4.5.3　函数模型的应用

4.5.3函数模型的应用第四章

§4.5函数的应用(二)1.能利用已知函数模型求解实际问题.2.能根据实际需要构建指数型函数或对数型函数模型解决实际

问题.学习目标我们知道，函数是描述客观世界变化规律的数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来刻画，面临一个实验问题，该如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？导语问题1

你能写出几种函数模型？提示函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)反比例函数模型f(x)＝

＋b(k，b为常数且k≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数型函数模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)对数型函数模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)幂函数型模型f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)问题2应用函数模型解决问题的基本过程是什么？提示(1)审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型.(2)建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型.(3)求模——求解数学模型，得出数学模型.(4)还原——将数学结论还原为实际问题.随堂演练课时对点练一、应用已知函数模型解决实际问题二、指数型函数模型三、对数型函数模型内容索引一、应用已知函数模型解决实际问题例1

Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)＝

其中K为最大确诊病例数.当I(t*)＝0.9K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为(注：e为自然对数的底数，ln9≈2.2)A.60 B.62 C.66 D.69√解析∵I(t*)＝

＝0.9K，∴解得t*≈62.反思感悟

利用已知函数模型解决实际问题(1)首先确定已知函数模型解析式中的未知参数；(2)利用已知函数模型相关的运算性质、函数性质解决实际问题；(3)涉及较为复杂的指数运算时，常常利用等式的两边取对数的方法，将指数运算转化为对数运算.跟踪训练1

我们处在一个有声的世界里，不同场合人们对声音的音量会有不同的要求.音量大小的单位是分贝(dB).对于一个强度为I的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：η＝10·lg

(其中I0是人耳能听到的声音的最低声波强度).设η1＝70dB的声音强度为I1，η2＝60dB的声音强度为I2，则I1是I2的√二、指数型函数模型例2

我国是世界上人口最多的国家，1982年十二大，计划生育被确定为基本国策.实行计划生育，严格控制人口增长，坚持少生优生，这直接关系到人民生活水平的进一步提高，也是造福子孙后代的百年大计.(1)据统计1995年底，我国人口总数约12亿，如果人口的自然年增长率控制在1%，到2021年底我国人口总数大约为多少亿？(精确到亿)(参考数据：1.0126≈1.2953，lg2≈0.3010，lg7≈0.8451，lg1.01≈0.0043)解从1995年底到2021年底，经过26年，由题意知，到2021年底我国人口总数大约为12×(1＋1%)26＝12×1.0126≈12×1.2953≈15(亿).(2)当前，我国人口发展已经出现转折性变化，2015年10月26日至10月29日召开的党的十八届五中全会决定，坚持计划生育的基本国策，完善人口发展战略，全面实施一对夫妇可生育两个孩子的政策，积极开展应对人口老龄化行动.这是继2013年，十八届三中全会决定启动实施“单独二孩”政策之后的又一次人口政策调整.据统计2015年中国人口实际数量大约14亿，若实行全面两孩政策后，预计人口年增长率实际可达1%，那么需经过多少年我国人口可达16亿？解设需要经过x年我国人口可达16亿，由题意知14×(1＋1%)x＝16，两边取对数得，lg14＋xlg1.01＝lg16，则需要经过14年我国人口可达16亿.反思感悟在实际问题中，有关人口增长、银行复利、细胞分裂等增长率问题常可以用指数型函数模型表示，通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式.跟踪训练2

某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2020年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)A.2023年

B.2024年

C.2025年

D.2026年√解析设x年后研发资金开始超过200万元，所以130(1＋12%)x>200，故2024年研发资金开始超过200万元.三、对数型函数模型√又反思感悟

对数型函数应用题的基本类型和求解策略(1)基本类型：有关对数型函数的应用题一般都会给出函数的解析式，然后根据实际问题求解.(2)求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义.跟踪训练3

20世纪30年代，里克特制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为M＝lgA－lgA0，其中，A是被测地震的最大振幅，A0是标准地震的振幅.5级地震给人的震感已经比较明显，7级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的A.20倍

B.lg20倍

C.100倍

D.1000倍√解析设7级地震最大振幅为A1，则7＝lgA1－lgA0，5级地震最大振幅为A2，则5＝lgA2－lgA0，所以7－5＝(lgA1－lgA0)－(lgA2－lgA0)所以7级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的100倍.1.知识清单：(1)应用已知函数模型解决实际问题.(2)指数型函数模型.(3)对数型函数模型.2.方法归纳：转化法.3.常见误区：实际应用题易忘记定义域和结论.课堂小结随堂演练1.我国古代著名的思想家庄子在《庄子·天下篇》中说：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”.用现代语言叙述为：一尺长的木棒，每天取其一半，永远也取不完.这样，每天剩下的部分都是前一天的一半，如果把“一尺之锤”看成单位“1”，那么x天后剩下的部分y与x的函数关系式为1234√12342.下面给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是A.指数函数：y＝2t

