人教数学八年级上册线段的垂直平分线的性质

第十三章轴对称13.1轴对称第二课时13.1.2线段的垂直平分线的性质1教学目标1.1知识与技能：掌握线段的垂直平分线的性质和判定定理，并会用全等三角形证明。了解三角形每边的垂直平分线交于一点，了解外心的性质。掌握尺规作图画垂直平分线的方法，能用尺规作图画出对称轴。：在学习垂直平分线判定和性质的过程中，进一步发展学生的推理证明意识和能力。在探究垂直平分线性质的过程中培养学生的动点思维能力。1.3情感态度与价值观：在尺规作图过程中培养同学动手操作的能力以及做事严谨细致的品德。在探究过程中，激发同学探究问题的兴趣和探索精神。2教学重点/难点/易考点2.1教学重点垂直平分线的性质及判定定理。尺规画垂直平分线。2.2教学难点性质定理和判定定理的区别和灵活运用。三角形外心的存在性。3专家建议本节内容含有抽象的成分较多。一方面，尝试向学生渗透“垂直平分线平分线是满足特定条件的点的集合”的思想，在动点演示中，培养学生的思维能力，提升学生的数学素养。另一方面，在探究三角形外心的存在时，应给与学生充分的思考时间。4教学方法观察思考——交流讨论——归纳结论——动手操作——补充讲解——练习提高5教学用具多媒体，教学用尺规，学生课前准备好尺规。6教学过程6.1引入新课【师】同学们好。上节课我们学习了轴对称的相关知识，这里面涉及到对称轴与垂直平分线的关系。那这节课开始，我们先来看这样一组问题，请大家看投影。图中的△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称。直线l与线段AA′有什么关系？线段BB′呢？线段CC′呢？【生】直线l是这些线段的垂直平分线。【师】右图中的图形的对称轴是直线l，A、A′是对应点，B、B′是对应点。直线l与线段AA′有什么关系？线段BB′呢？【生】直线l是这些线段的垂直平分线。【师】很好，那也就是说，如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。我们今天，就接着来学习线段的垂直平分线，这里面可大有文章。【板书】第十三章轴对称13.1轴对称第二课时13.1.2线段的垂直平分线的性质6.2新知介绍探究：线段的垂直平分线的性质（教材61页探究）【师】下面我们来思考这样一个问题：如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是直线l上的点。分别测量P1，P2，P3，…到点A和点B的距离，你有什么发现？【生】（思考，交流，给出答案）P1，P2，P3，…到点A和点B的距离都相等。【师】没错，如果我们不用测量的方法分析，可以发现，把线段AB沿着直线l对折，P1A与P1B，P2A与P2B，P3A与P3B…都将重合，也就是说，直线l上的点到点A和点B的距离都相等！这就是线段的垂直平分线的第一个性质。（板书或PPT讲解）【板书/PPT】线段的垂直平分线的性质线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等。数学语言：∵l⊥AB，AC=BC，且点P在l上∴PA=PB【师】那我们怎么来证明这个定理呢？联系你们之前学过的知识，谁能给出思路？【生】我们可以利用全等三角形的知识来证明。推广：线段的垂直平分线的判定【师】刚才我们知道了，线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等，那现在我们打一个问号，反过来问：如果PA=PB，点P在AB的垂直平分线上吗？谁能给出这个问题的已知和求证？【生】已知PA=PB，AC=CB，求证：直线PC垂直平分AB。【师】非常好，那同学们试着自己给出证明过程。【生】证明：在△PCA和△PCB中：PC=PCAC=BCPA=PB∴△PCA≌△PCB(SSS)∴∠PCA=∠PCB=90°∴PC⊥AB且AC=CB即：直线PC垂直平分AB。【师】通过大家严密的证明，我们现在可以得出结论：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。这就是用于判定垂直平分线的定理。【板书/PPT】线段的垂直平分线的判定与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。数学语言：（同上图）∵PA=PB∴点P在线段AB的垂直平分线上又∵C是AB的中点∴直线PC是线段AB的垂直平分线。