九年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）第01讲 放缩与相似形（解析版）

第01讲放缩与相似形【知识梳理】1、相似形的概念（1）相似图形我们把形状相同的图形称为相似图形，简称相似形．（2）相似图形在现实生活中应用非常广泛，对于相似图形，应注意：①相似图形的形状必须完全相同；②相似图形的大小不一定相同；③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况．（3）相似三角形对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．2、相似多边形的性质如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例．当两个相似的多边形是全等形时，它们对应边的长度的比值为1．【考点剖析】一、比例的性质一、单选题1．（2023秋·上海黄浦·九年级上海市民办明珠中学校考阶段练习）已知，下列说法中，错误的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据比例的性质（合分比定理）来解答．【详解】A、如果，那么（a+b）：b=（c+d）：d（b、d≠0）．所以由，得，故该选项正确；B、如果a：b=c：d那么（a-b）：b=（c-d）：d（b、d≠0）．所以由，得，故该选项正确；C、由得，5a=3b，所以a≠b；又由得，ab+b=ab+a即a=b．故该选项错误；D、由得，5a=3b；又由得，5a=3b．故该选项正确.故选C．【点睛】本题主要考查的合分比定理和更比定理．①合比定理：如果a：b=c：d，那么（a+b）：b=（c+d）：d（b、d≠0）；②分比定理：如果a：b=c：d那么（a-b）：b=（c-d）：d（b、d≠0）；③合分比定理：如果a：b=c：d那么（a+b）：（a-b）=（c+d）：（c-d）（b、d、a-b、c-d≠0）；④更比定理：如果a：b=c：d那么a：c=b：d（a、b、c、d≠0）．2．（2019春·上海杨浦·九年级统考阶段练习）已知=，且b+d≠0，则=（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由，结合比例的性质解答即可．【详解】∵，∴a=b，c=d，∴．故选A．【点睛】本题考查了比例的性质，关键是根据比例的性质解答．3．（2018秋·上海浦东新·九年级统考期末）已知线段a、b、c、d，如果，那么下列式子中不一定正确的是（）A．a=c，b=d B．ad=bc C． D．【答案】A【详解】A.例如a=3，b=6，c=1，d=2，则有=，但是a≠c，b≠d，所以a=c，b=d错误，符合题意；B.∵，∴ad=bc正确，不符合题意；C.∵，∴a=bk，c=dk，∴正确，不符合题意；D.∵，∴正确，不符合题意，故选A．4．（2021·上海·九年级专题练习）已知：a、b是不等于0的实数，2a=3b，那么下列等式中正确的是（）A． B． C． D．【答案】B【详解】∵2a=3b，∴，∴，∴A、C、D选项错误，B选项正确，故选B.5．（2019秋·上海杨浦·九年级校考阶段练习）在比例尺为1：50000的地图上，量得甲、乙两地的距离为25cm，则甲、乙两地的实际距离是（）A．1250km B．125km C．12.5km D．1.25km【答案】C【详解】设实际距离为xcm，则：1:50000=25:x，解得x=1250000.12500000cm=12.5km.故选C.二、填空题6．（2018秋·上海宝山·九年级校考期中）如果，那么_________【答案】【分析】由题可得：将此代入要求的代数式约分化简即可【详解】，所以答案为.【点睛】本题主要考查了比例化简求值，掌握相关概念方法是解题关键7．（2021·上海·九年级专题练习）已知，，则________．【答案】【分析】根据比例的性质（两内项之积等于两外项之积）可设a=2t、b=3t、c=5t．然后，将其代入a：b：c求值即可．【详解】∵a：b=2：3，b：c=3：5，∴设a=2t、b=3t、c=5t．∴a：b：c=2t：3t：5t=2：3：5．故答案为2：3：5．【点睛】本题考查了比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积．