专题18 投影 （4个知识点3种题型1种中考考法）（解析版）-初中数学北师大版9年级上册

专题18投影（4个知识点3种题型1种中考考法）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.投影与中心投影知识点2平行投影（重点）知识点3.中心投影和平行投影的异同点（难点）知识点4.正投影（重点）【方法二】实例探索法题型1.与中心投影有关的作图与计算题型2.与平行投影有关的作图与计算题型3.与正投影有关的计算【方法三】仿真实战法考法.投影下物体形状的判断【方法四】成果评定法【学习目标】1.了解投影、中心投影、平行投影、正投影的含义，会画物体在不同光线下的投影，会根据投影判断点光源的位置。2.知道物体在灯光下与太阳光下的影子的不同特征以及不同时刻、不同位置影子的变化情况，体会灯光下的投影（中心投影）与太阳光下的投影（平行投影）的区别。3.能利用投影和相似的知识解决某些实际生活中的问题。【知识导图】【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.投影与中心投影一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面或墙壁等)上得到的影子，叫做物体的投影.若一束光线是从一点发出的，像这样的光线照射在物体上所形成的投影，叫做中心投影.这个“点”就是中心，相当于物理上学习的“点光源”.生活中能形成中心投影的点光源主要有手电筒、路灯、台灯、投影仪的灯光、放映机的灯光等.相应地，我们会得到两个结论：(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长.

(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短.

在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置.

注意：

光源和物体所处的位置及方向影响物体的中心投影，光源或物体的方向改变，则该物体的影子的方向也发生变化，但光源、物体的影子始终分离在物体的两侧.

【例1】（2022秋•大东区期末）下列各种现象属于中心投影的是（）A．晚上人走在路灯下的影子 B．中午用来乘凉的树影 C．上午人走在路上的影子 D．阳光下旗杆的影子【答案】A【解答】解：中心投影的光源为灯光，平行投影的光源为阳光与月光，在各选项中只有A选项得到的投影为中心投影．故选：A．【变式】（2022秋•浦江县期末）如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．若树高AB＝2m，树影BC＝3m，树与路灯的水平距离BP＝4.5m．则路灯的高度OP为（）A．5m B．4.5m C．4m D．3m【答案】A【解答】解：∵AB⊥CP，PO⊥PC，∴OP∥AB，∴△ABC∽△OPC，∴＝，即：＝，解得：OP＝5（m），故选：A．知识点2平行投影（重点）1.只要有光线，有被光线照到的物体，就存在影子.太阳光线可看做平行的，象这样的光线照射在物体上，所形成的投影叫做平行投影.由此我们可得出这样两个结论：

(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长.

(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度.

2.物高与影长的关系（1）在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同.不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西→西北→北→东北→东，影长也是由长变短再变长.

（2）在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例.

即：.

利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等.

注意：利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长.

注意：1．平行投影是物体投影的一种，是在平行光线的照射下产生的.利用平行投影知识解题要分清不同时刻和同一时刻.2．物体与影子上的对应点的连线是平行的就说明是平行光线.【例2】（2023春•和平区期末）如图，已知太阳光线AC和DE是平行的，在同一时刻，如果将两根高度相同的木杆竖直插在地面上，那么在太阳光照射下，其影子一样长．这里判断影长相等利用了全等图形的性质，其中判断△ABC≌△DFE的依据是（）A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA【答案】B【解答】解：依题意得：AC∥ED，AH⊥GT，DT⊥GT，AH＝DT，∴∠AGH＝∠DKT，∠AHG＝∠DTK＝90°，在△AGH和△DKT中，，∴△AGH≌△DKT（AAS）．故选：B．【变式】（2022秋•广宗县期末）如图所示，表示两棵小树在同一时刻阳光下的影子的图形可能是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：A、影子的方向不相同，故本选项错误；B、影子平行，且较高的树的影子长度大于较低的树的影子，故本选项正确；C、相同树高与影子是成正比的，较高的树的影子长度小于较低的树的影子，故本选项错误；D、影子的方向不相同，故本选项错误；故选：B．知识点3.中心投影和平行投影的异同点（难点）联系：

（1）中心投影、平行投影都是研究物体投影的一种，只不过平行投影是在平行光线下所形成的投影，通常的平行光线有太阳光线、月光等，而中心投影是从一点发出的光线所形成的投影，通常状况下，灯泡的光线、手电筒的光线等都可看成是从某一点发射出来的光线.

