北师大版九年级下册数学期中试卷

北师大版九年级下册数学期中试卷

一.选择题（共10小题）

1.如图，在RtZkABC中,ZBAC=90°,AD_LBC于点D,则下列结论

不正确的是（）

C.ADn.CD

JsinDB=_T77"sinB=-TT7

AvAv

2.在RSABC中，ZC=90°，sinA=l,AC=6cm,则BC的长度为（）

5

A.6cmB.7cmC.8cmD.9cm

3.如图，为了测量某建筑物MN的高度，在平地上A处测得建筑物顶

端M的仰角为30°,向N点方向前进16m到达B处，在B处测得建

筑物顶端M的仰角为45°,则建筑物MN的高度等于（）

A.8（73+1）mB.8（73"DmC.16（我+1）mD.16（北-1）m

4.已知NA为锐角，且tanA=2,那么下列判断正确的是（）

3

A.0<ZA<30°B.30°<ZA<45°C.45°<ZA<60°

D.60°<ZA<90°

5.抛物线y=ax?+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=ax+b及反比

例函数y=£在同一平面直角坐标系内的图象大致为（）

X

6.已知函数y=ax?-2ax-1(a是常数，aWO),下列结论正确的是

()

A.当a=l时，函数图象过点(-1,1)

B.当a=-2时，函数图象及x轴没有交点

C.若a>0,则当x21时，y随x的增大而减小

D.若aVO,则当xWl时，y随x的增大而增大

2

7.点Pi(T,yD,P2(3,y2),P3(5,y3)均在二次函数y=-x+2x+c

的图象上，则y”y2,y3的大小关系是()

A.y3>y2>yiB.y3>yi=y2C.yi>y2>y：!D.yi=y2>y3

8.如图，AB是。。的直径，CD±AB,NABD=60°,CD=2«,则阴影

部分的面积为（）

A.2兀B.nC.2JiD.4n

3

9.若抛物线y=x,-2x+3不动，将平面直角坐标系xOy先沿水平方向

向右平移一个单位，再沿铅直方向向上平移三个单位，则原抛物线图

象的解析式应变为()

A.y=(x-2)2+3B.y=(x-2)2+5C.y=x2-1D.y=x44

10.如图，已知二次函数y=ax?+bx+c(ar0)的图象如图所示，给出

以下四个结论：①abc=0,②a+b+c>0,③a>b,@4ac-b2<0；其

中正确的结论有()

C.3个D.4个

二.填空题(共10小题)

11.如图，一山坡的坡度为i=l：«，小辰从山脚A出发，沿山坡向

上走了200米到达点B,则小辰上升了一米.

12.在AABC中，ZC=90°,AB=13,BC=5,则sinA的值是.

13.在4ABC中，ZC=90°,AABC的面积为6,斜边长为6,则tanA+tanB

的值为

14.同角三角函数的基本关系为：(sina)2+(cosa)2=1,

^_=tana.利用同角三角函数的基本关系求解下题：已知tana=2,

cosa

则—1—二.

3sinClcosCI

15.规定：sin(x+y)=sinx*cosy+cosx*siny.根据初中学过的特殊

角的三角函数值，求得sin75°的值为.

16.已知抛物线y=ax?-3x+c(ar0)经过点(-2,4),贝!J4a+c-

1=.

17.若二次函数y=2x?-4x-1的图象及x轴交于A(x”0)、B(x2,

0)两点，则L+L的值为—.

xix2

18.如果抛物线y=2x2+mx+n的顶点坐标为(1,3),那么m+n的值等

于一.

19.已知抛物线y=ax?+bx+c过(-2,3),(4,3)两点，那么抛物

线的对称轴为直线—.

20.如图，在平面直角坐标系中，过抛物线y=a(x+1)2-2(xWO,

a为常数)的顶点A作AB±x轴于点B,过抛物线y=-a(x-1)'+2

(x》0,a为常数)的顶点C作CDJ_x轴于点D,连结AD、BC.则四

边形ABCD的面积为.

三.解答题（共10小题）

21.tan45°sin45°-4sin300cos45°-\/6sin60o.

22.如图，Z\ABC中，ZACB=90°，sinA=l,BC=8,D是AB中点,

过点B作直线CD的垂线，垂足为点E.

