人教版八年级数学下册举一反三专题18.10平行四边形中的几何变换三大题型(学生版+解析)

专题18.10平行四边形中的几何变换三大题型【人教版】考卷信息：本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对平行四边形中的几何变换三大题型的理解！【题型1平移】1．（2024八年级上·山东济南·期中）如图，点A的坐标为(1,3)，点B在x轴上，把△OAB沿x轴向左平移得到△ECD，若四边形ABDC的面积为15，则点C的坐标为（

）A．(−3,3) B．−154,3 C．(−4,3)2．（2024八年级下·吉林·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为3,0，点B在y轴上，AB=5，将△OAB沿x轴向右平移，当点B落在直线y=2x−8上时，线段AB扫过的面积为．

3．（2024八年级下·陕西商洛·期中）如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD的两个顶点在x轴的正方向上，点A的坐标为(1,0)，点C的坐标为(5,2)，直线y=-12x-1以每秒1个单位长度的速度向上平移，经过m秒该直线可将4．（2024八年级上·浙江绍兴·期中）如图，在平面直角坐标系中，将△OAB沿x轴向右平移后得到△O'A'B'，点A的坐标为（0，4），点A的对应点A在直线y=54x﹣1上，点B在∠A'AO的角平分线上，若四边形AA'B'B的面积为4，则点B的坐标为．5．（2024八年级下·广东江门·期中）如图，在▱ABCD中，小平行四边形沿对角线AC平移两次就到了图中的位置（阴影部分），若小平行四边形的面积是2，则▱ABCD面积是．

6．（2024八年级下·湖北恩施·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，A−1,3、B1,1、C5,1．规定“把平行四边形ABCD先沿y轴翻折，再向下平移1个单位”为一次变换．如此这样，连续经过2017次变换后，平行四边形ABCD的顶点D

7．（2024八年级下·广西南宁·期中）如图①，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为−2,0，4,0，现同时将点A，B分别向上平移4个单位长度，再向右平移2个单位长度，分别得到点A，B的对应点C，D，连接：AC，BD，CD．

(1)点C的坐标是______，点D的坐标是______，S四边形(2)在y轴上是否存在一点E，连接EA，EB，使S△EAB=S(3)如图②，点P是线段BD上的一个动点，连接PC，PO，当点P在BD上移动时（不与B，D重合），求证：∠DCP+∠BOP∠CPO8．（2024八年级下·重庆江津·期中）如图1，直线y=−x−4分别交x轴和y轴于点A和点C，点B0，2在y

(1)求直线AB的解析式；(2)若点M为线段AB上一动点，当S△AMC=S(3)如图2，将直线AB沿y轴的负方向移动，使其平移后的直线l'恰好经过原点O，平移后点A的对应点为A'，点Q为x轴上一动点，点P为直线l'上一动点，写出所有使得以点P、Q、A'、C为顶点的四边形是平行四边形的点9．（2024八年级上·湖北武汉·期中）如图是由小正方形组成的8×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点都是格点，E为AC上一格点，点D为AB上任一点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图结果用实线表示，画图过程用虚线表示．(1)在图1中，先将线段AB向右平移得到线段CF、画出线段CF，再在CF上画点G，使CG=AD；(2)在图2中，先画出点D关于AC的对称点H、再在AB上找一点G，使∠GEA=∠DEC．10．（2024八年级上·四川绵阳·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为第一象限中两点，C为x轴正半轴上一点，且四边形OABC为平行四边形，已知OA=4，∠AOC=60°，反比例函数y=kx的图像经过点(1)求反比例函数的表达式．(2)若反比例函数y=kx的图像经过BC中点D，把▱OABC向上平移，对应得到▱O'A'B【题型2折叠】1．（2024八年级下·广西桂林·期中）如图，在平行四边形ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC延长线上的点E处．若∠B=60°，AB=3，则△ADEA．12 B．18 C．24 D．302．（2024八年级下·山西运城·期中）2022北京冬奥会的设计呈现了中国美学，很多设计中利用了轴对称的美．如图，在平行四边形纸片ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，∠AEB=45°，BD=4，李旻老师设计时将平行四边形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使得点B落在点B'的位置，连接DB'，则DA．22 B．23 C．43．（2024八年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点A'处．若∠1=∠2=38°，则∠A'

4．（2024八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，将△ECD沿直线ED翻折至平行四边形ABCD所在平面内，得到△EC'D，连结DC'，并延长DC'，BA交于点F，若CD=5．（2024八年级下·福建福州·期中）如图，▱ABCD中，AB//x轴，AB=12．点A的坐标为2,−8，点D的坐标为−6,8，点B在第四象限，点G是AD与y轴的交点，点P是CD边上不与点C，D重合的一个动点，过点P作y轴的平行线PM，过点G作x轴的平行线GM，它们相交于点M，将△PGM沿直线PG翻折，当点M的对应点落在坐标轴上时，点P的坐标为．6．（2024八年级下·山东烟台·期中）如图，平行四边形纸片ABCD中，折叠纸片使点D落在AB上的点E处，得折痕AF，再折叠纸片使点C落在EF上的G点，得折痕FH．

(1)请说明：∠AFH=90°；(2)请说明：GH∥AB．7．（2024八年级下·山东泰安·期中）将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到D'处，折痕为EF(1)求证：△ABE≌△AD(2)连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？证明你的结论．8．（2024八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在▱ABCD中，AB=6，BC=4，∠B=60∘，点E是边AB上的一点，点F是边CD上一点，将▱ABCD沿EF折叠，得到四边形EFGH，点A的对应点为点H，点D的对应点为点G．当点H与点(1)填空：点E到CD的距离是______；(2)求证：ΔBCE≅(3)△CEF的面积为______；9．（2024八年级下·四川成都·期中）如图1，四边形ABCD是平行四边形，延长AB至点E，使得BE=AB，连接BD和CE．

