九年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）第08讲解直角三角形（5种题型）（解析版）

第08讲解直角三角形（5种题型）【知识梳理】一．解直角三角形（1）解直角三角形的定义在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．（2）解直角三角形要用到的关系①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；②三边之间的关系：a2+b2＝c2；③边角之间的关系：sinA=∠A的对边斜边=ac，cosA（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）二．解直角三角形的应用（1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问．如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．（2）解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．三．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式．（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα．（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．应用领域：①测量领域；②航空领域③航海领域：④工程领域等．四．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角；视线在水平线下方的角叫俯角；五．解直角三角形的应用-方向角问题（1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数．（2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．【考点剖析】一．解直角三角形1．（2022春•闵行区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，点D在边AC上，且AD＝2CD，DE⊥AB，垂足为点E，联结CE，求：（1）线段BE的长；（2）∠ECB的余弦值．【分析】（1）根据题意，AC＝BC＝6，AD＝2CD，可得AD的长度，根据等腰直角三角形的性质可得AB=2AC，由AE＝sin45°•AD的长度，则BE＝AB﹣（2）过点E作EF⊥BC，垂足为F，如图，根据等腰直角三角形的性质可得，EF＝BF＝sin45°•BE，则CF＝BC﹣BF，根据勾股定理可得CE=EF2+CF2【解答】解：（1）∵AC＝BC＝6，AD＝2CD，∴AD＝4，∵∠ACB＝90°，∴AB=2AC=6∴∠DAE＝45°，DE⊥AB，∴AE＝sin45°•AD=22×4=∴BE＝AB﹣AE＝62−22=4（2）过点E作EF⊥BC，垂足为F，如图，∵∠B＝45°，∴EF＝BF＝sin45°•BE=2∴CF＝BC﹣BF＝2，∴CE=EF2在Rt△ECF中，cos∠ECB=CF【点评】本题主要考查了解直角三角形及等腰直角三角形形的性质，应用等腰直角三角形性质进行计算是解决本题的关键．2．（2022春•浦东新区校级期中）如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，AE是BC边上的中线，已知AD＝8，BD＝4，cos∠ABC=4（1）求高CD的长；（2）求tan∠EAB的值．【分析】（1）在Rt△BCD中，由已知条件cos∠ABC=BDBC=（2）过点E作EF⊥AB，垂足为F，如图，可得CD∥EF，由E为BC的中点，可得EF是△BCD的中位线，即可算出EF=12CD，DF的长度，即可算出AF＝AD+DF的长度，在Rt△AEF中，根据tan∠【解答】解：（1）在Rt△BCD中，∵cos∠ABC=BD∴4BC∴BC＝5，∴CD=B（2）过点E作EF⊥AB，垂足为F，如图，∵EF⊥BD，∴CD∥EF，∵E为BC的中点，∴EF是△BCD的中位线，∴EF=12CD=1∴AF＝AD+DF＝8+2＝10，在Rt△AEF中，∴tan∠EAB=EF【点评】本题主要考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法进行求解是解决本题的关键．3．