解答此题时，利用了比例的性质设a=2t、b=3t、c=5t，然后将其代入所求的比例式，消去未知数t．8．（2018·上海普陀·统考一模）已知，则=_____．【答案】【分析】由可知值，再将化为的形式进行求解即可.【详解】解：∵，∴，∴原式=.【点睛】本题考查了分式的化简求值.9．（2018·上海奉贤·统考二模）将6本相同厚度的书叠起来，它们的高度是9厘米．如果将这样相同厚度的书叠起来的高度是42厘米，那么这些书有_____本．【答案】28．【分析】因为一本书的厚度是一定的，根据本数与书的高度成正比列比例式即可得到结论．【详解】设这些书有x本，由题意得，，解得：x=28，答：这些书有28本．故答案为28．【点睛】本题考查了比例的性质，正确的列出比例式是解题的关键．10．（2022秋·上海浦东新·九年级上海市建平中学西校校考期中）已知点P在线段AB上，且AP：BP=2：3，那么AB：PB=_____．【答案】5:3【详解】试题解析：由题意AP：BP=2：3，AB：PB=（AP+PB）：PB=（2+3）：3=5：3.故答案为5:3.11．（2021·上海·九年级专题练习）如图，D为的边AB上一点，如果∠ACD=∠ABC时，那么图中____是AD和AB的比例中项．【答案】AC【详解】试题分析：根据两角分别相等的两个三角形相似，可得△ACD∽△ABC的关系，根据相似三角形的性质，可得，可知AC是AD和AB的比例中项．考点：比例线段二、相似图形一、单选题1．（2021秋·上海·九年级校考阶段练习）下列命题中，错误的是（

）A．两个含有角的等腰三角形一定相似 B．两个矩形一定相似C．两个等边三角形一定相似 D．两个正方形一定相似【答案】B【分析】利用相似图形的定义分别判断即可得到答案．【详解】解：A．两个含有角的等腰三角形一定相似，说法正确，不符合题意，选项错误；B．两个矩形一定相似，对应角相等，但对应边不成比例，故两个矩形不一定相似，说法错误，符合题意，选项正确；C．两个等边三角形一定相似，说法正确，不符合题意，选项错误；D．两个正方形一定相似，说法正确，不符合题意，选项错误，故选B．【点睛】本题考查了相似图形的定义，熟练掌握相似多边形对应角相等，对应边成比例是解题关键．2．（2022秋·上海浦东新·九年级校考期中）下列图形一定相似的为（

）A．两个等腰三角形 B．两个等边三角形C．两个矩形 D．两个平行四边形【答案】B【分析】根据相似三角形及多边形的判定方法一一判断即可．【详解】解：A．两个等腰三角形的内角不一定相等，因此两个等腰三角形不一定相似，故A不符合题意；B．∵两个等边三角形的内角都是60°，∴两个等边三角形一定相似，故B符合题意；C．两个矩形的对应边不一定对应成比例，因此两个矩形不一定相似，故C不符合题意；D．两个平行四边形的对应角不一定相等，对应边不一定成比例，因此两个平行四边形不一定相似，故D不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查相似三角形及多边形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．3．（2022秋·上海崇明·九年级校考期中）下列关于“相似形”的说法中正确的是（

）A．相似形形状相同、大小不同 B．图形的放缩运动可以得到相似形C．对应边成比例的两个多边形是相似形 D．相似形是全等形的特例【答案】B【分析】根据相似形的性质逐一判断即可．【详解】解：A：相似形形状相同、大小不一定相同，但是可以相同，故选项A错误；B：图形的放缩运动可以得到相似形，选项B正确；C：如果两个边数相同的多边形的对应角相等,对应边成比例,这两个多边形叫做相似多边形，故选项C错误；D：全等形是相似形的特例，故选项D错误．【点睛】本题考查相似形的性质，解题的关键是熟练掌握相似形的相关知识．4．（2022秋·上海·九年级上海市格致初级中学校考阶段练习）下列说法正确的是（）A．任意两个菱形都相似B．任意两个正方形都相似C．任意两个等腰三角形都相似D．任意两个矩形都相似【答案】B【分析】根据相似图形的定义，对应的角相等，对应边的比相等对每个命题进行判断．