(1)求证：四边形BECD是平行四边形；(2)如图2，将△CBE沿直线BC翻拆点E刚好落在线段AD的中点F处，延长CF与BA的延长线相交于点H，并且CF和BD交于点G，试求线段CH、FG、GB之间的数量关系；(3)如图3，将△CBE沿直线BC翻折，点E刚好落在线段AD上的点F处，若AD=6，DC=3，且FD=2FA，求S△DFC10．（2024八年级下·黑龙江鸡西·期中）如图，矩形OABC的边OC、OA分别在x轴、y轴上，且AO、OC的长满足|OA−2|+(1)求B，C两点的坐标；(2)把△ABC沿AC翻折，点B落在B'处，线段AB与x轴交于点D，求CD(3)在平面内是否存在点P，使以A，D，C，P为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．【题型3旋转】1．（2024·河北·中考真题）如图，将ΔABC绕边AC的中点O顺时针旋转180°．嘉淇发现，旋转后的ΔCDA与ΔABC构成平行四边形，并推理如下：点A，C分别转到了点C，A处，而点B转到了点D处．∵CB=AD，∴四边形ABCD是平行四边形．小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“∵CB=AD，”和“∴四边形……”之间作补充．下列正确的是（

）A．嘉淇推理严谨，不必补充 B．应补充：且AB=CD，C．应补充：且AB//CD D．应补充：且2．（2024八年级下·江苏无锡·期中）如图，在□ABCD中，AB＝26，AD＝6，将□ABCD绕点A旋转，当点D的对应点D′落在AB边上时，点C的对应点C′恰好与点B、C在同一直线上，则此时△C′D′B的面积为（）

A．120 B．240 C．260 D．4803．（2024八年级上·山东济南·期中）如图，原点O为▱ABCD的对称中心，AB∥x轴，与y轴交于点E0,1，AD与x轴交于F−32,0，BE=2AE．若将△AOE绕原点O顺时针旋转，每次旋转90°A．1,−1 B．−1,1 C．32,−1 4．（2024八年级下·湖北武汉·期中）如图，已知直线PQ∥MN，点A、B分别在MN、PQ上，射线AC自射线AN的位置开始，以每秒4°的速度绕点A逆时针旋转至AM便立即顺时针回转，旋转至AN后停止运动，射线BD自射线BQ的位畳开始，以每秒1°的速度绕点B顺时针嫙转至BP后停止运动，若射线BD先旋转20秒，射线AC才开始转动，当射线AC，BD互相平行时，射线AC的旋转时间t（0<t<60）为秒．5．（2024八年级上·河南信阳·阶段练习）如图，△ABC和△DCE都为等腰直角三角形，∠BAC=∠DCE=90°，连接AD，以AD、AB为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．若AB=56．（2024八年级下·江苏南京·期中）如图，在面积是12的平行四边形ABCD中，对角线AC绕着它的中点O按顺时针方向旋转一定角度后，其所在直线分别交AD、BC于点E、F，若BF=2CF，则图中阴影部分的面积是．7．（2024八年级上·福建莆田·期中）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=10，将△ABC绕点B沿顺时针方向旋转90°得到△A1BC18．（2024八年级上·云南昆明·期中）如图，在△ABC中，AC＝BC，E是AB上一点，且CE＝BE，将△CBE绕点C旋转得到△CAD．（1）求证：AB∥DC；（2）连接DE，判断四边形BEDC的形状，并说明理由．9．（2024八年级上·河北张家口·期中）将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开，得到图①中的两张全等的三角形胶片△ABC和△DEF，将这两张三角形胶片的顶点B与顶点E重合，把△DEF绕点B顺时针方向旋转，这时AC与DF相交于点O．（1）当△DEF旋转至如图②位置，点B（E），C，D在同一直线上时，AF与CD的数量关系是_______；（2）当△DEF继续旋转至如图③位置时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．10．（2024八年级上·上海青浦·期中）小明在学习了中心对称图形以后，想知道平行四边形是否为中心对称图形．于是将一张平行四边形纸片平放在一张纸板上，在纸板上沿四边画出它的初始位置，并画出平行四边形纸片的对角线，用大头针钉住对角线的交点．将平行四边形纸片绕着对角线的交点旋转180°后，平行四边形纸片与初始位置的平行四边形恰好重合．通过上述操作，小明惊喜地发现平行四边形是中心对称图形，对角线的交点就是对称中心．请你利用小明所发现的平行四边形的这一特征完成下列问题：

(1)如图①，四边形ABCD是平行四边形，过对角线交点O的直线l与边AB、CD分别相交于点M、N，则四边形ABCD与四边形AMND的面积之比的比值为______；(2)如图②，这个图形是由平行四边形ABCD与平行四边形ECGF组成的，点E在边CD上，且B、C、G在同一直线上．①请画出一条直线把这个图形分成面积相等的两个部分（不要求写出画法，但请标注字母并写出结论）；②延长GF与边AD的延长线交于点K，延长FE与边AB交于点H．联结EB、EK、BK，如图③所示，当四边形AHED的面积为18，四边形CEFG的面积为4时，求三角形EBK的面积．专题18.10平行四边形中的几何变换三大题型【人教版】考卷信息：本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对平行四边形中的几何变换三大题型的理解！【题型1平移】1．（2024八年级上·山东济南·期中）如图，点A的坐标为(1,3)，点B在x轴上，把△OAB沿x轴向左平移得到△ECD，若四边形ABDC的面积为15，则点C的坐标为（

