北师大版九年级数学上册知识点总结全册

（新版）九年级数学上册知识点归纳（北师大版）

（八下前情回顾）※平行四边的定义：两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四

边形不相邻的两顶点连成的线段叫做它的亚为缱。

※平行四边形的性质：平行四边形的对边相等,对角相等,对角线互相平分。

※平行四边形的判别方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。

※平行线之间的距离：若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距

离相等。这个距离称为平行线之间的距离。

第一章特殊平行四边形

1菱形的性质与判定

菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

※菱形的性质：具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条

对角线平分一组对角。

菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。

※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。

对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

四条边都相等的四边形是菱形。

2矩形的性质与判定

※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫号牛。矩形是特殊的平行四边形。

※矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。（矩形是轴对称

图形，有两条对称轴）

※矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形（根据定义）。

对角线相等的平行四边形是矩形。

四个角都相等的四边形是矩形。

※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

3正方形的性质与判定

正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。

※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是轴对称图形,

有两条对称轴）

※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形:

邻边相等的矩形是正方形；

对角线相等的菱形是正方形；

对角线互相垂直的矩形是正方形。

正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系（如图3所示）：

※梯形定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。

图3

※等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等。

同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。

※三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

※夹在两条平行线间的平行线段相等。

※在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半

第二章一元二次方程

1认识一元二次方程

※只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为ox?+加+c=0（a、b、c为

常数，aWO）的形式，这样的方程叫一元二次方程。

※把依2+法+。=。g、b、c为常数，a^O）称为一元二次方程的一般形式，a为二次

项系数；b为一次项系数；c为常数项。

2用配方法求解一元二次方程

①配方法〈即将其变为。+m)2=0的形式>

※配方法解一元二次方程的基本步骤：①把方程化成一元二次方程的一般形式；

②将二次项系数化成1;

③把常数项移到方程的右边：

④两边加上一次项系数的一半的平方；

⑤把方程转化成(x+in)2=0的形式；

⑥两边开方求其根。

3用公式法求解一元二次方程

护—4ac

②…公式法x=—b+y、l(注意在找abc时须先把方程化为一般形式)

2a

4用因式分解法求解一元二次方程

③分解因式法把方程的一边变成0,另一边变成两个一次因式的乘积来求解。(主要包括

“提公因式”和“十字相乘”)

5一元二次方程的根与系数的关系

※根与系数的关系：当b<4ac>0时，方程有两个不等的实数根；

当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；

当b2-4ac<0时，方程无实数根0

※如果一元二次方程加+6x+c=0的两根分别为xi、X2,则有：

bc

=

X|+%2=---a-X|-%2a—o

※一元二次方程的根与系数的关系的作用：

(1)已知方程的一根，求另一根；

(2)不解方程，求二次方程的根X1、X2的对称式的值，特别注意以下公式：

①夕才'二『三②=③

'x2x1x2

2=(石2

(Xj-x2)+x2)-4X1X2

2

④IXj-x21=yl(X[+X2)-4X^2⑤

2

(IFI+1%21)2=a+X2)-2X1X2+2IXjX2I

⑥X：+E=(x)+x)3+x)⑦其他能用+工2或无1工2表达的代数

2-3xix2(x[2

式。

(3)已知方程的两根Xi、X2,可以构造一元二次方程：2(x+x)x+=0

X-)2x]x2

(4)己知两数xi、xz的和与积，求此两数的问题，可以转化为求一元二次方程

2

X-(%,+x2)x+xlx2=0的根

6应用一元二次方程

※在利用方程来解应用题时，主要分为两个步骤：①设未知数(在设未知数时，大多数情况

只要设问题为X；但也有时也须根据已知条件及等量关系等诸多方面考虑)；②寻找等量

关系(一般地，题目中会含有一表述等量关系的句子，只须找到此句话即可根据其列出方

程)。

※处理问题的过程可以进一步概括为：问题鬻->方程慧一解答

抽象检验

第三章图形的相似

1成比例线段

一.线段的比

XI.如果选用同一个长度单位量得两条线段AB,CD的长度分别是m、n,那么就说这两条线

段的比AB:CD=m:n，或写成色=

Bn

※叁四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d的比，即@=£，那么这四条线段

bd

a、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段.