（2）在平行投影中，同一时刻改变物体的方向和位置，其投影也跟着发生变化；在中心投影中，同一灯光下，改变物体的位置和方向，其投影也跟着发生变化.在中心投影中，固定物体的位置和方向，改变灯光的位置，物体投影的方向和位置也要发生变化.

2.区别：

（1）太阳光线是平行的，故太阳光下的影子长度都与物体高度成比例；灯光是发散的，灯光下的影子与物体高度不一定成比例.

（2）同一时刻，太阳光下影子的方向总是在同一方向，而灯光下的影子可能在同一方向，也可能在不同方向.

注意：

在解决有关投影的问题时必须先判断准确是平行投影还是中心投影，然后再根据它们的具体特点进一步解决问题.知识点4.正投影（重点）正投影的定义：

如图所示，图(1)中的投影线集中于一点，形成中心投影；图(2)(3)中，投影线互相平行，形成平行投影；图(2)中，投影线斜着照射投影面；图(3)中投影线垂直照射投影面(即投影线正对着投影面)，我们也称这种情形为投影线垂直于投影面.像图(3)这样，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影.

(1)线段的正投影分为三种情况.如图所示.

①线段AB平行于投影面P时，它的正投影是线段A1B1，与线段AB的长相等；

②线段AB倾斜于投影面P时，它的正投影是线段A2B2，长小于线段AB的长；

③线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是一个点.

(2)平面图形正投影也分三种情况，如图所示.

①当平面图形平行于投影面Q时，它的正投影与这个平面图形的形状、大小完全相同，即正投影与这个平面图形全等；

②当平面图形倾斜于投影面Q时，平面图形的正投影与这个平面图形的形状、大小发生变化，即会缩小，是类似图形但不一定相似.

③当平面图形垂直于投影面Q时，它的正投影是直线或直线的一部分.(3)立体图形的正投影.

物体的正投影的形状、大小与物体相对于投影面的位置有关，立体图形的正投影与平行于投影面且过立体图形的最大截面全等.注意：

(1)正投影是特殊的平行投影，它不可能是中心投影.

(2)由线段、平面图形和立体图形的正投影规律，可以识别或画出物体的正投影.

(3)由于正投影的投影线垂直于投影面，一个物体的正投影与我们沿投影线方向观察这个物体看到的图象之间是有联系的.【例3】（2023·江苏南通·校考三模）一个正五棱柱如下图摆放，光线由上到下照射此正五棱柱时的正投影是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】正投影即投影线垂直于顶面产生的投影，据此直接选择即可．【详解】光线由上向下照射，此正五棱柱的正投影是故选：B．【点睛】此题考查平行投影，解题关键此五棱柱的正投影与顶面的形状大小完全相同．【变式】（2023·湖北恩施·校考模拟预测）物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关．一个三角板的正投影不可能是（

