专题08确定二次函数的表达式（1个知识点4种题型1个易错点）（解析版）-初中数学北师大版9年级上册

专题08确定二次函数的表达式（1个知识点4种题型1个易错点）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.用待定系数法求二次函数的表达式（重点难点）【方法二】实例探索法题型1.用一般式求函数的表达式题型2.根据抛物线的对称轴确定表达式题型3.通过列方程的方式求函数的表达式题型4.借助特殊四边形的顶点坐标求函数的表达式【方法三】差异对比法易错点：没有正确运用顶点坐标公式【方法三】成果评定法【学习目标】掌握用待定系数法确定二次函数的表达式的方法。能确定实际问题中的二次函数的表达式。会用二次函数解决相关的计算题。重点：用待定系数法确定二次函数的表达式。难点：用二次函数解决相关的计算题。【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.用待定系数法求二次函数的表达式（重点难点）一．待定系数法求二次函数解析式（1）二次函数的解析式有三种常见形式：①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）；②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标；③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；（2）用待定系数法求二次函数的解析式．在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．二．二次函数的三种形式二次函数的解析式有三种常见形式：①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y轴的交点坐标是（0，c）；②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）；③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）．【例1】一个二次函数的图象经过（0，0），（﹣1，﹣1），（1，9）三点，求这个二次函数的解析式．【解题思路】设所求二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），再把（0，0），（﹣1，﹣1），（1，9）代入函数解析式，得到关于a、b、c的三元一次方程组，解方程组即可求a、b、c，进而可得函数解析式．【解答过程】解：设所求二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），根据题意，得c=0a解得a=4b=5∴所求二次函数的解析式为y＝4x2+5x．【例2】.设二次函数的图象的顶点坐标为（﹣2，2），且过点（1，1），求这个函数的关系式．【解题思路】由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式y＝a（x+2）2+2，然后把点（1，1）代入求出a的值即可．【解答过程】解：设这个函数的关系式为y＝a（x+2）2+2，把点（1，1）代入y＝a（x+2）2+2得9a+2＝1，解得a=−所以这个函数的关系式为y=−19（x【例3】．（2023·广东深圳·三模）如图，抛物线经过点，点，且．

(1)求抛物线的表达式；(2)如图，点是抛物线的顶点，求的面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据已知得出点，进而待定系数法求解析式即可求解．（2）根据解析式化为顶点式求得，待定系数法求得直线的解析式，过点作轴于点，交于点，则，进而根据三角形的面积公式即可求解．【详解】（1）解：∵抛物线经过点，点，且．∴，即，设抛物线解析式为，将代入得，解得：，∴抛物线解析式为（2）解：∵，∴,如图所示，过点作轴于点，交于点，

设直线的解析式为，将代入得，解得：，∴直线的解析式为，当时，，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，面积问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．【方法二】实例探索法题型1.用一般式求函数的表达式1.已知一个二次函数的图象经过（﹣1，10），（1，4），（2，7）三点．求这个二次函数的解析式，并求出它的开口方向、对称轴和顶点坐标．【解题思路】设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，把（﹣1，10），（1，4），（2，7）三点坐标代入，列方程组求a、b、c的值，确定函数解析式，根据二次函数解析式可知抛物线的对称轴及顶点坐标．【解答过程】解：设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，把（﹣1，10），（1，4），（2，7）各点代入上式得a−解得a=2b=则抛物线解析式为y＝2x2﹣3x+5；由y＝2x2﹣3x+5＝2（x−34）2+318可知，抛物线对称轴为直线x=3题型2.