2022-2023学年吉林省“BEST合作体”高二下学期期末联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE3吉林省“BEST合作体”2022-2023学年高二下学期期末联考数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，计60分，1-8题为单选，9-12题为多选，少选得2分，错选或不选得0分，）1.设集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，，则故选：A2.命题“”，命题“”，则p是q的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件〖答案〗A〖解析〗对于命题，，得，可以推出，但是不能推出，p是q的充分不必要条件.故选：A.3.用模型拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，其变换后得到线性回归方程为，则（）A. B. C.2 D.〖答案〗B〖解析〗因，两边取对数得：，令，则，而，于是得，即，所以.故选：B4.已知抛物线：的准线为，点的坐标为，点在抛物线上，点到直线的距离为，则的最大值为（）A. B. C.1 D.〖答案〗A〖解析〗抛物线：的焦点，依题意，，则，当且仅当点P，F，A共线，即点P为抛物线顶点时取“=”，所以的最大值为.故选：A5.李先生的私家车基本上每月需要去加油站加油两次，假定每月去加油时两次的油价略有差异.有以下两种加油方案：方案一：不考虑两次油价的升降，每次都加油200元；方案二：不考虑两次油价的升降，每次都加油30升.李先生下个月采用哪种方案比较经济划算?（）A.方案一 B.方案二 C.一样划算 D.不能确定〖答案〗A〖解析〗设第一次油价为，第二次油价为，，，方案一的平均油价为：；方案二的平均油价为：.则，故.故选：A.6.已知，为双曲线的左、右顶点，点在上，为等腰三角形，且顶角为，则的离心率为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由双曲线的对称性不妨设点在第一象限，设双曲线的右焦点为F，因为为顶角为的等腰三角形，所以，，则，所以，，则点的坐标为，代入双曲线方程得，化简得，所以双曲线的离心率.故选：D7.已知函数若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗依题意，函数有四个不同的零点，即有四个解，转化为函数与图象由四个交点，由函数函数可知，当时，函数为单调递减函数，；当时，函数为单调递增函数，；当时，函数为单调递减函数，；当时，函数为单调递增函数，；结合图象，可知实数的取值范围为.故选：A8.若，，，则a，b，c的大小关系为（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗构造函数，则，所以在上单调递增，则，故，构建，则，在上恒成立，故在上单调递减，则，∴，所以，即，所以，故，综上，，故选：C9.某课外兴趣小组通过随机调查，利用列联表和统计量研究数学成绩优秀是否与性别有关．计算得，经查阅临界值表知，则下列判断错误的是（）A.每100个数学成绩优秀的人中就会有1名是女生B.若某人数学成绩优秀，那么他为男生的概率是0.010C.有的把握认为“数学成绩优秀与性别有关D.在犯错误的概率不超过的前提下认为“数学成绩优秀与性别无关”〖答案〗ABD〖解析〗每100个数学成绩优秀的人中可能没有女生，也有可能有多名女生，已知数据不能确定结论，故A错误；若某人数学成绩优秀，已知数据不能判断他为男生的概率，故B错误；由以及可知，有的把握认为“数学成绩优秀与性别有关，即在犯错误率不超过前提下认为“数学成绩优秀与性别有关”，故C正确，D错误.故选：ABD10.下列命题中正确的是（）A.命题：“”的否定是“”B.函数（且）恒过定点C.已知函数的定义域为，则函数的定义域为D.函数值域是，则实数m的范围是〖答案〗BCD〖解析〗A选项，根据全称量词命题的否定的知识可知：“”的否定是“”，故A错误；B选项，因为，由，可得恒过定点，故B正确；C选项，函数的定义域为，，所以的定义域为，所以，即函数的定义域为，故C正确；D选项，函数的值域是，当时，的值域为，符合题意，当时，则，解得；综上所述，的取值范围是，故D正确.故选：BCD.11.