2023-2024学年江苏省南通市如东县高一下学期期中学情检测数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省南通市如东县2023-2024学年高一下学期期中学情检测数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列命题正确的是（）A.单位向量都相等 B.任一向量与它的相反向量不相等C.平行向量不一定是共线向量 D.模为的向量与任意非零向量共线〖答案〗D〖解析〗对于A：单位向量大小相等都是，但方向不一定相同，故单位向量不一定相等，故A错误；对于B：零向量与它的相反向量相等，故B错误；对于C：平行向量一定是共线向量，故C错误；对于D：模为的向量为零向量，零向量与任非零意向量共线，故D正确.故选：D．2.若三角形中，，，则边的值为（）A. B. C. D.3〖答案〗C〖解析〗在三角形中，，，，由正弦定理得：，所以.故选：C.3.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的面积为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意可得的面积为.故选：B.4.已知，则（）．A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由，即，可得，由正切的倍角公式可得．故选：D．5.如图，在平行四边形中，为的中点，与交于点，则（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗设，则，因为三点共线，所以，解得，则，所以.故选：A.6.已知，，，则（）A B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，，所以，解得，所以，又，所以，所以.故选：A.7.已知中边，若P为边BC上的动点，则（）A.1 B.2 C. D.4〖答案〗B〖解析〗设，则，，所以，因为，所以，所以.故选：B.8.在中，已知，，，若，且，，则在上的投影向量为（为与同向的单位向量），则m的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由余弦定理得，解得，因为，由勾股定理逆定理得⊥，，则，因为，，所以，，在上的投影向量为，故，令，则，令，因为，所以，故当时，，当时，，，故.故选：B.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列等式成立的有（）A. B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗对于A，，A正确；对于B，，B错误；对于C，，C正确；对于D，，D错误.故选：AC.10.下列说法中错误的为（）A.已知，且与夹角为锐角，则B.点O为的内心，且，则为等腰三角形；C.两个非零向量，若，则与共线且反向D.若非零向量满足，则与的夹角是〖答案〗AD〖解析〗对于A，，与夹角为锐角，所以，则，当与同向共线时，，则当与夹角为锐角时，且，所以，故A错误；对于B，，则，所以为等腰三角形，故B正确；对于C，，两边平方得，所以，即，则，所以，则与共线且反向，故C正确；对于D，，两边平方得，则，，，，，因为，所以，故D错误.故选：AD.11.已知三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且，则（）A.B.若，则C.若，则周长的最大值为6D.若的取值范围为〖答案〗BC〖解析〗由余弦定理得，A选项错误；若，则，由余弦定理，得，所以有，B选项正确；若，，由余弦定理得，解得，所以，解得，当且仅当时等号成立，则周长，所以周长的最大值为6，故C选项正确；若，，，由，得，因此的取值范围为，D选项错误.故选：BC.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.12.设为锐角，若，则______．〖答案〗〖解析〗因为为锐角，由，得，.故〖答案〗为：.13.已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则__________．〖答案〗〖解析〗在中，，则，由余弦定理得，由正弦定理得，所以.故〖答案〗为：.14.如图，四个边长均相等的等边三角形有一条边在同一条直线上，边上有10个不同的点，，记，若，则等边三角形的边长为__________．〖答案〗〖解析〗以为坐标原点，所在直线为轴建系，如图所示：设等边三角形边长为，可得：，，，，设直线的方程为：，则有，解得，直线的方程为：，可设：，则有，即有：，，解得（负舍）.故〖答案〗为：.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量，，且与共线.（1）求的值；（2）若与垂直，求实数的值.解：（1），因为与共线，所以，解得.（2）由（1）知，所以，由与垂直，得，所以，解得.16.已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．解：（1）因为，，所以．因为，所以，因此，．（2）因为为锐角，所以．又因为，所以，因此．因为，所以，因此，．17.已知在中，所对的边分别为a，b，c，，且．（1）求角C的大小；（2）D为AB中点，若的面积等于，求的周长的最小值．解：（1），，由正弦定理得，，，.（2）依题意，即，所以，当且仅当时取等号，又由余弦定理得，，当且仅当时取等号，所以的周长的最小值为6．18.已知.（1）若，求的值；（2）在三角形ABC中，若，求的最大值；（3）若关于x的不等式在上恒成立，求实数a的取值范围．解：（1）函数，因为，所以，所以，.（2）由，而，可得，即，所以，因为，所以，则，故当时，取最大值，最大值为．（3）由（1）可知，令，因为，所以，从而，则即为：在上恒成立，所以在在上恒成立，又，当且仅当时等号成立．所以，即实数a的取值范围为.19.“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角，，所对的边分别为，，，且设点为的费马点．（1）若，．①求角；②求．（2）若，，求实数最小值．解：（1）①因为，，又，所以，即．因为，所以，因为，所以．