（2022•黄浦区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，sin∠ABC=13，D是边AB上一点，且CD＝CA，BE⊥CD，垂足为点（1）求AD的长；（2）求∠EBC的正切值．【分析】（1）过C点作CH⊥AD于H，如图，利用等腰三角形的性质得到AH＝DH，再证明∠ACH＝∠ABC，则sin∠ACH＝sin∠ABC=13，然后利用正弦的定义求出AH，从而得到（2）在Rt△ABC中先求出AB＝9，则BD＝7，再证明∠HCD＝∠EBD，则sin∠EBD=DEBD=13，利用正弦的定义求出【解答】解：（1）过C点作CH⊥AD于H，如图，∵CD＝CA，∴AH＝DH，∵∠ABC+∠BCH＝90°，∠ACH+∠BCH＝90°，∴∠ACH＝∠ABC，∴sin∠ACH＝sin∠ABC=1在Rt△ACH中，sin∠ACH=AH∴AD＝2AH＝2；（2）在Rt△ABC中，sin∠ABC=AC∴AB＝3AC＝9，∴BD＝AB﹣AD＝9﹣2＝7，∵∠E＝90°，而∠EDB＝∠HDC，∴∠HCD＝∠EBD，∴sin∠EBD=DE∴DE=13BD∴BE=7在Rt△EBC中，tan∠EBC=EC【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了等腰直角三角形的性质．二．解直角三角形的应用4．（2022•长宁区二模）冬至是一年中太阳光照射最少的日子，如果此时楼房最低层能采到阳光，一年四季整座楼均能受到阳光的照射，所以冬至是选房买房时确定阳光照射的最好时机．某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼．该居民楼的一楼是高6米的小区超市，超市以上是居民住房，在该楼前面20米处要盖一栋高25米的新楼．已知上海地区冬至正午的阳光与水平线夹角为29°（参考数据：sin29°≈0.48；cos29°≈0.87；tan29°≈0.55）（1）冬至中午时，超市以上的居民住房采光是否有影响，为什么？（2）若要使得超市全部采光不受影响，两楼应至少相距多少米？（结果保留整数）【分析】（1）延长光线交CD于点F，过点F作FG⊥AB，垂足为G，根据题意可得∠AFG＝29°，GF＝BC＝20米，GB＝FC，然后在Rt△AGF中，利用锐角三角函数的定义求出AG，从而求出GB的长，进行比较，即可解答；（2）延长光线交直线BC于点E，根据题意可得∠AEB＝29°，然后在Rt△ABE中，利用锐角三角函数的定义求出BE的长，即可解答．【解答】解：（1）冬至中午时，超市以上的居民住房采光有影响，理由：延长光线交CD于点F，过点F作FG⊥AB，垂足为G，则∠AFG＝29°，GF＝BC＝20米，GB＝FC，在Rt△AGF中，AG＝FG•tan29°≈20×0.55＝11（米），∵AB＝25米，∴GB＝AB﹣AG＝25﹣11＝14（米），∴FC＝GB＝14米，∵14米＞6米，∴冬至中午时，超市以上的居民住房采光有影响；（2）延长光线交直线BC于点E，则∠AEB＝29°，在Rt△ABE中，AB＝25米，∴BE=AB∴若要使得超市全部采光不受影响，两楼应至少相距45米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．5．（2022•徐汇区二模）激光电视的光源是激光，它运用反射成像原理，屏幕不通电无辐射，降低了对消费者眼睛的伤害．根据THX观影标准，当观影水平视场角“θ”的度数处于33°到40°之间时（如图1），双眼肌肉处于放松状态，是最佳的感官体验的观影位．（1）小丽家决定要买一个激光电视，她家客厅的观影距离（人坐在沙发上眼睛到屏幕的距离）为3.5米，小佳家要选择电视屏幕宽（图2中的BC的长）在什么范围内的激光电视就能享受黄金观看体验？（结果精确到0.1m，参考数据：sin33°≈0.54，tan33°≈0.65，sin40°≈0.64，tan40°≈0.84，sin16.5°≈0.28，tan16.5°≈0.30，sin20°≈0.34，tan20°≈0.36）（2）由于技术革新和成本降低，激光电视的价格逐渐下降，某电器商行经营的某款激光电视今年每台销售价比去年降低4000元，在销售量相同的情况下，今年销售额在去年销售总额100万元的基础上减少20%，今年这款激光电视每台的售价是多少元？【分析】（1）过点A作AD⊥BC于点D，根据题意可得AB＝AC，当∠BAC＝33°时，当∠BAC＝40°时，利用锐角三角函数即可解决问题；（2）设今年这款激光电视每台的售价是x元，则去年每台的售价为（x+4000）元．