专题06用公式法一元二次方程的解法（3个知识点9种题型2个易错点3种中考考法）（原卷版）-初中数学北师大版9年级上册

【关注公众号：林樾数学】免费获取更多初高中数学学习资料专题06用公式法一元二次方程的解法（3个知识点9种题型2个易错点3种中考考法）【目录】倍速学习五种方法【方法一】脉络梳理法知识点1：求根公式知识点2：用公式法解一元二次方程（重点）知识点3：一元二次方程的判别式（重难点）【方法二】实例探索法题型1：不解方程判断方程根的情况题型2：用公式法解一元二次方程题型3：解系数中有字母的一元二次方程题型4：根据一元二次方程根的情况确定字母参数的值或取值范围题型5：利用一元二次方程根的情况讨论分式有无意义的问题题型6：新定义与一元二次方程综合题型7：一元二次方程与一次函数的综合题型8：用公式法解关于一元二次方程的实际应用题型9：利用根的判别式判断三角形的形状【方法三】差异对比法易错点1：根据一元二次方程根的情况，求方程中所含字母的值或取值范围时，忽略二次项系数不为0这一隐含条件易错点2：考虑问题不全面，误认为方程问题就是一元二次方程问题【方法四】仿真实战法考法1：用公式法解一元二次方程考法2：根据根的判别式判断方程根的情况考法3：由一元二次方程根的情况，求参数的值或取值范围【方法五】成果评定法【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1：求根公式一元二次方程（），当时，有两个实数根：，这就是一元二次方程（）的求根公式．知识点2：用公式法解一元二次方程（重点）用公式法解一元二次方程一般步骤把一元二次方程化成一般形式（）；确定a、b、c的值；求出的值（或代数式）；若，则把a、b、c及的值代入求根公式，求出、；若，则方程无解．知识点3：一元二次方程的判别式（重难点）1.根的判别式1.一元二次方程根的判别式：我们把叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“”表示，记作．2.一元二次方程， 当时，方程有两个不相等的实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程没有实数根．2.根的判别式的应用（1）不解方程判定方程根的情况；（2）根据参数系数的性质确定根的范围；（3）解与根有关的证明题．【方法二】实例探索法题型1：不解方程判断方程根的情况1.不解方程，判别下列方程的根的情况：（1）； （2）；（3）； （4）． 2.当取何值时，关于的方程，（1）有两个不相等的实数根？（2）有两个相等的实数根？（3）没有实数根？题型2：用公式法解一元二次方程3.用公式法解下列方程：（1）； （2）．4.用公式法解下列方程：（1）； （2）．5.用公式法解下列方程：（1）； （2）．6.用公式法解下列方程：（1）； （2）．7.用公式法解下列方程：（1）； （2）．题型3：解系数中有字母的一元二次方程8.用配方法解下列关于x的方程：（）．9.用公式法解下列关于x的方程：（1）； （2）．题型4：根据一元二次方程根的情况确定字母参数的值或取值范围10．（2023•罗山县三模）若关于x的方程x2+2x＝c无实数根，则c的值可以是（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．111．（2023春·江苏宿迁·八年级统考期末）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为．12．（2022秋·江苏盐城·九年级东台市三仓镇中学校联考阶段练习）一元二次方程有实数根，则k的取值范围是．13.已知关于的方程总有实数根，求的取值范围．题型5：利用一元二次方程根的情况讨论分式有无意义的问题14．（2023·安徽合肥·校联考三模）若分式不论x取任何数总有意义，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．题型6：新定义与一元二次方程综合15．（2023•遂宁）我们规定：对于任意实数a、b、c、d有[a，b]*[c，d]＝ac﹣bd，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：[3，2]*[5，1]＝3×5﹣2×1＝13．（1）求[﹣4，3]*[2，﹣6]的值；（2）已知关于x的方程[x，2x﹣1]*[mx+1，m]＝0有两个实数根，求m的取值范围．16．（2022秋·四川遂宁·九年级校考期中）对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”．例如：k＝169，因为62＝4×1×9，所以169是“喜鹊数”．(1)已知一个“喜鹊数”k＝100a+10b+c（1≤a、b、c≤9，其中a，b，c为正整数），请直接写出a，b，c所满足的关系式；判断241