X3.注意点：

①a:b二k,说明a是b的k倍；

②由于线段a、b的长度都是正数，所以k是正数；

③比与所选线段的长度单位无关，求出时两条线段的长度单位要一致；

④除了a二b之外,a:bWb:a,巴与々互为倒数；；；.

ba

ac4CB

⑤比例的基本性质：若a:=-c；,则ad=be;若ad二be,则7=二

bdbd市ii

2平行线分线段成比例

XI.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.

如图2,It/11s//A,则——=――.

DEEF

二.黄金分割

※上如图1,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果=变，那么称线段AB被点C

ABAC

黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做.黄金比..

AC=0.618:1

2

派2.黄金分割点是最优美、最令人赏心悦目的点.

3相似多边形

01.一般地，形状相同的图形称为相似图形.

※义对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多.边形.相似多边形对应边的比叫做

相似比

XI.在相似多边形中，最为简单的就是相似三角形.

X2.对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角.彩.相似三角形对应边的比叫做相似

※工全等三角形是相似三角的特例，这时相似比等于1.注意:证两个相似三角形,与证两

个全等三角形一样,应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.

※人相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比.

※民相似三角形周长的比等于相似比.

※仪相似三角形面积的比等于相似比的平方.

※相似多边形的周长等于相似比;面积比等于相似比的平方.

4探索三角形相似的条件

派2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.

BC

如图2,h//I2//l：h贝11----=

DE~EF

※上相似三角形的判定方法:

一般三角形直角三角形

基本定理：平行于三角形的一边H和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所

截得的三角形与原三角形相似.

①两角对应相等；①一个锐角对应相等；

②两边对应成比例,且夹角相等；②两条边对应成比例：

③三边对应成比例.a两直角边对应成比例；

b.斜边和一直角边对应成比例.

※工平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三

角形相似.

5相似三角形的判定定理的证明

6利用相似三角形测高

7相似三角形的性质

8图形的位似

第四章投影与视图

A）三视图

•主视图一一从正面看到的图左视图一一从左面看到的图俯视图一一从上面看到的

图

•画物体的三视图时，要符合如下原则：大小：长对正，高平齐，宽相等.

•虚实:在画图时,看的见部分的轮廓通常画成实线,看不见部分的轮廓线通常画成虚线.

B）投影

•物体在光线的照射下,会在地面或墙壁上留下它的影子,这就是投影现象.

•太阳光线可以看成平行光线，像这样的光线所形成的投影称为平行投影。

­在同一时刻,物体高度与影子长度成比例.

•物体的三视图实际上就是该物体在某一平行光线（垂直于投影面的平行光线）下的平行投

影.

