图形的相似-2021年中考数学真题分类集训营

专题12图形的相似

考点一比例与比例线段

1.（2020•成都）如图，直线/I〃/2〃/3，直线AC和力/被12,/3所截，AB=5,BC=6,EF=4,则。E的

长为（）

A.2B.3C.4D送

（答案｝D｛解析｝根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可.

解：•.•直线11〃12〃13,...竺=叫，VAB=5,BC=6,EF=4,.'.DE=—,故选:D.

BCEF643

2.（2020•哈尔滨）如图，在△4%'中，点〃在比1边上，连接49,点少在4c边上，过点E作£尸〃6G交

/〃于点人过点6作属〃4?,交a1于点G则下列式子一定正确的是（）

AEEFDEFEGrAFBGnCGAF

EC~CDCD~AB*FD~GCBC~AD

｛答案｝C｛解析｝本题考查了平行线分线段成比例和由平行判定相似，・・・EF〃BC,・,•而=W，・・・EF〃BC,

AI7RG

.BGAE二工=会因此本题选C.

'~GC~~ECFDGC

T~\Q「打

3.（2020•营口）如图，在△ABC中，DE//AB,且巴-=一，则上上的值为（

BD2CA

CECECDCE

｛答案｝A｛解析｝利用平行截割定理求J的值.•••□£〃AB,...——=J=3—,•••CE+AE=AC,•••——=3-.

CAAEBD2CA5

4.（2020•临沂）如图，在AABC中，D,E为边AB的三等分点，EF//DG//AC,H为AF与DG的

交点.若AC=6,则短”=.

1

(答案｝1｛解析｝；D、E为边AB的三等分点，ABE=ED=AD=-AB

3

5.(2020•江苏徐州)我们知道：如图①，点皮巴线段/凶•成两部分，如果些="，那么称点妫线段/C

ABAC

的黄金分割点.它们的比值为国.

2

(1)在图①中，若/020c0，则45的长为.

(2)如图②，用边长为20c/麻J正方形纸片进行如下操作：对折正方形46勿得折痕“；连接龙，将龙折叠到

CS上，点施勺对应点〃，得折痕CG.试说明：函/周勺黄金分割点；

ABV5-1

解：（1）106-10.解：AC2,AC=20,...ABJO6-10.

（2）延长CG交DA的延长线于点J,由折叠可知：ZBCG=ZECG,

VAD/7BC,.,.Z>ZBCG=ZECG,；.JE=CE.由折叠可知：E、F为AD、BC的中点，...DE=AE=10,

722

由勾股定理可得：CE=VBFTCD=V1O+2O=1075,EJ=10x/5,.•.AJ=JE-AE/。石10,

AGAJ10x/5-106-1

VAJ/7BC,...△AGJsaBGC,8GBC202,，G是AB的黄金分割点.

2

考点二相似三角形的判定与性质

6.（2020•铜仁）已知它们的周长分别为30和15,且FH=6,则E4的长为（）

A.3B.2C.4D.5

（答案｝A｛解析｝相似三角形的周长之比等于相似比，所以AFHB和4EAD的相似比为30：15=2：1,所以

FH：EA=2：1,即6：EA=2：1,解得EA=3.因此本题选A.

7.（2020・内江）如图，在AABC中，£>、E分别是A8和AC的中点，S四边形时中=15,则48c=（）

A.30B.25C.22.5D.20

（答案｝D｛解析｝本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是得出DE是中位线，从而判断

△ADEs^ABC,然后掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解本题.首先判断出

△ADE-AABC,然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出^ABC的面积.

根据题意，点D和点E分别是AB和AC的中点，则DE//BC且DE=；BC,故可以判断出△ADE^AABC,

根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可知SMec=l：4,则S四边形sea：SMBC=3：4,题中

已知S四边形BCE。=15，故可得SMZ）E=5，S1MBe=20,因此本题选D.

Af7

8.（2020•盐城）如图，BC//DE,且BC<DE,AD=BC=4,AB+DE=TO,则空的值为

AC

AEADDE

15.2,解析：：BC〃DE,.•.△ADE^AABC,，ACABBC,设DE=xJ"AB=10-XVAD

AE4_xAE82

=BC=4,AC10-x4,二凶=8上=2（舍去），AC4,此本题答案为2.