B.对数函数：y＝log2tC.幂函数：y＝t3

D.二次函数：y＝2t2√解析由所给的散点图可得，图象大约过(2,4)，(4,16)，(6,64)，所以该函数模型应为指数函数.12343.某位股民购进某只股票，在接下来的交易时间内，他的这只股票先经历了3次涨停(每次上涨10%)，又经历了3次跌停(每次下降10%)，则该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为A.略有亏损

B.略有盈利C.没有盈利也没有亏损 D.无法判断盈亏情况√解析由题意可得(1＋10%)3(1－10%)3＝0.970299≈0.97<1.因此该股民这只股票的盈亏情况为略有亏损.12344.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数v＝

单位是m/s，其中O表示鱼的耗氧量的单位数.当一条鱼的耗氧量是2700个单位时，它的游速是____m/s.课时对点练基础巩固1234567891011121314151.某研究小组在一项实验中获得一组关于y，t的数据，将其整理得到如图所示的图形.下列函数中，最能近似刻画y与t之间关系的是A.y＝2t

B.y＝2t2C.y＝t3

D.y＝log2t16√2.某新款电视投放市场后第一个月销售了100台，第二个月销售了200台，第三个月销售了400台，第四个月销售了790台，则下列函数模型中，能较好地反映销量y与投放市场的月数x(1≤x≤4，x∈N*)之间关系的是A.y＝100x

B.y＝50x2－50x＋100C.y＝50×2x

D.y＝100x12345678910111213141516√解析将题目中的数据代入各函数中，易知指数型函数能较好地与题中的数据相对应.3.某食品加工厂2019年获利20万元，经调整食品结构，开发新产品.计划从2020年开始每年比上一年获利增加20%，问从哪一年开始这家加工厂年获利超过60万元(lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)A.2024年

B.2025年

C.2026年

D.2027年√解析设第n年获利y元，则y＝20×1.2n，n∈N*,2020年即第1年，20×1.2n>60，所以n≥7，即从2026年开始这家加工厂年获利超过60万元.123456789101112131415161234567891011121314154.所谓声强，是指声音在传播途径上每1平方米面积上的声能流密度，用I表示，人类能听到的声强范围很广，其中能听见的1000Hz声音的声强(约10－12W/m2)为标准声强，记作I0，声强I与标准声强I0之比的常用对数称作声强的声强级，记作L，即L＝lg，声强级L的单位名称为贝尔，符号为B，取贝尔的十分之一作为响度的常用单位，称为分贝尔，简称分贝(dB).《三国演义》中有张飞喝断当阳桥的故事，设张飞大喝一声的响度为140dB.一个士兵大喝一声的响度为90dB，如果一群士兵同时大喝一声相当于张飞大喝一声的响度，那么这群土兵的人数为A.1万

B.2万

C.5万

D.10万√16123456789101112131415解析设张飞的声强为I1，一个士兵的声强为I2，根据题意可知，16所以这群士兵的人数为10万.5.2018年5月至2019年春季，在阿拉伯半岛和伊朗西南部，沙漠蝗虫迅速繁衍，呈现几何式的爆发，仅仅几个月，蝗虫数量增长了8000倍，引发了蝗灾，到2020年春季蝗灾已波及印度和巴基斯坦.假设蝗虫的日增长率为5%，最初有N0只，则经过多少天能达到最初的16000倍(参考数据：ln1.050≈0.0488，ln1.5≈0.4055，ln1600≈7.3778，ln16000≈9.6803)A.198 B.199 C.197 D.200123456789101112131415√16解析设经过x天能达到最初的16000倍，由已知可得，N0(1＋0.05)x＝16000N0，12345678910111213141516又x∈N*，故经过199天能达到最初的16000倍.1234567891011121314156.(多选)如图，某池塘中的浮萍蔓延后的面积y(m2)与时间t(月)的关系：y＝at(a>0，且a≠1)，以下叙述中正确的是A.这个指数函数的底数是2B.第5个月时，浮萍的面积就会超过35m2C.浮萍从4m2蔓延到16m2需要经过2个月D.浮萍每个月增加的面积都相等√16√123456789101112131415解析将点(1,2)代入y＝at中，得a＝2，所以y＝2t，所以A正确；当t＝5时，y＝25＝32<35，所以B错误；当y＝4时，t＝2，当y＝16时，t＝4，所以浮萍从4m2蔓延到16m2需要经过2个月，所以C正确；由指数函数y＝2t的性质可得浮萍每个月增加的面积不相等，所以D错误.167.某品牌笔记本电脑的成本不断降低，若每隔4年价格就降低

