第 4 讲：平行四边形 中考数学解答题专项复习讲义

第4讲：平行四边形2023年中考数学解答题专项复习讲义（人教版）第一部分：中考真题1、如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，点E，F分别在AB，AD上，AE=AF，CE=CF，求证：CB=CD．【答案】证明：连接AC，在△AEC与△AFC中AC=ACCE=CF∴△AEC≌△AFC（SSS），∴∠CAE=∠CAF，∵∠B=∠D=90°，∴CB=CD．【解析】先证明△AEC≌△AFC，根据全等三角形的性质得出∠CAE=∠CAF，利用角平分线的性质解答即可．本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于中考常考题型．2、如图，在▱ABCD中，G为BC边上一点，DG=DC，延长DG交AB的延长线于点E，过点A作AF∥ED交CD的延长线于点F．求证：四边形AEDF是菱形．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD=∠C，AD∥BC，AB∥CD，∵AF∥ED，∴四边形AEDF是平行四边形，∵AD∥BC，∴∠DGC=∠ADE，∵DG=DC，∴∠DGC=∠C，∴∠BAD=∠ADE，∴AE=DE，∴平行四边形AEDF是菱形．【解析】先证四边形AEDF是平行四边形，再证∠BAD=∠ADE，则AE=DE，即可得出结论．本题了菱形的判定、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证出AE=DE是解题的关键．第二部分：考点解读1、平行四边形(1)定义两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形用符号“□ABCD”表示，如平行四边形ABCD记作“□ABCD”，读作“平行四边形ABCD”。(2)平行四边形的性质平行四边形的对边平行且相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分。平行四边形的判定两组对边分别平行的四边形是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。（4）两条平行线的距离两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。平行线间的距离处处相等。（5）平行四边形的面积S平行四边形=底×高(6)中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。2、平行四边形中的几个解题模型（1）如图①，AE平分∠BAD，则可利用平行线的性质结合等角对等边得到△ABE为等腰三角形，即AB=BE．（2）平行四边形的一条对角线把其分为两个全等的三角形，如图②中△ABD≌△CDB；两条对角线把平行四边形分为两组全等的三角形，如图②中△AOD≌△COB,△AOB≌△COD；根据平行四边形的中心对称性，可得经过对称中心O的线段与对角线所组成的居于中心对称位置的三角形全等，如图②△AOE≌△COF.图②中阴影部分的面积为平行四边形面积的一半．（3）如图③，已知点E为AD上一点，根据平行线间的距离处处相等，可得S△BEC=S△ABE+S△CDE.（4）如图④，根据平行四边形的面积的求法，可得AE·BC=AF·CD．第三部分：自主练习1、如图，在中，于点D，E，F分别是的中点，O是的中点，的延长线交线段于点G，连结，，．(1)求证：四边形是平行四边形．(2)当，时，求的长．2、如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF，∠BDF=90°。(1)求证：四边形ABDF是矩形；(2)若AD=5，DF=3，求四边形ABCF的面积S．3、在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F．(1)求证：四边形ADBF是菱形；(2)若AB＝8，菱形ADBF的面积为40，求AC的长．4、如图，用四根木条钉成矩形框，把边固定在地面上，向右推动矩形框，矩形框的形状会发生改变（四边形具有不稳定性）．(1)通过观察分析，我们发现图中线段存在等量关系，如线段由旋转得到，所以．我们还可以得到＝，＝；(2)进一步观察，我们还会发现∥，请证明这一结论；(3)已知，若恰好经过原矩形边的中点，求与之间的距离．5、如图，在平行四边形中，点、分别是、的中点．求证：．6、如图，已知点E、F分别在▱ABCD的边AB、CD上，且AE=CF．求证：DE=BF．7、如图，在中，分别平分，交于点．(1)求证：；(2)过点作，垂足为．若的周长为56，，求的面积．8、在中，点D，F分别为边AC，AB的中点．延长DF到点E，使，连接BE．(1)求证：；(2)求证：四边形BCDE是平行四边形．9、如图，点，分别在的边，上，，连接，．请从以下三个条件：①；②；③中，选择一个合适的作为已知条件，使为菱形．(1)你添加的条件是_____（填序号）；(2)添加了条件后，请证明为菱形．10、如图，中，，相交于点，，分别是，的中点．(1)求证：；(2)设，当为何值时，四边形是矩形？请说明理由．11、如图所示，点在四边形的边上，连接，并延长交的延长线于点，已知，．(1)求证：；(2)若，求证：四边形为平行四边形．12、如图，四边形为平行四边形，延长到点，使，且．(1)求证：四边形