专题01锐角三角函数 （3个知识点5种题型1个易错点1种中考考法）（原卷版）-初中数学北师大版9年级上册

专题01锐角三角函数（3个知识点5种题型1个易错点1种中考考法）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.正切的概念（重点）知识点2.坡度与坡角（重点）知识点3.正弦、余弦（重点、难点）【方法二】实例探索法题型1.计算锐角的三角函数值题型2.构造直角三角形求三角函数值题型3.三角函数与实际问题题型4.三角函数与旋转问题题型5.根据三角函数求边长【方法三】差异对比法易错点：没有正确掌握三角函数关系的转化【方法四】仿真实战法考法.锐角三角函数定义【方法五】成果评定法【学习目标】掌握坡度的概念以及一个锐角的正弦、余弦及正切的概念。能够利用三角函数来算计三角形的边长。重点：锐角的正弦、余弦、正切的概念。难点：锐角三角函数的简单应用。【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.正切的概念（重点）正切：在Rt△ABC中，∠C＝90°，锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．即tanA＝∠A的对边除以∠A的邻边＝．【例1】（2023秋·四川成都·九年级校考阶段练习）如图，在平行四边形中，对角线相交于点，垂直于边的延长线于点，垂直于边的延长线于点，且．

(1)求证：四边形是菱形；(2)当，菱形的面积为时，求的值．【变式】．（2022秋•池州期末）如图，△ABC在边长为1个单位的方格纸中，△ABC的顶点在小正方形顶点位置，那么∠ABC的正切值为．知识点2.坡度与坡角（重点）（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式．（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα．（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．应用领域：①测量领域；②航空领域③航海领域：④工程领域等．【例2】．（2023春•萧县月考）如图，传送带和地面所成斜坡的坡度i＝1：3，如果它把某物体从地面送到离地面10米高的地方，那么该物体所经过的路程是米．知识点3.正弦、余弦（重点、难点）在Rt△ABC中，∠C＝90°．（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．即sinA＝∠A的对边除以斜边＝．（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．即cosA＝∠A的邻边除以斜边＝．【例3】（2023秋·上海普陀·九年级校考期中）在中，，那么的值是（

）A．2 B． C． D．【变式】（2023秋·河北石家庄·九年级石家庄市第二十七中学校考期中）如图，在中，，，，则等于（

）

A． B． C． D．【方法二】实例探索法题型1.计算锐角的三角函数值1．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市光华中学校校考期中）在中，若，，，则．2．（2023秋·上海青浦·九年级校考阶段练习）在中，，，，则的余弦值为.3．（2023秋·重庆九龙坡·九年级重庆市育才中学校考阶段练习）如图，在中，，，，于点D，则的值为．题型2.构造直角三角形求三角函数值4．（2023·广东湛江·统考三模）在正方形网格中的位置如图所示，则的值为．5．（2023·广东湛江·统考一模）如图，中，，是边上的中线，分别过点C，D作的平行线交于点E，且交于点O，连接．

(1)求证：四边形是菱形；(2)若，求的值．题型3.三角函数与实际问题6．（2023春•宣城月考）如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，若坡比i＝1：2.5，则此斜坡的水平距离AC为（）A．75m B．50m C．45m D．30m7．（2022秋•金安区校级期末）河堤横断面如图所示，堤高BC＝6米，迎水坡AB的坡比为1：3，则AB的长为（）A．12米 B．米 C．米 D．米题型4.三角函数与旋转问题8．（2023秋·上海黄浦·九年级统考期中）如图，在中，，是的角平分线，．将绕点A旋转，如果点落在射线上，点落在点处，连接，那么的正切值为．

9．（2023·浙江·九年级专题练习）在平行四边形中（顶点按逆时针方向排列），为锐角，且．(1)如图1，求边上的高的长．(2)是边上的一动点，点同时绕点按逆时针方向旋转得点．①如图2，当点落在射线上时，求的长．②当是直角三角形时，求的长．10．（2023·广东深圳·深圳市福田区上步中学校考三模）问题背景：小李在探究几何图形的时候，发现了一组非常神奇的性质：如图1，等边三角形中，连接可以得到，好学的他发问取的中点，得到的是特殊三角形吗？请说明理由；迁移应用：如图2，在正方形中，点O为的中点，构造正方形绕O点进行旋转，，连接，求的值；联系拓展：如图3，等腰，中，，当绕B点旋转的过程中取的中点M，N，连接，若，且时，直接写出的长度．

题型5.根据三角函数求边长11．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨风华中学校考期中）在中，，，，则的长为（

）A．10 B．24 C．5 D．1212．（2023秋·黑龙江大庆·九年级校联考阶段练习）如图，在中，点D，E分别是边的中点，于点F，，，则的长为（

）

A． B．4 C． D．813．（2023·江苏无锡·无锡市民办辅仁中学校考一模）如图，在中，，，，则．14．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，四边形是边长为8的正方形，是边延长线上的一点，．点在该正方形的边上运动，当时，设直线与直线相交于点，则的长为．

15．（2023秋·上海闵行·九年级统考期中）在中，，，如果，那么．17．（2023秋·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图，在中，，．以点A为圆心、长为半径作弧，交边于点，取线段的中点、边的中点，连接．若，则线段的长为．