由题意列出方程即可解决问题．【解答】解：（1）如图，过点A作AD⊥BC于点D，根据题意可知：AB＝AC，AD⊥BC，∴BC＝2BD，∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，当∠BAC＝33°时，∠BAD＝∠CAD＝16.5°，在△ABD中，BD＝AD×tan16.5°≈3.5×0.30＝1.05（m），∴BC＝2BD＝2.10（m），当∠BAC＝40°时，∠BAD＝∠CAD＝20°，在△ABD中，BD＝AD×tan20°≈3.5×0.36＝1.26（m），∴BC＝2BD＝2.52m，答：小佳家要选择电视屏幕宽为2.10m﹣2.52m之间的激光电视就能享受黄金观看体验；（2）设今年这款激光电视每台的售价是x元，则去年每台的售价为（x+4000）元．由题意可得：＝，解得：x＝16000，经检验x＝16000是原方程的解，符合题意，答：今年这款激光电视每台的售价是16000元．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，分式方程的应用，视点，视角和盲区，解决本题的关键是根据题意找到等量关系准确列出方程．6．（2022•崇明区二模）为解决群众“健身去哪儿”问题，某区2021年新建、改建90个市民益智健身苑点，图1是某益智健身苑点中的“侧摆器”．锻炼方法：面对器械，双手紧握扶手，双脚站立于踏板上，腰部发力带动下肢做左右摆式运动．（1）如图2是侧摆器的抽象图，已知摆臂OA的长度为80厘米，在侧摆运动过程中，点A为踏板中心在侧摆运动过程中的最低点位置，点B为踏板中心在侧摆运动过程中的最高点位置，∠BOA＝25°，求踏板中心点在最高位置与最低位置时的高度差．（精确到0.1厘米）（sin25°≈0.423，cos25°≈0.906，tan25°≈0.466）（2）小杰在侧摆器上进行锻炼，原计划消耗400大卡的能量，由于小杰加快了运动频率，每小时能量消耗比原计划增加了100大卡，结果比原计划提早12分钟完成任务，求小杰原计划完成锻炼需多少小时？【分析】（1）过点B作BD⊥OA垂足为D，由题意得：OB＝OA＝80cm，然后在Rt△BOD中，利用锐角三角函数的定义求出OD的长，进行计算即可解答；（2）先设小杰原计划x小时完成锻炼，然后根据实际每小时的能量消耗﹣原计划每小时的能量消耗＝100，列出方程进行计算即可解答．【解答】解：（1）过点B作BD⊥OA垂足为D，由题意得：OB＝OA＝80cm，在Rt△BOD中，∠BOA＝25°，∴OD＝BO•cos25°≈80×0.906＝72.48（cm），∴AD＝OA﹣OD＝80﹣72.48≈7.5（cm），∴踏板中心点在最高位置与最低位置时的高度差约为7.5厘米；（2）设小杰原计划x小时完成锻炼，由题意得：，解得：，经检验：都是原方程的根，但不符合题意，舍去，答：小杰原计划锻炼1小时完成．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，分式方程的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．7．（2022•宝山区二模）某超市大门口的台阶通道侧面如图所示，共有4级台阶，每级台阶高度都是0.25米．根据部分顾客的需要，超市计划做一个扶手AD，AB、DC是两根与地平线MN都垂直的支撑杆（支撑杆底端分别为点B、C）．（1）求点B与点C离地面的高度差BH的长度；（2）如果支撑杆AB、DC的长度相等，且∠DAB＝66°．求扶手AD的长度．（参考数据：sin66°≈0.9，cos66°≈0.4，tan66°≈2.25，cot66°≈0.44）【分析】（1）根据每级台阶高度都是0.25米，然后计算出3个台阶的总高度，即可解答；（2）连接BC，根据题意可得：AB＝DC，AB∥DC，从而可得四边形ABCD是平行四边形，然后利用平行四边形的性质可得AD＝BC，AD∥BC，从而求出∠CBH＝66°，最后在Rt△CBH中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．【解答】解：（1）∵每级台阶高度都是0.25米，∴BH＝3×0.25＝0.75（米），∴点B与点C离地面的高度差BH的长度为0.75米；（2）连接BC，由题意得：AB＝DC，AB∥DC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠DAB＝∠CBH＝66°，在Rt△CBH中，BH＝0.75米，∴BC＝≈＝1.875（米），∴扶手AD的长度约为1.875米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．