2024届河北省部分高中高三下学期二模考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2河北省部分高中2024届高三下学期二模考试数学试题一、选择题1.已知集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，，故.故选：A.2.已知复数是实数，则（）A. B. C. D.2〖答案〗D〖解析〗因为是实数，所以，即.故选：D.3.已知随机变量服从正态分布，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗因为，则，，若则，即，故充分性成立，若，则，解得或，故必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.4.已知一个底面内口直径为的圆柱体玻璃杯中盛有高为的水，向该杯中放入一个半径为的实心冰球和一个半径为的实心钢球，待实心冰球融化后实心钢球恰好淹没在水中（实心钢球与杯中水面、杯底均相切），若实心冰球融化为水前后的体积变化忽略不计，则实心钢球的表面积为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意可得，实心冰球融化前后体积不变，则有，化简可得：，即，，解得：，所以钢球表面积为.故选：D.5.已知点，都是图象上的点，点到轴的距离均为1，把的图像向左平移个单位长度后，点分别平移到点，且点关于原点对称，则的值不可能是（）A.3 B.5 C.10 D.11〖答案〗C〖解析〗由，可得，，因为点关于原点对称，所以，又因为由是图象上的点，所以，所以，所以，故，，所以，又，所以，故或，，即或，，结合选项知选C．故选：C.6.已知，是圆上的两个动点，且，若点满足，点在直线上，则的最小值为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如图，连接，由，是圆上的两个动点，且，即，又，则，可得，所以，则动点的轨迹方程为，且圆心到直线的距离为，所以最小值为.故选：D.7.某地计划对如图所示的半径为的直角扇形区域按以下方案进行扩建改造,在扇形内取一点使得,以为半径作扇形，且满足，其中，，则图中阴影部分的面积取最小值时的大小为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意知，则图中阴影部分的面积，因为，，所以，所以，令，则，由，得，因为，所以，令，得，所以，所以，当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，最小，即图中阴影部分面积取最小值.故选：A.8.已知函数,,正实数a,b,c满足，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题得，，由，得，即，所以．由，得，因为，，所以，又，所以，所以．由，得，即．易知，所以，所以，故．又，所以，所以，所以，所以，所以．故选：B．二、选择题9.已知为坐标原点，焦点为的抛物线过点，过且与垂直的直线与抛物线的另一交点为，则（）A. B.C. D.直线与抛物线的准线相交于点〖答案〗ACD〖解析〗由抛物线过点，可得，则，故A正确；由上可知抛物线，准线方程为，所以，故B错误；由已知可得，所以直线的方程为，即，联立方程组，得，解得或，故，所以，故C正确；由直线的方程，令，得，所以直线与抛物线的准线相交于点，故D正确.故选：ACD10.已知，，其中，．若，则（）A. B.C. D.〖答案〗AB〖解析〗二项式展开式通项为（且），，所以，，因为，所以，解得（舍去）或，故A正确；由，令可得，故B正确；由，令可得，令可得，所以，故C错误；将两边对求导可得，，令可得，故D错误.故选：AB11.一般地，如果一个四面体存在由同一点出发的三条棱两两垂直，我们把这种四面体叫做直角四面体，记该点为直角四面体的直角顶点，两两垂直的三条棱叫直角四面体的直角棱，任意两条直角棱确定的面叫直角四面体的直角面，除三个直角面外的一个面叫斜面．若一个直角四面体的三条直角棱长分别为，，，直角顶点到斜面的距离为，其内切球的半径为，三个直角面的面积分别为，，，三个直角面与斜面所成的角分别为，，，斜面的面积为，则（）A.直角顶点在斜面上的射影是斜面的内心 B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗A选项，连接，由于⊥，⊥，且，平面，所以⊥平面，又平面，所以⊥，因为⊥平面，平面，所以⊥，因为，平面，所以⊥平面，因为平面，所以⊥，同理可得⊥，⊥，故为的垂心，不一定为内心，A错误；B选项，由A可知，⊥平面，⊥平面，延长交于点，连接，因为平面，平面，则⊥，⊥，设，在Rt中，，，故，又，所以，故，设直角面与斜面所成角分别为，则，同理可得，故，B正确；C选项，显然，且，故，当且仅当时，等号成立，综上，，C正确；D选项，直角四面体的体积，故，，又，，所以，D正确.