）A．(−3,3) B．−154,3 C．(−4,3)【答案】C【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，坐标与平移．熟练掌握平移的性质，得到四边形ABDC为平行四边形，是解题的关键．根据平移的性质，得到四边形ABDC为平行四边形，进而得到四边形ABDC的面积=BD⋅yA，进而求出BD的长，即可得到平移距离，即可得到点【详解】解：∵把△OAB沿x轴向左平移到△ECD，∴AC∥BD,AC=BD，∴四边形ABDC为平行四边形，∴四边形ABDC的面积=BD⋅y∵点A的坐标为1,3，∴BD⋅y∴BD=5，∴△OAB沿x轴向左平移5个单位得到△ECD，点C为点A平移后的对应点，∴C1−5,3即：C−4,3故选：C．2．（2024八年级下·吉林·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为3,0，点B在y轴上，AB=5，将△OAB沿x轴向右平移，当点B落在直线y=2x−8上时，线段AB扫过的面积为．

【答案】24【分析】根据勾股定理得出OB=AB2−OA【详解】解：∵点A的坐标为3,0，∴OA=3，根据勾股定理可得：OB=A把y=4代入y=2x−8得：4=2x−8，解得：x=6，∴△OAB沿x轴向右平移了6个单位长度，B'根据平移的性质可得，∴BB'=AA'∴四边形BAA∴线段AB扫过的面积=AA故答案为：24．

【点睛】本题主要考查了平移的性质，平行四边形的判定，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握，平移前后，对应点连线平行（或在同一直线上）且相等；两组对边分别相等的四边形是平行四边形．3．（2024八年级下·陕西商洛·期中）如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD的两个顶点在x轴的正方向上，点A的坐标为(1,0)，点C的坐标为(5,2)，直线y=-12x-1以每秒1个单位长度的速度向上平移，经过m秒该直线可将【答案】7【分析】确定AC的中点F，根据平行四边形的性质，当直线经过点F时，把四边形面积等分，设平移n个单位长度，则直线解析式为y=-12x-1+【详解】因为点A的坐标为(1,0)，点C的坐标为(5,2)，所以AC的中点F的坐标为(3,1)，根据平行四边形的性质，当直线经过点F时，把四边形面积等分，设平移n个单位长度，则直线解析式为y=-所以1=-1解得n=72所以运动时间m=72故答案为：72【点睛】本题考查了平行四边形的性质，一次函数的平移，待定系数法确定函数的解析式，熟练掌握平行四边形的性质，一次函数的平移是解题的关键．4．（2024八年级上·浙江绍兴·期中）如图，在平面直角坐标系中，将△OAB沿x轴向右平移后得到△O'A'B'，点A的坐标为（0，4），点A的对应点A在直线y=54x﹣1上，点B在∠A'AO的角平分线上，若四边形AA'B'B的面积为4，则点B的坐标为【答案】（5，3）【分析】根据平移的性质可得点A′的坐标为（4，4），∠A'AO＝90°，A'A＝B'B，A'A∥B'B，再根据一次函数图象上点的坐标特征求出点A′的坐标为（4，4），证明四边形AA'B'B是平行四边形，△ACB是等腰直角三角形，根据四边形AA'B'B的面积为4求出AC＝BC＝1，即可得出点B′的坐标．【详解】解：延长B′B交y轴于点C，∵△OAB沿x轴向右平移得到△O′A′B′，点A的坐标为（0，4），∴∠A'AO＝90°，点A′的纵坐标为4，∵点A′在直线y＝54x∴54x解得x＝4，∴点A′的坐标为（4，4），∵点B在∠A'AO的角平分线上，∴∠A'AB＝∠OAB＝45°，∵将△OAB沿x轴向右平移后得到△O'A'B'，∴A'A＝B'B，A'A∥B'B，∴四边形AA'B'B是平行四边形，∠ACB＝180°−∠A'AO＝90°，∴B'B＝A'A＝4，△ACB是等腰直角三角形，∴AC＝BC，∵四边形AA'B'B的面积为4，∴BB′•AC＝4，∴AC＝BC＝1，∴OC＝4−1＝3，B′C＝BC＋B′B＝1＋4＝5，∴点B′的坐标为（5，3）．故答案为：（5，3）．【点睛】本题考查了坐标与图形变化−平移，一次函数图象上点的坐标特征，平行四边形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平移的性质是解题的关键．5．（2024八年级下·广东江门·期中）如图，在▱ABCD中，小平行四边形沿对角线AC平移两次就到了图中的位置（阴影部分），若小平行四边形的面积是2，则▱ABCD面积是．

【答案】18【分析】过A作AK⊥BC，过F作FH⊥NC，根据平移得到AB=3EC，AK=3FH，然后根据平行四边形面积公式求解．【详解】解：过A作AK⊥BC，过F作FH⊥NC，∵在▱ABCD中，小平行四边形沿对角线AC平移两次就到了图中的位置（阴影部分），∴AB=3EC，AK=3FH，∵小平行四边形的面积是2，∴NC⋅FH=2，∴BC⋅AK=3CN⋅3FH=18，故答案为：18．

【点睛】此题主要考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的面积公式是解题的关键．6．（2024八年级下·湖北恩施·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，A−1,3、B1,1、C5,1．规定“把平行四边形ABCD先沿y轴翻折，再向下平移1个单位”为一次变换．如此这样，连续经过2017次变换后，平行四边形ABCD的顶点D

【答案】−3【分析】根据已知条件得到D3，3，得到规律D【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，A−1,3、B1,1、∴D3,3把▱ABCD先沿y轴翻折，再向下平移1个单位后，∴D−3观察，发现规律：D03，3，D1−3,2，∴D2n3，∴D2017故答案为：−3，【点睛】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形变化中的平移与对称以及规律型中的坐标的变化规律，根据坐标的变化找出变化规律是关键．7．（2024八年级下·广西南宁·期中）如图①，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为−2,0，4,0，现同时将点A，B分别向上平移4个单位长度，再向右平移2个单位长度，分别得到点A，B的对应点C，D，连接：AC，BD，CD．

