新人教A版必修一 函数与方程 学案

2019-2020学年新人教A版必修一函数与方程学案

1.函数的零点

(1)函数零点的定义

函数>=式无)的图像与横轴的交点的攫坐标称为这个函数的零点.

(2)几个等价关系

方程人x)=0有实数根O函数y=/(x)的图像与x轴有交点令函数y=f(x)有零点.

(3)函数零点的判定(零点存在性定理)

若函数y=f(x)在闭区间［a,bl上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，

即/(a)爪b)<0,则在区间(a,加内,函数y=/(无)至少有一个零点，即相应的方程元)

=0在区间(a,b)内至少有一个实数解.

2.二次函数》=办2+如+。(。〉0)的图像与零点的关系

J>0/=0/<0

二次函数y=ax1+bx

+c(Q>0)的图像七

与X轴的交点（X1.0）,（X2.0）(X1.0）无交点

零点个数210

佚口识拓展】

有关函数零点的结论

(1)若连续不断的函数人x)在定义域上是单调函数，则了(无)至多有一个零点.

(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.

(3)连续不断的函数图像通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号.

r基础自测

题组一思考辨析

1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“或"X")

(1)函数的零点就是函数的图像与x轴的交点.(X)

⑵函数y=/U)在区间(a,b)内有零点(函数图像连续不断)，则穴a)式。)〈0。(X)

⑶二次函数〉=加+云+旧¥0)在〃一4改<0时没有零点.(J)

(4)f(x)=/,g(x)=2X,h(x)=log2%，当xG(4,+8)时，恒有/?(x)</(x)〈g(x).(V)

题组二教材改编

2.函数/(x)=ln无一错误！的零点所在的大致区间是()

A.(1,2)B.(2,3)

C.错误!和(3,4)D.(4,+8)

答案B

解析V/(2)=In2-1(0,犬3)=ln3—错误!〉0

且函数;(x)的图像连续不断，/(x)为增函数，

•V(x)的零点在区间(2,3)内.

3.若函数/(x)=3尤-7+lnx的零点位于区间(“，w+l)(nGN)内，则"=。

答案2

解析由于ln2<lne=l,所以/(2)〈0,/(3)=2+ln3,由于In3>1,所以八3)>0,所以函

数五x)的零点位于区间(2,3)内，故"=2。

4.函数—:)=户一错误尸的零点个数为.

答案1

解析作函数竺=#和>2=错误!工的图像如图所示，

=

由图像知函数/(X)有1个零点.

题组三易错自纠

5.已知函数/(x)=x—错误!(x>0),g(x)=x+ex,h(x)=;v+lnx的零点分别为孙无2,1，则

0

A.X1〈尤2<X3B.Xi〈XI<X3

C.Xi〈X3〈尤1D.尤3〈尤1〈尤2

答案c

解析作出y=x与刃=错误！，>2=-e*j3=—lnx的图像如图所示，可知选C.

6.已知函数次无)=错误!则函数次无)有个零点.

答案1

解析当时，由/(x)=2'—1=0,解得x=0;

当X〉1时，由於)=l+log2X=0,解得X=T，又因为X〉1,所以此时方程无解.综上函数

加)只有1个零点.

7.函数兀0=ox+l—2a在区间(一1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是.

答案错误！

解析•••函数/(x)的图像为直线，由题意可得

/(-iy(i)<o,

(—3a+l>(1—a)(0,

解得错误！〈a(1,

实数。的取值范围是错误！。

题型分类深度剖析

---------------------------------------------真题典题深度剖析重点难点多维探究---------------------------------------------

题型一函数零点所在区间的判定--自主演练

1.设无)=ln尤+x—2,则函数/(%)的零点所在的区间为()

A.(0,1)B.(1,2)

C.(2,3)D.(3,4)

答案B

解析•.避1)=]n1+1-2=-1(0,f(2)=ln2>0,

；.加)次2)<0,

函数f(.x)=lnx+x—2的图像是连续的，且为增函数，

・••/(x)的零点所在的区间是(1,2).