故选：BCD三、填空题12.记样本数据10，18，8，4，16，24，6，8，32的中位数为a，平均数为b，则=______．〖答案〗〖解析〗将样本数据按从小到大的顺序排列，得4，6，8，8，10，16，18，24，32，所以中位数，由平均数的计算公式得，所以.故〖答案〗为：.13.已知等差数列的前项积为，，，，则当取得最小值时，______．〖答案〗〖解析〗设等差数列的公差为，由，得，则，，得，则是递增数列，且，，因此当时，，当时，，因此最小，故取得最小值时，.故〖答案〗为：14.阅读下列两则材料：材料1．圆锥曲线的轴与顶点的定义：对平面内一圆锥曲线，若存在直线，使得对于曲线上任意一点，要么点在直线上，要么曲线上存在与点相异的一点，使得点与点关于直线对称，则称曲线关于直线对称，直线称为曲线的轴，曲线与其轴的交点称为曲线的顶点．材料2．某课外学习兴趣小组通过对反比例函数的图象的研究发现：反比例函数的图象是双曲线，其两条渐近线为轴和轴，两条渐近线的夹角为．①若将双曲线绕其中心适当旋转可使其渐近线变为直线，由此可求得其离心率为．②若,则将与联立可求得双曲线的顶点坐标为,．完成下列填空：已知函数的图象是双曲线，直线和轴是双曲线的两条渐近线，则双曲线的位于第一象限的焦点的坐标为______．〖答案〗〖解析〗直线和轴是双曲线的两条渐近线，由阅读材料可知，双曲线的焦点所在的对称轴是直线.由顶点的定义知，对称轴与双曲线的交点即顶点，联立得，解得：或，所以双曲线的位于第一象限的顶点为.若将双曲线绕其中心适当旋转可使其渐近线变为直线，则双曲线的离心率，设双曲线的位于第一象限的焦点的坐标为，则，所以，所以，所以双曲线的位于第一象限的焦点的坐标为.故〖答案〗为：四、解答题15.已知函数．（1）求曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的周长；（2）若函数的图象上任意一点关于直线的对称点都在函数的图象上，且存在，使成立，求实数的取值范围．解：（1）由，得，所以切线的斜率.所以切线的方程为，即.令，得，令，得，所以切线与轴交于点，与轴交于点，所以切线与坐标轴围成的三角形的周长为.（2）设，则，由题意知在的图象上，所以，所以.由，得，即，因为存在，使成立，所以存在，使成立，设，则，又，当且仅当时等号成立，所以单调递增，所以当时，，可得，即实数的取值范围是16.“九子游戏”是一种传统的儿童游戏，它包括打弹子、滚圈子、踢毽子、顶核子、造房子、拉扯铃子、刮片子、掼结子、抽陀子九种不同的游戏项目，某小学为丰富同学们的课外活动，举办了“九子游戏”比赛，所有的比赛项目均采用局胜的单败淘汰制，即先赢下局比赛者获胜.造房子游戏是同学们喜爱的项目之一，经过多轮淘汰后，甲、乙二人进入造房子游戏的决赛，已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为.（1）若，，设比赛结束时比赛的局数为，求的分布列与数学期望；（2）设采用3局2胜制时乙获胜的概率为，采用5局3胜制时乙获胜的概率为，若，求的取值范围.解：（1）因为，所以比赛采用3局2胜制，的所有可能取值为2，3，，，的分布列为23所以.（2）由题意知，.由，得，且，则，可得，整理得，解得，所以的取值范围为.17.如图，在四棱锥中，底面是菱形且，是边长为的等边三角形，，，分别为，，的中点，与交于点．（1）证明：平面；（2）若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．（1）证明：如图，设与交于点，连接.因为分别为的中点，底面是菱形，所以且，所以四边形是平行四边形，所以，因为为的中点，所以为的中点，因为为的中点，所以，又平面，平面，所以平面.（2）解：连接，因为是边长为的等边三角形，为的中点，所以.因为底面是菱形且，易知为等边三角形，所以.易知，所以，所以.因为，所以，所以.所以两两垂直，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，设平面的法向量为，则，得，取，则，所以.设平面的法向量为，则，得，则，取，则，所以.所以，所以平面与平面所成锐二面角的余弦值.18.已知椭圆的离心率．（1）若椭圆过点，求椭圆的标准方程．（2）若直线，均过点且互相垂直，直线交椭圆于两点，直线交椭圆于两点，分别为弦和的中点，直线与轴交于点，设.（ⅰ）求；（ⅱ）记，求数列的前项和．解：（1）因为，，所以，所以椭圆的方程为，因为椭圆过点，所以，解得，所以椭圆的方程为.（2）（ⅰ）当直线中一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，直线与轴重合，不符合题意.