•探照灯,手电筒,路灯,和台灯的光线可以看成是从•点出发的光线,像这样的光线所形成

的投影称

为中心投影

•皮影和手影都是在灯光照射下形成的影子.它们是中心投影。

C)视点、视线、盲区的定义以及在生活中的应用。

.眼睛所在的位置称为视点，

.由视点发出的光线称为视线，

.眼睛看不到的地方称为盲区

第五章反比例函数

知识点1反比例函数的定义

一般地，形如y=K(k为常数，k#0)的函数称为反比例函数，它可以从以下几个

x

方面来理解：

U)X是自变量，y是X的反比例函数；

(2)自变量x的取值范围是x力0的一切实数，函数值的取值范围是y工0；

⑶比例系数kw0是反比例逐数定义的一个重要组成部分；

⑷反比例函数有三种表达式：

®y=-(k00),

x

②：.(kwO),

③x*y=k(定值)(k/0)；

kk

(5)函数y=—(kwO)与x=—(kwO)是等价的，所以当y是x的反比例函数时，

xy

X也是y的反比例函数。

(k为常数，kwO)是反比例函数的一部分，当k=0时，y=-,就不是反比例函数

x

了，由于反比例函数y=A(k^0)中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就

x

可以求出k的值，从而确定反比例函数的表达式。

知识点2用待定系数法求反比例函数的解析式

由于反比例函数y=K(kHO)中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就

x

可以求出k的值，从而确定反比例函数的表达式。

知识点3反比例函数的图像及画法

反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第

二、第四象限，它们与原点对称，由于反比例函数中自变量函数中自变量xwO,函数值

ywO,所以它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但

永远达不到坐标轴。

反比例的画法分三个步骤：⑴列表；⑵指点；⑶连线。

再作反比例函数的图像时应注意以下几点：

①列表时选取的数值宜对称选取；

②列表时选取的数值越多，画的图像越精确；

③连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画成

折线：

④画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。

知识点4反比例函数的性质

☆关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况，如下表：

反比例函数y=-(kwO)