“喜鹊数”（填“是”或“不是”），并写出一个“喜鹊数”；(2)利用（1）中“喜鹊数”k中的a，b，c构造两个一元二次方程ax2+bx+c＝0①与cx2+bx+a＝0②，若x＝m是方程①的一个根，x＝n是方程②的一个根，求m与n满足的关系式；(3)在（2）中条件下，且m+n＝﹣2，请直接写出满足条件的所有k的值．17．（2023秋·重庆北碚·九年级重庆市兼善中学校考期末）对任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字等于百位上的数字与个位上的数字的平均数，那么称这个数为“快乐数”．例如：，因为，所以是“快乐数”．(1)请通过计算判断是不是“快乐数”，并直接写出最大的“快乐数”；(2)已知一个“快乐数”（、、，、、为自然数），且使关于的一元二次方程有两个相等的实数根，若，求满足条件的所有的值．题型7：一元二次方程与一次函数的综合18．（2023春·安徽合肥·八年级统考期末）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则一次函数的大致图象可能是（）A．

B．

C．

D．

19．（2023春·山东济南·八年级统考期末）关于x的一元二次方程有一个根是，若一次函数的图象经过第一、二、四象限，设，则t的取值范围是（

）A． B． C． D．题型8：用公式法解关于一元二次方程的实际应用20.某商场销售一批衬衫，进货价为每件元，按每件元出售，一个月内可售出件．已知这种衬衫每件涨价元，其销售量要减少件．为了减少库存量，且在月内赚取元的利润，售价应定为每件多少元？题型9：利用根的判别式判断三角形的形状21．（2022•天津模拟）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx﹣a+c＝0，其中a，b，c为△ABC的三边．（1）若x＝1是方程的根，判断△ABC的形状，并说明理由；（2）若方程有两个相等的实数根，判断△ABC的形状，并说明理由．22．（2021秋·新疆乌鲁木齐·九年级校考期中）已知：关于x的一元二次方程(1)已知x=2是方程的一个根，求m的值；(2)以这个方程的两个实数根作为△ABC中AB、AC（AB<AC）的边长，当BC=时，△ABC是直角三角形，求此时m的值．【方法三】差异对比法易错点1：根据一元二次方程根的情况，求方程中所含字母的值或取值范围时，忽略二次项系数不为0这一隐含条件23．（2023春·北京西城·九年级北师大实验中学校考阶段练习）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．(1)求的取值范围；(2)当取满足要求的最小正整数时，求方程的解．易错点2：考虑问题不全面，误认为方程问题就是一元二次方程问题24．（2023春·上海杨浦·八年级校考期中）解关于的方程：．25．（2022秋·上海奉贤·八年级校考期中）已知关于的方程(1)当取什么值时，方程只有一个根？(2)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．【方法四】仿真实战法考法：用公式法解一元二次方程26．（2021•无锡）（解方程：2x（x﹣2）＝1；27．（2020•无锡）解方程：x2+x﹣1＝0；考法2：根据根的判别式判断方程根的情况28．（2023•河南）关于x的一元二次方程x2+mx﹣8＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根29．（2023•滨州）一元二次方程x2+3x﹣2＝0根的情况为（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能判定30．（2023•广元）关于x的一元二次方程2x2﹣3x+＝0根的情况，下列说法中正确的是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定31．（2023•内江）对于实数a，b定义运算“⊗”为a⊗b＝b2﹣ab，例如：3⊗2＝22﹣3×2＝﹣2，则关于x的方程（k﹣3）⊗x＝k﹣1的根的情况，下列说法正确的是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定32．（2023•广安）已知a、b、c为常数，点P（a，c）在第四象限，则关于x的方程ax2+bx+c＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断33．（2023•泸州）关于x的一元二次方程x2+2ax+a2﹣1＝0的根的情况是（）A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．实数根的个数与实数a的取值有关考法3：由一元二次方程根的情况，求参数的值或取值范围34．（2023•北京）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为（）A．﹣9 B． C． D．935．（2023•兰州）关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，则b2﹣2（1+2c）＝（）A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．436．（2023•聊城）若一元二次方程mx2+2x+1＝0有实数解，则m的取值范围是（）A．m≥﹣1 B．m≤1 C．m≥﹣1且m≠0 D．m≤1且m≠037．（2023•眉山）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣2＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A． B．m＞3 C．m≤3 D．m＜338．（2023•辽宁）若关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．39．（2023•宁夏）方程x2﹣4x﹣m＝0有两个相等的实数根，则m的值为．40．（2023•泰安）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣a＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是．【方法五】成功评定法一、单选题1．用公式法解方程时，a，b，c的值分别为（