9.（2020•南通）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1,△A8C和△£>£下的顶点都在网格

线的交点上，设aABC的周长为Ci，△OEF的周长为C2,则g的值等于▲.

3

｛答案｝当

｛解析）由图形易证aABC与4DEF相似，且相似比为1：J5,所以周长比为1:拒.故答案为：—.

2

10.（2020•苏州）如图，在矩形ABC。中，E是BC的中点，DFLAE,垂足为

(1)求证：A46£SA£>E4；

(2)若AB=6,BC=4,求。尸的长.

｛解析｝（1）由两角相等证明乙钻石6皿为；（2）根据相似三角形的性质及勾股定理求解.

｛答案｝解：证明：（1）：四边形ABC。是矩形，.•./B=90°,ADBC.^AEB=ZDAF,

•;DFLAE,/.ZDFA=90°.ZB=ZDFA，:.^ABE^ADFA

AB_AE

解：(2)/\ABE^ADFA,/.DFAD

BE」BC」x4=2

VBC=4,E是BC的中点，22..•.在RQABE中,

AE=y/AB2+BE2=而+*=2M

62丽八口65/10

又・・AD—BC—4•DF4•5

*/EF//DG//AC»EF——AC=2DH=—EF=1.

32

11.(2020・杭州)如图，在中，点、D,E,产分别在AB,BC,AC边上，DE//AC,EF//AB.

(1)求证：ABDESAEFC.

AF_1

（2）设

兀二5

8

EC4

①若BC=12,求线段3E的长；

②若^EFC的面积是20,求AABC的面积.

｛解析｝(1)由平行线的性质得到等角，进而根据相似三角形的判定得到△BDEs^EFC：(2)①根据

平行线分线段成比例定理得到比例式求解；②根据“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构

成的三角形与原三角形相似”得到△EFCaBAC,然后根据相似三角形的性质求解.

｛答案｝解：(1)VDE/7AC,二NBED=NC.VEF/7AB,，NB=NFEC,/.ABDE^AEFC.

BEAF1BE1_

(2)①：EF〃AB,.,.EC=fC=5.•.•BC=12,.♦.12-BE=5,.•.BE=4.

SbEFC（生）21EC2

©VEF^AB,.'.△EFCABAC,/.S&aAC=8c.：EC=2,BC=3.又「△EFC的面积是20,

且（知

:.S&BAC=3，二SZ\ABC=45,即aABC的面积是45.

AD4。

12..(2020•南京)如图，在aABC和△A，B，C'中，D、D，分别是AB、A，B，上一点，A8=.

⑴当CZT=A'C'=AB时,求证：△ABCOQAA,B,C,.

证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格.

CDACBC

(2)当万万=正=正时，判断AABC与是否相似，并说明理由.

｛解析｝(1)利用三边对应成比例证明△ADCS^A，D，CI推理出/A=NA;再利用两边对应成比例及其夹

角相等判定△ABCS^A，B，C，

(2)分别点D、D，分别作DE〃BC,D，E，〃BC\利用三分边成比例先证明△DCES/\D，C'E，，推理出/ACB

,

=再利用两边对应成比例及其夹角相等判定△ABCsz；\A，B，C.

CDAC

｛答案｝解：⑴C'。'=A'C'=A'。,ZA=ZA'.

(2)如图，过点D、D'分别作DE〃BC,DE〃BC,DE交AC于点E,DE交AC于点E,

5

0DE0BC,

00ADE00ABC.

ADDEAE

团AB-BC=AC.

—D'E'AE

同理彳万7=BC=同\

ADA'D1

又罚二A'B',

DED'E'

团证=

DEBC

出DE=BC.

AEAE

同理AC=A'C\

AC-AEA'C-AEECEC

团-AC-=_-,g|jAC=A'C'.

ECAC

团？C=AC.

CDACBC

又。。‘=A'C'=BC,

CDDEEC

.・・CD'=D'E'=,

/.△DCE^AD,C,E,.

:.ZCED=ZC,E,D,.

