湖南省益阳市沅江市新湾中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试卷

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年湖南省益阳市沅江市新湾中学九年级（上）开学数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列方程是一元二次方程的是(

)A.x2−2x+1x=02.若关于x的一元二次方程kx2+2x+A.k≥−1 B.k≤1 C.k≥−3.如图，在一块长为36米，宽为25米的矩形空地上修建三条宽均为x米的笔直小道，其余部分(即图中阴影部分)改造为草坪进行绿化，若草坪的面积为840平方米，求x的值.根据题意，下列方程正确的是(

)A.36×25−36x−25x=4.抛物线y=−2x2+1的图象上有两点A(−1A.y1<y2 B.y1=5.如图是抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0①2a+b=0；

②abc>0；

③方程ax2+bx+A.5 B.4 C.3 D.26.某茶杯的过最低点B的竖直截面如图所示，其中杯体竖直截面ABC呈抛物线形状(杯体厚度忽略不计)，点A，点C位于杯口处，且AC=10cm，点B是抛物线最低点，当茶杯装满茶水时，茶水的最大深度(点B到AC的距离)为4cm，将茶水倒出一部分后，茶水的最大深度恰好为2cmA.52 B.25 C.7.已知a是方程x2−2x−2A.16 B.12 C.198.已知二次函数y=ax2−4ax+5(a>0A.m≥2 B.0≤m≤29.已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根为x1，x2，下列说法：①若a，c异号，则方程ax2+bx+A.0个 B.1个 C.2个 D.3个10.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a<0)的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为(−1,0)，如图所示，下列结论：①4ac<b2；②方程a

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。11.方程3x2−8x12.如图，若被击打的小球飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)直接具有的关系为h=13.如图，在长为33米宽为20米的矩形空地上修建同样宽的道路(阴影部分)，余下的部分为草坪，要使草坪的面积为510平方米，则道路的宽为______．14.抛物线y=−(x−15.已知二次函数y=x2+2x+a图象的顶点在16.已知抛物线y=−x2−2x+3与y轴交于点C，点P是抛物线上的动点，D(017.已知二次函数y=−x2+bx+

18.如图，在平面直角坐标系中，将抛物线C1：y=x2绕原点O顺时针旋转180°后得到C2，向右平移4个单位，向上平移2个单位得到C3.点A为C3的顶点，作直线OA.点Q(0,m)为平面内一动点，将点Q向上平移两个单位长度得到点B，过点B作垂交直线OA于点C，以BC、BQ为边构造矩形BQ三、计算题：本大题共1小题，共9分。19.丁丁推铅球的出手高度为1.6m，在如图所示的直角坐标系中，铅球运动轨迹是抛物线y=−四、解答题：本题共7小题，共57分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。20.(本小题7分)

解方程：x2−21.(本小题7分)

如图，用一段77米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的矩形羊圈，每个矩形都有一个1米的门，墙的最大可用长度为30米．

(1)如果羊圈的总面积为300平方米，求边AB的长；

(2)羊圈的总面积能为50022.(本小题8分)

在丝绸博览会期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长60cm，宽40cm，中间镶有宽度相同的三条丝绸条带.若丝绸条带的面积为23.(本小题8分)

已知关于x的一元二次方程x2+2x−k=0有两个实数根．

(1)24.(本小题9分)

如图1，抛物线y1=ax2−3x+c的图象与x轴的交点为A和B，与y轴交点为D(0,4)，与直线y2=−x+b交点为A和C，且OA=OD．

(1)求抛物线的解析式和b值；

(2)在直线y225.(本小题9分)

已知二次函数y=x2−4x…01234…y…______________________________…(2)在平面直角坐标系中画出函数y=x2−4x+3的图象；(26.(本小题9分)

如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A(−1,0)，B(

答案和解析1.【答案】C

【解析】解：A.分母含未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；

B.含2个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；

C.是一元二次方程，故本选项符合题意；

D.含2个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意．

故选：C．

根据一元二次方程的定义，逐项判断即可求解．

本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的最高次数为22.【答案】D

【解析】解：∵关于x的一元二次方程kx2+2x+1=0，

∴k≠0，

∵方程有两个实数根，

∴Δ=22−4k×1≥0，

解得3.【答案】D

【解析】解：设每条道路的宽为x米，则草坪的部分可以看成长为(36−x)米、宽为(25−x)米的矩形，

根据题意得：(36−x)(25−x)=8404.【答案】C

【解析】解：由题意，∵A(−1,y1)、B(3,y2)在抛物线y=−2x2+1上，

∴y5.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查了二次函数图象与系数的关系，属于一般题．

根据抛物线对称轴方程对①进行判断；由抛物线开口方向得到a<0，由对称轴位置可得b>0，由抛物线与y轴的交点位置可得c>0，于是可对②进行判断；根据顶点坐标对③进行判断；根据抛物线的对称性对④进行判断；根据函数图象得当1<x<4时，一次函数图象在抛物线下方，则可对⑤进行判断．