2.若a<b〈c,则函数/(x)=(尤一a)(x—b)+(x—6)(尤一c)+(x—c)(x—n)的两个零点

分别位于区间()

A.(a,b)和(6,c)内B.(—°°,a)和(.a,b)内

C.(b,c)和(c,+8)内D.(—8,°)和©+oo)

答案A

解析,:=(a—6)(a—c)>0,

f®=(b—c)(6—a)(0,f(c)=(c—a)(c—6)〉0,

由函数零点存在性定理可知，在区间(a,b),(b,c)内分别存在零点，又函数/(x)是二次

函数，最多有两个零点.因此函数/(x)的两个零点分别位于区间(a,b),(b,c)内，故选A。

3.设函数丫1=尤3与>2=错误尸、的图像的交点为(Xo，yo),若X()e(”,w+1),"GN,则无0

所在的区间是.

答案(1,2)

解析令小)=V—错误!k2,则/o)=O,易知於)为增函数，且加)<042)〉0,

所在的区间是(1,2).

思维升华确定函数零点所在区间的常用方法

(1)利用函数零点存在性定理；

(2)数形结合法.

题型二函数零点个数的判断......-师生共研

典例(1)函数/(x)=错误!的零点个数是.

答案2

解析当xWO时，令一一2=0,解得x=一错误!(正根舍去)，所以在(一8,0］上有一个零

点；当x>0时，(x)=2+错误!>0恒成立，所以/(x)在(0,+8)上是增函数.

又因为｛2)=-2+ln2〈0,7(3)=ln3>0,所以"r)在(0,十8)上有一个零点，综上，函数

/W的零点个数为2.

(2)设函数尤)是定义在R上的奇函数，当x>0时，/(尤)=e*+x—3,则/(无)的零点个

数为()

A.1B.2

C.3D.4

答案C

解析因为函数八x)是定义域为R的奇函数，所以八0)=0,即0是函数/(x)的一个零点,

当x>0时，令式苫)=己+无-3=0,则炉=-x+3,

分别画出函数yi=e"和〉2=—x+3的图像，如图所示，两函数图像有一个交点，所以函数

«x)有一个零点，

根据对称性知，当x<0时函数/(x)也有一个零点.

综上所述，/(x)的零点个数为3.

思维升华函数零点个数的判断方法

(1)直接求零点；

(2)利用零点存在性定理再结合函数的单调性确定零点个数;

(3)利用函数图像的交点个数判断.

跟踪训练⑴函数/(x)=错误!的零点个数为()

A.3B.2

C.7D.0

答案B

解析方法一由y(x)=。得

错误!或错误！

解得x=—2或x=e.

因此函数了(劝共有2个零点.

方法二函数/(x)的图像如图所示，由图像知函数/(x)共有2个零点.

(2)函数/(x)=21logo.5x|-1的零点个数为

答案2

解析由/(x)=0,得llogo./尸错误尸，

作出函数yi=|logo.讣|和竺=错误尸的图像,

由上图知两函数图像有2个交点,

故函数/(x)有2个零点.

题型三函数零点的应用

命题点1根据函数零点个数求参数

典例已知函数/(x)=|/+3x|,xGR,若方程/(x)—。Ix—1I=0恰有4个互异的实数根,

则实数a的取值范围是.

答案(0,l)U(9,+8)

解析设9=黄尤)=|/+3尤I,”=<?Ix—l\,

在同一直角坐标系中作出yi=I『+3x1，丫2=。|无一1I的图像如图所示.

由图可知八犬)一aIx-1I=0有4个互异的实数根等价于yi=|/+3x|与yi=a\x-l\的图

像有4个不同的交点且4个交点的横坐标都小于1,

所以错误!有两组不同解，

消去y得(3—〃)x+a=O有两个不等实根，

所以/=(3—a)2—4a>0,即层一10<?+9>0,

解得a<\或a)9.

又由图像得(7〉0,或加9.

引申探究

本例中，若/(.x)=a恰有四个互异的实数根，则a的取值范围是

答案(。")

解析作出州=|f+3x|,>2=。的图像如图所示.

0

由图像易知，当力=*+3尤I和竺=。的图像有四个交点时

命题点2根据函数有无零点求参数

典例(1)若函数加)=3"+1—2”在区间(-1,1)内存在一个零点，则a的取值范围是()

A.错误!B.(―8,-l)u错误！

Co错误!D.

答案B

解析当a=0时，/(x)=1与无轴无交点，不合题意，所以“W0;函数/(x)=3ax+l—2a

在区间(-1,1)内是单调函数，所以/—1)•/(1)<0,即(5a—1)(a+D)0,解得a<—1或

a>错误!.