②由三角形内角和性质可知，的三个内角均小于，结合题设易知点一定在的内部．由余弦定理可得，即，又，解得．所以，所以，所以．（2）由已知中，即，故，由正弦定理可得，故直角三角形，即，点为的费马点，则，设，，，，则由得；由余弦定理得，，，故由得，即，而，故，当且仅当，结合，解得时，等号成立，又，即有，解得或（舍去），故实数的最小值为．江苏省南通市如东县2023-2024学年高一下学期期中学情检测数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列命题正确的是（）A.单位向量都相等 B.任一向量与它的相反向量不相等C.平行向量不一定是共线向量 D.模为的向量与任意非零向量共线〖答案〗D〖解析〗对于A：单位向量大小相等都是，但方向不一定相同，故单位向量不一定相等，故A错误；对于B：零向量与它的相反向量相等，故B错误；对于C：平行向量一定是共线向量，故C错误；对于D：模为的向量为零向量，零向量与任非零意向量共线，故D正确.故选：D．2.若三角形中，，，则边的值为（）A. B. C. D.3〖答案〗C〖解析〗在三角形中，，，，由正弦定理得：，所以.故选：C.3.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的面积为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意可得的面积为.故选：B.4.已知，则（）．A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由，即，可得，由正切的倍角公式可得．故选：D．5.如图，在平行四边形中，为的中点，与交于点，则（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗设，则，因为三点共线，所以，解得，则，所以.故选：A.6.已知，，，则（）A B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，，所以，解得，所以，又，所以，所以.故选：A.7.已知中边，若P为边BC上的动点，则（）A.1 B.2 C. D.4〖答案〗B〖解析〗设，则，，所以，因为，所以，所以.故选：B.8.在中，已知，，，若，且，，则在上的投影向量为（为与同向的单位向量），则m的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由余弦定理得，解得，因为，由勾股定理逆定理得⊥，，则，因为，，所以，，在上的投影向量为，故，令，则，令，因为，所以，故当时，，当时，，，故.故选：B.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列等式成立的有（）A. B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗对于A，，A正确；对于B，，B错误；对于C，，C正确；对于D，，D错误.故选：AC.10.下列说法中错误的为（）A.已知，且与夹角为锐角，则B.点O为的内心，且，则为等腰三角形；C.两个非零向量，若，则与共线且反向D.若非零向量满足，则与的夹角是〖答案〗AD〖解析〗对于A，，与夹角为锐角，所以，则，当与同向共线时，，则当与夹角为锐角时，且，所以，故A错误；对于B，，则，所以为等腰三角形，故B正确；对于C，，两边平方得，所以，即，则，所以，则与共线且反向，故C正确；对于D，，两边平方得，则，，，，，因为，所以，故D错误.故选：AD.11.已知三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且，则（）A.B.若，则C.若，则周长的最大值为6D.若的取值范围为〖答案〗BC〖解析〗由余弦定理得，A选项错误；若，则，由余弦定理，得，所以有，B选项正确；若，，由余弦定理得，解得，所以，解得，当且仅当时等号成立，则周长，所以周长的最大值为6，故C选项正确；若，，，由，得，因此的取值范围为，D选项错误.故选：BC.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.12.设为锐角，若，则______．〖答案〗〖解析〗因为为锐角，由，得，.故〖答案〗为：.13.已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则__________．〖答案〗〖解析〗在中，，则，由余弦定理得，由正弦定理得，所以.故〖答案〗为：.14.如图，四个边长均相等的等边三角形有一条边在同一条直线上，边上有10个不同的点，，记，若，则等边三角形的边长为__________．〖答案〗〖解析〗以为坐标原点，所在直线为轴建系，如图所示：设等边三角形边长为，可得：，，，，设直线的方程为：，则有，解得，直线的方程为：，可设：，则有，即有：，，解得（负舍）.故〖答案〗为：.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量，，且与共线.（1）求的值；（2）若与垂直，求实数的值.解：（1），因为与共线，所以，解得.（2）由（1）知，所以，由与垂直，得，所以，解得.16.已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．解：（1）因为，，所以．因为，所以，因此，．（2）因为为锐角，所以．又因为，所以，因此．因为，所以，因此，．17.已知在中，所对的边分别为a，b，c，，且．（1）求角C的大小；（2）D为AB中点，若的面积等于，求的周长的最小值．解：（1），，由正弦定理得，，，.（2）依题意，即，所以，当且仅当时取等号，又由余弦定理得，，当且仅当时取等号，所以的周长的最小值为6．18.已知.（1）若，求的值；（2）在三角形ABC中，若，求的最大值；（3）若关于x的不等式在上恒成立，求实数a的取值范围．解：（1）函数，因为，所以，所以，.（2）由，而，可得，即，所以，因为，所以，则，故当时，取最大值，最大值为．（3）由（1）可知，令，因为，所以，从而，则即为：在上恒成立，所以在在上恒成立，又，当且仅当时等号成立．所以，即实数a的取值范围为.19.“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于时