(1)求线段CD的长;

(2)求cosNABE的值.

23.如图，在。0中，D、E分别是半径OA、0B的中点，C是。。上一

点，CD=CE.

(1)求证：AC=BC;

(2)若NA0B=120°,CD=2丑，求半径0A的长.

DE

24.如图，某办公楼AB的后面有一建筑物CD,当光线及地面的夹角

是22°时，办公楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE,而当光线

及地面夹角是45°时、办公楼顶A在地面上的影子F及墙角C有25

米的距离(B,F,C在一条直线上).

(1)求办公楼AB的高度；

(2)若要在A,E之间挂一些彩旗，请你求出A,E之间的距离.

(参考数据：sin22°弋芭，cos22°-li,tan22。-2)

8165

25.据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一，所以规定以

下情境中的速度不得超过15m/s,在一条笔直公路BD的上方A处有

一探测仪，如平面几何图，AD=24m,ZD=90°,第一次探测到一辆轿

车从B点匀速向D点行驶，测得NABD=31°,2秒后到达C点，测得

ZACD=50°(tan31°-0.6,tan50°-1.2,结果精确到Im)

(1)求B,C的距离.

(2)通过计算，判断此轿车是否超速.

1°50。

5D

26.如图，已知抛物线y=-x，mx+3及x轴交于A,B两点，及y轴

交于点C,点B的坐标为(3,0)

(1)求m的值及抛物线的顶点坐标.

(2)点P是抛物线对称轴1上的一个动点，当PA+PC的值最小时，

求点P的坐标.

27.如图，抛物线y=x?-3x+”及x轴相交于A、B两点，及y轴相交

4

于点C,点D是直线BC下方抛物线上一点，过点D作y轴的平行线,

及直线BC相交于点E

(1)求直线BC的解析式；

(2)当线段DE的长度最大时，求点D的坐标.

28.如图，二次函数y=(x+2)2+m的图象及y轴交于点C,点B在抛

物线上，且及点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数y=kx+b

的图象经过该二次函数图象上的点A(-1,0)及点B.

(1)求二次函数及一次函数的解析式；

(2)根据图象，写出满足(x+2)2+mlkx+b的x的取值范围.

29.某商店原来平均每天可销售某种水果200千克，每千克可盈利6

元，为减少库存，经市场调查，如果这种水果每千克降价1元，则每

天可所多售出20千克.

(1)设每千克水果降价x元，平均每天盈利y元，试写出y关于x

的函数表达式；

(2)若要平均每天盈利960元，则每千克应降价多少元？

30.如图，抛物线经过A(-1,0),B(5,0),C(0,-5)三点.

2

(1)求抛物线的解析式;

(2)在抛物线的对称轴上有一点P,使PA+PC的值最小，求点P的

坐标；

(3)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N,使以A,C,

M,N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若

不存在，请说明理由.

北师大版九年级下册数学期中试卷

参考答案及试题解析

选择题（共10小题）

1.（2016•乐山）如图，在RtZXABC中，ZBAC=90°,ADLBC于点D,

则下列结论不正确的是（）

A.pADn.ACr.ADn.CD

sinB=77-sinBD=7^7sinBD=777sinB=777

ADDCACAv

【分析】根据锐角三角函数的定义，即可解答.

【解答】解：在RtZXABC中，ZBAC=90°,sinB=M_,

BC

VAD±BC,

...sinB应，

AB

sinB=sinNDAC=迈，

AC

综上，只有C不正确

故选：C.

【点评】本题考查了锐角三角函数，解决本题的关键是熟记锐角三角

函数的定义.

2.（2016•怀化）在RtZSABC中，ZC=90°,sinA=l,AC=6cm,则BC

5

的长度为（）

A.6cmB.7cmC.8cmD.9cm

【分析】根据三角函数的定义求得BC和AB的比值，设出BC、AB,

然后利用勾股定理即可求解.

【解答】解：•••sinA=坨W

AB5

.•.设BC=4x,AB=5x,

XVAC2+BC2=AB2,

/.62+(4x)J(5x):

解得：x=2或x=-2(舍)，

则BC=4x=8cm,

故选：C.

【点评】本题考查了三角函数及勾股定理，正确理解三角函数的定义

是关键.

3.(2016•南通)如图，为了测量某建筑物MN的高度，在平地上A处

测得建筑物顶端M的仰角为30。，向N点方向前进16m到达B处,

在B处测得建筑物顶端M的仰角为45°,则建筑物MN的高度等于

A.8(Vs+l)mB.8(^3~1)mC.16(匾+1)mD.16(6一1)m

【分析】设MN=xm,由题意可知ABNIN是等腰直角三角形，所以

BN=MN=x,则AN=16+x,在Rt^AMN中，利用30°角的正切列式求出

x的值.

【解答】解：设MN=xm,

在Rt^BMN中，VZMBN=45°,

.\BN=MN=x,

在RSAMN中，tanZMAN=™,

AN

/.tan30°=—=近，

16+x3

解得：x=8（而+1）,

则建筑物MN的高度等于8（V3+1）m；

故选A.

【点评】本题是解直角三角形的应用，考查了仰角和俯角的问题，要

明确哪个角是仰角或俯角，知道仰角是向上看的视线及水平线的夹

角；俯角是向下看的视线及水平线的夹角；并及三角函数相结合求边

的长.

4.（2016•雅安校级自主招生）已知NA为锐角，且tanA=Z,那么下

3

列判断正确的是（）

A.0<ZA<30°B.30°<ZA<45°C.45°<ZA<60°

D.60°<ZA<90°

【分析】根据正切函数的增减性，可得答案.

【解答】解：虫<2<1,

33

由正切函数随锐角的增大而增大，得

tan30°<tanA<tan45°,

即30°<A<45°,

故选：B.

【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，利用正切函数的增减性是

解题关键.

5.（2016•贺州）抛物线y=ax?+bx+c的图象如图所示，则一次函数

y=ax+b及反比例函数y=£在同一平面直角坐标系内的图象大致为

【分析】根据二次函数图象及系数的关系确定a>0,b<0,c<0,

根据一次函数和反比例函数的性质确定答案.

【解答】解：由抛物线可知，a>0,b<0,c<0,

...一次函数y=ax+b的图象经过第一、三、四象限，

反比例函数y=£的图象在第二、四象限，

X

故选：B.

【点评】本题考查的是二次函数、一次函数和反比例函数的图象及系

数的关系，掌握二次函数、一次函数和反比例函数的性质是解题的关

键.

6.（2016•宁波）已知函数y=ax?-2ax-1（a是常数，aWO）,下列

结论正确的是（）

A.当a=l时，函数图象过点（-1,1）

B.当a=-2时，函数图象及x轴没有交点

C.若a>0,则当x21时，y随x的增大而减小

D.若aVO,则当xWl时，y随x的增大而增大

【分析】把a=l,x=-1代入y=ax?-2ax-1,于是得到函数图象不经

过点（-1,1）,根据△=8>0,得到函数图象及x轴有两个交点，根

据抛物线的对称轴为直线x=-二空=1判断二次函数的增减性.

2a

【解答】解:A、•・•当a=l,x=-l时，y=l+2-l=2,.•.函数图象不经

过点（-1,1）,故错误；

B、当a=-2时，•.•△=42-4*（-2）X（-1）=8>0,...函数图象

及x轴有两个交点，故错误；

C、•.•抛物线的对称轴为直线x=-3=l,.•.若a>0,贝IJ当x21时,

2a

y随X的增大而增大，故错误；

D、•.•抛物线的对称轴为直线x=-3=l,.•.若aVO,则当xWl时,

2a

y随X的增大而增大，故正确；

故选D.

【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是

解题的关键.

7.（2016•兰州）点Pi（-1,y,）,P2（3,y2）,P3（5,y3）均在二次

函数y=-x?+2x+c的图象上，则y”y2,y：3的大小关系是（）

A.y3>y2>yiB.y3>yi=y2C.yi>y2>y：3D.yi=y2>y3

【分析】根据函数解析式的特点，其对称轴为x=l,图象开口向下，

在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，据二次函数图象的对称性可

知,Pi（-1,yi）及（3,yi）关于对称轴对称，可判断yi=y2>y：s.