三．解直角三角形的应用-坡度坡角问题8．（2021秋•闵行区期末）如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米，宽度为30厘米，那么斜面AB的坡度为1：1.5．【分析】根据坡度的概念计算，得到答案．【解答】解：斜面AB的坡度为20：30＝1：1.5，故答案为：1：1.5．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．9．（2022春•浦东新区校级期中）工厂的传送带把物体从地面送到离地面5米高的地方，如果传送带与地面所成的斜坡的坡度i＝1：2.4，那么物体所经过的路程为13米．【分析】根据坡度的概念求出AC，根据勾股定理求出AB．【解答】解：∵传送带与地面所成的斜坡的坡度i＝1：2.4，∴BCAC=1解得，AC＝12，由勾股定理得，AB=A故答案为：13．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．10．（2022•黄浦区二模）某传送带与地面所成斜坡的坡度i＝1：2.4，如果它把物体从地面送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程为26米．【分析】根据坡度的概念求出水平距离，根据勾股定理计算，得到答案．【解答】解：∵传送带与地面所成斜坡的坡度i＝1：2.4，它把物体从地面送到离地面10米高，∴水平距离为：2.4×10＝24，∴物体所经过的路程为：10故答案为：26．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度的概念是解题的关键．11．（2022•浦东新区二模）如图，一个高BE为3米的长方体木箱沿坡比为1：3的斜面下滑，当木箱滑至如图位置时，AB＝3米，则木箱端点E距地面AC的高度EF为3米．【分析】根据坡度的概念求出∠DAF＝30°，根据正弦的定义求出DE，进而求出BD，得到答案．【解答】解：设AB、EF交于点D，∵斜坡的坡比为1：3，∴tan∠DAF=1∴∠DAF＝30°，∴∠ADF＝90°﹣30°＝60°，∴∠BDE＝60°，在Rt△BDE中，sin∠BDE=BE∴3DE解得，DE＝2（米），∴BD＝1m，∴AD＝AB﹣BD＝2（米），在Rt△ADF中，∠DAF＝30°，∴DF=12∴EF＝DE+DF＝3（米），故答案为：3．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度的概念是解题的关键．四．解直角三角形的应用-仰角俯角问题12．（2021秋•浦东新区期末）在离旗杆20米处的地方，用测角仪测得旗杆顶的仰角为α，如测角仪的高为1.5米，那么旗杆的高为（）米．A．20cotα B．20tanα C．1.5+20tanα D．1.5+20cotα【分析】由题意得，在直角三角形中，知道了已知角的邻边求对边，用正切值计算即可．【解答】解：根据题意可得：旗杆比仪器高20tanα，测角仪高为1.5米，故旗杆的高为（1.5+20tanα）米．故选：C．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角，熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键．13．（2022•徐汇区二模）如图，小明在某次投篮中刚好把球打到篮板的点D处后进球，已知小明与篮板底的距离BC＝5米，眼睛与地面的距离AB＝1.7米，视线AD与水平线的夹角为α，已知tanα的值为0.3，则点D到地面的距离CD的长为3.2米．【分析】根据题意可得AE＝BC＝5米，EC＝AB＝1.7米，然后在Rt△ADE中，利用锐角三角函数的定义求出DE的长，进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：AE＝BC＝5米，EC＝AB＝1.7米，在Rt△ADE中，tanα＝0.3，∴DE＝AE•tanα＝5×0.3＝1.5（米），∴DC＝DE+EC＝1.5+1.7＝3.2（米），∴点D到地面的距离CD的长为3.2米，故答案为：3.2．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．14．