）A．一条线段 B．一个与原三角板全等的三角形C．一个等腰三角形 D．一个小圆点【答案】D【分析】由三角板所在的平面与投影光线的关系逐一分析可得答案．【详解】解：当三角板所在的平面与投影光线平行时，可得投影是一条线段，故A不符合题意；当三角板所在的平面与投影光线垂直时，可得投影是一个与原三角板全等的三角板，故B不符合题意；当三角板所在的平面与投影光线成一定的角度时，可得投影是一个变形的三角板，可能为等腰三角形，不可能是一个点，故C不符合题意；D符合题意；故选D【点睛】本题考查的是投影的含义，理解物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关是解本题的关键．【方法二】实例探索法题型1.与中心投影有关的作图与计算1.（2022秋•宝安区校级期中）如图，一路灯距地面5.6米，身高1.6米的小方从距离灯的底部（点O）5米的A处，沿OA所在的直线行走到点C时，人影长度增长3米，求小方行走的路程．【解答】解：∵AE⊥OD，GO⊥OD，∴EA∥GO，∴△AEB∽△OGB，∴＝，∴＝，解得AB＝2（m）；∵OA所在的直线行走到点C时，人影长度增长3米，∴DC＝5（m），同理可得△DFC∽△DGO，∴＝，即＝，解得AC＝7.5（m）．答：小方行走的路程AC为7.5m．2.（2023•三水区校级开学）如图，在平面直角坐标系中，点P（4，3）是一个光源，CD为木杆AB在x轴上的投影，A（0，1），B（6，1），过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交AB于点N，求CD的长．【答案】9．【解答】解：∵A（0，1），B（6，1）．∴AB∥x轴，AB＝6，∵点P（4，3），∴PM＝3，PN＝PM﹣MN＝3﹣1＝2，∴△PAB∽△PCD，∴，即，∴CD＝9，即CD的长为9．3.（2022秋•市北区期末）如图，路灯下一墙墩（用线段AB表示）的影子是BC，小明（用线段DE表示）的影子是EF，在M处有一棵大树，它在这个路灯下的影子是MN．（1）在图中画出路灯的位置并用点P表示；（2）在图中画出表示大树的线段MQ．【解答】解：（1）点P位置如图；（2）线段MQ如图．4.（2022春•连山区月考）如图，身高1.6m的小王晚上沿箭头方向散步至一路灯下，他想通过测量自己的影长来估计路灯的高度，具体做法如下：先从路灯底部向东走20步到M处，发现自己的影子端点刚好在两盏路灯的中间点P处，继续沿刚才自己的影子走5步到P处，此时影子的端点在Q处．（1）找出路灯的位置．（2）估计路灯的高，并求影长PQ．【解答】解：（1）如图，点O为路灯的位置；（2）作OA垂直地面，如图，AM＝20步，MP＝5步，MN＝PB＝1.6m，∵MN∥OA，∴△PMN∽△PAO，∴＝，即＝，解得OA＝8（m），∵PB∥OA，∴△QPB∽△QAO，∴＝，即＝，解得PQ＝．答：路灯的高8m，影长PQ为步．题型2.与平行投影有关的作图与计算5.（2022秋•临渭区期末）如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，已知AB＝5m，某一时刻AB在太阳光下的影子长BC＝3m．（1）在图中画出此时DE在太阳光下的影子EF；（2）在测量AB的影子长时，同时测量出EF＝6m，计算DE的长．【解答】解：（1）如图所示：EF即为所求；（2）由题意可得：＝，解得：DE＝10，答：DE的长为10m．6.（2022秋•榆阳区校级期末）如图，小亮利用所学的数学知识测量某旗杆AB的高度．（1）请你根据小亮在阳光下的投影，画出旗杆AB在阳光下的投影．（2）已知小亮的身高为1.72m，在同一时刻测得小亮和旗杆AB的投影长分别为0.86m和6m，求旗杆AB的高．【解答】解：（1）如图所示：（2）如图，因为DE，AB都垂直于地面，且光线DF∥AC，所以Rt△DEF∽Rt△ABC，所以＝，即＝，所以AB＝12（m）．答：旗杆AB的高为12m．7.（2023•市北区开学）甲、乙两栋楼的位置如图所示，甲楼AB高16米．当地中午12时，物高与影长的比是1：．（1）如图1，当地中午12时，甲楼的影子刚好不落到乙楼上，则两楼间距BD的长为米．（2）当地下午14时，物高与影长的比是1：2．如图2，甲楼的影子有一部分落在乙楼上，求落在乙楼上的影子DE的长．【答案】（1）；（2）（16﹣）米．【解答】解：（1）由题意得：，即，解得BD＝（米），故答案为：；（2）如图，设FE⊥AB于点F，那么在Rt△AEF中，∠AFE＝90°，EF＝BD＝米．