根据抛物线的对称轴确定表达式2．（2023·江苏无锡·一模）请写出一个函数的表达式，使其图象是以直线为对称轴，开口向上的抛物线：．【答案】【分析】已知对称轴，根据顶点坐标，开口方向，可写出满足条件的二次函数解析式．【详解】解：根据题意，得二次函数的顶点坐标为，根据顶点式，得，设，，则函数的表达式为（本题答案不唯一）．故答案为：（答案不唯一）．【点睛】本题考查了二次函数的性质与解析式的关系，正确写抛物线的顶点坐标是解题的关键．3．（23·24九年级上·江苏南通·阶段练习）已知二次函数图象的对称轴是．(1)求二次函数的解析式；(2)将二次函数图象绕顶点旋转180度得到新的抛物线．得到二次函数的解析式为________；(3)若二次函数的图象满足当时，二次函数有最大值1，求的值．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）根据抛物线的对称轴是可得，求出的值即可得到抛物线的解析式；（2）将原抛物线化为顶点式得出顶点为，再根据原抛物线图象绕顶点旋转180度得到新的抛物线，可得顶点不变，开口方向相反，由此即可得到答案；（3）分情况讨论：当时，即时；当时；当时；二次函数的性质分别进行计算即可得到答案．【详解】（1）解：二次函数图象的对称轴是，，解得：，抛物线的解析式为：；（2）解：，原抛物线的顶点为，将二次函数图象绕顶点旋转180度得到新的抛物线，新抛物线的顶点为，开口方向与原抛物线开口方向相反，，新抛物线的解析式为：；（3）解：，对称轴为直线，当时，即时，二次函数在内，随的增大而增大，当时，最大为1，，解得：或（不符合题意，舍去）；当时，二次函数在内，随的增大而减小，当时，最大为1，，解得：或（不符合题意，舍去）；当时，当时，最大，此时最大值为2，不符合题意；综上所述，的值为或．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，求二次函数的解析式，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象与性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键．题型3.通过列方程的方式求函数的表达式4．（23·24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，抛物线交轴于A，两点，交轴于点，对称轴是直线，，，请解答下列问题；(1)求抛物线的函数解析式；(2)直接写出抛物线的顶点的坐标，并判断与的位置关系，不需要说明理由．【答案】(1)(2)顶点坐标，，见解析【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式即可；（2）根据对称轴求抛物线的顶点E的坐标，再利用待定系数法求直线和的解析式，再根据k相等两直线平行即可解答．【详解】（1）解：∵对称轴是直线，，∴，根据题意得：，解得：，∴抛物线的解析式为：．（2）解：顶点坐标，，理由如下：当时，，∴顶点坐标，当时，，∴，设直线的解析式为：，把和代入得：，解得：，∴直线的解析式为：，同理可得：直线的解析式为：．∴．【点睛】本题主要考查了利用待定系数法求抛物线和直线的解析式，一次函数的解析式中k的值确定两直线平行的位置关系、二次函数的性质等知识点，熟练掌握利用待定系数法求函数的解析式．5．（23·24九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过，两点，与x轴交于点B．

(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标及此时距离之和的最小值；(3)如果点和点在函数的图象上，且，，求的值．【答案】(1)(2)(3)7【分析】(1)用待定系数法求抛物线解析式，将代入得，，利用对称轴与点A坐标得方程组，解方程组即可．(2)由点B与点A关于对称轴对称，连接交对称轴于点M，点M满足条件，让，求出点点，用待定系数求的解析式为，当时，可求点M，然后利用勾股求出即可．(3)由点和点在函数的图象上，代入解析式得，，由，，可求，，解方程得，，代入代数式求之即可．【详解】（1）∵，∴，∵对称轴为直线，∴，∵抛物线经过，∴，解得，抛物线解析式为．（2）∵点B与点A关于抛物线的对称轴对称，连接交对称轴于点M，点M满足条件，