X

k的

k>0k<0

符号

JkV

图像

1A

rx1

①X的取值范围是xwO,y的取值①X的取值范围是xwO,y的取

范围是yw0值范围是y工0

性质②当k>0时，函数图像的两个分②当k<0时，函数图像的两个分

支分别在第一、第三象限，在每个支分别在第二、第四象限，在每

象限内，y随x的增大而减小。个象限内，y随x的增大而增大。

注意：描述函数值的增减情况时，必须指出“在每个象限内……”否贝！，笼统地说，当k>0

时，y随x的增大而减小“，就会与事实不符的矛盾。

反比例函数图像的位置和函数的增减性，是有反比例函数系数k的符号决定的，反过来，由

反比例函数图像（双曲线）的位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号。如丫=月在第

x

一、第三象限，则可知k>0°

☆反比例函数y=：（k#0）中比例系数k的绝对值|k|的几何意义。

如图所示，过双曲线上任一点P（x,y）分别作x轴、y轴的垂线，E、F分别为垂足，

则同=同=凶・|乂=尸产,尸石=s矩形曲•

☆反比例函数y=K（k工0）中，|k|越大，双曲线y=K越远离坐标原点；|k|越小，

XX

双曲线y二人越靠近坐标原点。

x

☆双曲线是中心对称图形，对称中心是坐标原点；双曲线乂是轴对称图形，对称轴是直线

y=x和直线y=—Xo

第六章概率的进一步认识

用树状图或表格求概率

相关知识点链接：

频数与频率

频数：在数据统计中，每个对象出现的次数叫做频数，

频率：每个对象出现的次数与总次数的比值为频率。

概率的意义和大小：概率就是表示每件事情发生的可能性大小，即一个时间发生的可能性大

小的数值。必然事件发生的概率为1;不可能事件发生的概率为0：不确定事件发生的概率

在0与1之间。

【知识点1］频率与概率的含义

在试验中，每个对象出现的频繁程度不同，我们称每个对象出现的次数为频数，而每个对象

出现的次数与总次数的比值为频率，即频率=上与

总次数

把刻画事件A发生的可能性大小的数值，称为事件A发生的概率。

【知识点2］通过实验运用稳定的频率来估计某一时间的概率

在进行试验的时候，当试验的次数很大时，某个事件发生的频率稳定在相应的概率附近。

我们可以通过多次试验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的频率。

【只是点3］利用画树状图或列表法求概率（重难点）

特殊平行四边形核心知识点

正方形、矩形、菱形和平行四边形四者之间关系

平行四边形、菱形、矩形、正方形的有关概念

图形定义

平行四边形两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形

菱形一组邻边相等的平行四边形叫做菱形

矩形一个内角是直角的平行四边形叫做矩形

正方形一组邻边相等的矩形叫做正方形

平行四边形、菱形、矩形、正方形的有关性质

图形边角对角线

平行四边形对边平行且相等对角相等，邻角互补对角线互相平分

g乜小花两对角线互相垂直平分，每一

菱形对边平行，四条边相等对角相等条对角线平分-组对角

矩形对边平行且相等四个角都是直角对角线互相平分且相等

两条对角线互相平分、垂直、

正方形对边平行、四条边都相等四个角都是直角相等，每一条对角线平分一组

对角

平行四边形、菱形、矩形、正方形的判别方法

图形判别方法

1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形

2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形

平行四边形3、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

4、两组对角分别相等的四边形是平行四边形

5、对角线互相平分的四边形是平行四边形

1、一组邻边相等的平行四边形是菱形

菱形2、四条边都相等的四边形是菱形

3、对角线互相垂直的平行四边形是菱形

1、一个内角是直角的平行四边形是矩形

矩形

2、对角线相等的平行四边形是矩形

1、一组邻边相等的矩形是正方形

2、对角线互相垂直的矩形是正方形

正方形

3、有一个角是宜角的菱形是正方形

4、对角线相等的菱形是正方形

二、梯形常见的辅助线

1.延长两腰交于一点

作用：使梯形问题转化为三角形问题。若是等腰梯形则得到等腰三角形。

2.平移一腰

作用：使梯形问题转化为平行四边形及三角形问题。

3.作高

作用：使梯形问题转化为直角三角形及矩形问题。

4.平移一条对角线

作用：(1)得到平行四边形ACED,使CE=AD,BE等于上、下底的和

(2)等腰梯形时，S梯形ABCD二S^DBE

5.当有一腰中点时，连结一个顶点与一腰中点并延长交一个底的延长线。

作用：可得4ADEgaFCE,所以使S悌形ABCD=SMBF。

一、一元二次方程

1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是

2的整式方程叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式：+c=它的特征是:

等式左边加一个关于未知数X的二次多项式，等式右边是零，其中

叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数;

c叫做常数项。

二、一元二次方程的解法

1、直接开平方法：

利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直

接开平方法。直接开平方法适用于解形如(x+a)2的一元二次方

程。根据平方根的定义可知，是b的平方根，当人20时，

x+a=±4b,x=-a±4b,当b<0口寸，方程没有实数根。

2、配方法:

配方法的理论根据是完全平方公式/、:,把公式

中的a看做未知数x,并用x代替，则有炉±2"+/=*±份2。

配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为

1,再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式

3、公式法

公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二

次方程的一般方法。

一元二次方程or?+bx+c=0(〃w0)的求根公式：

-b±y/b2-4ac

x=---------(b2-4Aac>0)

2a

公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次

项的系数为a,一次项的系数为b,常数项的系数为c

4、因式分解法

因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这

种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。

分解因式法的步骤：把方程右边化为0,然后看看是否能用提取

公因式，公式法(这里指的是分解因式中的公式法)或十字相乘，如

果可以，就可以化为乘积的形式

5、韦达定理

利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之

和二-b/a,二根之积=c/a也可以表示为xl+x2=-b/a,xlx2=c/a。利用

韦达定理，可以求出一元二次方程中的各系数，在题目中很常用

三、一元二次方程根的判别式

根的判别式

一元二次方程0?+桁+G=0（〃=0）中，从-4碇叫做一元二次方程

"2+法+,=03"0）的根的判另1」式，通常用来表示，即△=〃—4碇

I当△＞（）时，一元二次方程有2个不相等的实数根；

II当△=（）时，一元二次方程有2个相同的实数根；

III当△＜（）时，一元二次方程没有实数根

四、一元二次方程根与系数的关系

如果方程—+"+c=0（〃工0）的两个实数根是知马，那么

x,+x,=--,X/=£。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次

aa

方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相

反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

五、一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应

用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次

项系数化为正数。

直接开平方法是最基本的方法。

公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二

次方程（有人称之为万能法），在使用公式法时，一定要把原方

程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算根的

判别式的值，以便判断方程是否有解。

配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式

法解一元二次方程了，所以一般不用配方法解一元二次方程。但

是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌

握的三种重要的数学方法之一，一定要掌握好。

第三章概率的进一步认识讲义

一、本章知识结构图

1

用树状图或列表求概率

专题一用树状图和列表法计算事件发生的概率

1、（2009年云南省）在一个不透明的纸箱里装有红、黄、蓝三种颜色

的小球，它们除颜色外完全相同，其中红球有2个，黄球有1个,

蓝球有1个.现有一张电影票，小明和小亮决定通过摸球游戏定

输赢（赢的一方得电影票）.游戏规则是：两人各摸1次球，先

由小明从纸箱里随机摸出1个球，记录颜色后放回，将小球摇匀,

再由小亮随机摸出1个球.若两人摸到的球颜色相同，则小明赢,

否则小亮赢.这个游戏规则对双方公平吗？请你利用树状图或列

表法说明理由.