∵物高与影长的比是1：2，∴，则AF＝EF＝（米），故DE＝FB＝（16﹣）米．答：落在乙楼上的影子DE的长为（16﹣）米．8.（2022秋•榕城区期末）如图，某数学兴趣小组要测量学校旗杆的高度，在某一时刻测得1m长的竹竿竖直放置时影长为1.5m，在同时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一教学楼，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，测得落在地面上的影长为18m，留在墙上的影高为3m，求旗杆的高度．【答案】15m．【解答】解：如图，过点C作CE⊥AB于点E，∵CD⊥BD，AB⊥BD，∴∠B＝∠BDC＝∠BEC＝90°，∴四边形BECD为矩形，∴CE＝BD＝18m，BE＝CD＝3m，根据题意可得，即，解得AE＝12，∴AB＝AE+BE＝12+3＝15（m），答：旗杆的高度为15m．题型3.与正投影有关的计算9．（2023春·九年级单元测试）如图，正方形纸板在投影面上的正投影为，其中边与投影面平行，与投影面不平行．若正方形的边长为5厘米，，求其投影的面积．【答案】【分析】先根据求出投影的各个边长，再求面积【详解】解：过B点作于H，如图，∵，∴，∵正方形纸板在投影面上的正投影为，∴，，∴四边形的面积．【点睛】本题考查等腰直角三角形在投影中的应用，掌握计算方法是关键．10．（2023春·四川自贡·九年级四川省荣县中学校校考阶段练习）操作与研究∶如图，被平行于的光线照射，于，在投影面上．(1)指出图中的投影是什么，与的投影呢？(2)探究∶如图1，中，，，我们可以利用与相似证明，这个结论我们称之为射影定理，试证明这个定理．(3)【结论运用】如图2，正方形的边长为，点是对角线的交点，点在上，过点作，垂足为，连接，①试利用射影定理证明；②若，求的长．【答案】(1)的投影是，的投影是点，的投影是(2)证明过程见详解(3)①证明过程见详解；②【分析】（1）根据投影的定义，即可求解；（2）根据中，，，可得，是公共角，由三角形相似的判定及性质即可求证；（3）①根据射影定理可得，，且，根据三角形相似的判定方法即可求解；②先计算，，，的长度，在根据①中的结论即可求解．【详解】（1）解：根据题意得，的投影是，的投影是点，的投影是．（2）证明：∵中，，，∴，，∴，且是公共角，∴，∴，∴．（3）解：①证明：∵四边形是正方形，∴，∴，中，∵，，∴，∴，即，且（公共角），∴；②∵，且，∴，，在中，，在中，，∵，∴，即，∴．【点睛】本题主要考查正方形，直角三角形，相似三角形的综合，掌握正方形的性质，直角三角形中判定三角形的相似，以及相似三角形的性质是解题的关键．【方法三】仿真实战法考法.投影下物体形状的判断1．（2021•南京）如图，正方形纸板的一条对角线垂直于地面，纸板上方的灯（看作一个点）与这条对角线所确定的平面垂直于纸板．在灯光照射下，正方形纸板在地面上形成的影子的形状可以是（）A． B． C． D．【分析】根据正方形纸板的一条对角线垂直于地面，纸板上方的灯（看作一个点）与这条对角线所确定的平面垂直于纸板，则在地面上的投影关于对角线对称，因为灯在纸板上方，所以上方投影比下方投影要长．【解答】解：根据正方形纸板的一条对角线垂直于地面，纸板上方的灯（看作一个点）与这条对角线所确定的平面垂直于纸板，灯在纸板上方，∴上面两条边离点光源近，在同一投影面上的影子就长于下方离点光源远的两条边，∴上方投影比下方投影要长，故选：D．【点评】本题主要考查中心投影的知识，弄清题目中光源和纸板的相对位置是解题的关键．2．（2017•贺州）小明拿一个等边三角形木框在太阳下玩耍，发现等边三角形木框在地面上的投影不可能是（）A． B． C． D．【分析】在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同，不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，依此进行分析．【解答】解：当等边三角形木框与阳光平行时，投影是A；当等边三角形木框与阳光有一定角度时，投影是C或D；投影不可能是B．故选：B．【点评】本题主要考查对平行投影的理解和掌握，能熟练地观察图形得出正确结论是解此题的关键．【方法四】成果评定法一、单选题1．（2022春·河北保定·九年级保定市第十七中学校考开学考试）下列光线所形成的投影是平行投影的是（