•・・DE〃BC,

.\ZCED+ZACB=180°.

同理NC'E'D'+NA'C'B'=180。.

AZACB=ZA,C,B,.

ACBC

又A'C'=8c

•••△ABCSZ\A'B'C'.

考点三相似的实际应用

13.（2020•天水）如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆8E高1.5m,

测得AB=12n,8C=12.8m,则建筑物CQ的高是（）

A.17.5mB.17mC.16.5mD.18m

6

□

AB

｛答案｝A

BFAR[5]2

(解析｝由题意得EBLAC,DCLAC,从而E8〃OC,所以△4E8SA4£)C,从而得到而=而;,即右=适订痴，

解得CD=17.5(cm).因此本题选A.

14.(2020•泰州)如图，在A48C中，ZC=9O°,AC=3,BC=4,0为BC边上的动点(与B、C

不重合)，PD//AB,交AC于点。，连接AP,设CP=x,AAD尸的面积为S.

CPB

(1)用含x的代数式表示的长；

(2)求S与x的函数表达式，并求当S随x增大而减小时的取值范围.

3

｛解析｝(1)由DP〃AB,可得△DCPs^ACB,可得CD=—X,然后根据AD=AC-CD的长可求得AD的长.

(2)可用S/、ABC-SAABP-SACDP求得S的值，然后配方求出x出的范围.

｛答案｝解:(1)VDP/7AB

/.△DCP^AACB

.CDCP

.CD

"3

CD=

._3

••AD—3——X

4

(2)•.•△DCPs^ACB,且相似比为x：4.

SADCP!SZ\ACB=X2：16

•••S.DCP=­x

8

7

/.S^=-xPBxAC=-(4-x)

22

・・S=S/AABC—SAABP—SACDP

=6-(6-

28

当2忖，S随x增大而减少.

15.(2020•凉山州)(7分)如图，一块材料的形状是锐角三角形A8C,边BC=120mm,高A£»=80mm,

把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边

长是多少？

第20题

｛解析｝利用相似三角形的性质，建立关于正方形边长的方程进行求解.

｛答案｝解：设这个正方形零件的边长为xmm,则^AEF的边EF上的高AK=(80—x)mm.

:四边形EFHG是正方形，；.EF〃GH,即EF〃BC..,.△AEF^AABC.

EFAKx80-x

-----=-----------=---------

:.BCAD,即12080..・.x=48....这个正方形零件的边长是48mm.

考点四图形的位似

16.(2020•绍兴)如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2：5,且三角板的一

边长为Son.则投影三角板的对应边长为()

A.20cmB.10cmC.SentD.3.2cm_4

｛答案｝A

｛解析｝本题考查了相似三角形的性质.相似三角形的对应边之比等于相似比，所以8

:(投影三角形的对应边长)=2：5,则投影三角形的对应边长是20cm.因此本题选A.

17.(2020•嘉兴)如图，在直角坐标系中，/XOAB的顶点为O(0,0),A(4,3),B(3,0).以

点。为位似中心,在第三象限内作与△OAB的位似比为‘的位似图形△08,则点C坐标为()/

44

A.(-1,-1)B.(——,-1)C.(-1,——)D.(-2,-1)

33

｛答案｝B

｛解析｝本题考查了在坐标系中，位似图形点的坐标.在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画

出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k,那么与原图形上的点(X,y)对应的位似图

8

14

形上的点的坐标为(kx,ky)或(-kx,-ky).由A(4,3),位似比k=§,可得C()因此本题

选B.

18.(2020•重庆4卷)如图，在平面直角坐标系中，△46C的顶点坐标分别是4(1,2),6(1,1),C(3,1),

以原点为位似中心，在原点的同侧画△〃汉使△小与减位似图形，且相似比为2:1,则线段冰的

长度为()

A.75B.2C.4D.275

｛答案｝D｛解析｝YA(1,2),B(1,1),C(3,1)..，.AB=1,BC=2,AC=«.：Z\DEF与△ABC成位似图形，且

相似比为2,；.DF=2AB=2.

19.(2020•绥化)在平面直角坐标系中，△46C和△464的相似比等于：，并且是关于原点。的位似图形,

若点