九年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）重难点10四种方法求二次函数的解析式（原卷版）

重难点10四种方法求二次函数的解析式【知识梳理】1.一般式当题目给出函数图像上的三个点时，设为一般式（，，为常数，），转化成一个三元一次方程组，以求得a，b，c的值；2.顶点式若已知抛物线的顶点或对称轴、最值，则设为顶点式．这顶点坐标为（h，k），对称轴直线x=h，最值为当x=h时，y最值=k来求出相应的系数.3.交点式已知图像与x轴交于不同的两点，设二次函数的解析式为，根据题目条件求出a的值．4.平移变换型将一个二次函数的图像经过上下左右的平移得到一个新的抛物线．要借此类题目，应先将已知函数的解析是写成顶点式y=a(x–h)2+k，当图像向左（右）平移n个单位时，就在x–h上加上（减去）n；当图像向上（下）平移m个单位时，就在k上加上（减去）m．其平移的规律是：h值正、负，右、左移；k值正负，上下移．由于经过平移的图像形状、大小和开口方向都没有改变，所以a得值不变．【考点剖析】解法一：一般式1.一个二次函数的图象经过（0，0），（﹣1，﹣1），（1，9）三点，求这个二次函数的解析式．2.已知一个二次函数的图象经过（﹣1，10），（1，4），（2，7）三点．求这个二次函数的解析式，并求出它的开口方向、对称轴和顶点坐标．3.二次函数图象过A，C，B三点，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴正半轴上，且AB＝OC，求二次函数的表达式．4.如图所示，四边形ABCD是平行四边形，过点A、C，D作抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），点A，B，D的坐标分别为（﹣2，0），（3，0），（0，4），求抛物线的解析式．5．（2021·上海宝山·九年级期中）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，与轴交于点，（1）求该抛物线的表达式及点的坐标；（2）将抛物线平移，使点落在点处，点落在点处，求的面积；（3）如果点在轴上，与相似，求点的坐标．解法二：顶点式1.设二次函数的图象的顶点坐标为（﹣2，2），且过点（1，1），求这个函数的关系式．2.已知二次函数当x＝1时有最大值是﹣6，其图象经过点（2，﹣8），求二次函数的解析式．3．（上海杨浦区·九年级一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线交y轴于点为A，顶点为D，对称轴与x轴交于点H．（1）求顶点D的坐标（用含m的代数式表示）；（2）当抛物线过点（1，-2），且不经过第一象限时，平移此抛物线到抛物线的位置，求平移的方向和距离；（3）当抛物线顶点D在第二象限时，如果∠ADH=∠AHO，求m的值．解法三：交点式1.如果二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），（3，0），（0，﹣6），求二次函数表达式．2.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，0），点B，点C分别为x轴，y轴正半轴上一点，其满足OC＝OB＝2OA．求过A，B，C三点的抛物线的表达式；3.已知抛物线过A（1，0）和B（4，0）两点，交y轴于C点，且BC＝5，求该二次函数的解析式．4．（2021·上海）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．（1）求该抛物线的表达式及点的坐标：（2）如果点的坐标为，联结、，求的正切值；（3）在（2）的条件下，点为抛物线上一点，当时，求点的坐标．解法四：平移变换型1.将抛物线y＝x2﹣6x+5向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，求平移后的抛物线解析式．2.将抛物线y＝2x2先向下平移3个单位，再向右平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线经过点（1，5），求新抛物线的表达式及新抛物线与y轴交点的坐标．3.已知a+b+c＝0且a≠0，把抛物线y＝ax2+bx+c向下平移一个单位长度，再向左平移5个单位长度所得到的新抛物线的顶点是（﹣2，0），求原抛物线的表达式．4．（上海格致中学九年级月考）把二次函数这个图像上下平移，使其顶点恰好落在正比例函数的图像上，求平移后二次函数的解析式5.抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴正半轴交于A点，M（﹣2，m）在抛物线上，AM交y轴于D点，抛物线沿射线AD方向平移2个单位，求平移后的解析式．6．（2020·上海）已知：抛物线，经过点A(-1,-2)，B(0,1).（1）求抛物线的关系式及顶点P的坐标.