）A．太阳光线 B．台灯的光线 C．手电筒的光线 D．路灯的光线【答案】A【分析】判断投影是平行投影的方法是看光线是否是平行的，如果光线是平行的，所得到的投影就是平行投影．【详解】解：四个选项中只有太阳光可认为是平行光线；故太阳光线下形成的投影是平行投影．故选：A．【点睛】本题主要考查了平行投影，解题关键是看光线是否是平行的.2．（2023·河南信阳·二模）小明利用一面镜子把太阳光经镜子反射后，光线平行于地面照到了墙上，如图镜子与地面夹角为，则太阳光与地面所成角度是（

）

A． B． C． D．【答案】C【详解】根据两直线平行，内错角相等和反射定理解答即可．【分析】解：∵，

∴，∴，∴太阳光与地面所成角度．故选：．【点睛】此题主要考查平行线的性质，熟练掌握两直线平行、内错角相等和反射定理等相关知识是解题关键．3．（2022秋·湖南株洲·九年级统考期中）某一时刻太阳光下身高的小明的影长为2m，同一时刻旗杆的影长为6m则旗杆的高度为（

）A． B．8m C． D．7m【答案】A【分析】根据成比例关系可知，人身高比上人的影长等于旗杆长比上旗杆的影长，代入数据即可得出答案．【详解】解∶设旗杆高度为xm，有解得．故选∶A．【点睛】本题考查了平行投影以及一元一次方程的应用，解题关键是理解在同一时刻物体的高与其影子长比值是相同的．4．（2023春·山东临沂·九年级校考阶段练习）如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正五边形，若，则（）

A．56° B．66° C．72° D．76°【答案】B【分析】根据正五边形得到，利用三角形内角和求出的度数，根据平行线的性质得出．【详解】解：如图，延长和分别交的延长线于点G和I，

∵六边形是正五边形，∴，∴，∴，由平行光线知，；故选：B．【点睛】本题考查平行投影的性质、多边形外角性质以及三角形内角和定理，构造三角形是解决问题的关键．5．（2023·江苏无锡·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，点是一个光源．木杆两端的坐标分别为，．则木杆在x轴上的投影长为（

）

A． B． C．5 D．6【答案】D【分析】延长、分别交轴于、，作轴于，交于，证明，得到，即可求解．【详解】解：延长、分别交轴于、，作轴于，交于，如图，，，．，，，，，，即，，故选：D．

【点睛】本题考查了中心投影：中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系．6．（2023·河北沧州·校考模拟预测）幻灯机是教师常用的教具之一，它能把精致的图片投到银幕上，如图，在与中，下列结论一定正确的是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根据投影的性质：投影后的图像与投影前的图像相似，逐个判断即可得到答案；【详解】解：由题意可得，，∴，故A错误，，故B正确，，故C，D不一定成立，故选B；【点睛】本题考查投影的性质：投影后的图像与投影前的图像相似．7．（2023春·山东泰安·九年级校考阶段练习）下列各种现象属于中心投影现象的是（）A．早上升旗时地面上旗杆的影子 B．上午人走在路上的影子C．中午用来乘凉的树影 D．晚上人走在路灯下的影子【答案】D【分析】根据中心投影的性质，找到灯光的灯源即可．【详解】解：中心投影的灯源为灯光，平行投影的光源为阳光与月光，故选：D．【点睛】本题考查中心投影的性质，解题的关键是理解中心投影的形成光源为灯光．8．（2022·河北石家庄·校联考三模）如图，在平面直角坐标系中，点是一个光源，木杆两端的坐标分别为，，则木杆在x轴上的投影长为（