【解答】

解：∵抛物线的顶点坐标A(1,3)，

∴抛物线的对称轴为直线x=−b2a=1，

∴2a+b=0，所以①正确；

∵抛物线开口向下，

∴a<0，

∴b=−2a>0，

∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，

∴c>0，

∴abc<0，所以②错误；

∵抛物线的顶点坐标A(1,3)，

∴x=16.【答案】A

【解析】解：依题意，设截面抛物线y=ax2(a≠0)．

将C(5,4)代入，得4=25a．

解得a=425．

∴y=425x2．

将y=2代入y=4257.【答案】B

【解析】解：原式=a+1−1a+1⋅(a+1)2a3

=aa+1⋅(a+1)2a3

=a+8.【答案】D

【解析】解：二次函数对称轴为x=−−4a2a=2，

由题意得，二次函数经过点(0,5)，(2,−4a+5)，(4,5)，

结合图象可知：①当0<m≤2时，最小值为x=m时y的值，最大值为5；

②当29.【答案】C

【解析】解：Δ=b2−4ac，

当a、c异号时，ac<0，所以Δ>0，所以此时方程ax2+bx+c=0一定有实数根，所以①正确；

若b=a+c时，Δ=(a+c)2−4ac=(a−c)2≥0，则方程ax2+bx+c=0一定有两实数根，所以②正确；10.【答案】D

【解析】解：由图象可知，图象与x轴有两个交点，

∴b2−4ac>0，即4ac<b2，故①正确；

∵对称轴为直线x=1，

∵与x轴的一个交点坐标为(−1,0)，

∴与x轴的另一个交点坐标为(3,0)，

∴x2=3，故②正确；

∴x=−b2a=1，即b+2a=0，故③11.【答案】−8【解析】解：方程3x2−8x+1=0的一次项系数是是−8，

故答案为：−8．

12.【答案】6

【解析】解：依题意，令h=0得：0=24t−4t2，

解得t=0或t=6，

13.【答案】3米

【解析】解：设道路的宽为x m，

由题意得(33−x)(20−x)=510，

整理得x2−53x+150=0，

解得x1=14.【答案】(3【解析】解：∵抛物线解析式为y=−(x−3)2+6，

∴二次函数图象的顶点坐标是(3,6)．

故答案为：(315.【答案】a>【解析】解：由题意可得抛物线开口向上，对称轴为x=−b2a=−22×1=−1，

将x=−1代入y=x2+216.【答案】(1+2【解析】解：当x=0时，y=−x2+2x+3=3，则C(0,3)，

∵△PCD是以CD为底的等腰三角形，

∴点P为直线y=2与抛物线y=−x2+2x+3的交点，

当y=2时，−x2+2x+17.【答案】−6【解析】解：二次函数y=−x2+bx+c与y轴交点为(0,3)，

即c=3，

对称轴为直线x=−1，即x=−b18.【答案】−2<m<−【解析】解：由题意知，C2的解析式为y=−x2，C3的解析式为y=−(x−4)2+2；

①当B与原点重合时，m=−2，此时矩形不存在；

②当Q在C3与y轴的交点上时，矩形BQDC与图象G有三个公共点，如图：

当x=0时，y=−16+2=−14，即Q(0,−14)；

故当m=−14时，矩形与图象G有三个公共点；

③−14<m<−2时，矩形与图象G只有两个公共点，如图所示；

④由②中可知，当m<−14时，矩形与图象G有四个公共点；

⑤如图，当点D在C3上时，矩形与图象G有三个公共点；

设直线OA的解析式为y=kx，把点A坐标代入得k=12，即y=12x，

∵点Q向上平移两个单位长度得到点B，

∴CD=QB=2，

∴点D的纵坐标为12x−2，即D(x,12x−2)，

把点D坐标代入C3，得：−(x−4)2+2=12x−2，

解得：x=15−334，x=15+19.【答案】解：由题意知，点(0,1.6)在抛物线y=−0.1(x−k)2+2.5上，

所以1.6=−0.1(0−k)2+2.5，

解这个方程，得k=3【解析】从抛物线解析式可以看出，有一个待定系数，在抛物线图象上找一个点，就可以确定待定系数，从而确定抛物线解析式，再利用抛物线解析式回答题目的问题．

已知抛物线解析式，求其中的待定系数，就要在抛物线上找已知点，确定抛物线解析式，为解决题目的问题提供依据．20.【答案】解：

分解因式可得(x−1)(x−7)=0，【解析】利用因式分解法求解即可．

本题主要考查一元二次方程的解法，正确分解因式是解题的关键．21.【答案】解：(1)设AB的长为x米，

由题意可得：x(77+3−4x)=300，

解得：x1=5，x2=15，

当x=5时，80−4x=60>30，故x=5不合题意，

当x=15时，80−【解析】(1)设AB的长为x米，由羊圈的总面积为300平方米，可列方程，即可求解；

(22.【答案】解：设丝绸条带的宽度为x cm，

由题意得：2x×40+(60−2x)x=650，

【解析】设丝绸条带的宽度为xcm，由长方形的面积计算公式结合丝绸条带的面积为650cm223.【答案】解：(1)∵关于x的一元二次方程x2+2x−k=0有两个实数根，

∴Δ=4+4k≥0，

解得：k【解析】(1)根据一元二次方程有两个实数根，得到根的判别式大于等于0，求出k的范围即可；

(224.【答案】解：(1)∵D(0,4)，

∴OD=4，

∵OA=OD，点A在x的负半轴上，

∴A(−4,0)，

把A(−4,0)，D(0,4)分别代入y1=ax2−3x+c，得16a+12+c=0c=4，

解得：a=−1c=4，

∴该抛物线的解析式为y1=−x2−3x+4，

把A(−4,0)代入y2=−x+b，得4+b=0，

解得：b=−4；

(2)存在．

在y1=−x2−3x+4中，令y1=0，得−x2−3x+4=0，

解得：x1=−4，x2=1，

∴B(1,0)，

如图1，设直线y2=−x−4与y轴交于点G，

则G(0,−4)，

∴OG=4，

∵A(−4,0)【解析】(1)根据D(0,4)，OA=OD，点A在x的负半轴上，可得A(−4,0)，再运用待定系数法即可求得抛物线的解析式，把点A的坐标代入y2=−x+b，即可求得b的值；

(2)存在．设直线y2=−x−4与y轴交于点G，可得△AOG是等腰直角三角形，∠BAC=45°，分两种情况：当∠APB=90°