(1)点C的坐标是______，点D的坐标是______，S四边形(2)在y轴上是否存在一点E，连接EA，EB，使S△EAB=S(3)如图②，点P是线段BD上的一个动点，连接PC，PO，当点P在BD上移动时（不与B，D重合），求证：∠DCP+∠BOP∠CPO【答案】(1)0,4，6,4，24；(2)0,8或(3)证明见解析【分析】（1）根据平移的性质求出点C，D的坐标，再证明四边形ABDC是平行四边形，根据平行四边形的面积公式求解即可；（2）设E坐标为0,m，列出方程求出（3）作PF∥CD，根据平移的性质可得CD∥PF∥【详解】（1）解：∵点A，B的坐标分别为−2,0，4,0，将点A，B分别向上平移4个单位长度，再向右平移2个单位长度，分别得到点A，B的对应点C，D，∴点C−2+2,0+4即C0,4，点D4+2,0+4即D6,4，AB=4−−2∴OC=4，四边形ABDC是平行四边形，∴S四边形（2）存在，设E坐标为0,∵S∴12解得m=±8∴E点的坐标为0,8或（3）证明：如图，作PF∥

由平移可知：CD∥∴CD∥∴∠DCP=∠FPC，∠BOP=∠EPO，∴∠DCP+∠BOP=∠EPC+∠EPO=∠CPO，∴∠DCP+∠BOP∠CPO=1，即【点睛】本题考查了坐标轴的几何问题，掌握平移的性质、平行四边形的性质以及判定定理、平行四边形的面积公式、平行线的性质是解题的关键．8．（2024八年级下·重庆江津·期中）如图1，直线y=−x−4分别交x轴和y轴于点A和点C，点B0，2在y

(1)求直线AB的解析式；(2)若点M为线段AB上一动点，当S△AMC=S(3)如图2，将直线AB沿y轴的负方向移动，使其平移后的直线l'恰好经过原点O，平移后点A的对应点为A'，点Q为x轴上一动点，点P为直线l'上一动点，写出所有使得以点P、Q、A'、C为顶点的四边形是平行四边形的点【答案】(1)y=(2)M(3)P4,2或P【分析】（1）先求出点A的坐标，利用待定系数法求解即可；（2）先求出S△AOC，再根据S（3）先求出直线l'的解析式为y=12【详解】（1）解：当y=−x−4=0时，x=−4，∴A−4,0设直线AB的解析式为y=kx+2，将点A−4,0代入可得k=∴直线AB的解析式为y=1（2）解：当x=0时，y=−x−4=−4，∴C∵B0，∴BC=6，OA=OC=4，S△AOC设点M的坐标为x,1S∴12+3x=8，解得x=−4则y=∴点M−（3）解：由题意可知点B平移到点O的位置，即直线AB沿y轴向下平移2个单位，所以A'−4,−2，直线l'如图，连接A'C，平移A'C，使

则点C向上平移了4个单位，点A'∴点P的纵坐标为：−2+4=2，当y=2时，x=4，即点P4,2同理，如图，平移A'C，使A'

则点A'∴点P的纵坐标为：−4+2=−2，此时，点P与点A重合，不存在；如图，当A'

设A'C的中点为D，则D设Px,12则x+a2=−21∴12∴P2−12,−6，综上，满足题意的点P坐标为P2,4【点睛】本题考查了一次函数的性质，平行四边形的性质，熟练利用平行四边形的性质分情况讨论是解题的关键．9．（2024八年级上·湖北武汉·期中）如图是由小正方形组成的8×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点都是格点，E为AC上一格点，点D为AB上任一点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图结果用实线表示，画图过程用虚线表示．(1)在图1中，先将线段AB向右平移得到线段CF、画出线段CF，再在CF上画点G，使CG=AD；(2)在图2中，先画出点D关于AC的对称点H、再在AB上找一点G，使∠GEA=∠DEC．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）先将线段AB向右平移得到线段CF、连接DE并延长交CF于点G即可；（2）作出点D关于AC的对称点H，连接HE并延长交AC于点G，则点G即为所求作．【详解】（1）如图所示，CG即为所作，（2）如图，点G即为所作，【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，平行四边形的判定和性质，垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．10．（2024八年级上·四川绵阳·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为第一象限中两点，C为x轴正半轴上一点，且四边形OABC为平行四边形，已知OA=4，∠AOC=60°，反比例函数y=kx的图像经过点(1)求反比例函数的表达式．(2)若反比例函数y=kx的图像经过BC中点D，把▱OABC向上平移，对应得到▱O'A'B【答案】(1)y=(2)C【分析】1过A作AE⊥OC于E，根据勾股定理得到AE=OA2−OE2根据平行四边形的性质得到AB∥OC，OA∥BC，得到点D的纵坐标为3，把y=3代入y=43x得得到D4,3，过D作【详解】（1）解：过A作AE⊥OC于E，∵OA=4，∠AOC=60°，∴OE=1∴AE=O∴A2,2∴反比例函数y=kx的图象经过点∴k=2×23∴反比例函数的表达式为y=4（2）解：∵四边形OABC是平行四边形，∴AB∥OC，∴B点的纵坐标为23∵点D是BC的中点，∴点D的纵坐标为3，∴把y=3代入y=43∴D4,∵OA∥∴∠DCH=∠AOC=60°，过D作DH⊥x轴于H，∴∠DHC=90°，∴CD=2CH，∴CD∴CH=1，∴OC=3，把x=3代入y=43x∵把▱OABC向上平移，对应得到▱▱O'A'B∴C'【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，平行四边形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．【题型2折叠】1．（2024八年级下·广西桂林·期中）如图，在平行四边形ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC延长线上的点E处．若∠B=60°，AB=3，则△ADEA．12 B．18 C．24 D．30【答案】B【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，等边三角形的判定和性质，根据平行四边形ABCD，得到∠B=∠D=60°，AB=CD=3，根据折叠的性质，AD=AE,DC=CE,AC⊥DE，CE=AB=CD=3【详解】∵平行四边形ABCD，∠B=60°∴∠B=∠D=60°将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC延长线上的点E处．∴AD=AE,DC=CE,AC⊥DE，∴CE=AB=CD=3∴△ADE是等边三角形，∴AD+DE+AE=6+6+6=18是等边三角形，故选B．2．（2024八年级下·山西运城·期中）2022北京冬奥会的设计呈现了中国美学，很多设计中利用了轴对称的美．如图，在平行四边形纸片ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，∠AEB=45°，BD=4，李旻老师设计时将平行四边形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使得点B落在点B'的位置，连接DB'，则DA．22 B．23 C．4【答案】A【分析】由折叠的性质可得，△ABE≌△AB'E，可得到∠DEB'＝90°，由平行四边形的性质得ED＝BE＝B'E＝2，则利用勾股定理可求B'【详解】解：由折叠的性质可得，△ABE≌△AB'E∴∠BEA＝∠B'EA∴∠BEB'∴∠DEB'∵BD＝4，四边形ABCD是平行四边形，∴ED＝BE＝B'E∴B'D＝2故选：A．【点睛】本题考查平行四边形的性质，翻折的性质，勾股定理，熟练掌握翻折的性质求出∠DEB'3．（2024八年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点A'处．若∠1=∠2=38°，则∠A'