/7\\/7\\

红红黄蓝红红黄蓝红红黄蓝红红黄蓝

或

一―第2次

第1次红红黄蓝

红（红，红）（红，红）（红，黄）（红，蓝）

红（红，红）（红，红）（红，黄）（红，蓝）

黄（黄，红）（黄，红）（黄，黄）（黄，蓝）

蓝（蓝，红）（蓝，红）（蓝，黄）（蓝，蓝）

由上述树状图或表格知：所有可能出现的结果共有16种.

p（小明嬴）=9=3,p（小亮赢）

168168

・•・此游戏对双方不公平，小亮赢的可能性大.

（说明：答题时只需用树状图或列表法进行分析即可）

2、（2009年崇左）一只口袋中放着若干只红球和白球，这两种球除

了颜色以外没有任何其他区别，袋中的球已经搅匀，蒙上眼睛从口袋

中取出一只球，取出红球的概率是

4

（1）取出白球的概率是多少？

（2）如果袋中的白球有18只，那么袋中的红球有多少只？

解：（1）P（取出白球）=1一P（取出侬）

13

一1

44

（2）设袋中的红球有x只，则有

解得x=6

所以，袋中的红球有6只.

【知识要点】

用树状图和列表法计算涉及两步实验的随机事件发生的概率.

【方法技巧】

列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结

果，适合于两步完成的事件，概率问题要注意分清放回与不放回，结

果是完全不一样的.

用频率估计概率

专题二事件发生的频率与概率之间的关系

1.在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除

颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率

稳定在0.3左右，则布袋中白球可能

有()

A、15个B、20个C、30个D、35

个

2.一个不透明的盒子中放有4张扑克牌，牌面上的数字分别3,

4,5,x,这些扑克牌除数字外都相同.甲、乙两人每次同时

从盒子中各随机摸出1张牌，并计算摸出的这2张牌面上的

数字之和.记录后都将牌放回盒子中搅匀，进行重复实验.实

验数据如下表：

摸牌总次数1236901218243345

000000000

“和为9”出现的1912263581015

频数4478290

“和为9”出现的0.10.40.40.40.20.30.30.30.30.3

频率0570912433

解答下列问题：

(1)如果实验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为9”的

频率将稳定在它的概率附近，试估计出现“和为9”的概率；

(2)根据(1),若x是不等于3,4,5的自然数，试求x的值.

3.小明在操场上做游戏，他发现地上有一个不规则的封闭图形

ABC.为了知道它的面积，小明在封闭图形内划出了一个半径为1

米的圆，在不远处向圈内掷石子，且记录如下：

5瞅15。次300次

石子落在00内僧。。上）

mm144395

石子落在阴影内瞅数M1985186

依此估计此封闭图形ABC的面积是米2.

【知识要点】

通过实验.理解当实验次数较大时，实验频率稳定于理论概率附

近.并据此估计某一事件发生的概率.

请用列表或树状图的方法求连续掷三次硬币正面朝上的概率？

二、知识过关

L“一方有难，八方支援”，地震牵动着全国人民的心，汉中市某医

院准备从甲、乙、丙三位医生和A、B两名护士中选出一位医生和

一名护士支援灾区.

（1）若随机选一位医生和一名护士，用树状图（或列表法）表示所

有可能出现的结果；

（2）求恰好选中医生甲和护士A的概率.

2、（2009贺州）一个不透明的布袋里装有4个大小、质地均相同的

乒乓球，

每个球上面分别标有1,2,3,4.小林先从布袋中随机抽取一个乒

乓球（不放回去），再从剩下的3个球中随机抽取第二个乒乓球.