（2022•青浦区二模）小明要测量公园里一棵古树的高，被一条小溪挡住去路，采用计算方法，在A点测得古树顶的仰角为α，向前走了100米到B点，测得古树顶的仰角为β，则古树的高度为100⋅tanβ⋅tanαtanβ−tanα【分析】设CD＝x米，用含x的代数式表示出AD和BD的长，再根据AD﹣BD＝100可得x的值．【解答】解：设CD＝x米，在Rt△ACD中，tanα=CD∴AD=x在Rt△BCD中，tanβ=CD∴BD=x∵AD﹣BD＝100，∴xtanα解得x=100⋅tanβ⋅tanα故答案为：100⋅tanβ⋅tanαtanβ−tanα【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．五．解直角三角形的应用-方向角问题15．（2021秋•黄浦区期末）如图，在东西方向的海岸线l上有一长为1千米的码头MN，在距码头西端M的正西方向58千米处有一观测站O，现测得位于观测站O的北偏西37°方向，且与观测站O相距60千米的小岛A处有一艘轮船开始航行驶向港口MN．经过一段时间后又测得该轮船位于观测站O的正北方向，且与观测站O相距30千米的B处．（1）求AB两地的距离；（结果保留根号）（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否行至码头MN靠岸？请说明理由．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37≈0.75．）【分析】（1）过点A作AC⊥OB于点C．可知△ABC为直角三角形．根据勾股定理解答．（2）延长AB交l于D，比较OD与OM+MN的大小即可得出结论．【解答】解：（1）过点A作AC⊥OB于点C．由题意，得OA＝60千米，OB＝30千米，∠AOC＝37°．∴AC＝OAsin37°≈60×0.60＝36（千米）．在Rt△AOC中，OC＝OA•cos∠AOC≈60×0.8＝48（千米）．∴BC＝OC﹣OB＝48﹣30＝18（千米）．在Rt△ABC中，AB＝．（2）如果该轮船不改变航向继续航行，不能行至码头MN靠岸．理由：延长AB交l于点D．∵∠ABC＝∠OBD，∠ACB＝∠BOD＝90°．∴△ABC∽△DBO，∴，∴，∴OD＝60（千米）．∵60＞58+1，∴该轮船不改变航向继续航行，不能行至码头MN靠岸．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，此题结合方向角，考查了阅读理解能力、解直角三角形的能力．计算出相关特殊角和作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．16．（2021秋•嘉定区期末）如图，在航线l的两侧分别有两个灯塔A和B，灯塔A到航线l的距离为AC＝3千米，灯塔B到航线l的距离为BD＝4千米，灯塔B位于灯塔A南偏东60°方向．现有一艘轮船从位于灯塔B北偏西53°方向的N（在航线l上）处，正沿该航线自东向西航行，10分钟后该轮船行至灯塔A正南方向的点C（在航线l上）处．（1）求两个灯塔A和B之间的距离；（2）求该轮船航行的速度（结果精确到0.1千米/小时）．（参考数据：，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）【分析】（1）根据特殊角三角函数即可解决问题；（2）根据三角函数定义可得CN的长，进而可以求该轮船航行的速度．【解答】解：（1）由题意，得∠ACM＝∠BDM＝90°，AC＝3，BD＝4，∠CAM＝∠DBM＝60°，在Rt△ACM中，，∴cos60°＝，∴AM＝6，在Rt△BDM中，，∴cos60°＝，∴BM＝8，∴AB＝AM+BM＝14千米．答：两个灯塔A和B之间的距离为14千米．（2）在Rt△ACM中，，∴，∴，在Rt△BDM中，，∴，∴，∴，在Rt△BDN中，，由题意，得∠DBN＝53°∴，∴DN＝4tan53°，∴，设该轮船航行的速度是V千米/小时，由题意，得，∴V≈40.7（千米/小时），答：该轮船航行的速度是40.7千米/小时．【点评】本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题、矩形的判定与性质等知识；掌握仰角俯角定义是解题的关键．【过关检测】一、单选题1．（2023·上海·九年级假期作业）已知在中，，，，则（）A． B． C． D．【答案】B【分析】过点作，垂足为，根据，得出,进而求得，由已知条件得出，进而得出，即可求解．【详解】解：如图所示，过点作，垂足为，在中，，∴,∴\∴，在中，故选：B．