一个袋子中装有除颜色外完全相同的10个球，其中有6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，记随机变量为取出白球的个数，随机变量为取出黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量为取出4个球的总得分，则下列结论中正确的是（）A. B. C. D.〖答案〗BD〖解析〗由条件可知，袋子中有6黑4白，又共取出4个球，所以，故B正确；的取值为，，，，，，可知A错；的取值为，且，，，，，则，，所以，故C错；的取值为，且，，，，，所以，故D正确；故选：BD.12.定义在上的函数的导函数为，当时，，函数满足：为奇函数，且对于定义域内的所有实数，都有．则（）A.是周期为2的函数 B.为偶函数C. D.的值域为〖答案〗BC〖解析〗因为，所以，在时，，所以，所以，故在上单调递减．因为为奇函数，所以，所以函数关于点中心对称，即；又，所以函数关于直线对称，所以在单调递增，且，则，，可得，是周期为的周期函数，A不正确．因为，，结合草图可知，C正确．对于定义域内任一个，结合周期性可得，故为偶函数，B正确而的函数最值无法确定，故D错误．故选：BC二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，计20分）13.已知等差数列的前项和为，且，，则______．〖答案〗5〖解析〗因为，则，又，所以，则，所以.故〖答案〗为：14.的展开式中，的系数为______．〖答案〗〖解析〗可以看作5个盒子，每个盒子中有三个元素，现从每个盒子中取出一个元素，最后相乘即可，所以展开式中含的项为，所以的系数为.故〖答案〗为：15.已知，，且，则的最大值是_____.〖答案〗4〖解析〗因为，，所以由基本不等式得,所以，得，所以，当且仅当即，时取等号,所以的最大值是4,故〖答案〗为：416.在明代珠算发明之前，我们的先祖从春秋开始多是用算筹为工具来记数、列式和计算.算筹实际上是一根根相同长度的小木棍，如图，是利用算筹表示数1~9的一种方法，例如：47可以表示为“”，如果用算筹表示一个不含“0”且没有重复数字的三位数，这个数至少要用8根小木棍的概率为__________.〖答案〗〖解析〗至少要用8根小木根的对立事件为用掉5根，6根，7根这三种情况，用5根小木棍为1、2、6这一种情况的全排列，6根有123，127，163，167这四种情况的全排列，7根有124，128，164，168，137，267，263这七种情况的全排列，用掉5根，6根，7根小木棍的全排列共有种，表示一个不含“0”且没有重复数字的三位数有种情况故至少要用8根小木根的概率为.故〖答案〗为：.三、解答题（本大题共6小题，17题10分，18-22题每题12分，计70分）17.在某校举办“青春献礼二十大，强国有我新征程”的知识能力测评中，随机抽查了100名学生，其中共有4名女生和3名男生的成绩在90分以上，从这7名同学中每次随机抽1人在全校作经验分享，每位同学最多分享一次，记第一次抽到女生为事件A，第二次抽到男生为事件B．（1）求，，（2）若把抽取学生的方式更改为：从这7名学生中随机抽取3人进行经验分享，记被抽取的3人中女生的人数为X，求X的分布列和数学期望．解：（1）方法一：由题意可得：，“第一次抽到女生且第二次抽到男生”就是事件AB：“第一次抽到男生且第二次抽到男生”就是事件，从7个同学中每次不放回地随机抽取2人，试验的样本空间Ω包含个等可能的样本点，因为，，所以，故．方法二：，“在第一次抽到女生的条件下，第二次抽到男生”的概率就是事件A发生的条件下，事件B发生的概率，则，，故．（2）被抽取的3人中女生人数X的取值为0，1，2，3，，，，，X的分布列：X0123PX的数学期望.18.2023年，国家不断加大对科技创新的支持力度，极大鼓舞了企业投入研发的信心，增强了企业的创新动能.某企业在国家一系列优惠政策的大力扶持下，通过技术革新和能力提升，极大提升了企业的影响力和市场知名度，订单数量节节攀升，右表为该企业今年1~4月份接到的订单数量.月份t1234订单数量y（万件）5.25.35.75.8附：相关系数，回归方程中斜率和截距最小二乘法估计公式分别为，，.（1）试根据样本相关系数r的值判断订单数量y与月份t的线性相关性强弱（，则认为y与t的线性相关性较强，，则认为y与t的线性相关性较弱）.（结果保留两位小数）（2）建立y关于t的线性回归方程，并预测该企业5月份接到的订单数量.