2024-2025学年高中数学 第1章 三角函数 1.4 三角函数的图象与性质 1.4.2 第2课时 正弦、余弦函数的单调性与最值（教师用书）教案 新人教A版必修4

2024-2025学年高中数学第1章三角函数1.4三角函数的图象与性质1.4.2第2课时正弦、余弦函数的单调性与最值（教师用书）教案新人教A版必修4课题：科目：班级：课时：计划1课时教师：单位：一、教学内容分析本节课的主要教学内容是高中数学第1章三角函数1.4节中的1.4.2小节，重点探讨正弦、余弦函数的单调性与最值。教学内容与学生已有知识的联系在于，学生在之前的学习中掌握了正弦、余弦函数的基本概念、图像及周期性等性质，本节课将在此基础上进一步研究这两个函数的单调递增与递减区间，以及它们在特定区间内的最大值和最小值。通过本节课的学习，学生能够深化对正弦、余弦函数图像与性质的理解，并提高解决实际问题的能力。二、核心素养目标本节课的核心素养目标旨在培养学生以下能力：通过分析正弦、余弦函数的单调性与最值，提升学生的数形结合思维，增强他们对函数图像与性质之间关系的理解，提高数据分析与解决问题的能力。同时，通过探索函数的单调性及最值，激发学生的逻辑推理能力，培养他们从特殊到一般、从具体到抽象的数学思维方式，进一步加强数学抽象、数学建模和数学运算等学科核心素养。三、教学难点与重点1.教学重点：

-正弦、余弦函数单调区间的判定及其应用。

-正弦、余弦函数最值的求解及其在具体问题中的运用。

-利用单位圆和三角函数的定义，理解函数单调性与最值的关系。

例如，通过分析正弦函数在0到π和π到2π的单调性，强调其在π/2处取得最大值，而在3π/2处取得最小值；同理，对于余弦函数，在0到π/2和3π/2到2π的单调性，以及在π/2和3π/2处取得最值。

2.教学难点：

-理解并掌握正弦、余弦函数单调性的证明过程，特别是当角度跨过π/2或π时单调性的转变。

-能够在给定区间内正确求解正弦、余弦函数的最值，特别是当区间边界为函数的极值点时的情况。

-将单调性与最值的理论知识应用于解决实际问题时，如何建立数学模型并进行有效的数学运算。

例如，学生可能会在确定含有π/2或π的区间内函数的单调性时感到困惑，或者在求解如“求sinx在[0,π]上的最大值和最小值”这类问题时，不能正确地将理论应用到实际求解中。教师需要针对这些难点，通过图示、例题和反复练习，帮助学生克服这些难点。四、教学方法与策略1.选择讲授与讨论相结合的教学方法，结合学生的认知特点，通过讲解正弦、余弦函数单调性与最值的理论知识，引导学生参与课堂讨论，加深理解。

2.设计具体教学活动，如小组合作探究，让学生通过绘制函数图像、分析单调区间和最值，进行案例研究，提高学生的参与度和互动性。

3.利用多媒体教学工具，如几何画板或数学软件，动态展示正弦、余弦函数的图像变化，帮助学生直观理解单调性和最值的概念。

4.通过角色扮演或数学游戏等形式，激发学生学习兴趣，如设置“函数侦探”游戏，让学生在寻找函数最值的过程中掌握知识。同时，结合课本例题，组织学生进行项目导向学习，提高实际问题解决能力。五、教学实施过程1.课前自主探索