【点睛】本题考查了解直角三角形，构造直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是解题的关键．2．（2022秋·上海奉贤·九年级统考期末）如果直线与轴正半轴的夹角为锐角,那么下列各式正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】在直线y=2x上任取一点P(a，2a)，过点P作x轴的垂线，垂足为点B，则可求得α的正余弦、正余切值，从而可得答案．【详解】如图，在直线y=2x上任取一点P(a，2a)，过点P作x轴的垂线，垂足为点B则OB=|a|，PB=2|a|由勾股定理得：在直角△POB中，，，，故选项D正确故选：D【点睛】本题考查了正比例函数的图象与性质，锐角三角函数，关键是画出图形，并在直线任取一点，作x轴的垂线得到直角三角形．3．（2022秋·九年级单元测试）如图，在△ABC中，∠A=120°，AB=4，AC=2，则tanB的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出120°的补角为60°，然后再把60°放在直角三角形中，所以过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，在Rt△ACD中可求出AD与CD的长，最后在Rt△BDC中利用勾股定理求出BC即可解答．【详解】解：过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，∵∠BAC=120°，∴∠CAD=180°-∠BAC=60°，在Rt△ACD中，AC=2，∴AD=ACcos60°=2×=1，CD=ACsin60°=2×=，∵AB=4，∴BD=AB+AD=4+1=5，∴tanB=，故选：D．【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．4．（2023·上海·九年级假期作业）如图，，，底边BC上的高为，底边QR上的高为，则有（

）A． B． C． D．以上都有可能【答案】B【分析】由已知可知高所对的斜边都为5，由正弦的定义可得到高关于正弦的表达式，比较正弦值即可得到答案．【详解】解：如图，分别作出两三角形的高∵∴∵∴∵∴故选：B．【点睛】本题考查解直角三角形，依题意作高构造直角三角形是解题的关键．5．（2023·上海·九年级假期作业）小杰在一个高为的建筑物顶端，测得一根高出此建筑物的旗杆顶端的仰角为，旗杆与地面接触点的俯角为，那么该旗杆的高度是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】过A作于E，在中，已知了的长，可利用俯角的正切函数求出的值；进而在中，利用仰角的正切函数求出的长；从而可得答案．【详解】解：如图，过A作于E，则四边形是矩形，．∵在中，，，∴，∵在中，，∴，∴．即旗杆的高度为．故选C．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用--仰角俯角问题，首先构造直角三角形，再运用三角函数的定义解题，是中考常见题型，解题的关键是作出高线构造直角三角形．6．（2021·上海·九年级专题练习）如图，把两条宽度都是1的纸条，其中一条对折后再两条交错地叠在一起，相交成角α，则重叠部分的面积是（）A．2sinα B．2cosα C． D．【答案】C【分析】根据题意可知：所得图形是菱形，设菱形ABCD，由已知得∠ABE=α，过A作AE⊥BC于E，由勾股定理可求BE、AB、BC的长度，根据菱形的面积公式即可求出所填答案．【详解】解：由题意可知：重叠部分是菱形，设菱形ABCD，则∠ABE＝α，过A作AE⊥BC于E，则AE＝1，设BE＝x，∵∠ABE＝α，∴AB＝，∴BC＝AB＝，∴重叠部分的面积是：×1＝．故选：C．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，菱形的面积公式等知识点，把实际问题转化成数学问题，利用所学的知识进行计算是解此题的关键．二、填空题7．（2023·上海·九年级假期作业）小球沿着坡度为的坡面滚动了，则在这期间小球滚动的水平距离是___________．【答案】【分析】设高度为x，根据坡度比可得水平距离为，根据勾股定理列方程即可得到答案；【详解】解：设高度为x，∵坡度为，∴水平距离为，由勾股定理可得，，解得：，∴水平距离为故答案为：．【点睛】本题考查坡度比及勾股定理，解题的关键是根据坡度比得到高度与水平距离的关系．8．（2023·上海普陀·统考二模）如图，斜坡的坡度，现需要在不改变坡高的情况下将坡度变缓，调整后的斜坡的坡度，已知斜坡米，那么斜坡________米．