解：（1），，，，，，订单数量y与月份t的线性相关性较强；（2），，线性回归方程为，令，（万件），即该企业5月份接到的订单数量预计为6.05万件.19.已知数列的前n项和为．（1）从条件①、条件②这两个条件中选择一个条件作为已知，求的通项公式；（2）设，记的前n项和为，若对任意正整数的n，不等式恒成立，求的最小值．条件①，且；条件②为等比数列，且满足；（注：若条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．）解：（1）选择条件①，且，由题意可得，∴，即，∴为公比的等比数列，∵，∴，解得，∴；选择条件②为等比数列，且满足，由题意可得，∴，∴；（2）由（1）得，∴，∴，∵，，∴∴不等式恒成立时，，即的最小值为．20.已知函数．（1）若曲线在处的切线方程为，求实数a的值；（2）当时，求在上的最大值；（3）若对任意的，恒有，求实数a的取值范围．解：（1）由，所以，又曲线在处的切线方程为，即，所以；（2）当时，，由在上分别单调递增、单调递减可得：在上单调递增，而，即，使得，故在上单调递减，上单调递增，且，即在上的最大值为；（3）∵，，令，①当时，，易知在上恒成立，当时取得等号，符合题意；②当时，易知，则在上恒成立，即在时单调递增，又，故上单调递增，∵，∴恒有，符合题意；③当时，由②知在时单调递增，而，即，使得，故在上单调递减，上单调递增，又，则，不满足题意；综上当，能满足任意的，恒有.21.2023年4月23日，是中国海军成立74周年74年向海图强，74年劈波斩浪．74年，人民海军新装备不断增加，新型作战力量加速发展，从“101南昌舰”到“108咸阳舰”，8艘055型驱逐舰列阵.我国自主研制的075型两栖攻击舰“31海南舰”“32广西舰”“33安徽舰”也相继正式入列．从小艇到大舰，从近海防御到挺进深蓝大洋，人民海军步履铿锵，捍卫国家主权，维护世界和平．为了庆祝中国海军成立74周年，某公司设计生产了三款两栖攻击舰模型（分别为“31海南舰”､“32广西舰”“33安徽舰”），并限量发行若该公司每个月发行300件（三款各100件），一共持续12个月，采用摇号的方式进行销售．假设每个月都有3000人参与摇号，摇上号的将等可能获得三款中的一款．小周是个“战舰狂热粉”，听到该公司发行两栖攻击舰模型，欣喜若狂．（1）若小周连续三个月参与摇号，求他在这三个月集齐三款模型的概率；（2）若摇上号的人不再参加后面的摇号．已知小周从第一个月开始参与摇号，并且在12个月的限量发行中成功摇到并获得了模型．设他第X个月摇到并获得了模型，求X的数学期望．解：（1）由题可知，小周第1个月摇上号的概率为，所以小周连续三个月摇上号的概率为，小周连续三个月摇上号的前提下，三个月集齐三款模型共有种情况，三个月获得模型共有种情况，所以在小周连续三个月摇上号的前提下，三个月集齐三款模型的概率为,设事件为“小周在这三个月集齐三款模型”，则．（2）由题意得，，则，两边同乘得，两式相减，所以．22.已知，函数，.（1）当与都存在极小值，且极小值之和为时，求实数的值；（2）若，求证：解：（1），定义域均为，，当时，则，在单调递增，无极值，与题不符；当时，令，解得：，所以在单调递减，在单调递增，在取极小值，且；又，当时：，在单调递减，无极值，与题不符；当时：令，解得：，所以在单调递减，在单调递增，在取极小值，且；由题：，解得：.（2）令，因为，所以，由可得：，（1）-（2）得：，所以，要证：，只要证：，只要证：不妨设，所以只要证：，即证：，令，只要证：，令，，所以在上单调递增，即有成立，所以成立.吉林省“BEST合作体”2022-2023学年高二下学期期末联考数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，计60分，1-8题为单选，9-12题为多选，少选得2分，错选或不选得0分，）1.设集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，，则故选：A2.命题“”，命题“”，则p是q的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件〖答案〗A〖解析〗对于命题，，得，可以推出，但是不能推出，p是q的充分不必要条件.故选：A.3.用模型拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，其变换后得到线性回归方程为，则（）A. B. C.2 D.