∴，解得，，∴点，设的解析式为，把点B、点C坐标代入得：，解得，∴的解析式为，当时，,点，∴，在中，，∴点M到点A，点C距离之和的最小值为，（3）∵点和点在函数的图象上，∴，，∵，，∴，即，∴，∴，解得，，∴．【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，一次函数解析式，轴对称性质，两点之间距离最短，二元一次方程组解法，完全平方公式，求代数式的值，熟练掌握二次函数的相关知识是解题关键．题型4.借助特殊四边形的顶点坐标求函数的表达式6.如图所示，四边形ABCD是平行四边形，过点A、C，D作抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），点A，B，D的坐标分别为（﹣2，0），（3，0），（0，4），求抛物线的解析式．【解题思路】根据平行四边形的性质求出点C的坐标，再利用待定系数法即可求出抛物线的解析式．【解答过程】解：∵点A、B、D的坐标分别为（﹣2，0）、（3，0）、（0，4），且四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝5，∴点C的坐标为（5，4）．∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点A、C、D，∴4a−解得a=−故抛物线的解析式为y=−27x2【方法三】差异对比法易错点：没有正确运用顶点坐标公式顶点式若已知抛物线的顶点或对称轴、最值，则设为顶点式．这顶点坐标为（h，k），对称轴直线x=h，最值为当x=h时，y最值=k来求出相应的系数.7.已知二次函数当x＝1时有最大值是﹣6，其图象经过点（2，﹣8），求二次函数的解析式．【解题思路】由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式y＝a（x﹣1）2﹣6，然后把（2，﹣8）代入求出a的值即可．【解答过程】解：设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2﹣6，把（2，﹣8）代入得a（2﹣1）2﹣6＝﹣8，解得a＝﹣2．所以抛物线解析式为y＝﹣2（x﹣1）2﹣6．【方法四】成果评定法一．选择题（共10小题）1．（2023秋•徐汇区期末）下列抛物线中，对称轴为直线的抛物线的表达式是A． B． C． D．【分析】分别求出题目中四个选项中所给出的抛物线的对称轴即可．【解答】解：抛物线的对称轴为轴；选项不符合题意；抛物线的对称轴为轴；、选项不符合题意；抛物线，该抛物线的对称轴为；选项不符合题意；抛物线，该抛物线的对称轴为，选项符合题意．故选：．【点评】此题主要考查了二次函数的对称轴，熟练掌握求二次函数对称轴的方法与技巧是解决问题的关键．2．（2023秋•吉林期末）如图①，某建筑物的屋顶设计成横截面为抛物线形（曲线的薄壳屋顶．已知它的拱宽为4米，拱高为0.8米．为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的平面直角坐标系求解析式．图②是以所在的直线为轴，所在的直线为轴建立的平面直角坐标系，则图②中的抛物线的解析式为A． B． C． D．【分析】设图②中的抛物线的解析式为，根据点，，的坐标，利用待定系数法，即可求出图②中的抛物线的解析式．【解答】解：设图②中的抛物线的解析式为，将，，代入得：，解得：，图②中的抛物线的解析式为．故选：．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，根据图中点的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式是解题的关键．3．（2023秋•长春期末）将二次函数化成的形式为A． B． C． D．【分析】利用配方法把一般式化为顶点式，判断即可．【解答】解：，故选：．【点评】本题考查的是二次函数的三种形式，正确利用配方法把一般式化为顶点式是解题的关键．4．（2023秋•浙江月考）有一二次函数，已知其过，，其与的形状一致，那么该二次函数的表达式为A． B． C． D．【分析】由与的形状一致，设该二次函数的表达式为，把，代入可得答案．【解答】解：由与的形状一致，设该二次函数的表达式为，把，代入得：，解得，；故选：．【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是掌握待定系数法．5．（2023秋•长春期末）将函数整理为顶点式为A． B． C． D．【分析】运用配方法将抛物线解析式整理为二次函数的顶点式即可得出答案．【解答】解：．故选：．【点评】本题考查了二次函数的三种形式，熟练掌握配方法是解本题的关键．6．（2023秋•天长市期中）已知抛物线的顶点坐标为，则该抛物线的解析式为A． B． C． D．【分析】根据题意，抛物线的顶点坐标为，得到对称轴经过点，列出式子，求出答案．【解答】解：由题意得：抛物线的顶点坐标为，对称轴经过点，，解得：，该抛物线的解析式为：．故选：．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的性质及待定系数法是解答本题的关键．7．（2023•襄垣县一模）将二次函数化成的形式，正确的是A． B． C． D．【分析】根据完全平方公式变形，把一般式化为顶点式，得到答案．【解答】解：，故选：．【点评】本题考查的是二次函数的三种形式，正确运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键．8．