【解答】解:y=-X2+2X+C,

，对称轴为x=l,

P2（3,y2）,P3（5,y3）在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，

V3<5,

y2〉y：“

根据二次函数图象的对称性可知，P.（-1,丫、）及（3,y,）关于对

称轴对称，

故y1=y2>y3,

故选D.

【点评】本题考查了函数图象上的点的坐标及函数解析式的关系，同

时考查了函数的对称性及增减性.

8.（2016•通辽）如图，AB是。0的直径，CD±AB,ZABD=60°,CD=2«,

则阴影部分的面积为（）

A.2兀B.nC.2nD.4n

3

【分析】连接OD,则根据垂径定理可得出CE=DE,继而将阴影部分的

面积转化为扇形OBD的面积，代入扇形的面积公式求解即可.

【解答】解:连接0D.

VCD1AB,

.,.CE=DE=1CD=-^,

故SAOCE=SAODE,即可得阴影部分的面积等于扇形OBD的面积，

又•.•NABD=60°,

.,.ZCDB=30°,

.,.ZC0B=60°，

.,.0C=2,

9

•••S扇形卿=60几X2二型,即阴影部分的面积为

36033

故选A.

【点评】本题考查的是解一元一次不等式，熟知不等式的基本性质是

解答此题的关键.

9.(2016•眉山)若抛物线y=x?-2x+3不动，将平面直角坐标系xOy

先沿水平方向向右平移一个单位，再沿铅直方向向上平移三个单位，

则原抛物线图象的解析式应变为()

A.y=(x-2)2+3B.y=(x-2)2+5C.y=x2-1D.y=x2+4

【分析】思想判定出抛物线的平移规律，根据左加右减，上加下减的

规律即可解决问题.

【解答】解:将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移一个单位,

再沿铅直方向向上平移三个单位，这个相当于把抛物线向左平移有关

单位，再向下平移3个单位，

Vy=(x-1)2+2,

...原抛物线图象的解析式应变为y=(x-1+1)2+2-3=x2-1,

故答案为C.

【点评】本题考查二次函数图象的平移，解题的关键是理解坐标系的

平移和抛物线的平移是反方向的，记住左加右减，上加下减的规律，

属于中考常考题型.

10.(2016•枣庄)如图，已知二次函数y=ax、bx+c(aWO)的图象如

图所示，给出以下四个结论：①abc=O,②a+b+c>0,③a>b,④4ac

-b'VO；其中正确的结论有()

【分析】首先根据二次函数y=ax?+bx+c的图象经过原点，可得c=0,

所以abc=O；然后根据x=l时y<0,可得a+b+cVO；再根据图象开

口向下，可得aVO,图象的对称轴为x=-3,可得-且=-工b<0,

22a2

所以b=3a,a>b；最后根据二次函数y=ax?+bx+c图象及x轴有两个

交点，可得△>(),所以b2-4ac>0,4ac-b2<0,据此解答即可.

【解答】解：•••二次函数y=ax?+bx+c图象经过原点，

.,.c=O,

abc=O

.•.①正确；

•.”=1时，y<0,

a+b+cVO,

二.②不正确；

•••抛物线开口向下，

••0,

•.•抛物线的对称轴是X=-3,

2

--L=-2,b<0,

2a2

•b二3a,

又b<0,

.,.a>b,

...③正确；

•.•二次函数y=ax2+bx+c图象及x轴有两个交点，

.,.△>0,

/.b2-4ac>0,4ac-b2<0,

.•.④正确；

综上，可得

正确结论有3个：①③④.

故选：C.

【点评】此题主要考查了二次函数的图象及系数的关系，要熟练掌握,

解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和

大小：当a>0时、抛物线向上开口；当a〈0时一，抛物线向下开口；

②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a及b同

号时（即ab>0）,对称轴在y轴左；当a及b异号时（即abVO）,

对称轴在y轴右.（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线及y轴

交点.抛物线及y轴交于（0,c）.

二.填空题（共10小题）

11.（2016•岳阳）如图，一山坡的坡度为i=l：小辰从山脚A出

发，沿山坡向上走了200米到达点B,则小辰上升了100米.

B

i=1柒

【分析】根据坡比的定义得到tanNA^=返，NA=30°,然后根据含

AC3

30度的直角三角形三边的关系求解.

