数列的通项公式的几种常用求法文科

等差数列、等比数列的通项公式的求法：若在已知数列中存在：（常数）或的关系，可采用求等差、等比数列的通项公式的求法，确定数列的通项。2、非等差、等比数列的通项公式的求法。（1）观察法：通过观察数列中的项与项数的关系，找出项与项数n的关系。（2）累差法：若在已知数列中相邻两项存在：的关系，可用“类差法”求通项。例、在数列中，，求数列的通项公式。分析：由已知，n取1，2，3，…，然后把(n-1)个等式相加。解：由已知得：。把上面（n-1）个等式相加得：（3）累积法：若在已知数列中相邻两项存在：的关系，可用“累积法”求通项。例、在数列中，，且有：，共线，求数列的通项分析：根据共线，得：，然后利用累积法求通项。解：由已知得：。3：若在已知数列中存在：或的关系，可以利用求数列的通项。例、已知数列的各项都是正数，且，求数列的通项公式。分析：根据已知条件：求出与n的关系式，再根据，求出数列的通项。解：由--------------（1）得：------------（2）把代入（2）得：整理得：，易求得，由此可知：数列是以为首项，1为公差的等差数列。故，即而且n=1时，也满足上式。对一切的，都有。例.数列前n项和.（1）求与的关系；（2）求通项公式.解：（1）由得：，于是所以.（2）应用类型4的方法，上式两边同乘以得：由.于是数列是以2为首项，2为公差的等差数列，所以4辅助数列法：对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。类型1递推公式为（其中p，q均为常数，）。解法：转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。(2006.重庆.14）数列中，若，则通项例.已知数列中，，，求.解：设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令，则,且.所以是以为首项，2为公比的等比数列，则,所以.例、数列{a}满足a=1，a=a+1（n≥2），求数列{a}的通项公式。解：由a=a+1（n≥2）得a－2=（a－2），而a－2=1－2=－1，∴数列{a－2}是以为公比，－1为首项的等比数列∴a－2=－（）∴a=2－（）变形.递推式：解法：只需构造数列，消去带来的差异．例．设数列：，求.解：设，将代入递推式，得…（１）则,又，故代入（１）得说明：（1）若为的二次式，则可设;(2)本题也可由,（）两式相减得转化为求之.类型2形如:递推式，考虑函数倒数关系有令则可归为型。(取倒数法)例：解：取倒数：是等差数列，类型3递推公式为（其中p，q均为常数，）。（或,其中p，q,r均为常数）解法：该类型较类型3要复杂一些。一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再应用类型3的方法解决。例.已知数列中，,，求。解：在两边乘以得：令，则,应用例7解法得：所以例．已知数列满足，，求．解：将两边同除，得设，则．令．条件可化成，数列是以为首项，为公比的等比数列．．因,．类型4递推公式为（其中p，q均为常数）。解法：先把原递推公式转化为其中s，t满足，再应用前面类型3的方法求解。例.已知数列中，,,，求。解：由可转化为即或这里不妨选用（当然也可选用，大家可以试一试），则是以首项为，公比为的等比数列,所以,应用类型1的方法，分别令，代入上式得个等式累加之，即又，所以。类型5双数列型解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。◆例11.已知数列中，；数列中，。当时，,，求,.解：因所以即…………（1）又因为所以…….即………（2）由（1）、（2）得：，2、通过分解系数，可转化为特殊数列的形式求解。这种方法适用于型的递推式，通过对系数p的分解，可得等比数列：设，比较系数得，可解得。例：已知数列满足 （I）证明：数列是等比数列； （II）求数列的通项公式；例、数列满足=0，求数列{a}的通项公式。分析：递推式中含相邻三项，因而考虑每相邻两项的组合，即把中间一项的系数分解成1和2，适当组合，可发现一个等比数列。解：由得即，且∴是以2为公比，3为首项的等比数列∴利用逐差法可得====∴例、数列中，，求数列的通项公式。解：由得设比较系数得，解得或若取，则有∴是以为公比，以为首项的等比数列∴由逐差法可得===说明：若本题中取，则有即得为常数列,故可转化为例13。例．已知数列满足,,求．解：设或则条件可以化为是以首项为，公比为的等比数列,所以．问题转化为利用累加法求数列的通项的问题，解得．点评：递推式为（p、q为常数）时，可以设，其待定常数s、t由,求出，从而化归为上述已知题型．2、对于由递推公式，例20：已知数列满足，求数列的通项公式。解法一（待定系数——迭加法）由，得，且。则数列是以为首项，为公比的等比数列，于是。把代入，得，，，。把以上各式相加，得。。六、构造法构造法就是在解决某些数学问题的过程中，通过对条件与结论的充分剖析，有时会联想出一种适当的辅助模型，如某种数量关系，某个直观图形，或者某一反例，以此促成命题转换，产生新的解题方法，这种思维方法的特点就是“构造”.若已知条件给的是数列的递推公式要求出该数列的通项公式，此类题通常较难，但使用构造法往往给人耳目一新的感觉.1、构造等差数列或等比数列由于等差数列与等比数列的通项公式显然，对于一些递推数列问题，若能构造等差数列或等比数列，无疑是一种行之有效的构造方法.例：设各项均为正数的数列的前n项和为，对于任意正整数n，都有等式：成立，求的通项an.解：，∴，∵，∴.即是以2为公差的等差数列，且.∴例：数列中前n项的和，求数列的通项公式.解：∵当n≥2时，令，则，且是以为公比的等比数列，∴.2、构造差式与和式解题的基本思路就是构造出某个数列的相邻两项之差，然后采用迭加的方法就可求得这一数列的通项公式.例：设是首项为1的正项数列，且，（n∈N*），求数列的通项公式an.解：由题设得.∵，，∴.∴例：数列中，，且，（n∈N*），求通项公式.解：∴（n∈N*）3、构造商式与积式构造数列相邻两项的商式，然后连乘也是求数列通项公式的一种简单方法.例：数列中，，前n项的和，求.解：，∴∴4、构造对数式或倒数式有些数列若通过取对数，取