（2023秋•烟台期中）小明在用“描点法”探究二次函数的性质时，画出了以下表格：0123遗憾的是，部分数据已经遗忘（如表所示），小明只记得遗忘的三个数，，中有两个数相同．根据以上信息，小明探究的二次函数表达式可能是A． B． C． D．【分析】分别求出各选项抛物线的对称轴，根据每两个数相同，分别判断即可得到答案．【解答】解：、的对称轴为直线，、的对称轴为直线，、的对称轴为直线，、的对称轴为直线，若与相同，则抛物线的对称轴为直线，只有选项符合；若与相同，则抛物线的对称轴为直线，没有选项符合；若与相同，则抛物线的对称轴为直线，选项、均符合，但当时，故不符合，当时，，故不符合；与相同，选项符合，故选：．【点评】此题考查了二次函数的图象与性质，抛物线关于对称轴的对称性，正确理解二次函数的图象与性质是解题的关键．9．（2023秋•宿松县期中）已知某抛物线与二次函数的图象的开口大小相同，开口方向相反，且顶点坐标为，则该抛物线对应的函数表达式为A． B． C． D．【分析】先设顶点式，然后根据二次函数的性质确定的值．【解答】解：抛物线的顶点坐标为，抛物线的解析式为，抛物线与二次函数的图象的开口大小相同，开口方向相反，，抛物线的解析式为．故选：．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．10．（2023秋•西湖区校级期中）已知某二次函数上两点，，，，当时，；当时，，则该二次函数的解析式可以是A． B． C． D．【分析】依据题意，由二次函数的图象与性质即可判断得解．【解答】解：由题意，当二次函数开口向上时，在对称轴左边，随的增大而减小；在对称轴右边，随的增大而增大．当时，，．．当时，随的增大而增大．当时，，．．当时，随的增大而减小．抛物线的对称轴为，开口向上．故选：．【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并理解是关键．二．填空题（共8小题）11．（2023秋•永兴县期中）如图，函数的图象，则其解析式为．【分析】根据图象得出顶点的坐标，即可求得解析式．【解答】解：由图象可知抛物线的顶点坐标为所以函数的解析式为．故答案为．【点评】本题考查了待定系数法求解析式，根据图象得出顶点是本题的关键．12．（2023秋•陕州区期中）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，则该抛物线的解析式是．【分析】根据抛物线与轴交于点易得点的坐标为，根据，可得点、的坐标，再利用待定系数法即可求得二次函数的解析式．【解答】解：当时，，，，，，，，将，代入得，，解得，该抛物线的解析式是．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是本题的关键．13．（2023秋•交城县期中）把二次函数化为顶点式为．【分析】直接用配方法将二次函数解析式化成顶点式即可求解．【解答】解：，故答案是：．【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数的解析式有三种常见形式：①一般式：，，是常数，，该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与轴的交点坐标是；②顶点式：，，是常数，，其中为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为；③交点式：，，是常数，，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与轴的两个交点坐标，，，．14．（2023秋•东城区校级期中）将二次函数用配方法化成的形式为．【分析】将5裂项为，再根据完全平方公式进行配方，即可解答．【解答】解：．故答案为：．【点评】本题主要考查了将二次函数表达式化为顶点式，解题的关键是掌握完全平方公式．15．（2023秋•咸丰县期中）若抛物线与抛物线的形状相同，且经过点，则它的解析式为或．【分析】根据抛物线与抛物线的形状相同，可得出，再由经过点，，代入可求出，从而得出这个二次函数的解析式．【解答】解：抛物线与抛物线的形状相同，，抛物线为，经过点，或，解得或这个二次函数的解析式为或．故答案为：或．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，在解答时运用抛物线的性质求出值是关键．16．（2023秋•闵行区月考）已知抛物线的顶点在直线上，且开口向下，请写出一个满足上述条件的抛物线的表达式：（答案不唯一）．【分析】先根据开口向下可知，再根据顶点在上，即，整理得，然后确定符合条件的值即可解答．【解答】解：抛物线开口向下，，抛物线的顶点在直线上，，即，如：当，符合题意．故答案为：（答案不唯一）．【点评】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，正确进行计算是解题关键．17．（2023秋•淄川区期中）已知点为抛物线上一动点．当时，的取值范围是，则抛物线的解析式为或．【分析】分和两种情况考虑，依据二次函数的性质找出关于、的二元一次方程组，解方程组即可得出结论．