2024届广西桂林市、来宾市高三下学期第三次联合模拟考试（三模）数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2广西桂林市、来宾市2024届高三下学期第三次联合模拟考试（三模）数学试卷一、选择题1.若集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，，所以，故选：B．2.已知，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以.故选：A．3.若，则（）A.18 B.-18 C.12 D.-12〖答案〗C〖解析〗由题意可知，展开式的通项，令，则，所以展开式中系数为；展开式的通项，令，则，所以展开式中系数为；所以.故选：C．4.具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据（，，2，…，5），其经验回归方程为，则（）A.40 B.32 C.8 D.12.8〖答案〗A〖解析〗由题意得，，因为点在回归直线上得，所以．故选：A.5.某校组织社会实践活动，将参加活动的3名老师与6名同学分成三组，每组1名老师与2名同学，不一样的分法共有（）A.45种 B.90种 C.180种 D.270种〖答案〗B〖解析〗先将6名同学平均分成3组，有种分法，再将3名老师分成3组，有种分法，所以共有种分法故选：B.6.在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，平面，，且，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗取的中点，连接，如图所示：∵分别为的中点，则且，∴异面直线与所成的角为或其补角．∵平面，平面，∴，，∴，同理可得，∴，∴，则,故选:C．7.已知椭圆C：的右焦点为F，过F的直线与C交于A、B两点，其中点A在x轴上方且，则B点的横坐标为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意可知：，可知，设，，则，因为，可得，整理得，将代入方程可得，解得，可知B点的横坐标为.故选：D．8.已知函数在上有最小值没有最大值，则的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗依题意，，当时，，若在上有最小值没有最大值，则，所以.故选：D二、选择题9.在中，，，，则（）A. B.C.的面积为 D.外接圆的直径是〖答案〗ABD〖解析〗对于A，，故A正确；对于B，由A选项知，由余弦定理得故，故B正确；对于C，由于在中，，故，所以，所以，故C错误；对于D，设外接圆半径为R，则由正弦定理得，故D正确.故选：ABD10.某校高二年级在一次研学活动中，从甲地的3处景点、乙地的4处景点中随机选择一处开始参观，要求所有景点全部参观且不重复.记“第站参观甲地的景点”为事件，，2，…，7，则（）A. B.C. D.〖答案〗AB〖解析〗由题意可得A正确；，故B正确；由于，C错误；,所以D错误.故选：AB.11.如图，已知圆锥PO的底面半径为，高为，AB为底面圆的直径，点C为底面圆周上的动点，则（）A.当C为弧AB的三等分点时，△PAC的面积等于或B.该圆锥可以放入表面积为的球内C.边长为的正方体可以放入到该圆锥内D.该圆锥可以放入边长为正方体中〖答案〗ABD〖解析〗对于A，取AC的中点D，连接OD，PD，OC，则，，如图1，当C为弧AB的三等分点时，或，当时，，所以，，，所以△PAC的面积为；当时，，所以，，所以△PAC的面积为，故A正确；对于B，因为圆锥的底面半径为，高为，所以圆锥的外接球球心在圆锥内部，设圆锥外接球的半径为R，过点A的轴截面如图2，为外接球球心，则，解得，外接球的表面积为，，故B正确；对于C，设放入圆锥内最大的正方体边长为a，沿着正方体对角面的轴截面如图3，因为圆锥的底面半径为，高为，所以，所以，所以，，因为，所以C错误；对于D，过正方体一边的中点作与体对角线垂直的平面，如图4，此平面到顶点P的距离为体对角线的一半，即为，平面截正方体得到边长为2的正六边形，该正六边形的内切圆的半径为，以该圆作为圆锥的底面，点P为顶点即可得到圆锥．故D正确．故选：ABD．三、填空题12.抛物线C：经过点，则点P到C的焦点的距离为________．〖答案〗2〖解析〗把代入得，所以C的焦点为，所以．故〖答案〗为：213.在中国传统文化中，“九”被视为至尊之数，象征长寿、福气和完美，若直线l与圆C相切，直线l在两坐标轴上的截距均为9，圆C的半径为9，点C到x轴的距离为9，则圆C的一个方程为________．〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗由题意可得直线l的方程为，设，由直线l与圆C相切，得，所以或，所以圆C的一个方程可以为．故〖答案〗为：（〖答案〗不唯一）14.若对任意的恒成立，则k的取值范围是________．〖答案〗〖解析〗由得，即，设，则，设，则，令，所以在上单调递减，在上单调递增，且，，又时，所以，即，得，即，设，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以，即，解得．