【答案】【分析】根据斜坡的坡度与的值先求出，再根据斜坡的坡度，求得，即可求解．【详解】解：∵，∴，∴，∴,∵，∴，∵，∴，在中，,故答案为：．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，坡度问题，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．9．（2023·上海杨浦·统考三模）如果一个矩形的面积是，两条对角线夹角的余切值是，那么它的一条对角线长是_______．【答案】【分析】作于H．由四边形是矩形，推出，设，由余切函数，可得，，由题意：，求出a即可解决问题．【详解】解：如图，作于H．

∵四边形是矩形，∴，设，则．∵根据题意得：，∴，，由题意：，∴，∴．故答案为10．【点睛】本题考查了矩形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．10．（2023·上海·九年级假期作业）已知：在中，，，．则的面积为____（结果可保留根号）．【答案】【分析】过作于，利用直角三角形的性质求得的长．已知的长，根据三角形的面积公式即可求得其面积．【详解】解：过作于，在中，，，即．在中，，，．，．．故答案为：．【点睛】本题考查解直角三角形，直角三角形的性质及三角形的面积公式，熟练掌握通过作三角形的高，构造直角三角形是解题的关键．11．（2023·上海·一模）点A、B分别在的边、上，且，，（如图），沿直线翻折，翻折后的点落在内部的点，直线与边相交于点，如果，那么___________．

【答案】【分析】根据题意和翻折的性质可得是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，所以，得，设，则，，所以，，然后根据锐角三角函数即可解决问题．【详解】解：如图所示：

，，是等腰直角三角形，，沿直线翻折，翻折后的点落在内部的点，是等腰直角三角形，，，，设，则，，，，，．故答案为：．【点睛】本题考查了翻折变换，解直角三角形，解决本题的关键是掌握翻折的性质．12．（2023·上海奉贤·统考二模）在中，，如果，，那么的重心到底边的距离为________．【答案】4【详解】解：如下图所示，设点D为的中点，点E为三角形的重心，∵，∴，∵，，∴，∴，∵点E为三角形的重心，∴，∴，∵，∴的重心到底边的距离为4，故答案为：4．【点睛】本题考查解直角三角形、三角形重心的性质和勾股定理，解题的关键是熟知重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为．13．（2023·上海·一模）平面直角坐标系内有一点，那么与x轴正半轴的夹角为，________．【答案】2【分析】过点P作轴于点A，由P点的坐标得、的长，根据正切函数的定义得结论．【详解】解：过点P作轴于点A，如图：∵点，∴，，∴．故答案为：2．【点睛】本题考查了点在平面直角坐标系里的意义及解直角三角形．解决本题的关键是构造直角三角形．14．（2023·上海·一模）如图，已知在中，，，，点P是斜边上一点，过点P作交边于点M，过点P作的平行线，与过点M作的平行线交于点Q．如果直线，那么的长为___________．

【答案】【分析】如图，设．证明，根据，构建方程求解．【详解】解：如图，设．

∵，，∴四边形是平行四边形，，∴，在在中，，，，∴，，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，经检验是分式方程的解，∴．故答案为：．【点睛】本题考查直解直角三角形，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．15．（2023·上海·九年级假期作业）如图，和都是等边三角形，点D是的重心，那么________．【答案】【分析】如图，延长交于F，由题意得，，则，由，可得，计算求解即可．【详解】解：如图，延长交于F，∵点D是的重心，∴，∵是等边三角形，∴，∴，∵和都是等边三角形，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了重心，等边三角形的性质，正弦函数，相似三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．16．（2023·上海杨浦·统考三模）如图，已知在中，，将绕点B顺时针旋转，点分别落在点处，联结，如果，那么边的长_______．