【解答】解：根据题意得：①当时，当时函数有最大值4，时有最小值1，有，解得：，此时抛物线的解析式为；②当时，当时函数有最小值1，时有最大值4，有，解得：，此时抛物线的解析式为．综上可知：抛物线的解析式为或．【点评】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，解决该题型题目时，分类讨论是关键．18．（2023秋•高陵区月考）已知抛物线与二次函数的图象的开口大小相同，方向相反，且顶点坐标为，则该抛物线对应的函数表达式为．【分析】先根据条件确定，设抛物线解析式为，把顶点坐标代入即可．【解答】解：抛物线与二次函数的图象的开口大小相同，方向相反，抛物线，设抛物线解析式为，把顶点坐标代入得：，故答案为：．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，正确进行计算是解题关键．三．解答题（共8小题）19．（2023秋•长春期末）已知二次函数的图象经过点、，求这个二次函数的表达式．【分析】把2个已知点的坐标分别代入中得到关于、的方程组，然后解方程组即可．【解答】解：把、分别代入数得，解得，所以这个二次函数解析式为．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数图象上点的坐标特征．20．（2023秋•明光市期中）已知抛物线经过点和．（1）求该抛物线的表达式及顶点坐标；（2）若点和点是该抛物线上两个不同的点，已知，求的值．【分析】（1）根据抛物线经过点和，可以求得，的值，然后将函数解析式化为顶点式，即可得到该抛物线的顶点坐标；（2）根据（1）中的抛物线解析式，求出，再求出即可求出．【解答】解：（1）经过点和，，解得，，该抛物线的顶点坐标为，即抛物线的函数表达式是，顶点坐标为；（2）由（1）知：，把代入得：，，，把代入得：，解得：或，当时，重合，故．【点评】本题考查待定系数法、顶点坐标以及二次函数的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．21．（2022秋•新化县期末）如图，一次函数的图象与轴交于点，二次函数的图象与该一次函数图象交于、两点，点坐标为．（1）求一次函数及二次函数表达式；（2）直线与抛物线交于点、与直线交于点，①当点位于点的上方时，结合函数的图象直接写出的取值范围；②当点在线段上时，求线段长度的最大值及此时点的横坐标．【分析】（1）利用待定系数法即可求得一次函数及二次函数表达式；（2）①根据图象即可求解；②设，则，根据题意得到，利用二次函数的性质即可求得线段长度的最大值及此时点的横坐标．【解答】解：（1）一次函数的图象过点，，解得，一次函数的表达式为，当时，，，将点、的坐标代入得，解得，二次函数表达式为；（2）①，．当点位于点的上方时，观察图象，则或；②设，则，当点在线段上时，则，，，当时，有最大值，此时点的横坐标为．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．22．（2023秋•长春期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，顶点为．（1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式．（2）求顶点的坐标．（3）当时，直接写出的取值范围．【分析】（1）把点和点坐标代入中得到关于、的方程组，然后解方程组求出、即可；（2）把（1）中的解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质求解．（3）根据二次函数的性质求解即可．【解答】解：（1）抛物线经过点和点，，解得，这条抛物线所对应的二次函数的表达式为；（2），顶点的坐标为；（3）时，或4，根据图象得当时，．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的性质．23．（2023秋•瑞安市期中）已知二次函数的图象过点，点和点．（1）若点，求二次函数表达式；（2）若，．①当时，求最大值与最小值的差（用含的代数式表示）；②证明：．【分析】（1）由抛物线过点，点可得抛物线解析式为，进而求解．（2）由抛物线解析式可得抛物线对称轴，由可得当时，取最小值，进而求解．【解答】解：（1）设，把代入得，解得，，（2）图象过，点，，则，，当时，图象有最小值，此时最小值为，当时，图象有最小值，此时最大值为，；（3）方法一：图象过，点，对称轴为直线，当时，图象有最小值，此时最小值为，当时，存在，．【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数的表达形式，掌握待定系数法求函数解析式，掌握二次函数的性质．24．（2023秋•朝阳区校级期中）已知抛物线经过点，．（1）求该抛物线的解析式及顶点坐标；（2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；（3）若点和都