【答案】123°/123度【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质，得出∠ADB=∠BDG=∠DBG，由三角形的外角性质求出∠BDG=∠DBG=12∠1=19°【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∴∠ADB=∠DBG，由折叠可得∠ADB=∠BDG，∴∠DBG=∠BDG，又∵∠1=∠BDG+∠DBG=38°，∴∠ADB=∠BDG=19°，又∵∠2=38°，∴△ABD中，∠A+∠2+∠ADB=180°,∴∠A=180°−∴∠A故答案为：123°【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理的综合应用，熟练掌握平行四边形的性质，求出∠ADB的度数是解决问题的关键．4．（2024八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，将△ECD沿直线ED翻折至平行四边形ABCD所在平面内，得到△EC'D，连结DC'，并延长DC'，BA交于点F，若CD=【答案】22+1【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，平行四边形的折叠问题，延长DE交AB延长线于G，根据△ECD折叠得到△EC'D得到∠CDE=∠C'DE，结合平行四边形的性质得到【详解】解：延长DE交AB延长线于G，∵△ECD折叠得到△EC∴∠CDE=∠C∵四边形ABCD是平行四边形，CD=2，AF=1∴AB=2，AB∥CD∴∠G=∠CDE，∵点E是BC的中点，∴BE=CE，在△GEB与△DEC中，∠GEB=∠DEC∠G=∠CDE∴△GEB≌△DEC(AAS∴BG=CD=2∵∠C∴FD=FG=25．（2024八年级下·福建福州·期中）如图，▱ABCD中，AB//x轴，AB=12．点A的坐标为2,−8，点D的坐标为−6,8，点B在第四象限，点G是AD与y轴的交点，点P是CD边上不与点C，D重合的一个动点，过点P作y轴的平行线PM，过点G作x轴的平行线GM，它们相交于点M，将△PGM沿直线PG翻折，当点M的对应点落在坐标轴上时，点P的坐标为．【答案】(855，8)或【分析】先求出直线AD的解析式为y=−2x−4，则可求G(0,−4)，设P(m,8)，则M(m,−4)，可求PM=12，PN=8，分两种情况讨论：当M'在x轴负半轴时，由折叠可知PM'=12，在Rt△M'NP中，由勾股定理可求M'N=45，在Rt△M'OG中，M'G=x，OG=4，可求M'O=x2−16，所以x2【详解】解：设AD的直线解析式为y=kx+b，将A(2,−8)，D(−6,8)代入可得，2k+b=−8−6k+b=8解得k=−2b=−4∴y=−2x−4，∴G(0,−4)，∵点P是CD边上，CD∥设P(m,8)，∵GM∥∴M(m,−4)，∴PM=12，PN=8，当M'在x由折叠可知GM=GM'，∴PM在Rt△M'NP中，在Rt△M'OG中，M'∴M∴x2解得x=8∴P(855当M'在x同理可得，−x+x解得x=−12∴P(−1255综上所述：P点坐标为(855，8)或(−故答案为(855，8)或(−【点睛】本题考查折叠的性质，熟练掌握平行四边形的性质、平面上点的坐标特点、并灵活应用勾股定理是解题的关键．6．（2024八年级下·山东烟台·期中）如图，平行四边形纸片ABCD中，折叠纸片使点D落在AB上的点E处，得折痕AF，再折叠纸片使点C落在EF上的G点，得折痕FH．