【解答】解：根据题意得tanNA=&3=返，

ACV33

所以NA=30°,

所以BC=lAB=LX200=100(m).

22

故答案为100.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用：坡度是坡面的铅直高度h

和水平宽度1的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭

程度，一般用i表示，常写成i=l：m的形式

12.(2016•永春县模拟)在aABC中，ZC=90°,AB=13,BC=5,则

sinA的值是A.

—13—

【分析】利用锐角三角函数的定义求解，sinA为NA的对边比斜边，

求出即可.

【解答】解：•.•在aABC中，ZC=90°,AB=13,BC=5,

sinA=^2=_L.

AB13

故答案为曾

【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形

中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻

边.

13.（2016•杭州校级模拟）在AABC中，ZC=90°,Z^ABC的面积为

6,斜边长为6,则tanA+tanB的值为3.

【分析】由4ABC的面积为6可得ab=12,再由勾股定理可得

22

a2+b'=62=36,再由tanA+tanB=W+b=a+b求解.

baab

【解答】解：:△ABC的面积为6,

，ab=12.

在RtZSABC中，ZC=90°,AB=6,

.*.a2+b2=62=36,

22

...tanA+1anB=^±=a+b=36=3?

baab12

故答案为：3.

【点评】本题考查锐角三角函数的概念和勾股定理，关键是掌握正切

定义.

14.(2016•兰州模拟)同角三角函数的基本关系为：(sina)2+(cosa)

2=1,&l%=tana.利用同角三角函数的基本关系求解下题：已知

cosCl

tana=2,则----1----=”.

3sinClcosa~3~

【分析】将(sina)2+(cosa)2=1代入____1_____后得到工

3sinCIcosQ-3

(tana+1),然后求值即可.

tana

【解答】解：____1_____=(sina)2+(cosa)2=1(tana+1)=lx

3sinClcosQ.3sindcosa3tanCI3

(2+1)=1,

26

故答案为：”.

6

【点评】本题考查了同角三角函数的关系，解题的关键是能够对代数

式进行正确的变形，难度不大.

15.(2016•临沂一模)规定：sin(x+y)=sinx*cosy+cosx,siny.根

据初中学过的特殊角的三角函数值，求得sin75。的值为近返.

~4~

【分析】根据sin(x+y)=sinx・cosy+cosx・siny,可得答案.

【解答】解：sin75°=sin(45°+30°)

=sin45°*cos30o+cos45°*sin30°

=返><在+返XL

2222

二氓+近,

"-4__

故答案为：返i返.

4

【点评】本题考查了特殊角三角函数值，利用sin(x+y)

=sinx*cosy+cosx,siny是解题关键.

16.(2016•牡丹江)已知抛物线y=ax。-3x+c(a/0)经过点(-2,

4),则4a+c-1=-3.

【分析】将点(-2,4)代入y=ax?-3x+c(a#0),即可求得4a+c

的值，进一步求得4a+c-1的值.

【解答】解：把点(-2,4)代入y=ax?-3x+c,得

4a+6+c=4,

4a+c=-2,

4a+c-1=-3,

故答案为-3.

【点评】此题考查了二次函数图象上点的坐标特征，点在函数上，将

点代入解析式即可.

17.(2016•泸州)若二次函数y=2x=4x-1的图象及x轴交于A(x“

0)、B(x2,0)两点，则_L+L的值为-4.

xix2

【分析】设y=0,则对应一元二次方程的解分别是点A和点B的横坐

标，利用根及系数的关系即可求出入+工的值.

X1x2

【解答】解:

设y=0,则2x2-4x-1=0,

.••一元二次方程的解分别是点A和点B的横坐标，即X”X2,

；.Xi+x2=-二1=2,x”*x=-

222

...J_+J_=^2=_4,

X]X2Xj*x2

故答案为：-4.

【点评】本题考查了二次函数及一元二次方程的关系，掌握二次函数

及x轴的交点的横坐标就是对应的一元二次方程的根是解题关键.

18.(2016•普陀区一模)如果抛物线y=2x2+mx+n的顶点坐标为(1,

3),那么m+n的值等于1.

【分析】根据抛物线y=2x2+mx+n的顶点坐标为(1,3),可知

2

一」」4XX-m从而可以得到m、n的值，进而可以得到

2X224Xn2

m+n的值.