故〖答案〗为：四、解答题15.年菜一词指旧俗过年时所备的菜肴，也就是俗称的“年夜饭”，为了了解消费者对年菜开支的接受区间，某媒体统计了1000名消费者对年菜开支接受情况，经统计这1000名消费者对年菜开支接受区间都在内（单位：百元），按照，，，，，，分组，得到如下频率分布直方图（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）．（1）根据频率分布直方图求出这1000名消费者对年菜开支接受价格的分位数（精确到0.1）；（2）根据频率分布直方图可认为消费者对年菜开支接受价格X近似服从正态分布，其中近似为样本平均数．用样本估计总体，求所有消费者对年菜开支接受价格大于972元的概率．参考数据：若,则,．解：（1）根据频率分布直方图，可得，，所以这1000名消费者对年菜开支接受价格的75%分位数是．（2）由，所以，所以，故所有消费者对年菜开支接受价格大于972元的概率为0.16．16.已知数列的前n项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）设，且数列前n项和为，若都有不等式恒成立，求的取值范围．解：（1）因为，当时，得，即，①，当时，②，由①-②得，，又也满足，所以．（2）因为，所以，，两式相减得，，即，则，故．由，得，即，依题意，不等式恒成立，因为随着n增大而减小，所以，即的取值范围为．17.如图，在直三棱柱中，，，三棱锥的体积为，点D为的中点．（1）求证：平面平面；（2）求直线CD与平面所成角正弦值．（1）证明：在直三棱柱中，，因为，，平面，所以平面，又平面，所以.由，得．在矩形中，，，所以，又，所以，所以，又，平面ACD，所以平面ACD，又平面，所以平面平面．（2）解：因为AB，AC，两两垂直，以点A为坐标原点，以AB，AC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．则，，，，，所以，，．设平面的法向量为，则有，得，取，得，设直线CD与平面所成角为，则，所以直线CD与平面所成角的正弦值为．18.双曲线C：的左、右焦点分别为、，过且倾斜角为的直线为，过且倾斜角为的直线为，已知，之间的距离为．（1）求C的方程；（2）若过点的直线l与C的左、右两支分别交于两点（点不在x轴上），判断是否存在实数k使得．若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．解：（1）设，因为，之间的距离为，所以，，则，所以C的方程为．（2）由（1）知，易知直线l的斜率存在且不为0，设直线l：，，，联立方程组，消去x，得，所以，因为，所以，同理．因为直线l过点且与C的左、右两支分别交于M，N两点，所以M，N两点在x轴同侧，∴，此时，即．所以，所以．所以存在，使得．19.已知．（1）讨论的单调性；（2）若且有2个极值点，，求证：．（1）解：的定义域为，由题可得，设，则在上单调递增，且，若，则，时，，单调递减，时，，单调递增；若，则时，，单调递减，或时，，单调递增；若，则，在上单调递增；若，则时，，单调递减，或时，，单调递增，综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在，上单调递增；当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在，上单调递增．（2）证明：由（1）知时，恒有2个极值点，，且，，所以，设，则，设，则，在上单调递减，，所以在上单调递减，又，，所以存在，使得，即，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，所以．广西桂林市、来宾市2024届高三下学期第三次联合模拟考试（三模）数学试卷一、选择题1.若集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，，所以，故选：B．2.已知，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以.故选：A．3.若，则（）A.18 B.-18 C.12 D.-12〖答案〗C〖解析〗由题意可知，展开式的通项，令，则，所以展开式中系数为；展开式的通项，令，则，所以展开式中系数为；所以.故选：C．4.具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据（，，2，…，5），其经验回归方程为，则（）A.40 B.32 C.8 D.12.8〖答案〗A〖解析〗由题意得，，因为点在回归直线上得，所以．故选：A.5.某校组织社会实践活动，将参加活动的3名老师与6名同学分成三组，每组1名老师与2名同学，不一样的分法共有（）A.45种 B.90种 C.180种 D.270种〖答案〗B〖解析〗先将6名同学平均分成3组，有种分法，再将3名老师分成3组，有种分法，所以共有种分法故选：B.6.在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，平面，，且，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗取的中点，连接，如图所示：∵分别为的中点，则且，∴异面直线与所成的角为或其补角．