(1)请说明：∠AFH=90°；(2)请说明：GH∥AB．【答案】(1)∠AFH=90°(2)见解析【分析】（1）根据折叠的性质得到∠DFA=∠EFA，∠CFH=∠GFH，根据平角的定义即可得到结论；（2）根据平行四边形的性质得到AB∥CD，求得∠DFA=∠FAE，得到AD=DF，推出四边形ADFE是平行四边形，根据平行四边形的性质得到AD∥【详解】（1）解：∵折叠纸片使点D落在AB上的点E处，∴∠DFA=∠EFA，∵折叠纸片使点C落在EF上的G点，∴∠CFH=∠GFH，∵∠DFA+∠EFA+∠GFH+∠CFH=180°，∴∠EFA+∠GFH=1∴∠AFH=90°．（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠DFA=∠FAE，∵∠DAF=∠EAF，∴∠DAF=∠DFA，∴AD=DF，由折叠的性质得，AD=AE，∴AE=DF，∵AE∥DF，∴四边形ADFE是平行四边形，∵AD∥∵BC∥∴四边形BCFE是平行四边形，∴∠C=∠BEF，由折叠的性质的，∠C=∠FGH，∴∠FGH=∠BEF，GH∥AB．【点睛】本题主要考查了翻折变换(折叠问题)、平行四边形的判定和性质等知识点，正确的识别图形是解题的关键．7．（2024八年级下·山东泰安·期中）将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到D'处，折痕为EF(1)求证：△ABE≌△AD(2)连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？证明你的结论．【答案】(1)证明见解析(2)平行四边形，证明见解析【分析】（1）由折叠的性质得CD=AD'，CE=AE，DF=D'F，∠CEF=∠AEF，再由平行四边形的性质得AD∥BC，AD=BC，AB=CD，则AB=AD'；由AD∥BC得到∠AFE=∠CEF，则∠AFE=∠AEF，所以AE=AF，AF=CE，DF=（2）证明AF=EC，再由AF∥【详解】（1）∵平行四边形纸片ABCD折叠，使点C与A重合，点D落到D′处，折痕为EF，∴CD=AD'，CE=AE，DF=D'F∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，AB=∴AB=AD∵AD∥∴∠AFE=∠CEF，∴∠AFE=∠AEF，∴AE=AF，∴AF=CE，又AD=BC，∴AD−AF=BC−CE，∴DF=BE，∴BE=D'在△ABE和△ADBE=D'FAE=AF∴△ABE≌△AD（2）四边形AECF是平行四边形．证明：由折叠可知：AE=EC，∠4=∠5．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥∴∠5=∠6．∴∠4=∠6．∴AF=AE．∵AE=EC，∴AF=EC．又∵AF∥∴四边形AECF是平行四边形．【点睛】此题主要考查折叠的性质、全等三角形的判定、平行四边形的性质与判定，属于中档难度的几何证明题，难度不大．解题的关键是熟练运用折叠和平行四边形的性质．8．（2024八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在▱ABCD中，AB=6，BC=4，∠B=60∘，点E是边AB上的一点，点F是边CD上一点，将▱ABCD沿EF折叠，得到四边形EFGH，点A的对应点为点H，点D的对应点为点G．当点H与点(1)填空：点E到CD的距离是______；(2)求证：ΔBCE≅(3)△CEF的面积为______；【答案】(1)2(2)见解析(3)7【分析】（1）要求点E到CD的距离，由平行四边形两对边平行可知只需求出AB、CD之间的距离即可，已知BC和∠B，从而想到过点C作AB的垂线，构造直角三角形求解；（2）要证△BCE≌△GCF，根据平行四边形的对边相等、对角相等及折叠的性质可得BC=CG，∠B=∠G，∠BCD=∠ECG，观察图形可知∠ECF是∠BCD与∠ECG的公共角，从而可得∠BCE=∠GCF，利用ASA即可证明；（3）要求CF，由(2)中全等三角形知需求CE，过点E作EP⊥BC，想到用勾股定理，需求EP和PC，在Rt△BEP中，设BP=m，已知∠B，表示出BE，BP，再结合折叠的性质及BC表示出PC，CE，解Rt△EPC，即可求出【详解】（1）解：过点C作CK⊥AB于点K，如图所示：∵∠B=60°，∴∠BCK=90°−60°=30°，∴BK=1∴CK=B∵点C到AB的距离和点E到CD的距离都是平行线AB、CD间的距离，∵点C到AB的距离是23∴点E到CD的距离是23故答案为：23（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∠D＝∠B，∠A＝∠BCD，由折叠可知，AD＝CG，∠D=∠G，∠A=∠ECG，∴BC＝GC，∠B=∠G，∠BCD=∠ECG，∴∠BCD−∠ECF=∠ECG−∠ECF∴∠BCE=∠GCF，∴ΔBCE≅（3）过点E作EP⊥BC于点P，如图所示：∵∠B=60°，∠EPB=90°，∴∠BEP=30°，∴BE=2BP，设BP=m，则BE=2m，∴EP=B由折叠的性质可知，AE=CE，∵AB=6，∴AE=CE=6−2m，∵BC=4，∴PC=4−m，在Rt△ECP中，由勾股定理得：(4−m)解得m=5∴CE=6−2m=6−2×5∵△BCE≌△GCF，∴CF=CE=7∴S故答案为：73【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，三角形面积的计算，三角形全等的判定和性质，折叠的性质，根据题意作出辅助线，构造直角三角形，解直角三角形，是解题的关键．9．（2024八年级下·四川成都·期中）如图1，四边形ABCD是平行四边形，延长AB至点E，使得BE=AB，连接BD和CE．

(1)求证：四边形BECD是平行四边形；(2)如图2，将△CBE沿直线BC翻拆点E刚好落在线段AD的中点F处，延长CF与BA的延长线相交于点H，并且CF和BD交于点G，试求线段CH、FG、GB之间的数量关系；(3)如图3，将△CBE沿直线BC翻折，点E刚好落在线段AD上的点F处，若AD=6，DC=3，且FD=2FA，求S△DFC【答案】(1)见解析(2)FG+GB=(3)S【分析】（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；（2）根据平行四边形性质可得△DFC≌△AFHAAS，进而得到CH=2CF，再根据四边形BECD是平行四边形，和翻折性质可得GB=CG（3）根据平行四边形的性质证明△ABD≌△BECSSS，可得AD=BD，过点D作DM⊥AB，可求DM，根据FD=2FA，可得2S△ABF=S【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∵延长AB至点E，BE=AB，∴BE∥CD，BE=CD，∴四边形BECD是平行四边形；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠CDF=∠HAF，∵F是线段AD的中点，∴AF=DF，∵∠DFC=∠AFH，∴△DFC≌△AFHAAS∴CH=2CF，由翻折性质可得：∠ECB=∠FCB，由（1）得：四边形BECD是平行四边形，∴∠ECB=∠DBC，∴∠DBC=∠FCB，∴GB=CG，∴FG+CG=12CH（3）解：∵四边形ABCD是平行四边形，四边形BECD是平行四边形，∴AD=BC，BD=CE，∵BE=AB，∴△ABD≌△BECSSS∴∠A=∠CEB，∵BD∥CE，∴∠CEB=∠DBA，∴∠DBA=∠A，∴AD=BD，过点D作DM⊥AB，如图，