注意：要证明一条直线是某一线段的垂直平分线，必须证明有两个点在垂直平分线上。【师】同学们注意：要证明一条直线是某一线段的垂直平分线，必须证明有两个点在垂直平分线上。常见的组合有：一个到线段两端距离相等的点+线段中点；两个到线段两端距离相等的点。【师】从刚才我们学习的性质定理和判定定理可以看出，线段AB的垂直平分线l上面的点与A，B的距离都相等；反过来，与A，B的距离相等的点都在l上；直线l可以看成与两点A，B的距离相等的所有点的集合。【板书/PPT】垂直平分线可以看做是到线段两端距离相等的点的集合。尺规作图：作线段的垂直平分线【师】下面我们来学习如何利用刚才的判定定理作线段的垂直平分线（教师演示或用PPT演示过程）。【板书/PPT】尺规法画垂直平分线。分别以点A和点B为圆心，大于½AB的长为半径作弧，两弧相交于点C，D，直线CD即为所求。【师】如果两个图形成轴对称，或者一个图形是轴对称图形，只要能找到一对对应点，作出对应点连线段的垂直平分线，就能得到对称轴。【师】下面我们来看这样一个问题：我们之前学习过如何过直线外一点画已知直线的垂线，当时用到了三角板。现在，能否不用三角板，仅用尺规就能过直线外顶点画一直线的垂线呢？【生】只要在直线上截取一段线段，再画出这段线段的垂直平分线就行了。【师】很好，大家很会举一反三。三角形的外心【师】我们学习了三角形，知道了它是由三条线段首尾相接组成的图形。那下面，我们来做这样一个任务：大家画出任意一个三角形，再画出这三条边的垂直平分线，你有什么发现？【生】这三条垂直平分线交于一点。【师】那你们任意再画出几个三角形试一下，这个发现还成立吗？【生】仍然成立。【师】那好，下面试着证明你们的猜想。我们怎样把这个猜想转换为数学语言呢？请大家思考一下。【生】（在教师引领下逐渐完善已知和求证，此为难点，对应题目为教材66页13题）如图，在△ABC中，边AB，BC的垂直平分线相交于点P，连接PA，PB和PC。求证：PA=PB=PC点P是否也在边AC的垂直平分线上？由此你能得到什么结论？【师】非常好，那同学们试着自己给出证明过程。【生】∵边AB，BC的垂直平分线相交于点P∴PA=PB，且PB=PC∴PA=PB=PC根据PA=PC，可知点P也在边AC的垂直平分线上。【师】非常好，大家刚才运用线段的垂直平分线的判定定理解决了这样一个问题。也就是说，对任意一个三角形，其三条边的垂直平分线必交于一点，这个点叫做这个三角形的外心。外心到三角形各个顶点的距离相等。【板书/PPT】三角形的外心任意一个三角形三条边的垂直平分线必交于一点，这个点叫做这个三角形的外心。外心到三角形各个顶点的距离相等。课堂小结（投影，给出知识脉络图）6.3复习总结和作业布置课堂练习点A，B关于直线a对称（点A，B不重合），P是直线a上一点，下列说法错误的是（）直线AB和直线a垂直直线a是点A和点B的对称轴线段PA和线段PB相等若PA=PB，则点P是线段AB的中点如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA于A，PB垂直于OB于B，下列结论错误的是（）PA=PBOA=OBPO垂直平分ABAB垂直平分OP如图，AB=AC，MB=MC，直线AM是线段BC的垂直平分线吗？如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上。AB+BD与DE的长度有什么关系？说明你的理由。答案：1、D2、D3、解：∵AB=AC∴点A在BC的垂直平分线上又MB=MC∴点M在BC的垂直平分线上即直线AM是线段BC的垂直平分线4、解：AB+BD=DE，证明如下：在△ACD和△ABD中,CD=BD（已知）∠ADC=∠ADB=90ºDF=DB（公共边）∴AB=AC（对应边相等）∵点C在AE的垂直平分线上∴AC=EC，也即AB=AC=CE∴AB+BD=CE+DC=DE作业布置1、完成配套课后练习题2、预习提纲：13.2画轴对称图形7板书设计第十三章轴对称13.1轴对称第二课时13.1.2线段的垂直平分线的性质线段的垂直平分线的性质线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等。数学语言：∵l⊥AB，AC=BC，且点P在l上∴PA=PB线段的垂直平分线的判定与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。数学语言：（同上图）∵PA=PB∴点P在线段AB的垂直平分线上又∵C是AB的中点∴直线PC