∵平面，平面，∴，，∴，同理可得，∴，∴，则,故选:C．7.已知椭圆C：的右焦点为F，过F的直线与C交于A、B两点，其中点A在x轴上方且，则B点的横坐标为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意可知：，可知，设，，则，因为，可得，整理得，将代入方程可得，解得，可知B点的横坐标为.故选：D．8.已知函数在上有最小值没有最大值，则的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗依题意，，当时，，若在上有最小值没有最大值，则，所以.故选：D二、选择题9.在中，，，，则（）A. B.C.的面积为 D.外接圆的直径是〖答案〗ABD〖解析〗对于A，，故A正确；对于B，由A选项知，由余弦定理得故，故B正确；对于C，由于在中，，故，所以，所以，故C错误；对于D，设外接圆半径为R，则由正弦定理得，故D正确.故选：ABD10.某校高二年级在一次研学活动中，从甲地的3处景点、乙地的4处景点中随机选择一处开始参观，要求所有景点全部参观且不重复.记“第站参观甲地的景点”为事件，，2，…，7，则（）A. B.C. D.〖答案〗AB〖解析〗由题意可得A正确；，故B正确；由于，C错误；,所以D错误.故选：AB.11.如图，已知圆锥PO的底面半径为，高为，AB为底面圆的直径，点C为底面圆周上的动点，则（）A.当C为弧AB的三等分点时，△PAC的面积等于或B.该圆锥可以放入表面积为的球内C.边长为的正方体可以放入到该圆锥内D.该圆锥可以放入边长为正方体中〖答案〗ABD〖解析〗对于A，取AC的中点D，连接OD，PD，OC，则，，如图1，当C为弧AB的三等分点时，或，当时，，所以，，，所以△PAC的面积为；当时，，所以，，所以△PAC的面积为，故A正确；对于B，因为圆锥的底面半径为，高为，所以圆锥的外接球球心在圆锥内部，设圆锥外接球的半径为R，过点A的轴截面如图2，为外接球球心，则，解得，外接球的表面积为，，故B正确；对于C，设放入圆锥内最大的正方体边长为a，沿着正方体对角面的轴截面如图3，因为圆锥的底面半径为，高为，所以，所以，所以，，因为，所以C错误；对于D，过正方体一边的中点作与体对角线垂直的平面，如图4，此平面到顶点P的距离为体对角线的一半，即为，平面截正方体得到边长为2的正六边形，该正六边形的内切圆的半径为，以该圆作为圆锥的底面，点P为顶点即可得到圆锥．故D正确．故选：ABD．三、填空题12.抛物线C：经过点，则点P到C的焦点的距离为________．〖答案〗2〖解析〗把代入得，所以C的焦点为，所以．故〖答案〗为：213.在中国传统文化中，“九”被视为至尊之数，象征长寿、福气和完美，若直线l与圆C相切，直线l在两坐标轴上的截距均为9，圆C的半径为9，点C到x轴的距离为9，则圆C的一个方程为________．〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗由题意可得直线l的方程为，设，由直线l与圆C相切，得，所以或，所以圆C的一个方程可以为．故〖答案〗为：（〖答案〗不唯一）14.若对任意的恒成立，则k的取值范围是________．〖答案〗〖解析〗由得，即，设，则，设，则，令，所以在上单调递减，在上单调递增，且，，又时，所以，即，得，即，设，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以，即，解得．故〖答案〗为：四、解答题15.年菜一词指旧俗过年时所备的菜肴，也就是俗称的“年夜饭”，为了了解消费者对年菜开支的接受区间，某媒体统计了1000名消费者对年菜开支接受情况，经统计这1000名消费者对年菜开支接受区间都在内（单位：百元），按照，，，，，，分组，得到如下频率分布直方图（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）．（1）根据频率分布直方图求出这1000名消费者对年菜开支接受价格的分位数（精确到0.1）；（2）根据频率分布直方图可认为消费者对年菜开支接受价格X近似服从正态分布，其中近似为样本平均数．用样本估计总体，求所有消费者对年菜开支接受价格大于972元的概率．参考数据：若,则,．解：（1）根据频率分布直方图，可得，，所以这1000名消费者对年菜开支接受价格的75%分位数是．（2）由，所以，所以，故所有消费者对年菜开支接受价格大于972元的概率为0.16．16.已知数列的前n项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）设，且数列前n项和为，若都有不等式恒成立，求的取值范围．解：（1）因为，当时，得，即，①，当时，②，由①-②得，，又也满足，所以．（2）因为，所以，，两式相减得，，即，则，故．由，得，即，依题意，不等式恒成立，因为随着n增大而减小，所以，即的取值范围为．17.如图，在直三棱柱中，，，三棱锥的体积为，点D为的中点．（1）求证：平面平面；（2）求直线CD与平面所成角正弦值．（1）证明：在直三棱柱中，，因为，，平面，所以平面，又平面，所以.由，得．在矩形中，，，所以，又，所以，所以，又，平面ACD，所以平面ACD，又平面，所以平面平面