故直线的斜率均存在且不为0.设直线的方程为，,联立方程，消去并整理得，因为直线与椭圆相交于两个不同的交点，所以，根据韦达定理得，，则，同理可得，因为三点共线，所以，易知，则，因为，所以.（ⅱ）结合（ⅰ）可知，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以数列的前项和.19.若内一点满足，则称点为的布洛卡点，为的布洛卡角．如图，已知中，，，，点为的布洛卡点，为的布洛卡角．（1）若，且满足，求的大小．（2）若为锐角三角形．（ⅰ）证明：．（ⅱ）若平分，证明：．（1）解：若，即，得，点满足，则，在和中，，，所以与相似，且，所以，即，由余弦定理得：，且，，得，且，所以；（2）（ⅰ）证明：在内，应用余弦定理以及三角形的面积公式得：，，，三式相加可得：①在内，应用余弦定理以及三角形的面积公式得：，在和内，同理：，，三式相等：，因为，由等比性质得：②由①②式可证得：；（ⅱ）解：因为，即，所以，在中，分别由余弦定理得：，，，三式相加整理得，，将代入得：若平分，则，，所以③又由余弦定理可得：④由③-④得：所以，所以.河北省部分高中2024届高三下学期二模考试数学试题一、选择题1.已知集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，，故.故选：A.2.已知复数是实数，则（）A. B. C. D.2〖答案〗D〖解析〗因为是实数，所以，即.故选：D.3.已知随机变量服从正态分布，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗因为，则，，若则，即，故充分性成立，若，则，解得或，故必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.4.已知一个底面内口直径为的圆柱体玻璃杯中盛有高为的水，向该杯中放入一个半径为的实心冰球和一个半径为的实心钢球，待实心冰球融化后实心钢球恰好淹没在水中（实心钢球与杯中水面、杯底均相切），若实心冰球融化为水前后的体积变化忽略不计，则实心钢球的表面积为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意可得，实心冰球融化前后体积不变，则有，化简可得：，即，，解得：，所以钢球表面积为.故选：D.5.已知点，都是图象上的点，点到轴的距离均为1，把的图像向左平移个单位长度后，点分别平移到点，且点关于原点对称，则的值不可能是（）A.3 B.5 C.10 D.11〖答案〗C〖解析〗由，可得，，因为点关于原点对称，所以，又因为由是图象上的点，所以，所以，所以，故，，所以，又，所以，故或，，即或，，结合选项知选C．故选：C.6.已知，是圆上的两个动点，且，若点满足，点在直线上，则的最小值为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如图，连接，由，是圆上的两个动点，且，即，又，则，可得，所以，则动点的轨迹方程为，且圆心到直线的距离为，所以最小值为.故选：D.7.某地计划对如图所示的半径为的直角扇形区域按以下方案进行扩建改造,在扇形内取一点使得,以为半径作扇形，且满足，其中，，则图中阴影部分的面积取最小值时的大小为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意知，则图中阴影部分的面积，因为，，所以，所以，令，则，由，得，因为，所以，令，得，所以，所以，当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，最小，即图中阴影部分面积取最小值.故选：A.8.已知函数,,正实数a,b,c满足，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题得，，由，得，即，所以．由，得，因为，，所以，又，所以，所以．由，得，即．易知，所以，所以，故．又，所以，所以，所以，所以，所以．故选：B．二、选择题9.已知为坐标原点，焦点为的抛物线过点，过且与垂直的直线与抛物线的另一交点为，则（）A. B.C. D.直线与抛物线的准线相交于点〖答案〗ACD〖解析〗由抛物线过点，可得，则，故A正确；由上可知抛物线，准线方程为，所以，故B错误；由已知可得，所以直线的方程为，即，联立方程组，得，解得或，故，所以，故C正确；由直线的方程，令，得，所以直线与抛物线的准线相交于点，故D正确.故选：ACD10.已知，，其中，．若，则（）A. B.C. D.〖答案〗AB〖解析〗二项式展开式通项为（且），，所以，，因为，所以，解得（舍去）或，故A正确；由，令可得，故B正确；由，令可得，令可得，所以，故C错误；将两边对求导可得，，令可得，故D错误.故选：AB11.