24版高中同步新教材必修第一册苏教版数学备课7-第2-3　全称量词命题与存在量词命题

必修第一册

苏教版高中数学2.3全称量词命题与存在量词命题1|全称量词与全称量词命题知识点必备知识清单破全称量词“所有”“任意”“每一个”等表示全体的词在逻辑学中称为全称量词,通常用符号“∀x”表示“对任意x”全称量词命题含有全称量词的命题称为全称量词命题.一般形式可表示为∀x∈M,p(x)2|存在量词与存在量词命题知识点存在量词“存在”“有的”“有一个”等表示部分或个体的词在逻辑学中称为存在量词,通常用符号“∃x”表示“存在x”存在量词命题含有存在量词的命题称为存在量词命题.一般形式可表示为∃x∈M,p(x)1.全称量词命题与存在量词命题的否定3|全称量词命题与存在量词命题的否定知识点类型符号表示否定的符号表示全称量词命题∀x∈M,p(x)∃x∈M,

p(x)存在量词命题∃x∈M,p(x)∀x∈M,

p(x)全称量词命题的否定是存在量词命题,存在量词命题的否定是全称量词命题.2.命题否定的真假对一个命题进行否定,就得到了一个新的命题,这两个命题不能同时为真,也不能同时

为假,即它们的关系是“一真一假”或“此假彼真”.1.“三角形内角和是180°”是全称量词命题还是存在量词命题?2.在全称量词命题和存在量词命题中,量词是否可以省略?3.命题“菱形的对角线互相垂直平分”的否定是什么?真假性呢?知识辨析1.全称量词命题.量词“所有”省略了.2.存在量词命题中,量词不能省略;有些全称量词命题的量词在不影响理解题意的情况下可

以省略.3.“菱形的对角线互相垂直平分”是指“菱形的对角线互相垂直且互相平分”,其否定为

“菱形的对角线不互相垂直或不互相平分”.易知原命题为真命题,所以其否定为假命题.一语破的1.要判定全称量词命题“∀x∈M,p(x)成立”是真命题,需要对集合M中每个元素x验证p(x)

成立.但要判定该命题是假命题,只要能找出集合M中的一个x=x0,使p(x)不成立即可.要判定

存在量词命题“∃x∈M,p(x)成立”是真命题,只需在集合M中找到一个x=x0,使p(x)成立即

可;否则,这一命题就是假命题.1|全称量词命题、存在量词命题及其否定的真假判断定点关键能力定点破2.命题与命题的否定的真假性相反.当命题的否定的真假不易判断时,可以通过判断原命题

的真假来得出命题的否定的真假.常用的正面叙述词语和它的否定词语:原词语等于(=)小于(<)都是否定词语不等于(≠)不小于(≥)不都是原词语至少有一个至多有一个至多有n个否定词语一个也没有至少有两个至少有(n+1)个写出下列命题的否定,并判断所得命题的真假.(1)∀x∈R,|x|=x;(2)至少有一个二次函数的图象与x轴没有交点;(3)实数的绝对值是正数;(4)∃x,y∈Z,使得

x+y=3.典例思路点拨

写出命题的否定:找到命题含有的量词,变换量词,否定结论.判断真假:一是直接

判断;二是利用命题与命题的否定真假相反进行判断.解析

(1)命题的否定是“∃x∈R,|x|≠x”.若x=-1,则|-1|≠-1,所以命题的否定是真命题.(2)命题的否定是“所有二次函数的图象与x轴都有交点”.如二次函数y=x2+2x+2,因为x2+2x

+2=(x+1)2+1>0,所以∀x∈R,y=x2+2x+2≠0,所以命题的否定是假命题.(3)命题的否定是“存在一个实数,它的绝对值不是正数”.如0的绝对值是0,所以命题的否

定是真命题.(4)命题的否定是“∀x,y∈Z,

x+y≠3”.当x=0,y=3时,

x+y=3,所以命题的否定是假命题.解决含有量词的命题中的参数问题的思路(1)对于全称量词命题“∀x∈M,a>y(或a<y)”求参的问题,一般为“恒成立”问题,通常转

化为求函数y的最大值(或最小值),即a>ymax(或a<ymin);对于存在量词命题“∃x∈M,a>y(或a<

y)”求参的问题,一般为“有解”问题,通常转化为求函数y的最小值(或最大值),即a>ymin(或

a<ymax).(2)对于命题p的有些问题,正面解决很难或者很复杂,这时我们可以考虑它的反面,即把与命

题p有关的问题转化成与命题¬p有关的问题,从而把问题简化,即“正难则反”的方法,也就

是“补集思想”的应用.2|含有量词的命题中的参数问题定点已知命题p:∀x∈R,x2+2x+a≥0,命题q:∃x∈

,x2-a≥0.若命题p和命题q至少有一个为真命题,求实数a的取值范围.典例思路点拨

本题若从正面解题需分类讨论,情况较多,所以可从结论的反面入手,即考虑p,q

均为假命题的情况,然后求其补集.解析

命题p和q至少有一个为真命题的否定为命题p和q均为假命题.当命题p为假命题时,

其否定“∃x∈R,x2+2x+a<0”为真命题,令y1=x2+2x+a,则(y1)min<0,故a-1<0,即a<1.当命题q为

假命题时,其否定“∀x∈

x

0≤x≤

,x2-a<0”为真命题,令y2=x2-a,则(y2)max<0在x∈

上恒成立