18．（2023秋·吉林长春·九年级校联考阶段练习）如图，在中，，，．求的大小和的长．19．（2023春·浙江温州·九年级校联考阶段练习）如图，在矩形中，O是与的交点，过点O的直线分别与，的延长线交于点E，F．

(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若，，，求的长．20．（2023秋·山东聊城·九年级校考阶段练习）在矩形中，对角线，交于点，过点作于点．

(1)求证；(2)求证：(3)若，，求的长．【方法三】差异对比法易错点：没有正确掌握三角函数关系的转化21．（2022秋•怀宁县月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则cosB的值为（）A． B． C． D．22．（2022秋•池州期末）在Rt△ACB中，∠C＝90°，，则sinB的值为（）A． B． C． D．23．（2023春•金安区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝2，则sinB＝．【方法四】仿真实战法考法.锐角三角函数定义1．（2022•荆州）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，OC：BC＝1：2，连接AC，过点O作OP∥AB交AC的延长线于P．若P（1，1），则tan∠OAP的值是（）A． B． C． D．32．（2022•滨州）在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则sinA的值为．3．（2022•扬州）在△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，若b2＝ac，则sinA的值为．4．（2022•湖州）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3．求AC的长和sinA的值．【方法五】成果评定法一、单选题1．（2023秋·陕西西安·九年级高新一中校考期中）如图，在中，，，垂足为点D，若，，那么（

）A． B． C． D．2．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨风华中学校考阶段练习）在中，，若，，则的值为（

）A． B．2 C． D．3．（2023秋·黑龙江大庆·九年级校联考期中）在中，已知，，，则下列结论中正确的是（）A． B． C． D．4．（2023秋·江苏无锡·九年级校考阶段练习）在中，，那么的值是（）A．2 B． C． D．5．（2023秋·河北邢台·九年级邢台市第七中学校考期中）已知，则的值是（）A．1 B． C． D．26．（2023秋·山东泰安·九年级校考阶段练习）中，的对边分别为．已知，则的值为（

）A． B． C． D．7．（2023秋·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考阶段练习）如图，和均为等腰直角三角形，，，，点B在线段上，已知，，则的值为（

）A． B． C． D．38．（2023秋·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图，四边形为正方形，点在边上，且，点在边上，且．若，，则的值为（

）A． B． C． D．9．（2023秋·山东聊城·九年级校考阶段练习）如图，在内有边长分别为、、的三个正方形，则、、满足的关系式是（

）

A． B． C． D．10．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级校联考期中）如图1，在中，动点P从点A出发沿折线方向匀速运动至点A停止，设点P的运动路程为x，线段的长度为y，图2是表示y与x的函数关系的图象，其中点E为曲线的最低点，下列结论①，②，③的面积为，④中边上的高为4，其中正确的个数为（

）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题11．（2023秋·山东聊城·九年级校联考阶段练习）在中，，，，则的值为．12．（2023秋·黑龙江大庆·九年级校联考期中）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点、、、都在这些小正方形的顶点上，、相交于点，则t的值是．

13．（2023秋·江西九江·九年级统考阶段练习）如图，在菱形中，，，点E在边上，，点P从点A出发，沿着的路线向终点B运动，连接，若是以为腰的等腰三角形，则的长可以是．

14．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市萧红中学校考开学考试）在中，，，，则的值为．15．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在中，，点G为的重心，若，，那么的长等于．

16．（2023秋·江苏常州·九年级统考期末）如图，中，，点D在上，连接，将沿翻折，使得点C落在边上的点E处，则．

17．（2023·广东深圳·深圳市桂园中学校考模拟预测）在中，，点D是边上一点（不含B、C两个端点），将沿折叠得到，当所在的直线与的一边垂直时，点D到边的距离是．

18．（2023·广东河源·统考三模）如图，在正方形中，点E、F分别在边上，且，交于M点，交于N点．下列结论：①；②若F是的中点，则；③连接，则为等腰直角三角形．其中正确结论的序号是（把你认为所有正确的都填上）．

三、作图题19．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨风华中学校考阶段练习）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段的端点均在小正方形的顶点上，请按要求画出图形，使得它们的顶点均在小正方形的顶点上．

(1)在图中画一个以为直角边的直角，且为轴对称图形：(2)画一个面积为8的，且；(3)请直接写出的正弦值．四、证明题20．（2023·北京·北京四中校考模拟预测）如图，在四边形中，对角线垂直平分对角线，与相交于点，点是上一点，且．(1)求证：四边形AECD是菱形．(2)若点是的中点，，则的值为．21．（2023秋·上海青浦·九年级校考阶段练习）如图，在中，，为边上一点，且，若与的面积比为∶．

(1)求证：；(2)当时，求．22．（2023秋·吉林长春·九年级吉林大学附属中学校考阶段练习）如图，在中，点E，F分别在上，且，连结，，且与相交于点O．

(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若平分，，，求四边形的面积．23．（2023春·吉林长春·九年级校考期中）如图，在矩形中，连结，延长到点，使，过点作的平行线与的延长线交于点．

(1)求证：四边形是菱形；(2)连结，若，则的值为________．24．（2023·广东河源·二模）如图，矩形中，，点M是的中点，连接．将沿着折叠