（1）请你列出所有可能的结果；

（2）求两次取得乒乓球的数字之积为奇数的概率.

解：（1）根据题意列表如下：

1234

1(1,2)(1,3)(1,4)

2(2,1)(2,3)(2,4)

3(3,1)(3,2)(3,4)

4(4,1)(4,2)(4,3)

由以上表格可知：有12种可能结果

（2）在（1）中的12种可能结果中，两个数字之积为奇数的只有2

种，

所以，P（两个数字之积是奇数）

126

3、（2009年山西省）某商场为了吸引顾客，设计了一种促销活动：

在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0

元”、“10元”、“20元”和“30元”的字样.规定：顾客在本商

场同一日内，每消费满200元，就可以在箱子里先后摸出两个球

（第一次摸出后不放回）.商场根据两小球所标金额的和返还相

应价格的购物券，可以重新在本商场消费.某顾客刚好消费200

元.

（1）该顾客至少可得到元购物券，至多可得到元

购物券；

（2）请你用画树状图或列表的方法,求出该顾客所获得购物券的

金额不低于30元的概率.

解：(1)10,50；

（2）解：解法一（树状图）:

第一次o

第二次102030

和102030

从上图可以看出，共有12种可能结果，其中大于或等于30元共有8

种可能结果，因此尸（不低于30元）=§=2.

123

解法二（列表法）：

第一Q

102030

第二次X

\

0^2030

101030^

202030

30304050

4、（2009年铁岭市）小明和小亮是一对双胞胎，他们的爸爸买了两

套不同品牌的运动服送给他们，小明和小亮都想先挑选.于是小明设

计了如下游戏来决定谁先挑选.游戏规则是：在一个不透明的袋子里

装有除数字以外其它均相同的4个小球，上面分别标有数字1、2、3、

4.一人先从袋中随机摸出一个小球，另一人再从袋中剩下的3个小

球中随机摸出一个小球.若摸出的两个小球上的数字和为奇数，则小

明先挑选；否则小亮先挑选.

（1）用树状图或列表法求出小明先挑选的概率；

（2）你认为这个游戏公平吗？请说明理由.

1—(1,2)(1,3)(1,4)

2(2,1)—(2,3)(2,4)

3(3,1)(3,2)—(3,4)

4(4,1)(4,2)(4,3)—

第一次摸球1234

第二次摸球234134124123

(1,2)(1,3)(1,4;(1,1)(2,3)(2,4)(3,1)(3,2)(3,4)(4,1)(4,2)(4,3)

从表或树状图可以看出所有可能结果共有12种，且每种结果发生的

可能性相同，符合条件的结果有8种，

：.P(和为奇数)=-

3

(2)不公平.

・・,小明先挑选的概率是P(和为奇数)=2,小亮先挑选的概率是尸(和

3

为偶数)=；，

・,•不公平.

33

图形的相似

1.比例线段的有关概念

在比例式0=£（ab=c:d）中,。、d叫外项,b、内项,a、c叫前项仍、d叫

bd

后项，d叫第四比例项,如果反c,那么人叫做a、d的比例中项.

2.比例性质

①基本性质：—=—<=>ad=be

bd

②更比性质（交换比例的内项或外项）：

幺=§（交换内项）

cd

幺=£（交换外项）

£=£_>Iba

bd4，（同时交换内外项）

ca

2=U（同时交换比的前项和后项）

C

②合比性质：包二出

bdbd

③善比性质：_=_=…=—（b+d+…+〃W0）=>------------------=—

bdnb+d+…+nb

3.黄金分割

在线段AB上，点。把线段A8分成两条线段AC和8。（AC>8C）,如果

—,即AC2=A5X5C,那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线

ABAC

段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.其中

V5-1

AC=-——AB=0.618AB.

2

4.平行线分线段成比例定理

①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图:

h//b//h.贝1)丝=DEABDEBCEF

BCEF~AC~7)F'~AC~~DF

②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的廷长线）所

得的对应线段成比例.