〖答案〗B〖解析〗因，两边取对数得：，令，则，而，于是得，即，所以.故选：B4.已知抛物线：的准线为，点的坐标为，点在抛物线上，点到直线的距离为，则的最大值为（）A. B. C.1 D.〖答案〗A〖解析〗抛物线：的焦点，依题意，，则，当且仅当点P，F，A共线，即点P为抛物线顶点时取“=”，所以的最大值为.故选：A5.李先生的私家车基本上每月需要去加油站加油两次，假定每月去加油时两次的油价略有差异.有以下两种加油方案：方案一：不考虑两次油价的升降，每次都加油200元；方案二：不考虑两次油价的升降，每次都加油30升.李先生下个月采用哪种方案比较经济划算?（）A.方案一 B.方案二 C.一样划算 D.不能确定〖答案〗A〖解析〗设第一次油价为，第二次油价为，，，方案一的平均油价为：；方案二的平均油价为：.则，故.故选：A.6.已知，为双曲线的左、右顶点，点在上，为等腰三角形，且顶角为，则的离心率为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由双曲线的对称性不妨设点在第一象限，设双曲线的右焦点为F，因为为顶角为的等腰三角形，所以，，则，所以，，则点的坐标为，代入双曲线方程得，化简得，所以双曲线的离心率.故选：D7.已知函数若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗依题意，函数有四个不同的零点，即有四个解，转化为函数与图象由四个交点，由函数函数可知，当时，函数为单调递减函数，；当时，函数为单调递增函数，；当时，函数为单调递减函数，；当时，函数为单调递增函数，；结合图象，可知实数的取值范围为.故选：A8.若，，，则a，b，c的大小关系为（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗构造函数，则，所以在上单调递增，则，故，构建，则，在上恒成立，故在上单调递减，则，∴，所以，即，所以，故，综上，，故选：C9.某课外兴趣小组通过随机调查，利用列联表和统计量研究数学成绩优秀是否与性别有关．计算得，经查阅临界值表知，则下列判断错误的是（）A.每100个数学成绩优秀的人中就会有1名是女生B.若某人数学成绩优秀，那么他为男生的概率是0.010C.有的把握认为“数学成绩优秀与性别有关D.在犯错误的概率不超过的前提下认为“数学成绩优秀与性别无关”〖答案〗ABD〖解析〗每100个数学成绩优秀的人中可能没有女生，也有可能有多名女生，已知数据不能确定结论，故A错误；若某人数学成绩优秀，已知数据不能判断他为男生的概率，故B错误；由以及可知，有的把握认为“数学成绩优秀与性别有关，即在犯错误率不超过前提下认为“数学成绩优秀与性别有关”，故C正确，D错误.故选：ABD10.下列命题中正确的是（）A.命题：“”的否定是“”B.函数（且）恒过定点C.已知函数的定义域为，则函数的定义域为D.函数值域是，则实数m的范围是〖答案〗BCD〖解析〗A选项，根据全称量词命题的否定的知识可知：“”的否定是“”，故A错误；B选项，因为，由，可得恒过定点，故B正确；C选项，函数的定义域为，，所以的定义域为，所以，即函数的定义域为，故C正确；D选项，函数的值域是，当时，的值域为，符合题意，当时，则，解得；综上所述，的取值范围是，故D正确.故选：BCD.11.一个袋子中装有除颜色外完全相同的10个球，其中有6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，记随机变量为取出白球的个数，随机变量为取出黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量为取出4个球的总得分，则下列结论中正确的是（）A. B. C. D.〖答案〗BD〖解析〗由条件可知，袋子中有6黑4白，又共取出4个球，所以，故B正确；的取值为，，，，，，可知A错；的取值为，且，，，，，则，，所以，故C错；的取值为，且，，，，，所以，故D正确；故选：BD.12.定义在上的函数的导函数为，当时，，函数满足：为奇函数，且对于定义域内的所有实数，都有．则（）A.是周期为2的函数 B.为偶函数C. D.的值域为〖答案〗BC〖解析〗因为，所以，在时，，所以，所以，故在上单调递减．因为为奇函数，所以，所以函数关于点中心对称，即；又，所以函数关于直线对称，所以在单调递增，且，则，，可得，是周期为的周期函数，A不正确．因为，，结合草图可知，C正确．对于定义域内任一个，结合周期性可得，故为偶函数，B正确而的函数最值无法确定，故D错误．