1.1.3直线的方程课件高二上学期数学北师大版选择性

北师大版（2019）选择性必修第一册1.1.3直线的方程探索新知02问题提出

问题：我们知道，一点与一个方向可以确定一条直线.例如，如图，直线l经过点P(0,3)，且斜率k=2，则直线l上的每个点在平面直角坐标系中的位置就被确定了.也就是说，对于直线l上不同于点P的每一个点，其坐标都和已知点P的坐标与斜率存在某种恒定的数量关系.那么，这一数量关系是什么呢？知识点1

直线方程的点斜式探索新知02分析理解

问题1：若直线l经过点P(0,3)，斜率为2，点Q(x,y)是直线l上不同于点P的任意一点，你能用点P,Q的坐标来表示直线l的斜率吗？解：由斜率公式可得整理，得——①——②知识点1

直线方程的点斜式探索新知02分析理解

——①——②问：点P(0,3)的坐标满足方程①吗？满足方程②吗？

知识点1

直线方程的点斜式

探索新知02探索新知

知识点1

直线方程的点斜式给定一点和一个方向可以唯一确定一条直线，即在平面直角坐标系中给定一个点P0(x0,y0)和斜率k就能唯一确定一条直线，即直线上任意一点P的坐标(x,y)与点P0的坐标(x0,y0)和斜率k之间的关系是确定的，那么这一关系如何表示呢？探索新知02探索新知

知识点1

直线方程的点斜式由上述推导过程可知：①直线l上每个点的坐标(x,y)都满足关系式y－y0=k(x－x0)；②坐标满足关系式y－y0=k(x－x0)的每个点都在直线l上；

不等价，前者表示去掉点P（x0，y0）的直线，后者表示整条直线点斜式方程：把方程y－y0=k(x－x0).称为过点P0(x0，y0)，斜率为k的直线l的点斜式方程探索新知02探究

知识点1

直线方程的点斜式特别提醒：由于直线方程的点斜式是由点与直线的斜率唯一确定的，故应用直线方程点斜式的前提条件是直线的斜率存在探索新知02探究

若直线l过点P0(0，b)，且斜率为k；P0是直线l与y轴的交点，代入点斜式方程，得：y−b=k(x−0)；即：y=kx+b.Oxy(0，b)l截距：直线l与y轴交点(0，b)的纵坐标b

叫做直线l在y轴上的截距；直线的斜截式方程：由直线的斜率k与它在y轴上的截距b

确定的方程y

=kx

+b

叫做直线的斜截式方程，简称斜截式.知识点1

直线方程的点斜式探索新知02探究

（2）直线方程的斜截式由直线的斜率k与直线在y轴上的截距唯一确定，因此应用直线方程的斜截式的前提条件是直线的斜率存在（斜率存在，则在y轴上的截距必存在），所以直线方程的斜截式不能表示垂直于x轴的直线.知识点1

直线方程的点斜式直线的斜截式方程：由直线的斜率k与它在y轴上的截距b

确定的方程y

=kx

+b

叫做直线的斜截式方程，简称斜截式.探索新知02思考交流

知识点1

直线方程的点斜式在初中，我们已经知道一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线，与直线方程的斜截式比较，可以发现一次函数解析式中的k就是直线的斜率.在函数中，我们更关注y随自变量x的变化而变化的关系，那么能否用斜率

来描述一次函数中y随自变量x的变化规律呢？能k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小；k＝0，y不随x的变化而变化.探索新知02

∴该直线方程的点斜式为(2)∵直线经过点P(－1,2)且与x轴垂直，(3)∵直线经过点P(－1,2)且与x轴平行，即斜率k＝0，

化简得见图①.Oxy–111–1P2图①Oxy–111–1P2图②Oxy–111–1P2图③∴该直线的方程为x＝－1.见图②.∴该直线的方程为y＝2.见图③.探索新知02例8求经过A

(－5,0)，B(3,－3)两点的直线的方程.