一般地，如果一个四面体存在由同一点出发的三条棱两两垂直，我们把这种四面体叫做直角四面体，记该点为直角四面体的直角顶点，两两垂直的三条棱叫直角四面体的直角棱，任意两条直角棱确定的面叫直角四面体的直角面，除三个直角面外的一个面叫斜面．若一个直角四面体的三条直角棱长分别为，，，直角顶点到斜面的距离为，其内切球的半径为，三个直角面的面积分别为，，，三个直角面与斜面所成的角分别为，，，斜面的面积为，则（）A.直角顶点在斜面上的射影是斜面的内心 B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗A选项，连接，由于⊥，⊥，且，平面，所以⊥平面，又平面，所以⊥，因为⊥平面，平面，所以⊥，因为，平面，所以⊥平面，因为平面，所以⊥，同理可得⊥，⊥，故为的垂心，不一定为内心，A错误；B选项，由A可知，⊥平面，⊥平面，延长交于点，连接，因为平面，平面，则⊥，⊥，设，在Rt中，，，故，又，所以，故，设直角面与斜面所成角分别为，则，同理可得，故，B正确；C选项，显然，且，故，当且仅当时，等号成立，综上，，C正确；D选项，直角四面体的体积，故，，又，，所以，D正确.故选：BCD三、填空题12.记样本数据10，18，8，4，16，24，6，8，32的中位数为a，平均数为b，则=______．〖答案〗〖解析〗将样本数据按从小到大的顺序排列，得4，6，8，8，10，16，18，24，32，所以中位数，由平均数的计算公式得，所以.故〖答案〗为：.13.已知等差数列的前项积为，，，，则当取得最小值时，______．〖答案〗〖解析〗设等差数列的公差为，由，得，则，，得，则是递增数列，且，，因此当时，，当时，，因此最小，故取得最小值时，.故〖答案〗为：14.阅读下列两则材料：材料1．圆锥曲线的轴与顶点的定义：对平面内一圆锥曲线，若存在直线，使得对于曲线上任意一点，要么点在直线上，要么曲线上存在与点相异的一点，使得点与点关于直线对称，则称曲线关于直线对称，直线称为曲线的轴，曲线与其轴的交点称为曲线的顶点．材料2．某课外学习兴趣小组通过对反比例函数的图象的研究发现：反比例函数的图象是双曲线，其两条渐近线为轴和轴，两条渐近线的夹角为．①若将双曲线绕其中心适当旋转可使其渐近线变为直线，由此可求得其离心率为．②若,则将与联立可求得双曲线的顶点坐标为,．完成下列填空：已知函数的图象是双曲线，直线和轴是双曲线的两条渐近线，则双曲线的位于第一象限的焦点的坐标为______．〖答案〗〖解析〗直线和轴是双曲线的两条渐近线，由阅读材料可知，双曲线的焦点所在的对称轴是直线.由顶点的定义知，对称轴与双曲线的交点即顶点，联立得，解得：或，所以双曲线的位于第一象限的顶点为.若将双曲线绕其中心适当旋转可使其渐近线变为直线，则双曲线的离心率，设双曲线的位于第一象限的焦点的坐标为，则，所以，所以，所以双曲线的位于第一象限的焦点的坐标为.故〖答案〗为：四、解答题15.已知函数．（1）求曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的周长；（2）若函数的图象上任意一点关于直线的对称点都在函数的图象上，且存在，使成立，求实数的取值范围．解：（1）由，得，所以切线的斜率.所以切线的方程为，即.令，得，令，得，所以切线与轴交于点，与轴交于点，所以切线与坐标轴围成的三角形的周长为.（2）设，则，由题意知在的图象上，所以，所以.由，得，即，因为存在，使成立，所以存在，使成立，设，则，又，当且仅当时等号成立，所以单调递增，所以当时，，可得，即实数的取值范围是16.“九子游戏”是一种传统的儿童游戏，它包括打弹子、滚圈子、踢毽子、顶核子、造房子、拉扯铃子、刮片子、掼结子、抽陀子九种不同的游戏项目，某小学为丰富同学们的课外活动，举办了“九子游戏”比赛，所有的比赛项目均采用局胜的单败淘汰制，即先赢下局比赛者获胜.造房子游戏是同学们喜爱的项目之一，经过多轮淘汰后，甲、乙二人进入造房子游戏的决赛，已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为.（1）若，，设比赛结束时比赛的局数为，求的分布列与数学期望；（2）设采用3局2胜制时乙获胜的概率为，采用5局3胜制时乙获胜的概率为，若，求的取值范围.解：（1）因为，所以比赛采用3局2胜制，的所有可能取值为2，3，，，的分布列为23所以.（2）由题意知，.由，得，且，则，可得，整理得，解得，所以的取值范围为.17.如图，在四棱锥中，底面是菱形且，是边长为的等边三角形，，，分别为，，的中点，与交于点．（1）证明：平面；（2）若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．（1）证明：如图，设与交于点，连接.因为分别为的中点，底面是菱形，所以且，所以四边形是平行四边形，所以