【详解】解：A任意两个菱形满足四条边对应成比例，但不一定满足四个角分别对应相等，所以不一定相似，故A不符合题意；B任意两个正方形既满足四条边对应成比例，也满足四个角对应相等，所以任意两个正方形都相似，故B符合题意；C任意两个等腰三角形不一定满足有两个角对应相等，所以不一定相似，故C不符合题意；D任意两个矩形的对应角相等，但对应边的比不一定相等，所以不一定相似,，故D不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查的是相似图形的判定，掌握相似多边形各自的判定方法是解题的关键．5．（2014秋·上海普陀·九年级统考期末）如图，用放大镜将图形放大，应属何种变换A．相似变换 B．平移变换 C．旋转变换 D．对称变换【答案】A【分析】根据轴对称变换、平移变换、旋转变换、相似变换的概念并结合图形，得出正确结果．【详解】解：由一个图形到另一个图形，在改变的过程中形状不变，大小产生变化，属于相似变化．故选A．【点睛】本题主要考查相似变换的定义，即图形的形状相同，但大小不一定相同的变换是相似变换比较容易选错的答案是位似变换．6．（2022秋·上海浦东新·九年级统考期中）下列各组中两个图形不相似的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据相似图形的定义进行分析即可．【详解】我们把形状相同的图形叫相似图形，其特征是对应角相等，对应边成比例，观察图形得知，B图对应边的比不全相等，故不相似．故选：B．【点睛】此题考查了相似图形的判断，解题的关键是理解相似图形的定义．二、填空题7．（2020秋·九年级校考课时练习）相似的两个图形，它们的大小_________(填“一定”，“不一定”，“一定不”)相同．【答案】不一定【分析】根据相似图形的定义判断即可．【详解】相似的两个图形形状相同，但大小不一定相等，只有两个图形全等时大小才相等，全等是相似的一种特殊情况．故答案为：不一定．【点睛】本题考查相似图形，明确相似图形的定义是解题的关键．8．（2017秋·上海·九年级校考阶段练习）某城市的有一时期的两张地图，甲地图比例尺为1:1000000，乙地图的比例尺为1:200000，则甲地图和乙地图的相似比为____________【答案】【分析】根据相似多边形的相似比等于对应边的比，用两个地图的比例尺相比求解即可．【详解】解：甲地图和乙地图的相似比为：．故答案为.【点睛】本题考查了相似多边形的性质，本题利用两个图的比例尺相比求解即可，比较简单．三、解答题9．（2021·上海·九年级专题练习）阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是给定矩形的“减半”矩形．如图，矩形是矩形的“减半”矩形．请你解决下列问题：（1）当矩形的长和宽分别为，时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，并说明理由．（2）边长为的正方形存在“减半”正方形吗？如果存在，求出“减半”正方形的边长；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）存在；理由见解析；（2）不存在，理由见解析．【分析】（1）假设存在，不妨设“减半”矩形的长和宽分别为x、y，根据如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，可列出方程组求解．（2）正方形和其他的正方形是相似图形，周长比是2，面积比就应该是4，所以不存在“减半”正方形．【详解】解：（1）存在假设存在，不妨设“减半”矩形的长和宽分别为，，则，由①，得：，③把③代入②，得，解得，．所以“减半”矩形长和宽分别为与．（2）不存在因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为时，面积比必定是，所以正方形不存在“减半”正方形．【点睛】本题考查反证法和相似图形的性质，关键知道相似图形的面积比，周长比的关系．三、相似多边形的性质一、单选题1．（2019秋·上海·九年级校考阶段练习）对一个图形进行放缩时，下列说法中正确的是（）A．图形中线段的长度与角的大小都保持不变B．图形中线段的长度与角的大小都会改变C．图形中线段的长度保持不变、角的大小可以改变D．图形中线段的长度可以改变、角的大小保持不变【答案】D【详解】根据相似多边形的性质：相似多边形的对应边成比例，对应角相等，可知对一个图形进行收缩时，图形中线段的长度改变，角的大小不变，故选D．点睛：本题主要考查相似图形的性质.理解相似图形的性质是解题的关键.2．（2017秋·上海·九年级校考期中）用放大镜观察一个五边形时，不变的量是（