探索新知02问题提出

我们知道，两点可以确定一条直线，因此，直线上其他的任意一点的位置都可以由已知两点确定，即直线上任意其他点的坐标和已知两点的坐标都存在着恒定的数量关系.如图，已知直线l上的两点A(x1,y1)，B(x2,y2)（其中x1≠x2，y1≠y2），对于直线l上其他的任意一点Q(x,y)，A，B，Q三点坐标间的数量关系是怎样的呢？知识点2

直线的两点式

探索新知02问题提出

如图，已知直线l上的两点A(x1,y1)，B(x2,y2)（其中x1≠x2，y1≠y2），求直线l？同学们还有其他的思路吗？知识点2

直线的两点式这就是直线l的方程．当x2－x1≠0，y2－y1≠0时，上式可以变形为：这种形式的直线方程由直线上的两点确定，称为直线的两点式方程．

探索新知02直线方程的两点式：知识点2

直线的两点式

过A(x1,y1)，B(x2,y2)两点的直线方程有如下三种情况：探索新知02直线方程的两点式：知识点2

直线的两点式

特别提醒：

探索新知02

思考：结合题意说说，上述直线l的方程中a、b分别有着什么几何意义？探索新知02

知识点3

直线的截距式直线的截距式方程：由坐标轴上两个截距确定的方程叫直线方程的截距式；注意：截距式适用于横、纵截距都存在且都不为0的直线，即不能表示过原点或与坐标轴垂直的直线．Oxy(0，b)l(a，0)纵截距(y

轴)横截距(x

轴)概念生成探索新知02都不是直线方程的截距式.直线方程的截距式的特点有两个：一是等号左边必须用“＋”连接，二是等号右边为1.

知识点3

直线的截距式探索新知02注意：(1)直线方程的截距式是直线方程的两点式的特殊情况，即直线经过的两点是直线与坐标轴的交点.(2)如果已知直线在两坐标轴上的截距，可以直接代入截距式求直线的方程.(3)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图.(4)与坐标轴平行和过原点的直线都不能用截距式表示.(5)过原点的直线的横、纵截距都为零.思考：任意一条直线的方程都能用直线的截距式表示吗？知识点3

直线的截距式探索新知02

探索新知02归纳总结

名称条件方程适用范围点斜式斜截式两点式截距式直线方程的四种形式：一点P(x0,y0)和斜率ky

–y0=k(x

–x0)不垂直于x轴的直线斜率k，纵截距by

=kx

+b不垂直于x轴的直线P1(x1,y1),P2(x2,y2)不垂直于x轴、y轴的直线横截距a和纵截距b不垂直于x轴、y轴，不过原点的直线思考能否用一个通式表示所有的直线？探索新知02问题提出

我们学习过四种表示直线的方程，它们有怎样的区别与联系？

上述四种方程在表示直线时有怎样的局限性？点斜式方程、斜截式方程不适用于斜率不存在的情况；两点式方程不适用于与两坐标轴平行的情况；截距式方程不适用于直线过原点、直线与两坐标轴平行的情况．探索新知02探究

在平面直角坐标系中，直线可以分为以下两类：

能否用一个通式表示所有直线？

知识点4

直线方程的一般式探索新知02探究

知识点4

直线方程的一般式探索新知02

注意：对于直线的一般式方程，规定：①x的系数为正；②x，y的系数及常数项一般不出现分数；③按含x项，含y项、常数项顺序排列.知识点4

直线方程的一般式探索新知02当A，B同时为0时，方程Ax＋By＋C＝0表示什么？C=0时，方程对任意的x，y都成立，故方程表示整个坐标平面；C≠0时，方程无解，方程不表示任何图象．知识点4

直线方程的一般式探索新知02

知识点4

直线方程的一般式探索新知02例12

把直线l的方程3x－2y－6=0化成斜截式，求出直线

l

的斜率和它在

x

轴与

y

轴上的截距，并画图.解：将原方程移项，得2y＝3x＋6.