-教师活动：

发布预习任务：通过学校在线平台，发布关于正弦、余弦函数单调性与最值的预习资料，明确预习目标和要求。

设计预习问题：围绕正弦、余弦函数的单调性判定和最值求解，设计具有启发性的问题，引导学生自主思考。

监控预习进度：通过平台数据跟踪学生的学习进度，及时给予指导。

-学生活动：

自主阅读预习资料：学生按照要求，阅读预习资料，初步理解正弦、余弦函数的单调性与最值概念。

思考预习问题：学生针对预习问题进行独立思考，如“如何判断正弦函数的单调性？”记录自己的理解。

提交预习成果：学生将预习笔记、思维导图或疑问提交至平台。

-教学方法/手段/资源：

自主学习法：培养学生的自主学习能力。

信息技术手段：利用在线平台共享预习资源，提高预习效率。

-作用与目的：

帮助学生提前接触新课内容，为课中学习打下基础。

培养学生的自主学习和独立思考能力。

2.课中强化技能

-教师活动：

导入新课：通过实际生活中的例子，如音乐节拍与周期性，引出正弦、余弦函数的单调性与最值。

讲解知识点：详细讲解正弦、余弦函数的单调性判定和最值求解方法，结合图像和实例。

组织课堂活动：设计小组讨论，让学生分析特定区间内函数的单调性和最值。

解答疑问：及时解答学生在学习过程中遇到的问题。

-学生活动：

听讲并思考：学生认真听讲，积极思考函数单调性与最值的判定方法。

参与课堂活动：在小组讨论中，学生共同分析函数图像，确定单调性和最值。

提问与讨论：学生针对不懂的问题提出疑问，参与课堂讨论。

-教学方法/手段/资源：

讲授法：通过讲解和实例，帮助学生理解知识点。

实践活动法：通过小组讨论，让学生在实践中掌握技能。

合作学习法：培养学生的团队合作和沟通能力。

-作用与目的：

加深学生对正弦、余弦函数单调性与最值的理解。

通过实践活动，培养学生的实际应用能力。

通过合作学习，提高学生的团队协作能力。

3.课后拓展应用

-教师活动：

布置作业：根据本节课内容，布置相关的练习题，巩固学习效果。

提供拓展资源：推荐相关的学习资料，如高级数学视频讲座、学术文章等。

反馈作业情况：及时批改作业，给予学生反馈。

-学生活动：

完成作业：学生认真完成作业，巩固课堂所学。

拓展学习：利用拓展资源，深入学习正弦、余弦函数的性质和应用。

反思总结：学生对自己的学习过程进行反思，提出改进建议。

-教学方法/手段/资源：

自主学习法：鼓励学生自主完成作业和拓展学习。

反思总结法：引导学生进行自我反思和总结。

-作用与目的：

巩固学生对正弦、余弦函数单调性与最值的知识。

通过拓展学习，拓宽学生的知识面。

通过反思总结，帮助学生发现不足，促进自我提升。六、教学资源拓展1.拓展资源：

-相关教材章节：高中数学教材必修4第1章三角函数相关章节，深入理解三角函数的性质和应用。

-学术论文：选择一些关于三角函数在工程、物理等领域应用的学术论文，帮助学生了解三角函数在实际问题中的运用。

-数学竞赛题目：收集一些包含正弦、余弦函数单调性与最值问题的数学竞赛题目，提升学生的解题能力和思维水平。

-历年高考题型：整理近几年的高考数学题型中与三角函数相关的问题，让学生熟悉考试的热点和难点。

-多媒体资源：寻找一些视频讲座或动画，直观展示正弦、余弦函数的图像变化和单调性、最值的概念。

2.拓展建议：

-鼓励学生阅读教材相关章节，巩固基础知识，特别是三角函数的图像和性质。

-引导学生阅读学术论文，了解三角函数在现实生活中的应用，如信号处理、机械振动等领域。

-组织学生参加数学竞赛，通过解决具有挑战性的问题，提高他们对三角函数单调性与最值的理解和应用能力。

-安排学生对历年高考题型进行练习，帮助他们掌握考试技巧和解题方法。

-推荐学生观看多媒体资源，如视频讲座和动画，以便更直观地理解抽象的数学概念。七、课后作业为了巩固本节课关于正弦、余弦函数单调性与最值的知识，特布置以下课后作业：

1.计算题：

求解以下函数在给定区间上的最值。