）A．各边的长度 B．各内角的度数 C．五边形的周长 D．五边形的面积【答案】B【详解】解：∵用一个放大镜去观察一个三角形，∴放大后的三角形与原三角形相似，∵相似三角形的对应边成比例，∴各边长都变大，故此选项错误；∵相似三角形的对应角相等，∴对应角大小不变，故选项B正确；．∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，∴C选项错误；∵相似三角形的周长得比等于相似比，∴D选项错误．故选B．点睛：此题考查了相似三角形的性质．注意相似三角形的对应边成比例，相似三角形的对应角相等，相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似三角形的周长得比等于相似比．二、填空题3．（2020秋·上海浦东新·九年级校联考阶段练习）四边形和四边形是相似图形，点A、B、C、D分别与点、、、对应，已知，，，那么的长是______．【答案】【分析】根据相似图形的性质即可得．【详解】四边形和四边形是相似图形，且点分别与点对应，，又，，，，解得，故答案为：．【点睛】本题考查了相似图形的性质，熟练掌握相似图形的性质是解题关键．4．（2020秋·上海宝山·九年级统考期中）如图，把一张矩形纸片沿着一条对称轴翻折，所得到的矩形与原矩形相似，已知原矩形纸片较短的边长为，那么其较长边用含的代数式表示为_______．【答案】【分析】根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可．【详解】解：设较长边为b，∵所得到的矩形ABCD与原矩形相似，∴，整理得，，解得，b=，故答案为：.【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边成比例是解题的关键．5．（2016秋·上海嘉定·九年级统考期末）将一个矩形沿着一条对称轴翻折，如果所得到的矩形与这个矩形相似，那么我们就将这样的矩形定义为“白银矩形”．事实上，“白银矩形”在日常生活中随处可见．如，我们常见的A4纸就是一个“白银矩形”．请根据上述信息求A4纸的较长边与较短边的比值．这个比值是____．【答案】【分析】根据相似多边形的对应边的比相等列出比例式，计算即可．【详解】解：由题意得,四边形ABFE相似四边形ADCB，故答案为．【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边的比相等、对应角相等是解题的关键．6．（2018秋·上海嘉定·九年级统考期中）已知两个三角形是相似形，其中一个三角形的两个角分别为25º、55º，则另一个三角形的最大内角的度数为__________．【答案】【分析】先根据三角形的内角和定理得出一个三角形的最大内角度数，再根据相似三角形的对应角相等得出另一个三角形最大内角度数．【详解】解：∵一个三角形的两个角分别为25°、55°，∴第三个角，即最大角为180°-（25°+55°）=100°，∵两个三角形相似，∴另一个三角形的最大内角度数为100°，故答案为：100°．【点睛】本题主要考查相似图形，解题的关键是掌握三角形的内角和定理及相似三角形的性质．7．（2023·上海黄浦·统考一模）已知两个矩形相似，第一个矩形的两边长分别是3和4，第二个矩形较短的一边长是4，那么第二个矩形较长的一边长是______．【答案】/【分析】设第二个矩形较长的一边长是a，根据相似多边形的性质得出，再求出a即可．【详解】解：设第二个矩形较长的一边长是a，∵两个矩形相似，第一个矩形的两边长分别是3和4，第二个矩形较短的一边长是4，∴，解得∶，即第二个矩形较长的一边长是，故答案为∶．【点睛】本题考查了相似多边形的性质，能熟记相似多边形的性质（相似多边形的对应边的比相等）是解此题的关键．8．（2019秋·上海·九年级上海市育才初级中学校考阶段练习）已知：如图所示，矩形ABCD中，点E、F分别在边AB、CD上，且AEFD是正方形，若矩形BCFE和矩形ABCD相似，且AD=2，则AB的长为____________．【答案】【分析】直接利用相似多边形的性质得出对应边的比值进而得出答案．