③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的

对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.

5.相似三角形的判定

①两角对应相等，两个三角形相似；②两边对应成比例且夹角相等,两三角

形相似；

③三边对应成比例，两三角形相似.

6.相似三角形的性质

①相似三角形的对应角相等，对应边成比例；

②相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似

比；

③相似三角形周长的比等于相似比；面积的比等于相似匕的平方.

7.六种相似基本模型：

9.中位线

1）三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段.

三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半.

三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中

点的线段的长是对应中线长的』.

3

2）梯形的中位线：连结梯形两腰中点的线段.

梯形的中位线平行于两底边，并且等于两底边和的一半.

10.位似

①如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个

点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似

比又称为位似比.

②位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.

新版北师大版九年级数学上册第五章视图与投影

知识要点

I.主要概念：

（1）圆柱的主视图是矩形,左视图是矩形，俯视图是圆。

（2）圆锥的主视图是三角形；左视图是三角形；俯视图是圆，还要画上圆心。

（3）球的主视图是圆；左视图是圆；俯视图是圆。

（4）投影：物体在光线的照射下，会在地面或墙上留下它的影子，这就是投影现象。

（5）平行投影：太阳光线可以看成是平行光线，像这样的光线所形成的投影称为平行

投影。

（6）中心投影：由一点发出的光线形成的投影是中心投影。

（7）视点：眼睛的位置称为视点。

（8）视线：由视点出发的线称为视线。

（9）盲区：视线看不到的地方称为盲区。

2.主要原理：

（1）画视图时，看得见的部分的轮廓通常画成实线，看不见部分的轮廓线通常画成虚

线。

（2）我们在画三视图时，主、左视图的高要相等；俯、左视图的宽要相等。

（3）在同一时刻，不同物体的影子与它们的高度是成比例的。

（4）在同一天中，由早晨到傍晚，物体的影子由正西、北偏西、正北、北偏东、正东

的方向移动。

（5）当投影光线与投影面垂直时，形成的投影就是物体的正投影。

【典型例题】

例I.如图，画出正三棱柱在这两种位置时的视图。

位置（一）位置（二）

解：图中正三棱柱在位置（一）时的三视图如下图所示。

俯视图

图中正三棱柱在位置（二）时的三视图如下图所示:

主视图左视图俯视图

例2.如图所示，画出下列物体的三视图。

(1)