∴AM=1∴DM=A∴S△ABD∵FD=2FA，∴2S∴S∵四边形BECD是平行四边形，∴∠CEB=∠CDB，由翻折性质可得：∠CEB=∠CFB，∴∠CEB=∠CFB，由（2）可得：GB=CG，∵∠CNB=∠FNB，∴△CND≌△FNBAAS∴S△CND∴S△DFC【点睛】本题考查了几何问题，涉及到平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，灵活运用所学知识是关键．10．（2024八年级下·黑龙江鸡西·期中）如图，矩形OABC的边OC、OA分别在x轴、y轴上，且AO、OC的长满足|OA−2|+(1)求B，C两点的坐标；(2)把△ABC沿AC翻折，点B落在B'处，线段AB与x轴交于点D，求CD(3)在平面内是否存在点P，使以A，D，C，P为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)C点的坐标为4,0，点B的坐标为4,2(2)5(3)存在，P的坐标为−52,2或【分析】（1）利用非负数的性质求出OA，OC即可解决问题．（2）证明△ADO≌△CDB′（AAS），推出AD=CD，设AD=CD=m,则OD=4-m,在Rt△AOD中，根据AD（3）由（2）知，CD=52【详解】（1）|0∴OA−2=0，OC−4=0∴OA=2，OC=4．∵四边形OABC是矩形∴BC=OA=2，BA=OC=4C点的坐标为4,0，点B的坐标为4,2（2）四边形OABC是矩形，∴BC=OA，∠AOD=∠B=90°由折叠可知，∠B=∠B'∴OA=B'∵∠ADO=∠CD∴△ADO≅△CDB∴AD=CD设AD=CD=x，则OD=4−x，在Rt△AOD∵A∴2解得x=即CD=5（3）如图，由（1）知，OA=2，∴A（0，2），由（1）知，OC=4，由（2）知，CD=52∴OD=OC-CD=32∵以A，D，C，P为顶点的四边形是平行四边形，∴①当CD为边时，AP=CD=52∵CD∥AB，A（0，2），∴点P（-52，2）或（5②当AD为边时，AD=CP，∵点D是点A向右平移32∴点P是由点C（4，0）向右平移32∴P（112∴存在由P的坐标为−52,2或【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了非负数的性质，折叠的性质，勾股定理，平行四边形的性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．【题型3旋转】1．（2024·河北·中考真题）如图，将ΔABC绕边AC的中点O顺时针旋转180°．嘉淇发现，旋转后的ΔCDA与ΔABC构成平行四边形，并推理如下：点A，C分别转到了点C，A处，而点B转到了点D处．∵CB=AD，∴四边形ABCD是平行四边形．小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“∵CB=AD，”和“∴四边形……”之间作补充．下列正确的是（

）A．嘉淇推理严谨，不必补充 B．应补充：且AB=CD，C．应补充：且AB//CD D．应补充：且【答案】B【分析】根据平行四边形的判定方法“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”即可作答．【详解】根据旋转的性质得：CB=AD，AB=CD，∴四边形ABDC是平行四边形；故应补充“AB=CD”，故选：B．【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和旋转的性质，牢记旋转前、后的图形全等，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．2．（2024八年级下·江苏无锡·期中）如图，在□ABCD中，AB＝26，AD＝6，将□ABCD绕点A旋转，当点D的对应点D′落在AB边上时，点C的对应点C′恰好与点B、C在同一直线上，则此时△C′D′B的面积为（）

A．120 B．240 C．260 D．480【答案】B【分析】根据平行四边形的性质和旋转的性质可推出∠C′BD′=∠C=∠D′AB′=∠BD′C′，因此可得△C′BD′为等腰三角形，进而可推出△C′BD′的高，即可算出面积．【详解】如图：

∵□ABCD中绕点A旋转后得到□AB′C′D′，∴∠DAB=∠D′AB′，AB=AB′=C′D′=26，∵AB′∥C′D′，∴∠D′AB′=∠BD′C′，∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠C=∠DAB，∴∠C=∠BD′C′，∵点C′、B、C在一条直线上，而AB//CD，∴∠C=∠C′BD′，∴∠C′BD′=∠BD′C′∴△C′BD′为等腰三角形，作C′H⊥D′B，则BH=D′H，∵AB=26，AD=6，∴BD′=20，∴D′H=10，∴C′H=262∴△C′D′B的面积=12·BD′·C′H=1故选：B．【点睛】本题主要考查图形的旋转，平行四边形的性质和等腰三角形的性质，根据题意求出三角形的高是解题关键．3．（2024八年级上·山东济南·期中）如图，原点O为▱ABCD的对称中心，AB∥x轴，与y轴交于点E0,1，AD与x轴交于F−32,0，BE=2AE．若将△AOE绕原点O顺时针旋转，每次旋转90°A．1,−1 B．−1,1 C．32,−1 【答案】B【分析】本题考查了图形与坐标，旋转的性质，中心对称的性质，周期型规律问题，连接OC，设CD与y轴交于点G，BC与x轴交于点H，利用中心对称的性质确定OF、OH、FH的长度，利用平行四边形的判定及性质可以得到AB=FH，再根据BE=2AE确定点A的坐标，由旋转的周期性确定△AOE绕原点O顺时针旋转第2024次旋转结束时与△AOE位置重合，即可得到点A的对应点的坐标．能准确确定点A的坐标及在第2024次旋转结束时△AOE所在的位置是解决本题的关键．【详解】连接OC，设CD与y轴交于点G，BC与x轴交于点H，