【详解】设EB=x，∵矩形BCFE和矩形ABCD相似，∴，∵四边形AEFD是正方形，∴AD=BC=2，∴，解得：x=-1±（负数不合题意舍去），∴BE=-1+，故AB=2-1+=1+，故答案为：1+．【点睛】此题考查相似多边形的性质，正确得出对应边关系是解题关键．9．（2022·上海·九年级专题练习）如图，已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点．若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=________【答案】【分析】可设AD=x，根据四边形EFDC与矩形ABCD相似，可得比例式，求解即可．【详解】∵沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，∴四边形ABEF是正方形，∵AB=1，设AD=x，则FD=x−1，FE=1，∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，∴，，解得x1=，x2=(负值舍去)，经检验x1=是原方程的解，即．故答案为：【点睛】本题考查了折叠的性质及相似多边形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．10．（2021·上海·九年级专题练习）四边形和四边形是相似图形，点分别与对应，已知，，，那么的长是__________．【答案】1.6【分析】相似多边形的对应边成比例，根据相似多边形的性质即可解决问题．【详解】∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，∴CD：C′D′=BC：B′C′，∵BC=3，CD=2.4，B'C′=2，∴C′D′=1.6，故答案为：1.6．【点睛】本题考查相似图形，解题的关键是熟练掌握相似多边形的性质．三、解答题11．（2020秋·九年级校考课时练习）如图，两个四边形相似，求未知边x、y的长度及角α的大小．【答案】x=24，y=28，α=75°【分析】已知题意，想到根据相似多边形的性质：对应角相等，对应边成比例，从而正确解答此题．【详解】∵两个四边形相似，∴20：5=x：6=y：7，解得：x=24，y=28，∵四边形内角和等于360°，∴α==75°，∴x=24，y=28，α=75°．【点睛】本题考查相似多边形的性质．相似多边形的对应角相等，相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方，认真计算是解答本题的关键．12．（2018秋·上海·九年级阶段练习）设四边形与四边形是相似的图形，且与、与、与是对应点，已知，，求四边形的周长．【答案】38【分析】四边形ABCD与四边形A1B1C1D1是相似的图形，则根据相似多边形对应边的比相等，就可求得A1B1C1D1的其它边的长，就可求得周长．【详解】解：∵四边形ABCD与四边形A1B1C1D1是相似的图形，∴，又∵AB=12，BC=18，CD=18，AD=9，A1B1=8，∴，∴B1C1=12，C1D1=12，D1A1=6，∴四边形A1B1C1D1的周长=8+12+12+6=38．【点睛】本题考查相似多边形的性质，相似多边形对应边之比相等．13．（2022·上海·九年级专题练习）已知四边形与四边形相似，并且点A与点、点B与点、点C与点、点D与点分别对应．(1)已知，，，求的度数；(2)已知，，，，，求四边形的周长．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据多边形相似的性质：对应角相等，求解即可；（2）根据多边形相似的性质：对应边成比例，进行求解即可．【详解】（1）解：∵四边形与四边形相似，∴，∴；（2）解：∵四边形与四边形相似，∴，∴，∴，，∴四边形的周长【点睛】本题主要考查了相似多边形的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．【过关检测】一．选择题（共6小题）1．（2023•崇明区一模）下列各组图形，一定相似的是（）A．两个等腰梯形 B．两个菱形 C．两个正方形 D．两个矩形【分析】根据相似图形的定义，四条边对应成比例，四个角对应相等，对各选项分析判断后利用排除法解答．