答：两个物体的三视图如图（a）（b）

例3.图1是底面为等腰直角三角形的三棱柱俯视图，画出它们主视图和左视图。

例4.某校墙边有甲、乙两根木杆。

（1）某一时刻甲木杆在阳光下的影子如图（1）所示，你能画出此时乙木杆的影子吗？

（2）当乙木杆移动到什么位置时，其影子刚好不落在墙上？

（3）在你所画的图形中有相似的三角形吗？为什么？

1）（2）

解答：（1）如图（2）,作直线：过E作DD，的平行线，交AD所在直线于EL则

BE'就是乙木杆的影子；

（2）平移由乙杆、乙杆的影子和太阳光线所构成的图形（即△BEED,直到其影子的

顶端E，抵达墙角为止；

（3）△ADD'与△BEE'相似。

例5.（山西省中考题）如图，小明想测量电线杆AB的高度，他发现电线杆的影子恰好

落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=4米，BC=10米，CD与地面成30°角,且此

时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度约为米（结果保留两位有效数

字，V2«1.41,V3«1.73）o

Ar

I________

BCFE

解答：延长BC、AD,二线交于点E,过点D作DF_LBE于点F,贝ijBE为旗杆AB的

影子。

VZDCF=30°,CD=4m

ADF=-CD=2m,/.CF=VCD2-DF2=2V3

2

VZABC=ZDFE=90°，NE=NE,

ARDF

AAABE^ADFE,A—=—

BEFE

•・•在同一时刻两物体的物高与影长成比例，・A•・R空=1；

BE2

设AB=x米，贝ijBE=2x米

.DFDF21

**EF-BE-BC-CF-2x-10-2732

*.x=7+V3«7+1.73«8.7（米）

答：电线杆的高度约为8.7米。

例6.如图所示，路灯下某公路护栏AB的影子为ABL某果树CD的影子为CD,请画

出电线杆EF的影子。

FBD

EAB'CD1

解答：如图所示，作直线B'B、D'D,交于点O,连结OF并延长交AE于F,EF即

为EF的影子。

例7.同一时刻，一棵树和一竿旗的影子如图所示，这是白天还是夜晚，请画出小明此刻

的影子。

解：是夜晚，分别过小树及其影了顶端，旗杆及其影了顶端作直线交点为O,过。点

及小明头部顶点作直线，此直线与地面交于点B,设小明立足点为A,则AB是小明的影子。

例8.与一盏路灯相对，有一玻璃幕墙，幕墙前面的地面上有一盆花和一棵树。晚上，幕

墙反射路灯灯光形成了那盆花的影子，树影是路灯灯光形成的，如下图所示，你能确定此时

路灯光源的位置吗？

解：过盆花及其影子顶端作直线，作反射面法线，作N2=N1,得光线人过树及其影

子顶端作直线心，两线交点O,则。处为灯光位置。

例9.小明、小刚在同一座楼的四层、六层。他们楼前有一商店，他们的同学小江在下面

喊，小明说，小江在哪儿呢？小刚说我看到小江啦！请问此时小江在什么位置？

解：将六楼处设为点A,四楼处设为点A\商店顶部一点设为点B,过A、B,A\B

分别作直线交地面于C、D两点，如图所示。小江在CD区域内。

真题演练

一、选择题

1.如图（1）所示，所对应的物体还是图（2）所示中的（）

主视图俯视图

2.如图（3）所示的空心几何体的俯视图是图（4）中的（）

图（4）

3.物体在太阳光的照射下，不同的时刻会发生的现象是（）

A.影子的大小不变，方向在变

B.影子的大小在变，方向不变

C.影子的大小、方向都在变

D.影子的大小、方向都不变

4.强强和亮亮在路灯下走，本来很高的强强的影长却比矮的亮亮的影子短，因为（）

A.强强离路灯近B.亮亮离路灯近

C.强强和亮亮分别在路灯的两旁D.路灯比强强高

5.货车司机的驾驶室一般都设计得较高,而且尽量靠前，这是为了（）

A.接触到更好的阳光B.看得更远

C.减小因车头挡住视线产生的盲区D.空气更新鲜

6.下列投影中，不属于中心投影的是（）

A.晚上路灯下小孩的影子

B.汽车灯光照射下行人的影子

C.阳光下沙滩上人的影子

D.舞台上一束灯光下演员的影子

7.小明拿了一张正方形卡片，使卡片面与墙面平行，这时发现墙面上形成了卡片的影子,

则下列关于其影子的叙述正确的是（）

A.墙上形成的影子的形状和大小一定与卡片相同

B.墙上形成的影子有可能比卡片小

C.墙上形成的影子比卡片大或小都有可能

D.墙上形成的影子有可能比卡片大

8.一个几何体的主视图和左视图都是相同的长方形，府视图为圆，则这个几何体为（）

A、圆柱B、圆锥C、圆台D、球

9.从早上太阳升起的某一时刻开始到晚上，旭日广场的旗杆在地面上的影子的变化规律是

（）

A、先变长，后变短B、先变短，后变长

C、方向改变，长短不变D、以上都不正确

10.在相同的时刻，物高与影长成比例.如果高为1.5米人测竿的影长为2.5米，那么影长为

30米的旗杆的高是（）

A、20米B、16米C、18米D、15米

11.下列说法正确的是（）

A、物体在阳光下的投影只与物体的高度有关

B、小明的个了比小亮高，我们可以肯定，不论什么情况，小明的影了••定比小亮的影了•

长.

C、物体在阳光照射下，不同时刻，影长可能发生变化，方向也可能发生变化.

D、物体在阳光照射下，影子的长度和方向都是固定不变的.

12.关于盲区的