（2）若点B′与点B关于x轴对称，把（1）中的抛物线向左平移m个单位，平移后的抛物线经过点B′，设此时抛物线顶点为点P′.①求∠P′BB′的大小.②把线段P′B′以点B′为旋转中心顺时针旋转120°，点P′落在点M处，设点N在（1）中的抛物线上，当△MNB′的面积等于6时，求点N的坐标.7．（2022·上海·中考真题）已知：经过点，．(1)求函数解析式；(2)平移抛物线使得新顶点为（m＞0）．①倘若，且在的右侧，两抛物线都上升，求的取值范围；②在原抛物线上，新抛物线与轴交于，时，求点坐标．【过关检测】1．（2021·上海九年级专题练习）已知一个二次函数的图像经过点（4，1）和（，6）．求这个二次函数的解析式．2．（2021·上海九年级专题练习）如图，已知抛物线y＝－x2＋4x＋m与x轴交于A，B两点，AB＝2，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）若P为对称轴上一点，要使PA＋PC最小，求点P的坐标．3．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）已知函数是二次函数．（1）求m的值；（2）求这个二次函数的解析式，并指出开口方向、对称轴和顶点坐标．4．（2020·崇明县大同中学九年级月考）如图已知在直角坐标系中，一条抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中B（3，0），C（0，4），点A在x轴的负半轴上，OC＝4OA．（1）求点A坐标；（2）求这条抛物线的解析式，并求出它的顶点坐标．5．（2021·上海中考真题）已知抛物线过点．（1）求抛物线的解析式；（2）点A在直线上且在第一象限内，过A作轴于B，以为斜边在其左侧作等腰直角．①若A与Q重合，求C到抛物线对称轴的距离；②若C落在抛物线上，求C的坐标．6．（2022·上海徐汇·九年级期末）二次函数的自变量x的取值与函数y的值列表如下：x…﹣2﹣10…234……﹣503…30﹣5…(1)根据表中的信息求二次函数的解析式，并用配方法求出顶点的坐标；(2)请你写出两种平移的方法，使平移后二次函数图像的顶点落在直线上，并写出平移后二次函数的解析式．7．（2022·上海杨浦·九年级期末）已知二次函数．(1)用配方法把二次函数化为的形式，并指出这个函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标；(2)如果将该函数图像沿轴向下平移5个单位，所得新抛物线与轴正半轴交于点，与轴交于点，顶点为，求的面积．8．（2022·上海金山·九年级期末）已知：抛物线经过点和，顶点为点，抛物线的对称轴与轴相交于点．（1）求抛物线的解析式；（2）求的度数；（3）把抛物线向上或者向下平移，点平移到点的位置，如果，求平移后的抛物线解析式．9．（2022·上海闵行·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与牰交于点，与轴交于点．点C为拋物线的顶点．(1)用含的代数式表示顶点的坐标：(2)当顶点在内部，且时，求抛物线的表达式：(3)如果将抛物线向右平移一个单位，再向下平移个单位后，平移后的抛物线的顶点仍在内，求的取值范围．10．（2022·上海普陀·九年级期中）在平面直角坐标系xOy中(如图)，已知抛物线y=x2-bx+c经过A(-1．2)、B(0，-1)两点．(1)求抛物线的表达式及顶点P的坐标；(2)将抛物线y=x2-bx+c向左平移(+1)个单位，设平移后的抛物线顶点为点P'．①求∠BP'P的度数；②将线段P'B绕点B按逆时针方向旋转150°，点P’落在点M处，点N是平移后的抛物线上的一点，当△MNB的面积为1时，求点N的坐标．11．（2022·上海静安·二模）在平面直角坐标系xOy中，已知点A坐标是（2，4），点B在x轴上，（如图所示），二次函数的图像经过点O、A、B三点，顶点为D．(1)求点B与点D的坐标；(2)求二次函数图像的对称轴与线段AB的交点E的坐标；(3)二次函数的图像经过平移后，点A落在原二次函数图像的对称轴上，点D落在线段AB上，求图像平移后得到的二次函数解析式．12．（2022·上海奉贤·九年级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中,抛物线与轴交于点和点，与轴交于点,顶点为．（1）求该抛物线的表达式的顶点的坐标；（2）将抛物线沿轴上下平移,平移后所得新拋物线顶点为,点的对应点为．①如果点落在线段上,求的度数；②设直线与轴正半轴交于点,与线段交于点,当时,求平移后新抛物线的表达式．13．（2022·上海市罗星中学模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，抛物线交y轴于点为A，顶点为D，对称轴与x轴交于点H．（1）求顶点D的坐标（用含m的代数式表示）；（2）当抛物线过点（1，-2），且不经过第一象限时，平移此抛物线到抛物线的位置，求平移的方向和距离；（3）当抛物线顶点D在第二象限时，如果∠ADH=∠AHO，求