2025版一轮高考总复习数学第一章　集合、常用逻辑用语与不等式教考衔接1⇒厘清两类求最值模型的差异

厘清两类求最值模型的差异♝典例展示【例】（1）（2021·新高考Ⅰ卷）已知F1，F2是椭圆C：x29＋y24＝1的两个焦点，点M在C上，则｜MF1｜·｜MF2｜的最大值为（A.13 B.12C.9 D.6（2）函数f（x）＝x2＋3x2+2的最小值是解析：（1）由椭圆C：x29＋y24＝1，得｜MF1｜＋｜MF2｜＝2×3＝6，则｜MF1｜·｜MF2｜≤｜MF1｜＋｜MF2｜22（2）由f（x）＝x2＋3x2+2＝x2＋2＋3x2+2－2，令x2＋2＝t（t≥2），则有f（t）＝t＋3t－2，由对勾函数的性质知，f（t）在[2，＋∞）上单调递增，所以当t＝2时，f（t）min＝32，即x＝0时，♝解法探究例（1）虽然为以椭圆为背景命制的求｜MF1｜·｜MF2｜最大值的考题，但由椭圆的定义可知，｜MF1｜与｜MF2｜同时满足“一正、二定、三相等”这三个条件，该题可直接利用基本不等式模型求解.例（2）虽然变形后f（x）＝x2＋2＋3x2+2－2类似于基本不等式的结构形式，但代数式（x2＋2）＋3（x2+2）中只满足“一正、二定”，并不满“三相等”，即x2＋2≠3x2+2（若x2＋2＝3x2我们自然联想到与基本不等式模型结构相似的对勾函数模型.如图，对于函数f（x）＝x＋kx，k＞0，x∈[a，b]，[a，b]⊆（0，＋∞）（1）当k∈[a，b]，f（x）＝x＋kx≥2k，f（x）min＝f（k）＝k＋kk＝2（2）当k＜a，f（x）＝x＋kx在区间[a，b]上单调递增，f（x）min＝f（a）＝a＋k（3）当k＞b，f（x）＝x＋kx在区间[a，b]上单调递减，f（x）min＝f（b）＝b＋k因此，只有在k∈[a，b]时，才能使用基本不等式求最值，而当k∉[a，b]时只能利用对勾函数的单调性求最值.♝两类求最值模型应用例析类型1基本不等式模型【例1】（1）设函数f（x）＝2x＋1x－1（x＜0），则f（x）（AA.有最大值 B.有最小值C.是增函数 D.是减函数（2）若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是5.解析：（1）f（x）＝2x＋1x－1＝－（－2x＋1－x）－1≤－2－2x·1－x－1＝－22－1，（2）由x＋3y＝5xy得y＝x5x－3，∵x，y＞0，∴5x－3＞0，∴3x＋4y＝3x＋4x5x－3＝15x2－5x5x－3.令5x－3＝t（t＞0），则有x＝t+35，代入并整理得f（t）＝3t2+13t+125t＝3t5＋125t＋135＝35（t＋4t）＋135，由于在定义域内，t＝2时函数取到最小值，∴可用基本不等式求最值.f（t）＝3反思感悟本例（1）给出的条件与基本不等式模型属于“形似质同”型题目，只要变换条件，将x＜0变为－x＞0即可用基本不等式模型求解（注意不等号的变化），本例（2）从形式上与基本不等式模型相差甚远，但对其适当换元后就可以构造出符合基本不等式模型求解的数学表达式，此类问题属于“形非质同”型.♝类型2对勾函数模型【例2】（2024·苏州一模）已知函数f（x）＝x2+2x＋ax，x∈[1，＋∞），若a＞0，求解：∵f（x）＝x2+2x＋a①当0＜a≤1时，由对勾函数模型知，f（x）在[1，＋∞）上单调递增.∴f（x）min＝f（1）＝a＋3.②当a＞1时，由对勾函数模型知，f（x）在[1，a]上单调递减，在（a，＋∞）上单调递增，此时f（x）min＝f（a）＝2a＋2.故当a∈（0，1]时，f（x）min＝a＋3.当a∈（1，＋∞）时，f（x）min＝2a＋2.反思感悟利用对勾函数模型求最值（值域）的注意点（1）解析式的转化，先将函数式转化为f（x）＝x＋kx（k＞0）的形式，并注意转化后函数的定义域（2）注意判断k所在的区间，从而确定f（x），x∈[a，b]的单调性，再求最值（值域）.♝高考还可这样考1.若P为圆x2＋y2＝1上的一个动点，且A（－1，0），B（1，0），则｜PA｜＋｜PB｜的最大值为（）A.2B.22C.4D.42解析：B由题意知AB为圆的直径，∴∠APB＝90°，∴｜PA｜2＋｜PB｜2＝｜AB｜2＝22＝4，∴（｜PA｜＋｜PB｜2）2≤｜PA｜2＋｜PB｜22＝2（当且仅当｜PA｜＝｜PB｜时取等号），∴｜PA｜＋｜PB｜2.（2024·六盘水模拟）已知a是实数，函数f（x）＝2ax2＋2x－3－a，如果函数y＝f（x）在区间[－1，1]上有零点，则a的取值范围为（－∞，－3+72］∪[1，＋∞）解析：当a＝0时，不符合题意，所以a≠0.f（x）在[－1，1]上有零点等价于（2x2－1）a＝3－2x在[－1，1]上有解，即1a＝2x2－13－2x在[－1，1]上有解，等价于求y＝2x2－13－2x在[－1，1]上的值域.令t＝3－2x，x∈[－1，1]，则有t∈[1，5]，g（t）＝2（3－t2）2－1t＝t2－6t+72t＝12（t＋7t）－3，由于t＝7∈[1，5]，可用基本不等式求最值，但题目所求的不仅仅是最值，而是值域，因此用对勾函数模