【答案】【分析】由旋转变换易证，，，，由，得；设，由三角函数得，；在中，运用勾股定理求解得，所以．【详解】如图，由旋转知，，，，为等边三角形，∴，，，

∴，∵∴设，则，中，∴，解得（负值舍去），故答案为：【点睛】本题主要考查旋转变换、全等三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理及特殊角三角函数；能够灵活运用相关知识导出线段间的数量关系是解题的关键．17．（2023·上海闵行·统考一模）如图，一艘船从处向北偏西的方向行驶海里到处，再从处向正东方向行驶千米到处，此时这艘船与出发点处相距___________海里．【答案】【分析】从处向北偏西的方向行驶海里到处，可知，，从处向正东方向行驶千米，可知，且，如图所示（见详解），根据直角三角形的勾股定理即可求解．【详解】解：如图所示，∴，，∴，，∵，，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查方位角与直角三角形的勾股定理的综合，掌握方位角的表示，角度的关系，勾股定理是解题的关键．18．（2023·上海·模拟预测）如图，已知中，，点是的中点，将沿所在的直线翻折，点落在点处，，且交于点，的值为___________．【答案】【分析】连接，交于点，可设，，由直角三角形斜边上的中线的定义可得是有斜边上的中线，可得，，再由折叠的性质可得，，，从而可求得，则可证得是以点为直角顶点的等腰直角三角形，故有，从而可求得，再由，，得，可求得，，即可求解．【详解】解：连接，交于点，如图，设，，是的中点，，是有斜边上的中线，，即，，，，，即，，、关于对称，，，，，．，，，，，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，，，，，，，，故，在中，，在中，，，，，，故，，，，，，，，即的值为．【点睛】本题主要考查翻折变换（折叠问题），解答的关键是明确折叠的过程中相应的边或角之间的关系．三、解答题19．（2022秋·上海·九年级校考期中）如图，已知在中，，，．(1)求；(2)求．【答案】(1)1(2)【分析】（1）过点作于点，利用，求出，利用勾股定理求出，再利用求出，进而求出；（2）利用勾股定理求出即可．【详解】（1）解：过点作于点，则，∵，∴，∴，∴，∴；（2）解：由（1）知，在中，．【点睛】本题考查解直角三角形．通过作高，构造直角三角形是解题的关键．20．（2023·上海·一模）如图，在四边形中，平分，，．

(1)求证：且求出的值；(2)如果，求四边形的面积．【答案】(1)见解析(2)246【分析】（1）先利用两角对应相等判断，再利用直角三角形的边角间关系和相似三角形的性质得结论；（2）利用直角三角形的边角间关系先求出、，再利用勾股定理求出、，最后利用三角形的面积公式得结论．【详解】（1）证明：∵平分，∴，∵，∴，∴，在中，∵，∴＝；（2）∵，∴＝，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴＝．【点睛】本题主要考查了解直角三角形，掌握相似三角形的判定和性质、直角三角形的边角间关系及勾股定理是解决本题的关键．21．（2023·上海·一模）有一把长为6米的梯子，将它的上端A靠着墙面，下端B放在地面上，梯子与地面所成的角记为，地面与墙面互相垂直（如图1所示），一般满足时，人才能安全地使用这架梯子．(1)当梯子底端B距离墙面2.5米时，求的度数（结果取整数），此时人是否能安全地使用这架梯子？(2)当人能安全地使用这架梯子，且梯子顶端A离开地面最高时，梯子开始下滑，如果梯子顶端A沿着墙面下滑1.5米到墙面上的D点处停止，梯子底端B也随之向后平移到地面上的点E处（如图2所示），此时人是否能安全使用这架梯子？请说明理由．【答案】(1)人能安全地使用这架梯子，理由见解析(2)不能安全地使用这架梯子，理由见解析【分析】（1）先求出的余弦值，再根据锐角三角函数关系求出的度数即可；（2）由题意得，，先利用正弦值求出的长度，继而求出的长度，再根据锐角三角函数关系求出的度数，判断即可．【详解】（1）由题意得，∴，查表得，一般满足时，人才能安全地使用这架梯子，∴人能安全地使用这架梯子；（2）不能安全地使用这架梯子，理由如下：由题意得，，，∴米，∵，∴米，∴，查表得，∴不在安全范围之内．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．22．（2023·上海