【解答】解：•••抛物线y=2x2+mx+n的顶点坐标为(1,3),

...4X2X1

2X24X2

解得m=-4,n=5,

m+n=-4+5=1.

故答案为：1.

【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是明确二次函数的顶

点坐标公式.

19.(2016•河东区一模)已知抛物线y=ax?+bx+c过(-2,3),(4,

3)两点，那么抛物线的对称轴为直线x=l.

【分析】根据二次函数的图象具有对称性，由抛物线丫=2乂2+6*+(:过

(-2,3),(4,3)两点，可以得到它的对称轴，本题得以解决.

【解答】解：,抛物线丫=a*2+6乂+(:过(-2,3),(4,3)两点，

.♦.抛物线的对称轴为直线x=01=i，

2

故答案为:x=l.

【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是明确二次函数的性

质，知道二次函数的图象具有对称性.

20.(2016•长春模拟)如图，在平面直角坐标系中，过抛物线y=a(x+l)

2-2(xWO,a为常数)的顶点A作AB±x轴于点B,过抛物线y=-a

(x-1)2+2(x20,a为常数)的顶点C作CDJ_x轴于点D,连结AD、

BC.则四边形ABCD的面积为4.

【分析】根据题意知道两个抛物线关于原点对称，从而判断四边形

ABCD的形状为平行四边形，然后根据抛物线的顶点坐标确定CD和BD

的长，利用平行四边形的面积计算方法确定面积即可.

【解答】解：•••抛物线y=a（x+1）2-2（xWO,a为常数）及抛物线

y=-a（x-1）2+2（x与0,a为常数）关于原点对称，

...四边形ABCD为平行四边形，

•.•抛物线y=a（x+1）2-2（xWO,a为常数）的顶点坐标为（-1,

-2）,抛物线y=-a（x-l）2+2（x与0,a为常数）的顶点坐标为（1,

2）,

.\BD=2,CD=2,

*,•S四边形ABCD=BDXCD=2X2=4,

故答案为：4.

【点评】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是根据题意确定四

边形ABCD的形状，难度不大.

三.解答题（共10小题）

21.（2016•济南校级模拟）tan45°sin45°-4sin30°cos45°版sin60°.

【分析】先把各特殊角的三角函数值代入，再根据实数混合运算的法

则进行计算即可.

【解答】解：原式=1义返-4XLX返+^X返

2222

=返-我+笙

22

=V2-

【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角

函数值是解答此题的关键.

22.(2016•江西模拟)如图，AABC中，ZACB=90°，sinA=l,BC=8,

5

D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E.

(1)求线段CD的长；

(2)求cosNABE的值.

【分析】(1)在AABC中根据正弦的定义得到sinA=W=t则可计算

AB5

出AB=10,然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可得到

CD=1AB=5；

2

(2)在RtZiABC中先利用勾股定理计算出AC=6,在根据三角形面积

=

公式得到SABDC=SAADC,则SABDC-SAABC?即女D・BE三L・LAC・BC,于是可

2222

计算出BE=2£,然后在RtABDE中利用余弦的定义求解.

5

【解答】解：⑴在△ABC中，•.•NACB=90°,

sinA=W=2,

AB5

而BC=8,

.,.AB=10,

ID是AB中点，

.,.CD=1AB=5；

2

(2)在Rt^ABC中，VAB=10,BC=8,

,，,AC=7AB2-BC^6,

ID是AB中点，

=

••BD5，SABDC=SAADC?

ASABDC=IS△ABC，即LCD・BE=L・LAC・BC,

2222

.-.BE=6><8=24,

2X55

24

在RtABDE中，COSZDBE=BE=_§_=24,

BD525

即cosZABE的值为强.

25

【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求

未知元素的过程就是解直角三角形.也考查了直角三角形斜边上的中

线性质和三角形面积公式.

23.(2015秋•道外区期末)如图，在。。中，D、E分别是半径0A、

0B的中点，C是。。上一点，CD=CE.

(1)求证：AC=BC;

(2)若NA0B=120°，CD=2c，求半径0A的长.