令y＝0，可得x＝－2，即直线

l

在

x

轴上的截距是－2.所以直线

l

与

x

轴、y

轴的交点分别为A(－2,0)，B(0,3).过点A，B作直线，即可得直线

l.Oxy–2–1–3113–1A24B画一条直线时，只要画出这条直线上的两点就可以了，通常是找出直线与两坐标轴的交点.知识点4

直线方程的一般式探索新知02

知识点4

直线方程的一般式探索新知02

知识点4

直线方程的一般式探索新知02

知识点4

直线方程的一般式探索新知02探究

前面已经讨论了直线的方向向量，与方向向量垂直的向量称为直线的法向量，直线的法向量和方向向量都反映了直线的方向.知识点5

直线方程的点法式与点向式直线的点法式方程

探索新知02探究

知识点5

直线方程的点法式与点向式

直线的点向式方程探索新知02例14

已知△ABC的三个顶点分别为A(1,2)，B(－2,1)，C(0,－1)，求BC边上的高所在直线的方程.

知识点5

直线方程的点法式与点向式探索新知02例15

已知直线

l经过点A(3,1)，且与P(－1,0)，Q(3,2)两点的连线垂直，求直线

l的方程.

知识点5

直线方程的点法式与点向式探索新知02总结

lP0

OxyP已知为P0（x0，y0）直线l上一定点，k为直线l斜率设P（x，y）直线l上不同于点P0的任意一点，

由斜率公式得

即直线的点斜式方程：

适用条件：直线l的斜率存在（即直线与x轴不垂直）当所过定点为P0（0，b）时方程可化为

即

直线的斜截式方程：适用条件：直线l的斜率存在（即直线与x轴不垂直）

lP0

OxyP

---直线l在y轴上的截距探索新知02总结

lP2

OxyP已知为P1（x1，y1）、P2（x2，y2）直线l上两点（x1≠x2，y1≠y2）设P（x，y）直线l上不同于点P1

、P2的任意一点

由斜率公式得

结合点斜式可得直线的两点式方程：适用条件：直线l的斜率存在，且不为0（即直线不与坐标轴垂直）当所过定点为P1（0，b）、P2（a，0）时方程可化为即直线的截距式方程：lP1

OxyP2

---直线l在x轴上的截距P1即

适用条件：直线l的斜率存在，且不为0，且a

≠0，b≠0（即直线不与坐标轴垂直，且不过原点）

探索新知02总结

点斜式

斜截式

两点式截距式

特别地l⊥x轴时，l⊥y轴时，l：x=x0l：y=y0关于x、y的二元一次方程Ax+By+C=0（A、B不同时为0）l⊥x轴时，l⊥y轴时，l：Ax+C=0l：By+C=0

直线的一般式方程直线的方程

探索新知02总结

题型突破PART03题型突破03题型1直线过定点问题

题型突破03

题型1直线过定点问题(2)若直线l不经过第二象限，求实数a的取值范围.

题型突破03解题通法

题型1直线过定点问题题型突破03题型2截距式方程的应用例3.若一直线过点P(1，2)，根据下列截距情况，求出方程.(1)两个坐标轴上的截距相等的直线；【解析】(1)分情况讨论：①当直线不过原点时：所以直线方程为x+y–3=0；设直线的方程为

，把点(1，2)的坐标代入，得：，解得a=3；②当直线过原点时：直线方程为y=2x；所以所求直线方程为：x+y–3=0或y=2x.OxyP

(1，2)A

(a，0)B

(0，a)题型突破03题型2截距式方程的应用例3.若一直线过点P(1，2)，根据下列截距情况，求出方程.(2)两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线.【解析】(2)分情况讨论：除(1)问中两种情况外，还有第③种情况：

当截距互为相反数时；所以所求直线方程为：x+y–3=0或y=2x或

x–y+1=0.设直线的方程为，代入得：，解得a=–1；

题型突破03解题通法截距式方程应用的注意事项：(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式方程，用待定系数法确定其系数即可.(2)选用截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直.(3)要注意截距式方程的逆向应用.题型2截距式方程的应用题型突破03题型3直线方程的相互转化例4.根据下列条件写出直线方程的斜截式、一般式、截距式.

题型突破03解题通法

题型3直线方程的相互转化题型突破03题型4由截距、斜率的值求参数例5.设直线l的方程为(m2－m－6)x＋(3m2＋5m－2)y＝3m＋6(m∈R，m≠－2)，根据下列条件分别求m