(2)已知函数/(x)=错误！则使函数g(x)=/(x)+x—机有零点的实数MI的取值范围是()

A.[0,1)B.(—8,1)

C.(一8,1]U(2,+°°)D.(一8,O]U(1,+co)

答案D

解析函数g(x)=/(x)+尤一"2的零点就是方程/(x)+x=zn的根，画出〃(无)=/(%)+尤=错误！

的大致图像(图略).

观察它与直线y=机的交点，得知当机W0或机>1时，有交点，即函数g(x)=/(x)+x-m

有零点.

命题点3根据零点的范围求参数

典例若函数/(无)=(m-2)x2+mr+(2m+l)的两个零点分别在区间(-1,0)和区间(1,2)

内，则m的取值范围是.

答案错误！

解析依题意，结合函数/(x)的图像分析可知根需满足错误！

即错误！

解得错误!＜加＜错误！。

思维升华根据函数零点的情况求参数有三种常用方法

(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围.

⑵分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决.

(3)数形结合法：先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，然后数形结

合求解.

跟踪训练⑴方程log](a—2?=2+x有解，则。的最小值为.

2

答案1

解析若方程log】(a—2，)=2+x有解，则错误!2+*=a—2*有解，即错误!错误!£+2，=。

2

有解，因为错误!错误!，+2，三1,故。的最小值为1.

(2)已知函数f(x)=错误!若函数g(x)=/(x)~m有3个零点，则实数m的取值范围是

答案(0，1)

解析画出函数/(x)=错误!的图像，如图所示.

由于函数g(无)=/(尤)一机有3个零点，结合图像得0＜租＜1,即机e(0,1).

—■思想方法■—

利用转化思想求解函数零点问题

典例(1)已知函数加0=错误!若关于X的方程/(%)=上有三个不同的实根，则实数上的

取值范围是.

(2)若关于x的方程22+2%+。+1=0有实根，则实数a的取值范围为.

思想方法指导(1)函数零点个数可转化为两个函数图像的交点个数，利用数形结合求解参

数范围.

(2)“a=/(x)有解"型问题，可以通过求函数(x)的值域解决.

解析(1)关于尤的方程/(X)=上有三个不同的实根，等价于函数yi=A尤)与函数”=左

的图像有三个不同的交点，作出函数的图像如图所示，由图可知实数上的取值范围是(一1,

0).

(2)由方程，解得。=—错误！，设t=2*30),

则。=—错误！=—错误！

=2一错误！，其中f+D1,

由基本不等式，得。+1)+错误！N2错误!，

当且仅当『错误！一1时取等号，故忘2—2错误!.

答案⑴(T,0)(2)(—8,2—2错误！］

课时作业

X基础保分练

1.设函数五了)=炉+无-4,则/(尤)的零点位于区间()

A.(-1,0)B.(0,1)

C.(1,2)D.(2,3)

答案C

解析/(1)=e+l-4=e-3<0,f(2)=e2+2-4=e2-2)0,/(1)/(2)<0=故/)的

零点位于区间(1,2).

2.已知a是函数式x)=2，-log1尤的零点，若0〈尤°〈°,则/(冲)的值满足()

2

A.f(xo)=0B.大项)>0

C.f(xo)<OD.f(xo)的符号不确定

答案C

解析危)在(0,+8)上是增函数，若0〈尤o〈a,

则五尤0)勺(a)=0。

3.函数五X)=2工一错误！一。的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是()

A.(1,3)B.(1,2)

C.(0,3)D.(0,2)

答案C

解析因为7U)在(0,+8)上是增函数，则由题意得近1).式2)=(0—a)(3—a)〈0,解得0〈a<3,

故选c。

4.已知函数/(x)=错误！则使方程尤+/(x)=加有解的实数机的取值范围是()

A.(1,2)

B.(—8,-2]

C.(—8,1)U(2,+°°)

D.(—8,1]U[2,+8)

答案D

解析当尤W0时，x+fCx)—m,即x+l=〃z,解得加W1；当尤〉0时，x+/(x)—m,即

x+错误！=根，解得加三2,即实数机的取值范围是(一8,1]U[2,+8).故选D。

5.(2017•山东)己知当xG[0,l]时，函数y=(/nx—1)2的图像与>=错误！+"z的图像有且

只有一个交点，则正实数相的取值范围是()

A.(0,1]U[2^3,+°°)B.(0,1]U[3,+°°)

C.(0,错误!]u[2错误!，+8)D.(0,错误!]U[3,

答案B

解析在同一直角坐标系中，分别作出函数於：)=(mx-1)2=源错误!2与g(尤)=错误!十

m的大致图像.