，则现在价格为8100元的笔记本电脑，12年后的价格将降为______元.1234567891011121314151624001234567891011121314158.某种放射性元素的原子数N随时间t的变化规律是N＝N0e－λt，其中N0，λ为正常数.由放射性元素的这种性质，可以制造高精度的时钟，用原子数表示时间t为_____________.161234567891011121314159.英国物理学家和数学家牛顿(IsaacNewton,1643－1727年)曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型.如果物体的初始温度是θ1，环境温度是θ0，则经过时间t后物体的温度θ将满足θ＝θ0＋(θ1－θ0)·e－kt，其中k为正常数.某冬晨，警局接到报案，在街头发现一位已经死亡的流浪者，早上六点测量其体温为13℃，到早上七点时，其体温下降到11℃.若假设室外温度约维持在10℃，且人体正常体温为37℃，请你运用牛顿冷却模型判定流浪汉在早上几点死亡.16123456789101112131415解设流浪汉在早上t0时刻死亡，根据牛顿冷却模型，有16即则

解得t0＝4.所以可以判定流浪汉在早上4点死亡.123456789101112131415解依题意，得一年后这种鸟类的个数为1000＋1000×8%＝1080，两年后这种鸟类的个数为1080＋1080×8%≈1166.1610.据观测统计，某湿地公园某种珍稀鸟类的现有个数约1000只，并以平均每年8%的速度增加.(1)求两年后这种珍稀鸟类的大约个数；(参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)123456789101112131415解由题意可知珍稀鸟类的现有个数约1000只，并以平均每年8%的速度增加，则所求的函数关系式为y＝1000×1.08x，x∈N.16(2)写出y(珍稀鸟类的个数)关于x(经过的年数)的函数关系式；12345678910111213141516(3)约经过多少年以后，这种鸟类的个数达到现有个数的3倍或以上？(结果为整数)123456789101112131415解令1000×1.08x≥3×1000，得1.08x≥3，两边取常用对数得lg1.08x≥lg3，即xlg1.08≥lg3，16因为lg108＝lg(33×22)＝3lg3＋2lg2，故约经过15年以后，这种鸟类的个数达到现有个数的3倍或以上.综合运用11.“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等物理声学作用，激起水波，形成涌泉.声音越大，涌起的泉水越高.已知听到的声强m与标准声强m0(m0约为10－12，单位：W/m2)之比的常用对数称作声强的声强级，记作L(贝尔)，即L＝lg

，取贝尔的十分之一作为响度的常用单位，简称为分贝.已知某处“喊泉”的声音响度y(分贝)与喷出的泉水高度x(米)满足关系式y＝2x，现知A同学大喝一声激起的涌泉最高高度为50米，若A同学大喝一声的声强大约相当于10个B同学同时大喝一声的声强，则B同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为A.5米

B.10米

C.45米

D.48米√12345678910111213141516解析设B同学的声强为m，喷出泉水高度为x，则A同学的声强为10m，喷出泉水高度为50，因为某处“喊泉”的声音响度y(分贝)与喷出的泉水高度x(米)满足关系式y＝2x，12345678910111213141516即0.2x＝9，所以x＝45.12.某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192h，在22℃的保鲜时间是48h，则该食品在33℃的保鲜时间是A.16h B.20h C.24h D.26h√1234567891011121314151612345678910111213141516解析由题意可知，当x＝0时，y＝192；当x＝22时，y＝48，13.一种药在病人血液中的量保持1500mg以上才有效，现给某病人注射了这种药2500mg，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过____小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效.(附：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771，答案采取四舍五入精确到0.1h)A.2.3 B.3.5

C.5.6 D.8.8√1234567891011121314151612345678910111213141516解析设从现在起经过x小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效.则2500×0.8x＝1500，即0.8x＝0.6，所以lg0.8x＝lg0.6，即xlg0.8＝lg0.6，即x·(lg9－lg10)<－lg2，即x·(1－2lg3)>lg2，14.光线通过一块玻璃，其强度要失掉原来的

，要使通过玻璃的光线强度为原来的

以下，至少需要这样的玻璃板的块数