析】依题意，知甲能通过自主招生初试的概率为.由于的可能取值为2，3，4，，故.三、正态分布及其应用解答正态分布的实际应用题，关键是如何转化，同时注意以下两点：(1)注意“3σ”原则，记住正态总体在三个区间内取值的概率．(2)注意数形结合．由于正态分布密度曲线具有完美的对称性，体现了数形结合的重要思想，因此运用对称性和结合图象解决某一区间内的概率问题成为热点问题．【例4】（1）（2021•新高考Ⅱ）某物理量的测量结果服从正态分布，则下列结论中不正确的是A．越小，该物理量在一次测量中落在内的概率越大 B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等 D．该物理量在一次测量中结果落在与落在的概率相等【答案】【解析】因为某物理量的测量结果服从正态分布，所以测量的结果的概率分布关于10对称，且方差越小，则分布越集中，对于，越小，概率越集中在10左右，则该物理量一次测量结果落在内的概率越大，故选项正确；对于，测量结果大于10的概率为0.5，故选项正确；对于，由于概率分布关于10对称，所以测量结果大于10.01的概率等于小于9.99的概率，故选项正确；对于，由于概率分布是集中在10附近的，分布在10附近的区域大于分布在10附近的区域，故测量结果落在内的概率大于落在内的概率，故选项错误．故选：．（2）某早餐店发现加入网络平台后，每天小笼包的销售量（单位：个），估计300天内小笼包的销售量约在950到1100个的天数大约是（

）（若随机变量，则，，）A．236 B．246 C．270 D．275【答案】B【解析】由题可知，，，.所以300天内小笼包的销售量约在950到1100个的天数大约是天．故选B．【解题技法】利用正态曲线解决实际问题时常利用其对称性解题，并注意借助[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]三个区间内的概率值求解，要注意正态曲线与频率分布直方图的结合．【跟踪训练】1．某校1000名学生参加数学期末考试，每名学生的成绩服从，成绩不低于120分为优秀，依此估计优秀的学生人数约为（

）附：若，则.A．23 B．46 C．159 D．317【答案】C【解析】由，得，则，估计优秀的学生人数约为.故选：C2.（2022•新高考Ⅱ）已知随机变量服从正态分布，且，则．【答案】0.14．【解析】随机变量服从正态分布，，，章末检测(时间：120分钟，满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．5件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是（

）A．取到产品的件数 B．取到正品的概率C．取到次品的件数 D．取到次品的概率【答案】C【解析】对于A，5件产品中有3件次品，从中任取2件，取到产品的件数是一个常量不是变量，BD也是一个定值，而C中取到次品的件数可能为0、1、2是随机变量.故选C2．已知随机变量服从二项分布，即等于（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为随机变量服从二项分布，所以，故选D3．“黄梅时节家家雨，青草池塘处处蛙”，黄梅时节就是梅雨季节，每年6月至7月会出现持续天阴有雨的天气，它是一种自然气候现象.根据历史数据统计，长江中下游某地区在黄梅时节每天下雨的概率为.假设每天是否下雨互不影响，则该地区黄梅时节连续两天中至少有一天下雨的概率为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为长江中下游某地区在黄梅时节每天下雨的概率为，且每天是否下雨互不影响，所以该地区黄梅时节连续两天中至少有一天下雨的概率为：，故选A4．若随机变量的分布列为X0123P0.10.20.10.30.10.2则当时，实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由随机变量的分布列知:，则当时，实数的取值范围是，故选C.5．已知随机变量服从正态分布，若，则等于（

）A．0.484 B．0.439 C．0.878 D．0.939【答案】B【解析】因为，所以，故选B.6．若随机变量服从两点分布，其中，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意可知，，则，故，故选A7．2023年3月13日第十四届全国人民代表大会第一次会议在北京胜利闭幕，某中学为了贯彻学习“两会”精神，举办“学两会，知国事”知识竞赛．高二学生代表队由A，B，C，D，E共5名成员组成，现从这5名成员中随机抽选3名参加学校决赛，则在学生A被抽到的条件下，学生B也被抽到的概率为（

）．A． B． C． D．【答案】B【解析】记事件A：学生A被抽到，事件B：学生B被抽到，所以，，所以．故选B8．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一次发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为，发球次数为X，若X的数学期望，则P的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据题意，学生一次发球成功的概率为p，即，发球次数为2即二次发球成功的概率为，发球次数为3的概率为，则期望，依题意有，即，解得或，结合p的实际意义，可得，故选C．二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9．一个袋中有个同样大小的黑球，编号为，还有个同样大小的白球，编号为.现从中任取个球，下列变量服从超几何分布的是（