【解答】解：A、两个等腰梯形不一定相似，故本选项不合题意；B、两个菱形，形状不一定相同，故本选项不合题意；C、两个正方形，形状相同，大小不一定相同，符合相似形定义，故本选项符合题意；D、两个矩形四个角相等，但是各边不一定对应成比例，所以不一定相似，故本选项不合题意．故选：C．【点评】本题主要考查了图形相似的判定，熟练掌握矩形、等腰梯形、菱形、正方形的性质是解题的关键，难度适中．2．（2021秋•昭平县期末）下列和右图相似的图形是（）A． B． C． D．【分析】根据相似图形的定义，结合图形，对选项一一分析，排除错误答案．【解答】解：A、形状相同，但大小不一定相同，符合相似形的定义，故正确；B、只是大小没有改变，而形状发生了改变，故错误；C、只是大小没有改变，而形状发生了改变，故错误；D、只是大小没有改变，而形状发生了改变，故错误．故选：A．【点评】形状相同是识别相似形的关键．即图形的形状相同，但大小不一定相同的变换即为相似变换．3．（2022秋•黄浦区期中）下列图形中，一定相似的是（）A．一条直线截三角形两边所得的三角形与原三角形 B．有一个内角为80°的两个等腰三角形 C．两个长方形 D．有一个内角为80°的两个菱形【分析】由相似三角形的判定方法依次判断可求解．【解答】解：A、一条直线截三角形两边所得的三角形与原三角形不一定相似，故A选项不符合题意；B、有一个内角为80°的两个等腰三角形不一定相似，故B选项不符合题意；C、两个长方形不一定相似，故C选项不符合题意；D、有一个内角为80°的两个菱形一定相似，故D选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了相似三角形的判定，熟练运用相似三角形的判定是本题的关键．4．（2022秋•奉贤区期中）下列各组图形中，一定相似的是（）A．两个等腰直角三角形 B．各有两边长是4和5的两个直角三角形 C．各有两边长是4和5的两个等腰三角形 D．各有一个角是40°的两个等腰三角形【分析】根据相似图形的定义，对应角相等，对应边成比例对各选项分析判断利用排除法求解．【解答】解：A、两个等腰直角三角形，两腰成比例，夹角都是直角相等，一定相似，故本选项符合题意；B、各有两边长是4和5的两个直角三角形，不一定相似，故本选项不符合题意；C、各有两边长是4和5的两个等腰三角形，不一定相似，故本选项不符合题意；D、各有一个角是40°的两个等腰三角形，不一定相似，故本选项不符合题意．故选：A．【点评】本题考查了相似图形，注意相似图形从对应边与夹角两方面考虑，是基础题，熟练掌握概念是解题的关键．5．（2023•长宁区一模）下列各组图形中一定是相似形的是（）A．两个等腰梯形 B．两个矩形 C．两个直角三角形 D．两个等边三角形【分析】如果两个多边形的对应角相等，对应边成比例，则这两个多边形是相似多边形．【解答】解：∵等边三角形的对应角相等，对应边的比相等，∴两个等边三角形一定是相似形，又∵直角三角形，等腰梯形的对应角不一定相等，矩形的边不一定对应成比例，∴两个直角三角形、两个等腰梯形、两个矩形都不一定是相似形，故选：D．【点评】本题主要考查了相似多边形的性质，相似多边形的性质为：①对应角相等；②对应边的比相等．6．（2022秋•浦东新区期中）下列各组中两个图形不相似的是（）A． B． C． D．【分析】根据相似图形的定义一一判断即可．【解答】解：A、两个三角形相似，相似比为4：3．本选项不符合题意；B、两个图形不相似，对应边不成比例．本选项符合题意．C、两个矩形相似，相似比为3：2．本选项不符合题意；D、两个正方形相似．本选项不符合题意；故选：B．【点评】本题考查相似图形，解题的关键是掌握相似图形的定义，属于中考常考题型．二．填空题（共9小题）7．（2019秋•徐汇区期末）四边形ABCD和四边形A'B'C'D'是相似图形，点A、B、C、D分别与A'、B'、C'、D'对应，已知BC＝3，CD＝2.4，B'C′＝2，那么C′D'的长是1.6．【分析】相似多边形的对应边成比例，根据相似多边形的性质即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，∴CD：C′D′＝BC：B′C′，∵BC＝3，CD＝2.4，B'C′＝2，∴C′D′＝1.6，故答案为：1.6．