）

A． B． C．5 D．6【答案】D【分析】利用中心投影，延长、分别交x轴于点、，作轴于点E，交于点D，证明，然后利用相似比即可求解．【详解】解：延长、分别交x轴于点、，作轴于点E，交于点D，如图，∵，，，∴，，，∵，∴，，∴，∴，即，∴，故选：D．

【点睛】本题考查中心投影，熟练掌握中心投影的概念证明是解题的关键．9．（2022·广东广州·统考二模）当下，户外广告已对我们的生活产生直接的影响．图中的是安装在广告架上的一块广告牌，和分别表示太阳光线．若某一时刻广告牌在地面上的影长，在地面上的影长，广告牌的顶端A到地面的距离，则广告牌的高为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据太阳光线是平行的可得，从而可得；接下来根据相似三角形的性质可得，代入数值求出的长，进而可求出广告牌的高．【详解】解：∵太阳光线是平行的，∴，∴，∴，由题意得：，∴，解得，∴．故选A．【点睛】本题考查了平行投影，以及相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形．10．（2023春·九年级单元测试）在平面直角坐标系中，点是一个光源，木杆两端的坐标分别是，，则木杆在x轴上的投影的长是（

）A．4 B． C． D．5【答案】B【分析】根据题意画出图形，分别求得直线的解析式，进而即可求解．【详解】解：如图所示，∵，，，设直线的解析式为：，直线的解析式为：，∴解得：，∴，中，当时，，则,中，当时，，则∴，故选：B．【点睛】本题考查了中心投影，一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．二、填空题11．（2022春·九年级单元测试）正午时我们在太阳下的影子长度比下午时我们在太阳底下的影子的长度要．（长，短）【答案】短【分析】根据太阳光不同时刻照射时的角度，以及平行投影的性质判断即可．【详解】解：太阳光可理解为平行光线，正午时刻太阳光照射的角度更大，因此我们于地面形成的影子更短，而下午的时候，照射时的角度变小，在地面形成的影子就更长．故答案为：短．【点睛】本题考查投影，注意理解太阳光是平行光线，并且理解入射角度越大，形成的投影越短，角度越小，形成的投影越长．12．（2023春·九年级单元测试）由阳光形成的影子是投影，由灯光形成的影子是投影（选题“平行”或“中心”）【答案】平行中心【分析】由平行光线形成的投影是平行投影；由同一点（点光源）发出的光线所形成的投影是中心投影．【详解】由阳光形成的影子是平行投影，由灯光形成的影子是中心投影，故答案为：平行；中心【点睛】本题考查了中心投影和平行投影的概念，熟记概念是解题关键．13．（2023·湖南长沙·校联考二模）身高1.6米的小明利用影长测量学校旗杆的高度，如图，当他站在点C处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合在点A处，测量得到米，米，则旗杆的高度是【答案】16米【分析】根据同一时刻物高与影长对应成比例，进行求解即可．【详解】解：设旗杆高度为h，由题意得：，解得：（米）；故答案为：16米．【点睛】本题考查平行投影．熟练掌握同一时刻物高与影长对应成比例，是解题的关键．14．（2023春·九年级单元测试）在相同时刻太阳光线是平行的，如果高米的测杆影长3米，那么此时影长米的旗杆的高度为m【答案】【分析】根据平行投影的性质列方程求解即可．【详解】设旗杆的高度为x米∵测杆的高度：测杆的影长=旗杆的高度：旗杆的影长，∴，解得：米故答案为：【点睛】此题考查平行投影，解题关键是根据平行投影可得比例式，进而列出方程求解．15．（2023春·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图，小明晚上由路A下的B处走到C处时，测得影子的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子的长为2米，已知小明的身高是米，那么路灯的高度等于米．【答案】【分析】根据题意可知：，当小明在处时，，即，当小明在处时，，即，由，可得，设，，可得，可得，再根据，可得：，问题随之得解．【详解】解：如图，根据题意可知：，∵,当小明在处时，，即，当小明在处时，，即，∵身高不变，即，∴，即，∵米，米，米，米，设，，∴，即，即，解得：（经检验，此根是原方程的解），即根据，可得：，解得，，（经检验，此根是原方程的解），即路灯A的高度米．故答案为：．【点睛】本题综合考查了中心投影的特点和规律以及相似三角形性质的运用．解题的关键是利用中心投影的特点可知在这两组相似三角形中有一组公共边，利用其作为相等关系求出所需要的线段，再求公共边的长度．16．（2023·全国·九年级专题练习）小华家客厅有一张直径为，高为的圆桌，有一盏灯到地面垂直距离为，圆桌的影子为，则点到点的距离为．【答案】/4米【分析】根据相似三角形的相似比等于对应高的比，求出即可得到答案．【详解】解：延长交于，如图所示：由题意得，，∵，∴，∴，即，解得，∴（），故答案为：．【点睛】本题考查中心投影，正确将中心投影相关问题转化为相似三角形的问题是解题关键．17．（2023·浙江台州·统考一模）公元前6世纪，古希腊学者泰勒斯用图1的方法巧测金字塔的高度．如图2，小明仿照这个方法，测量圆锥形小山包的高度，已知圆锥底面周长为．先在小山包旁边立起一根木棒，当木棒影子长度等于木棒高度时，测得小山包影子长为（直线过底面圆心），则小山包的高为（取）．【答案】【分析】此题为平行投影，即可得相似三角形，那么可得到，根据圆锥底面周长求出圆锥底面圆的半径，最后推论出高．【详解】连接，过作于，由题意可知，∴∵圆锥底面周长为．∴，解得，∵,∴∴小山包的高为．故答案为：．【点睛】此题考查平行投影，解题关键是根据通过三角形相似，将小山包的高转化为的长进行求解．18．（2023·浙江·一模）日晷是我国古代利用日影测定时刻的一种计时仪器，它由“晷面”和“晷针”组成，古人常用的日晷有水平式日晷（图1）和赤道式日晷（图2）．其中水平式日晷的“晷针”与“晷面”的夹角就是其所在位置的地理纬度且“晷面”与地面平行；赤道式日晷的“晷面”与赤道面平行当太阳光照在日晷上时，晷针的影子就会投向晷面．随着时间的推移，晷针的影子在晷面上慢慢地移动，以此来显示时刻．此外，水平式日晷的“晷面”刻度不均匀，赤道式日晷的“晷面”刻度则是均匀的．