（1）f(x)=sin(x)，区间为[0,π]；

（2）f(x)=cos(x)，区间为[π/2,3π/2]；

（3）f(x)=2sin(x)+cos(x)，区间为[0,2π]。

答案：

（1）最大值为sin(π/2)=1，最小值为sin(π)=0；

（2）最大值为cos(π/2)=0，最小值为cos(3π/2)=0；

（3）最大值为3，最小值为-3。

2.分析题：

判断以下函数在给定区间上的单调性，并说明原因。

（1）f(x)=sin(x)，区间为[π/2,3π/2]；

（2）f(x)=cos(x)，区间为[0,π]；

（3）f(x)=2sin(x)+cos(x)，区间为[π/4,5π/4]。

答案：

（1）在[π/2,3π/2]上，sin(x)是减函数，因为在这个区间内，随着x的增大，sin(x)的值逐渐减小；

（2）在[0,π]上，cos(x)是减函数，因为在这个区间内，随着x的增大，cos(x)的值逐渐减小；

（3）在[π/4,5π/4]上，2sin(x)+cos(x)是增函数，因为在这个区间内，随着x的增大，函数的值逐渐增大。

3.应用题：

某物体做简谐运动，其位移x（单位：米）随时间t（单位：秒）的变化规律为x=sin(πt/2)。求：

（1）物体在前3秒内的最大位移和最小位移；

（2）物体在前3秒内位移单调递增的时段；

（3）物体在前3秒内位移单调递减的时段。

答案：

（1）最大位移为sin(3π/2)=1，最小位移为sin(π/2)=0；

（2）物体在前3秒内位移单调递增的时段为[0,1]秒；

（3）物体在前3秒内位移单调递减的时段为[1,3]秒。

4.综合题：

已知f(x)=2sin(x)+cos(x)，求：

（1）函数f(x)的单调递增区间；

（2）函数f(x)的单调递减区间；

（3）函数f(x)在[0,2π]上的最大值和最小值。

答案：

（1）函数f(x)的单调递增区间为[2kπ-5π/6,2kπ+π/6]，其中k为整数；

（2）函数f(x)的单调递减区间为[2kπ+π/6,2kπ+7π/6]，其中k为整数；

（3）函数f(x)在[0,2π]上的最大值为3，最小值为-3。

5.探究题：

探究以下函数在给定区间上的单调性和最值。

f(x)=sin(x)+cos(x)，区间为[0,π/2]和[π/2,π]。

答案：

在区间[0,π/2]上，f(x)是增函数，最大值为f(π/2)=1；在区间[π/2,π]上，f(x)是减函数，最小值为f(π)=-1。八、内容逻辑关系①单调性

-正弦函数在[0,π]上单调递增，在[π,2π]上单调递减。

-余弦函数在[0,π/2]上单调递减，在[π/2,π]上单调递增，在[π,3π/2]上单调递减，在[3π/2,2π]上单调递增。

②最值

-正弦函数在x=π/2时取得最大值1，在x=3π/2时取得最小值-1。

-余弦函数在x=0时取得最大值1，在x=π时取得最小值-1。

③应用

-利用正弦、余弦函数的单调性和最值，分析实际问题，如简谐振动、信号处理等。

板书设计：

正弦函数单调性：

0→π：增

π→2π：减

余弦函数单调性：

0→π/2：减

π/2→π：增

π→3π/2：减

3π/2→2π：增

正弦函数最值：

π/2：1（最大值）

3π/2：-1（最小值）

余弦函数最值：

0：1（最大值）

π：-1（最小值）

应用：

简谐振动、信号处理等。教学反思与总结在本节课的教学过程中，我采用了讲授与讨论相结合的教学方法，旨在激发学生的学习兴趣，帮助他们深入理解正弦、余弦函数的单调性与最值。我首先通过实际生活中的例子引入新课，让学生感受到所学知识的实际意义。接着，我详细讲解了正弦、余弦函数的单调性判定和最值求解方法，并配合图像和实例进行分析。为了让学生更好地掌握这些知识点，我组织了小组讨论，让学生在实践中应用所学知识。此外，我还设计了课后作业，以巩固学生的学习效果。

在教学过程中，我发现学生在理解正弦、余弦函数单调性