B

At

【分析】(1)连接OC,由SSS证明△OCDZ/kOCE,得出对应角相等

ZC0D=ZC0E,由圆心角，弧，弦的关系即可得出结论；

(2)连接AC,证明△AOC是等边三角形，得出CD_LOA,由三角函数

求出0C,即可得出0A.

【解答】解：(1)证明：连接0C,如图1所示：

VD>E分别是半径OA、0B的中点，OA=OB,

.,.OD=OE,

在AOCD和AOCE中，

'OD=OE

<CD=CE，

oc=oc

.,.△OCD^AOCE(SSS),

.,.ZCOD=ZCOE,

-AC=BC;

(2)连接AC,如图2所示：

VZA0B=120°,

.,.ZC0D=ZC0E=60o,

VOC=OA,

.,.△AOC是等边三角形，

•••D是OA的中点，

.*.CD±OA,

.*.0C=—即-=平=4,

sin60°V3

2

.•.0A=4.

【点评】本题考查的是圆心角，弧，弦的关系、全等三角形的判定及

性质、三角函数；证明三角形全等和等边三角形是解决问题的关键.

24.（2016•青海）如图，某办公楼AB的后面有一建筑物CD,当光线

及地面的夹角是22°时-，办公楼在建筑物的墙上留下高2米的影子

CE,而当光线及地面夹角是45°时-，办公楼顶A在地面上的影子F

及墙角C有25米的距离（B,F,C在一条直线上）.

（1）求办公楼AB的高度；

（2）若要在A,E之间挂一些彩旗，请你求出A,E之间的距离.

（参考数据：sin22°仁芭，cos22°tan22。-2）

8165

【分析】(1)首先构造直角三角形AAEM,利用tan22°=迎，求出即

ME

可；

(2)利用RtZXAME中，cos22°=迪，求出AE即可

AE

【解答】解：⑴如图，

设AB为x.

入△ABF中，ZAFB=45°,

，BF=AB=x,

.•・BC=BF+FC=x+25,

在RSAEM中，NAEM=22°,AM=AB-BM=AB-CE=x-2,

tan22°=幽，

ME

则3=2,

x+255

解得：x=20.

即教学楼的高20m.

(2)由(1)可得ME=BC=x+25=20+25=45.

在Rt^AME中，cos22°=M.

AE

.,.AE=—典—,

cos22°

即A、E之间的距离约为48m

【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据已知得出

tan22°=幽是解题关键

ME

25.(2016•六盘水)据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之

一，所以规定以下情境中的速度不得超过15m/s,在一条笔直公路BD

的上方A处有一探测仪，如平面几何图，AD=24m,ZD=90°,第一次

探测到一辆轿车从B点匀速向D点行驶，测得NABD=31°,2秒后到

达C点，测得NACD=50°(tan31°^0.6,tan50°-1.2,结果精确

到1m)

(1)求B,C的距离.

(2)通过计算，判断此轿车是否超速.

【分析】(1)在直角三角形ABD及直角三角形ACD中，利用锐角三角

函数定义求出BD及CD的长，由BD-CD求出BC的长即可；

(2)根据路程除以时间求出该轿车的速度，即可作出判断.

【解答】解:(1)在Rt^ABD中，AD=24m,ZB=31°,

tan31°=坦，BD=24=40m,

BD0.6

在Rt^ACD中,AD=24m,ZACD=50°,

.,.tan50°=坦，即CD*_=20m,

CD1.2

.\BC=BD-CD=40-20=20m,

则B,C的距离为20m；

(2)根据题意得：204-2=10m/s<15ni/s,

则此轿车没有超速.

【点评】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数定

义是解本题的关键.

26.(2016•宁波)如图，已知抛物线y=-x2+mx+3及x轴交于A,B

两点，及y轴交于点C,点B的坐标为(3,0)

(1)求m的值及抛物线的顶点坐标.

(2)点P是抛物线对称轴1上的一个动点，当PA+PC的值最小时，

求点P的坐标.

【分析】(1)首先把点B的坐标为(3,0)代入抛物线y=-x2+mx+3,

利用待定系数法即可求得m的值，继而求得抛物线的顶点坐标；

(2)首先连接BC交抛物线对称轴1于点P,则此时PA+PC的值最小,

然后利用待定系数法求得直线BC的解析式，继而求得答案.