（1）如图1，当水平式日晷放在纬度为（即）位置时，晷针与晷面的夹角为°．（2）如图3，将两种日晷的“晷针”重合，n小时后，两种日晷对应的时刻一致，即两种晷“晷针”的影子所在的直线相交于点．此时与满足的关系式．【答案】【分析】（1）根据水平式日晷的“晷针”与“晷面”的夹角就是其所在位置的地理纬度求解即可；（2）过点作于点，证明，根据平行投影证明，根据，得出即可．【详解】解：（1）∵水平式日晷的“晷针”与“晷面”的夹角就是其所在位置的地理纬度，∴当水平式日晷放在纬度为（即）位置时，晷针与晷面的夹角为；故答案为：；（2）过点作于点，如图所示：

则，∴，根据题意可知，赤道日晷的晷面与晷针垂直，∴，∴，∴，∴，根据平行投影可知，当12点时，点在水平方向的投影为点E，经过n小时后，的投影在上，因此，∵，

∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了平移投影的有关知识，解题的关键是数形结合，发挥空间想象能力，根据平行投影得出．三、解答题19．（2020秋·广东清远·九年级统考期末）小红想利用阳光下的影长测量学校旗杆的高度．如图，他在某一时刻在地面上竖直立一个2米长的标杆，测得其影长米．(1)请在图中画出此时旗杆在阳光下的投影．(2)如果，求旗杆的高．【答案】(1)见解析(2)6.4米【分析】（1）连接，过点A作交于，则为所求；（2）利用相似三角形的性质求解即可．【详解】（1）解：连接，过点A作交于，则为所求，如图，（2）解：∵，，而，，，即，．答：旗杆的高为．【点睛】本题考查作图应用与设计作图，相似三角形的应用，平行投影等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．20．（2022秋·辽宁丹东·九年级统考期末）如图，身高米的小明站在处，路灯底部到的距离为米，此时小明的影长米．

