§5.7　第2课时　三角函数的应用(二)

第2课时三角函数的应用(二)第五章§5.7三角函数的应用1.通过构建三角函数模型解决生活中一些简单的问题.2.体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.学习目标随堂演练课时对点练一、三角函数图象类问题二、三角函数在生活中的应用三、三角函数在几何中的应用内容索引一、三角函数图象类问题例1

如图所示，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧

的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致是√解析设

所对的圆心角为α，则α＝l，反思感悟

解决函数图象与实际问题对应问题的策略：一般方法是根据已知所反映出来的性质解决，充分利用图象中的几何关系.此外特殊点也可以作为判断的好方法.√二、三角函数在生活中的应用(1)求实验室这一天的最大温差；所以f(t)在[0,24]上的最大值为12，最小值为8.故实验室这一天的最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃.(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？解依题意，得当f(t)>11时实验室需要降温.故在10时至18时实验室需要降温.反思感悟

解三角函数应用问题的基本步骤跟踪训练2

健康成年人的收缩压和舒张压一般为120～140mmHg和60～90mmHg.心脏跳动时，血压在增加或减小.血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80mmHg为标准值.记某人的血压满足函数式p(t)＝25sin160πt＋115，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，试回答下列问题：(1)求函数p(t)的周期；(2)求此人每分钟心跳的次数；即此人每分钟心跳的次数为80.(3)求出此人的血压在血压计上的读数，并与正常值比较.解p(t)max＝115＋25＝140(mmHg)，p(t)min＝115－25＝90(mmHg)，即收缩压为140mmHg，舒张压为90mmHg.此人的血压在血压计上的读数为140/90mmHg，在正常值范围内.三、三角函数在几何中的应用例3甲同学从一个半径为r的半圆形铁板中截取一块矩形ABCD，记其最大面积为S甲，乙同学从一个半径为R的圆形铁板中截取一块矩形EFGH，记其最大面积为S乙，试问r和R满足什么关系时，S甲＝S乙？说明理由.解甲图中，O是半圆圆心，设∠COD＝θ，则CD＝rsinθ，OC＝rcosθ，S矩形ABCD＝2OC·CD＝2rcosθ·rsinθ＝r2sin2θ，乙图中，设∠EGF＝α，则EF＝2Rsinα，则FG＝2Rcosα，S矩形EFGH＝EF·FG＝2Rcosα·2Rsinα＝2R2sin2α，反思感悟

利用三角函数解决几何问题，首先要审清题意，然后要明确角的取值范围，最后一定要回归到实际问题当中去.跟踪训练3

如图，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y＝Asinωx(A>0，ω>0)，x∈[0,4]的图象，且图象的最高点为S(3,2)，赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP＝120°.求A，ω的值和M，P两点间的距离.所以点M的坐标为(4,3).又因为点P的坐标为(8,0)，1.知识清单：(1)三角函数在生活中的应用.(2)三角函数在几何中的应用.2.方法归纳：数学建模、数形结合.3.常见误区：选择三角函数模型时，最后结果忘记回归实际生话.课堂小结随堂演练1234√1.函数y＝x＋sin|x|，x∈[－π，π]的大致图象是12342.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为A.5 B.6 C.8 D.10解析根据图象得函数的最小值为2，有－3＋k＝2，k＝5，最大值为3＋k＝8.√3.某艺术展览馆在开馆时间段(9：00－16：00)的参观人数(单位：千)随时间t(单位：时)的变化近似满足函数f(t)＝Asin＋5(A>0,9≤t≤16)，且下午两点整参观人数为7千，则开馆中参观人数的最大值为A.1万

B.9千

C.8千

D.7千√12341234解析由题意知当t＝14时，f(t)＝7.12344.某星星的亮度变化周期为10天，此星星的平均亮度为3.8星等，最高亮度距离平均亮度0.2星等，则可近似地描述此星星的亮度与时间之间关系的一个三角函数为_____________________.解析设所求函数为y＝Asin(ωt＋φ)＋b，课时对点练基础巩固√12345678910111213141516123456789101112131415162.商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数F(t)＝50＋4sin

(t≥0)，则下列时间段内人流量是增加的是A.[0,5] B.[5,10]