【解答】解：(1)把点B的坐标为(3,0)代入抛物线y=-x2+mx+3

得：0=-3~+3m+3,

解得：m=2,

y=-X2+2X+3=-(x-1)2+4,

，顶点坐标为：(1,4).

(2)连接BC交抛物线对称轴1于点P,则此时PA+PC的值最小,

设直线BC的解析式为：y=kx+b,

,点C(0,3),点B(3,0),

；f0=3k+b,

*13=b

解得：产-1,

lb=3

直线BC的解析式为：y=-x+3,

当x=l时，y=-1+3=2,

.•.当PA+PC的值最小时，点P的坐标为：(1,2).

【点评】此题考查了二次函数的性质、待定系数法求解析式以及距离

最短问题.注意找到点P的位置是解此题的关键.

27.(2016•大连)如图,抛物线y=x?-3x+”及x轴相交于A、B两点,

4

及y轴相交于点C,点D是直线BC下方抛物线上一点，过点D作y

轴的平行线，及直线BC相交于点E

(1)求直线BC的解析式；

(2)当线段DE的长度最大时，求点D的坐标.

y

【分析】（1）利用坐标轴上点的特点求出A、B、C点的坐标，再用待

定系数法求得直线BC的解析式；

（2）设点D的横坐标为m,则纵坐标为（m,E点的坐标

为（m,-1^）,可得两点间的距离为d=-1rl2+|m，利用二次函数

的最值可得m,可得点D的坐标.

【解答】解：（1）•抛物线y=x?-3x+且及x轴相交于A、B两点，及

4

y轴相交于点C,

...令y=0,可得x口或x=A,

22

.*.A（1,0）,B（"，0）；

22

令x=0,则y="，

4

.••C点坐标为（0,1）,

4

设直线BC的解析式为：y=kx+b,则有，

「5

yk+b=0

<,

b4

解得：「，

气

直线BC的解析式为：y=-lx+|；

(2)设点D的横坐标为m,则坐标为(m,皿2-3岭)，

•，.E点的坐标为(m,

设DE的长度为d,

•.•点D是直线BC下方抛物线上一点,

贝!Jd=-_Lm+”-(mJ-3m+”),

244

整理得，d=-m2+5m,

2

；a=-l<0,

12。-生

...当m=——---?----="时，d展大=.4ac」b=---1=空，

-2a=--2X(-1)44a-416

，D点的坐标为("，-11).

416

【点评】此题主要考查了二次函数的性质及其图象及坐标轴的交点,

设出D的坐标，利用二次函数最值得D点坐标是解答此题的关键.

28.(2016•龙东地区)如图，二次函数丫=(x+2)2+m的图象及y轴

交于点C,点B在抛物线上，且及点C关于抛物线的对称轴对称，已

知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A(-1,0)

及点B.

(1)求二次函数及一次函数的解析式；

(2)根据图象，写出满足(x+2)2+mlkx+b的x的取值范围.

【分析】(1)先利用待定系数法先求出m,再求出点B坐标，利用方

程组求出一次函数解析式.

(2)根据二次函数的图象在一次函数的图象上面即可写出自变量x

的取值范围.

【解答】解：(1)•.•抛物线丫=(x+2)2+m经过点A(-1,0),

0=l+m,

•«m=-1,

工抛物线解析式为丫=(x+2)2-1=X2+4X+3,

...点C坐标(0,3),

•.•对称轴x=-2,B、C关于对称轴对称,

•••点B坐标(-4,3),

"；y=kx+b经过点A、B,

..「4k+b=3,解得了-1,

-k+b=01b=-1

，一次函数解析式为y=-x-1,

(2)由图象可知，写出满足(x+2)2+m2kx+b的x的取值范围为x

W-4或x2-1.

【点评】本题考查二次函数及不等式、待定系数法等知识，解题的关

键是灵活运用待定系数法确定好像解析式，学会利用图象根据条件确

定自变量取值范围，属于中考常考题型.

29.（2016•郴州）某商店原来平均每天可销售某种水果200千克，每

千克可盈利6元，为减少库存，经市场调查，如果这种水果每千克降

价1元，则每天可所多售出20千克.

（1）设每千克水果降价x元，平均每天盈利y元，试