(1)请在图中画出表示路灯高的线段并求出路灯的高度；(2)小明沿所在直线又行走了一段距离到达处，请在图中画出表示小明在处时影长的线段．【答案】(1)，图见解析(2)见解析【分析】（1）过点作，交的延长线于点，为所求，证明，根据相似三角形的性质即可求解；（2）连接并延长交于点，连接，则为所求【详解】（1）解：如图，过点作，交的延长线于点，为所求

由题意知：米，米，米，∴米∵，∴∴

即

解得答：路灯高度为7.5米（2）如图，连接并延长交于点，连接，则为所求

【点睛】本题考查了中心投影，相似三角形的性质与判定，熟练掌握中心投影是解题的关键．21．（2023秋·广东茂名·九年级统考期末）小红想利用阳光下的影长测量学校旗杆的高度，如图，他在某一时刻在地面上竖直立一个2m长的标杆，测得其影长m．

(1)请在图中画出此时旗杆在阳光下的投影；(2)如果m，求旗杆的高．【答案】(1)见解析(2)旗杆的高为．【分析】（1）根据太阳光是平行光，画出图即可；（2）根据太阳光是平行光，可得，可证明，再根据对应边成比例即可得出答案．【详解】（1）解：连接，过A点作交于，则为所求，如图；

（2）∵，∴，而，∴，

∴，即，∴m．

答：旗杆的高为m．【点睛】本题考查投影作图，相似三角形的判断和性质，理解太阳光是平行光，并证明出三角形相似是解题的关键．22．（2023春·河南信阳·九年级校考阶段练习）阳光明媚的天，实践课上，亮亮准备用所学的知识测量教学楼前一座假山AB的高度，如图，亮亮在地面上的点F处，眼睛贴地观察，看到假山顶端A、教学楼顶端C在一条直线上．此时他起身在F处站直，发现自己的影子末端和教学楼的影子末端恰好重合于点G处，测得米，亮亮的身高EF为1.6米．假山的底部B处因有花园围栏，无法到达，但经询问和进行部分测量后得知，米，点D、B、F、G在一条直线上，，，，已知教学楼的高度为16米，请你求出假山的高度．

【答案】【分析】根据同一时刻，物高和影长对应成比例得到，求出的长，进而得到的长，证明，列式求解即可．【详解】解：由题意，得：，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，即：，∴．【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是证明三角形相似．23．（2022秋·陕西西安·九年级校联考期中）李航想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如示意图，李航边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得李航落在墙上的影子高度CD=1.2m，CE=0.6m，CA=30m（点A、E、C在同一直线上）．已知李航的身高EF是1.6m，请你帮李航求出楼高AB．【答案】21.2m【分析】过点D作DN⊥AB，可得四边形CDME、ACDN是矩形，即可证明△DFM∽△DBN，从而得出BN，进而求得AB的长．【详解】解：作DN⊥AB.垂足为N,交EF于M,∴四边形CDME、ACDN是矩形，∴AN=ME=CD=1.2m，DN=AC=30m，DM=CE=0.6m，∴MF=EF-ME=1.6-1.2=0.4m，∴依题意知，EF∥AB，∴△DFM∽△DBN，∴，即：，∴BN=20，∴AB=BN+AN=20+1.2=21.2答：楼高为21.2米．【点睛】本题考查了平行投影和相似三角形的应用，是中考常见题型，要熟练掌握．24．（2022春·全国·九年级专题练习）小明在晚上由路灯走向路灯，当他走到处时，发现身后影子顶部正好触到路灯底部，当他向前再步行到达时，发现他的影子的顶点正好接触到路灯的底部．已知小明的身高是，两个路灯的高度都是，且．(1)求：两个路灯之间的距离；(2)小明在两个路灯之间行走时，在两个路灯下的影长之和是否为定值？如果是定值，直接写出此定值，如果不是定值，求说明理由．【答案】(1)两路灯之间的距离为米