C.[10,15] D.[15,20]√12345678910111213141516得函数F(t)的单调递增区间为[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z.当k＝1时，t∈[3π，5π]，又[10,15]⊆[3π，5π]，故选C.123456789101112131415163.如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)在[0，π]上的图象大致为√12345678910111213141516解析如图，过点M作MD⊥OP于点D，则由题意可得PM＝sinx，OM＝|cosx|，结合正弦函数的图象可知选B.123456789101112131415√1612345678910111213141516√5.如图是一个半径为3米的水轮，水轮的圆心O距离水面2米，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面的距离y(米)与时间t(秒)满足关系式y＝Asin(ωt＋φ)＋2，则123456789101112131415166.(多选)如图，一个水轮的半径为6m，水轮轴心O距离水面的高度为3m，已知水轮按逆时针匀速转动，每分钟转动5圈，当水轮上点P从水中浮现时的起始(图中点P0)开始计时，记f(t)为点P距离水面的高度关于时间t(s)的函数，则下列结论正确的是A.f(3)＝9B.f(1)＝f(7)C.若f(t)≥6，则t∈[2＋12k,5＋12k](k∈N)D.不论t为何值，f(t)＋f(t＋4)＋f(t＋8)是定值√√12345678910111213141516解析如图，以水轮所在平面为坐标平面，以水轮的轴心O为坐标原点，x轴和y轴分别平行和垂直于水面建立平面直角坐标系，1234567891011121314151612345678910111213141516所以f(1)＝f(7)，选项B正确；展开整理得f(t)＋f(t＋4)＋f(t＋8)＝9为定值，选项D正确.512345678910111213141516123456789101112131415168.如图表示相对于平均海平面的某海湾的水面高度h(米)在某天0～24时的变化情况，则水面高度h关于时间t的函数关系式为____________________.12345678910111213141516解析设h＝Asin(ωt＋φ)，由图象知A＝6，T＝12，点(6,0)为五点法作图中的第一点，123456789101112131415169.通常情况下，同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的图象.某年2月下旬某地区连续几天最高温度都出现在14时，最高温度为14℃；最低温度出现在凌晨2时，最低温度为零下2℃.(1)求出该地区该时段的温度函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，|φ|<π，x∈[0,24))的解析式；1234567891011121314151612345678910111213141516(2)29日上午9时某高中将举行期末考试，如果温度低于10℃，教室就要开空调，请问届时学校后勤应该开空调吗？所以届时学校后勤应该开空调.12345678910111213141516(1)求该地这一段时间内温度的最大温差；解当x＝14时函数取最大值，此时最高温度为30℃，当x＝6时函数取最小值，此时最低温度为10℃，所以最大温差为30℃－10℃＝20℃.12345678910111213141516(2)若有一种细菌在15℃到25℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌最多能生存多长时间？12345678910111213141516数的和表达，在某一时刻使这三个振动源同时开始工作，那么，原本平静的水面将呈现的状态是A.仍保持平静

B.不断波动C.周期性保持平静

D.周期性保持波动11.在一个圆形波浪实验水池的中心有三个振动源，假如不计其他因素，综合运用12345678910111213141516√12345678910111213141516＝sint－sint＝0，∴三个振动源同时开始工作时，水面仍保持平静.12.一观览车的主架示意图如图所示，其中O为轮轴的中心，距地面32m(即OM长)，巨轮的半径长为30m，AM＝BP＝2m，巨轮逆时针旋转且每12分钟转动一圈.若点M为吊舱P的初始位置，经过t分钟，该吊舱P距离地面的高度为h(t)m，则h(t)等于√12345678910111213141516解析如图，过点O作地面的平行线作为x轴，过点O作x轴的垂线作为y轴，过点B作x轴的垂线BN交x轴于N点，1234567891011121314151613.如图，在热气球C正前方有一高为m的建筑物AB，在建筑物底部A测得C的仰角为60°，同时在C处测得建筑物顶部B的俯角为30°，则此时热气球的高度CD为√解析由题意，得∠BCA＝∠BAC＝30°，123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516A.5：00至5：30 B.5：30至6：00

C.6：00至6：30 D.6：30至7：00拓广探究1234567891011121314151615.海水受日月的引力，在一定的时候发生潮涨潮落，船只一般涨潮时进港卸货，落潮时出港航行.某船吃水深度(船底与水面距离)为4米，安全间隙(船底与海底距离)为1.5米，该船在2：00开始卸货，吃水深度以0.3米/时的速度减少，该港口某季节每天几个时刻的水深如下表所示，若选择y＝Asin(ωx＋φ)＋K(A>0，ω>0)拟合该港口水深与时间的函数关系，则该船必须停止卸货驶离港口的时间大概控制在(要考虑船只驶