故选：BC二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，计20分）13.已知等差数列的前项和为，且，，则______．〖答案〗5〖解析〗因为，则，又，所以，则，所以.故〖答案〗为：14.的展开式中，的系数为______．〖答案〗〖解析〗可以看作5个盒子，每个盒子中有三个元素，现从每个盒子中取出一个元素，最后相乘即可，所以展开式中含的项为，所以的系数为.故〖答案〗为：15.已知，，且，则的最大值是_____.〖答案〗4〖解析〗因为，，所以由基本不等式得,所以，得，所以，当且仅当即，时取等号,所以的最大值是4,故〖答案〗为：416.在明代珠算发明之前，我们的先祖从春秋开始多是用算筹为工具来记数、列式和计算.算筹实际上是一根根相同长度的小木棍，如图，是利用算筹表示数1~9的一种方法，例如：47可以表示为“”，如果用算筹表示一个不含“0”且没有重复数字的三位数，这个数至少要用8根小木棍的概率为__________.〖答案〗〖解析〗至少要用8根小木根的对立事件为用掉5根，6根，7根这三种情况，用5根小木棍为1、2、6这一种情况的全排列，6根有123，127，163，167这四种情况的全排列，7根有124，128，164，168，137，267，263这七种情况的全排列，用掉5根，6根，7根小木棍的全排列共有种，表示一个不含“0”且没有重复数字的三位数有种情况故至少要用8根小木根的概率为.故〖答案〗为：.三、解答题（本大题共6小题，17题10分，18-22题每题12分，计70分）17.在某校举办“青春献礼二十大，强国有我新征程”的知识能力测评中，随机抽查了100名学生，其中共有4名女生和3名男生的成绩在90分以上，从这7名同学中每次随机抽1人在全校作经验分享，每位同学最多分享一次，记第一次抽到女生为事件A，第二次抽到男生为事件B．（1）求，，（2）若把抽取学生的方式更改为：从这7名学生中随机抽取3人进行经验分享，记被抽取的3人中女生的人数为X，求X的分布列和数学期望．解：（1）方法一：由题意可得：，“第一次抽到女生且第二次抽到男生”就是事件AB：“第一次抽到男生且第二次抽到男生”就是事件，从7个同学中每次不放回地随机抽取2人，试验的样本空间Ω包含个等可能的样本点，因为，，所以，故．方法二：，“在第一次抽到女生的条件下，第二次抽到男生”的概率就是事件A发生的条件下，事件B发生的概率，则，，故．（2）被抽取的3人中女生人数X的取值为0，1，2，3，，，，，X的分布列：X0123PX的数学期望.18.2023年，国家不断加大对科技创新的支持力度，极大鼓舞了企业投入研发的信心，增强了企业的创新动能.某企业在国家一系列优惠政策的大力扶持下，通过技术革新和能力提升，极大提升了企业的影响力和市场知名度，订单数量节节攀升，右表为该企业今年1~4月份接到的订单数量.月份t1234订单数量y（万件）5.25.35.75.8附：相关系数，回归方程中斜率和截距最小二乘法估计公式分别为，，.（1）试根据样本相关系数r的值判断订单数量y与月份t的线性相关性强弱（，则认为y与t的线性相关性较强，，则认为y与t的线性相关性较弱）.（结果保留两位小数）（2）建立y关于t的线性回归方程，并预测该企业5月份接到的订单数量.解：（1），，，，，，订单数量y与月份t的线性相关性较强；（2），，线性回归方程为，令，（万件），即该企业5月份接到的订单数量预计为6.05万件.19.已知数列的前n项和为．（1）从条件①、条件②这两个条件中选择一个条件作为已知，求的通项公式；（2）设，记的前n项和为，若对任意正整数的n，不等式恒成立，求的最小值．条件①，且；条件②为等比数列，且满足；（注：若条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．）解：（1）选择条件①，且，由题意可得，∴，即，∴为公比的等比数列，∵，∴，解得，∴；选择条件②为等比数列，且满足，由题意可得，∴，∴；（2）由（1）得，∴，∴，∵，，∴∴不等式恒成立时，，即的最小值为．20.已知函数．（1）若曲线在处的切线方程为，求实数a的值；（2）当时，求在上的最大值；（3）若对任意的，恒有，求实数a的取值范围．解：（1）由，所以，又曲线在处的切线方程为，即，所以；（2）当时，，由在上分别单调递增、单调递减可得：在上单调递增，而，即，使得，故在上单调递减，上单调递增，且，即在上的最大值为；（3）∵，，令，①当时，，易知在上恒成立，当