分两种情形：

(1)当0〈机W1时，错误!》1,如图①，当xG[0,1]时，段)与g(x)的图像有一个交点，

符合题意.

(2)当m>l时，0<错误!<1,如图②，要使/(功与g(x)的图像在[0,1]上只有一个交

点，只需g(l)WyQ),即1+ZMW(MJ-1尸，解得相>3或(舍去).

综上所述，“zG(0,1]U[3,+°°).

故选B。

6.函数/(无)=x—In(x+1)—1的零点个数是.

答案2

解析函数/(x)=x—ln(x+l)—1的零点个数，即为函数力=ln(x+1)(无〉—1)与yz=x

—1(x>—1)图像的交点个数.

在同一坐标系内分别作出函数％=ln(x+1)(x>—l)与>2=工-1(尤>一1)的图像，如图所

示，

由图可知函数应r）=x—ln（x+l）—1的零点个数是2。

7.若函数/（尤）=f+"+6的两个零点是一2和3,则不等式碇-2元）〉0的解集是

答案错误！

解析元+b的两个零点是一2,3.

—2,3是方程x2-\-ax-\-b=0的两根，

由根与系数的关系知错误！

.••错误！

'•fix'）=V—x—6」.,不等式纸一2龙）〉0,

即一（4』+2x—6）>0O2f+x—3<0,

解集为错误!.

8.若函数/（劝=错误!有两个不同的零点，则实数a的取值范围是.

答案（0,1]

解析当x>0时，由八x）=lnx=0,得x=l.因为函数/（x）有两个不同的零点，则当xWO时，

函数/（尤）=2*—a有一个零点，令/（x）=0得。=25因为0<2工忘2°=1,所以0<aWl,所

以实数。的取值范围是0（«<lo

9.定义在R上的奇函数/（x）满足:当无>0时，/（无）=2015x+log2oi5X,则在R上，函数/

（X）零点的个数为.

答案3

解析因为函数/（尤）为R上的奇函数，

所以八0）=0,当尤>0时，人无）=2015，+log2oi5X在区间错误！内存在一个零点，又火了）为增

函数，

因此在（0,+8）内有且仅有一个零点.

根据对称性可知函数在（一8,0）内有且仅有一个零点，

从而函数应。在R上的零点个数为3.

10.在平面直角坐标系尤Oy中,若直线y=2a与函数y=Ix—a]—1的图像只有一个交点，则

a的值为.

答案一错误！

解析函数尸Ix-aI-1的图像如图所示，因为直线y=2a与函数y=Ix—aI-1的图

像只有一个交点，故2a=-1,解得a=一错误！。

11.关于X的二次方程/+(m—1)x+l=O在区间［0,2］上有解，求实数机的取值范围.

解显然X=0不是方程X?+(MJ—l)x+l=0的解，

0〈xW2时，方程可变形为1—机=x+g

又•.？=x+错误!在(0,1］上是减少的，在［1,2］上是增加的，

.•.尸x+错误!在(0,2］上的取值范围是［2,+8),

/.1—m，2,...mW-1,

故机的取值范围是(-8,—1］.

12.设函数/(x)=错误！(x〉0).

(1)作出函数/(%)的图像；

(2)当0〈°〈6且八°)=/(6)时，求错误!+错误!的值；

(3)若方程/(无)=根有两个不相等的正根，求相的取值范围.

解(1)如图所示.

(2)V/(%)=错误!=错误！

故/(x)在(0,1］上是减函数，而在(1,+8)上是增函数.

由。〈。〈6且/(a)=/(b),得。<a<l<b且1―1=1—.,.错误!+错误!=2。

(3)由函数/(x)的图像可知，当0〈机<1时，方程/(无)=机有两个不相等的正根.

X技能提升练

13.若定义在R上的偶函数/(x)满足犬x+2)=八x),且当xd［0,1］时次无)=x,则函数y

=f(x)-log3|xI的零点有()

A.多于4个B.4个

C.3个D.2个

答案B

解析因为偶函数“口满足/(x+2)=/(x),故函数的周期为2.当［0,1］时，/(x)

=尤，故当xG［—L0］时，於)=-X。函数y=/(X)—log3Ix|的零点的个数等于函数y=

f(x)的图像与函数y=