∵原点O为▱ABCD的对称中心，∴点H与点F关于点O对称，∵点F−∴OF=OH=32，∵四边形ABFH是平行四边形，∴AB=FH=3，又∵BE=2AE，点E∴AE=1即点A(−1,1)，点C(1,−1)∵△AOE绕原点O顺时针旋转，每次旋转90°，∴360°÷902024÷4=506，即△AOE绕原点O顺时针旋转第2024次旋转结束时与△AOE位置重合，∴点A的对应点的坐标为(−1,1)．故选：B．4．（2024八年级下·湖北武汉·期中）如图，已知直线PQ∥MN，点A、B分别在MN、PQ上，射线AC自射线AN的位置开始，以每秒4°的速度绕点A逆时针旋转至AM便立即顺时针回转，旋转至AN后停止运动，射线BD自射线BQ的位畳开始，以每秒1°的速度绕点B顺时针嫙转至BP后停止运动，若射线BD先旋转20秒，射线AC才开始转动，当射线AC，BD互相平行时，射线AC的旋转时间t（0<t<60）为秒．【答案】32或200【分析】根据利用平行四边形的判定得到四边形BFAE是平行四边形，【详解】解：①AC绕点A逆时针旋转至AM之前，∵BD∥AC，PQ∥MN，∴四边形∴∠PBD=∠CAF，∵∠CAM+∠CAF=180°，∠QBD+∠PBD=180°，∴∠QBD+∠CAF=180°∵每秒1°的速度绕点B顺时针，时间为t，且先旋转20秒，∴∠QBD=20+t，∵每秒4°的速度绕点A逆时针旋转，∴∠CAF=4t，∴20+t+4t=180°,∴t=32，②AC绕点A逆时针旋转至AM之后，∵BD∥AC，PQ∥MN∴四边形BFAE是平行四边形，∴∠QBD=∠EAF，∵每秒1°的速度绕点B顺时针，时间为t，且先旋转20秒，∴∠QBD=20+t，∠EAF=4t−180°，∴20+t=4t−180°，∴t=200故答案为：32或2003【点睛】本题考查了旋转的性质，平行四边形的判定与性质，掌握平行四边形的判定性质是解题的关键．5．（2024八年级上·河南信阳·阶段练习）如图，△ABC和△DCE都为等腰直角三角形，∠BAC=∠DCE=90°，连接AD，以AD、AB为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．若AB=5【答案】10-2【分析】根据平行四边形的性质以及等腰直角三角形的性质证明当AO有最小值时，AF最小，即当O在AC上时，此时D，E，F共线，即可求解．【详解】解：当D，E，F共线时，AF最小，如图所示，∵四边形ABFD是平行四边形，∴AB=DF，DF∥∵△ABC和△DCE都为等腰直角三角形，∴AB=AC，CD=CE，∠CDE=45°，∴AC=DF，DF⊥AC，∴AC=DF，∠ACD=∠CDE=45°，∴DO=OC，∴OA=OF，∵∠AOF=90°，∴AF=∴当AO有最小值时，AF最小，即当O在AC上时，此时D，E，F共线，∵CD=2，∴OC=1，∵AC=∴AO=∴AF=故答案为：10【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，平行四边形的性质，寻找AF最小时点F的位置是解题的难点．6．（2024八年级下·江苏南京·期中）如图，在面积是12的平行四边形ABCD中，对角线AC绕着它的中点O按顺时针方向旋转一定角度后，其所在直线分别交AD、BC于点E、F，若BF=2CF，则图中阴影部分的面积是．【答案】2【分析】先证明△AOE≌△COF，得出AE=CF，过点A作AH⊥BC，交BC于点H，S▱ABCD=BC•AH，S阴影部分=1【详解】解：在平行四边形ABCD中，∴AD//BC，∴∠EAO=∠FCO，∵点O是AC的中点，∴AO=CO，∵∠AOE=∠COF，∴△AOE≌△COF，∴AE=CF，过点A作AH⊥BC，交BC于点H，∴S▱ABCD=BC•AH=12，∴S阴影部分∵BF=2CF，∴BC=3FC∴S【点睛】本题考查平行四边形及旋转的性质和全等三角形的性质和判定，解题关键是熟练掌握平行四边形及三角形的面积公式，难度一般．7．（2024八年级上·福建莆田·期中）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=10，将△ABC绕点B沿顺时针方向旋转90°得到△A1BC1【答案】见解析【分析】由于将△ABC绕点B沿顺时针方向旋转90°得到△A1BC1，根据旋转的性质可以得到A1C1=AC【详解】解：∵将△ABC绕点B沿顺时针方向旋转90°得到△A∴A1C∴∠A∴A又∵A∴A1∴四边形CBA【点睛】此题主要考查了旋转的性质，平行四边形的判定，解题的关键是利用旋转的性质得到相等的相等和相等的角．8．（2024八年级上·云南昆明·期中）如图，在△ABC中，AC＝BC，E是AB上一点，且CE＝BE，将△CBE绕点C旋转得到△CAD．（1）求证：AB∥DC；（2）连接DE，判断四边形BEDC的形状，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）平行四边形，理由见解析【分析】（1）由旋转的性质得出∠BCE＝∠ACD，由等腰三角形的性质得出∠B＝∠BAC，∠B＝∠BCE，由平行线的判定可得出结论；（2）由平行四边形的判定可得出结论．【详解】（1）证明：由旋转的性质得∠BCE＝∠ACD，∵A