【点评】本题考查相似图形，解题的关键是熟练掌握相似多边形的性质．8．（2022秋•奉贤区期中）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝a，点E、F是对角线BD上的点（点E、F不与B、D重合），分别联结AE、EC、AF、CF，若四边形AECF是菱形，且与菱形ABCD是相似形，那么菱形AECF的边长是a.（用a的代数式表示）．【分析】连接AC，交BD于O．根据菱形的性质得出∠ABO＝∠ABC＝30°，AC⊥BD，OC＝OA，利用含30°的直角三角形的性质得出OC＝OA＝AB＝a．再根据相似图形的性质及锐角三角函数定义求解即可．【解答】解：如图，连接AC，交BD于O．∵在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝a，∴∠ABO＝∠ABC＝30°，AC⊥BD，OC＝OA，∴OC＝OA＝AB＝a．由题意，可得菱形ABCD∽菱形ECFA，∴∠ECO＝∠ECF＝∠ABC＝30°，∴CE＝＝＝a．故答案为：a．【点评】本题考查了相似图形的性质，菱形的性质，含30°的直角三角形的性质，锐角三角函数定义等知识，难度适中．准确作出辅助线求出OA的长是解题的关键．9．（2018秋•嘉定区期中）已知两个三角形是相似形，其中一个三角形的两个角分别为25°、55°，则另一个三角形的最大内角的度数为100°．【分析】先根据三角形的内角和定理得出一个三角形的最大内角度数，再根据相似三角形的对应角相等得出另一个三角形最大内角度数．【解答】解：∵一个三角形的两个角分别为25°、55°，∴第三个角，即最大角为180°﹣（25°+55°）＝100°，∵两个三角形相似，∴另一个三角形的最大内角度数为100°，故答案为：100°．【点评】本题主要考查相似图形，解题的关键是掌握三角形的内角和定理及相似三角形的性质．10．（2022秋•金山区校级期末）如果梯形的一条对角线把梯形分成的两个三角形相似，那么我们称该梯形为“优美梯形”．如果一个直角梯形是“优美梯形”，它的上底等于2，下底等于4，那么它的周长为8+2．【分析】过D作DE⊥BC于E，根据矩形的性质得到BE＝AD＝2，求得BD＝CD，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：如图，过D作DE⊥BC于E，∵梯形是直角梯形，∴∠A＝∠ABC＝∠DEB＝90°，∴四边形ABED是矩形，∴BE＝AD＝2，∵BC＝4，∴CE＝BE＝2，∴BD＝CD，∵梯形的一条对角线把梯形分成的两个三角形相似，∴△ABD∽△DBC，∴＝，∴＝＝1，∴AB＝AD＝2，∴BD＝CD＝AD＝2，∴它的周长为2+2+4+2＝8+2，故答案为：8+2．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角梯形，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键，11．（2016秋•普陀区期末）利用复印机的缩放功能，将原图中边长为5厘米的一个等边三角形放大成边长为20厘米的等边三角形，那么放大前后的两个三角形的周长比是1：4．【分析】根据等边三角形周长的比是三角形边长的比解答即可．【解答】解：因为原图中边长为5cm的一个等边三角形放大成边长为20cm的等边三角形，所以放大前后的两个三角形的周长比为5：20＝1：4，故答案为：1：4．【点评】本题考查了相似三角形对应边比值相等的性质，关键是根据等边三角形周长的比是三角形边长的比来解答．12．（2019秋•杨浦区期末）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的相似对角线．在四边形ABCD中，对角线BD是它的相似对角线，∠ABC＝70°，BD平分∠ABC，那么∠ADC＝145度．【分析】依据四边形的相似对角线的定义，即可得到∠ABD＝∠DBC，∠A＝∠BDC，∠ADB＝∠C，再根据四边形内角和为360°，即可得到∠ADC的度数．【解答】解：如图所示，∵∠ABC＝70°，BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，又∵对角线BD是它的相似对角线，∴△ABD∽△DBC，∴∠A＝∠BDC，∠ADB＝∠C，∴∠A+∠C＝∠AD