）A．表示取出的最大号码B．表示取出的最小号码C．取出一个黑球记分，取出一个白球记分，表示取出的个球的总得分D．表示取出的黑球个数【答案】CD【解析】AB不符合超几何分布的定义，无法用超几何分布的数学模型计算概率，即AB错；CD选项符合超几何分布的定义，将黑球视作次品，白球视作正品，则可以用超几何分布的数学模型计算概率，即CD正确；故选：CD.10．设离散型随机变量的分布列为：012340.40.10.20.2若离散型随机变量满足，则下列结果正确的有（

）A． B． C． D．【答案】ABC【解析】对A：由，解得，故A正确；对B：，，故B正确；对C：，故C正确；对D：，故D错误.故选：ABC.11．下列关于随机变量X的说法正确的是（

）A．若X服从正态分布，则B．已知随机变量X服从二项分布，且，随机变量Y服从正态分布，若，则C．若X服从超几何分布，则期望D．若X服从二项分布，则方差【答案】BCD【解析】对A，由于，所以，根据方差的性质，，故A错误；对B，服从二项分布，，解得，，根据正态分布的对称性可得，，故B正确；对C，服从超几何分布，根据超几何分布的期望公式，，故C正确；对D，服从二项分布，根据二项分布方差公式得，，故D正确.故选：BCD.三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中横线上)12．设某批产品中，甲、乙、丙三厂生产的产品分别占45%、35%、20%，各厂的产品的次品率分别为4%、2%、5%，现从中任取一件，则取到的次品的概率为．【答案】【解析】由题设，从中任取一件取到的次品的概率为.13．已知随机变量的分布列如表：012mn若，则．【答案】【解析】，①，又②，联立①②得，所以，则．14．一个质地均匀的正方体的六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6，现连续抛掷该正方体n次，发现落地后向上数字大于4的平均次数不小于3，则抛掷次数n的最小值为．【答案】9【解析】依题意，每次抛掷正方体落地后出现向上数字大于4的概率为，设X表示抛掷n次，落地向上数字大于4的次数，则，因此，解得，所以抛掷次数n的最小值为9.四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．（本小题满分13分）将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求：(1)恰好出现5次正面朝上的概率；(2)正面朝上出现的频率在内的概率．【解析】（1）设“抛掷一枚质地均匀的硬币正面朝上”，则,设表示事件A发生的次数，则．则恰好出现5次正面朝上即，所以，故恰好出现5次正面朝上的概率为.（2）由（1）知，抛掷一枚质地均匀的硬币正面朝上的概率为，重复抛掷10次正面朝上出现的频率在内，即．所以．16.（本小题满分15分）作为一种益智游戏，中国象棋具有悠久的历史，中国象棋的背后，体现的是博大精深的中华文化．为了推广中国象棋，某地举办了一次地区性的中国象棋比赛，小明作为选手参加．除小明以外的其他参赛选手中，50%是一类棋手，25%是二类棋手，其余的是三类棋手．小明与一、二、三类棋手比赛获胜的概率分别是0.3、0.4和0.5．(1)从参赛选手中随机选取一位棋手与小明比赛，求小明获胜的概率；(2)如果小明获胜，求与小明比赛的棋手为一类棋手的概率．【解析】（1）设“小明与第i（，2，3）类棋手相遇”，根据题意，，记“小明获胜”，则有，，，由全概率公式，小明在比赛中获胜的概率为，所以小明获胜的概率为0.375．（2）小明获胜时，则与小明比赛的棋手为一类棋手的概率为，即小明获胜，对手为一类棋手的概率为0.4．17.（本小题满分15分）体育课上，体育老师安排了篮球测试，规定：每位同学有次投篮机会，若投中次或次，则测试通过，若没有通过测试，则必须进行投篮训练，每人投篮次.已知甲同学每次投中的概率为且每次是否投中相互独立.(1)求甲同学通过测试的概率；(2)若乙同学每次投中的概率为且每次是否投中相互独立.设经过测试后，甲、乙两位同学需要进行投篮训练的投篮次数之和为，求的分布列与均值.【解析】（1）解：记事件甲同学通过测试，则甲同学在次投篮中，投中次或次，则.（2）若甲通过测试，则前两次投中或者三次投篮中，第三次投中，前两次有一次投中，所以，甲通过测试的概率为，同理可知，乙通过测试的概率为，由题意可知，随机变量的可能取值有、、，，，，所以，随机变量的分布列如下表所示：故.18.（本小题满分17分）近日，某企业举行