）A．5，6，8 B．5，， C．5，，8 D．5，6，2．（2023秋·河南开封·九年级开封市第十三中学校考期末）关于的一元二次方程有实数根，则实数满足（

）A．且 B． C．且 D．3．一元二次方程根的情况是（

）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．无法确定4．（2023·安徽六安·统考二模）关于的一元二次方程无实数根，则一次函数的图象不经过（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．（2023秋·河南许昌·九年级许昌市第一中学校联考期末）对于实数a，b，定义新运算：，若关于x的方程有两个相等的实数根，则k的值是（

）A．4 B． C． D．6．（2023秋·江苏宿迁·九年级统考期末）从，0，1，2，3中任取一个数作为a的值，既要使关于x的方程有实数根，又要满足，则a符合条件的概率为（

）A． B． C． D．17．（2023秋·辽宁辽阳·九年级统考期末）对于实数a，b定义运算“*”为，例如，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（

）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定8．（2022秋·云南昭通·九年级统考期中）若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是（

）A． B． C．且 D．且二、填空题9．（2022秋·山西临汾·九年级校考阶段练习）若关于x的方程有两个相等的实数根，则的值为．10．（2023·全国·九年级专题练习）已知关于x的方程有实数根，则a的取值范围是．11．（2022秋·湖北荆州·九年级统考期中）对于实数u、v定义一种运算“*”为：．若关于x的方程有两个相等的实数根，求满足条件的实数a的值为．12．（2022秋·云南昭通·九年级统考期中）一元二次方程的根的情况是．13．（2022春·江苏无锡·八年级宜兴市实验中学校考阶段练习）已知无论取何值，分式总有意义，则的取值范围是．14．（2023·辽宁·统考中考真题）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．15．（2020秋·广东广州·九年级校考期中）已知分别为（）的三边的长，则关于的一元二次方程根的情况是．16．（2023秋·辽宁辽阳·九年级统考期末）已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是．17．（2023春·江苏无锡·八年级统考期末）已知实数x、y满足，则．三、解答题18．（2023秋·河北秦皇岛·九年级统考期末）已知关于x的一元二次方程：．(1)当时，解方程；(2)若的一个解是，求k．19．（2022秋·上海徐汇·八年级上海市徐汇中学校考期中）解方程：20．（2022秋·辽宁丹东·九年级统考期末）解方程：．21．（2023春·广东惠州·九年级校考开学考试）已知关于的方程只有一个实数根，求实数的值．22．（2023春·山东济宁·八年级济宁学院附属中学校考期中）已知关于的方程．(1)求证：无论取何值，这个方程总有实数根；(2)若等腰的底边长，另两边、恰好是这个方程的两个根，求的周长．23．（2023·广东广州·统考二模）已知正方形中，，E是边上的动点，连接和．(1)尺规作图：在图中分别作线段和的中点F和G，连接FG；（不写作法，不说明理由，写明结论并保留作图痕迹）(2)当时，求（1）中所作的线段的长度．24．（2022秋·上海·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB