2023-2024学年江苏省连云港市东海县高一下学期期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2江苏省连云港市东海县2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗复数与分别表示向量与，因为，所以表示向量的复数为.故选：C.2.中，“”是“”（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗C〖解析〗因为，由大角对大边可得，由正弦定理得，且，所以，故，充分性成立，同理当时，，，由正弦定理可得，由大边对大角可得，必要性成立，“”是“”的充要条件.故选：C.3.设，，，则（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗，，，所以.故选：A.4.设为实数，向量，，且，则的值为（）A. B. C.或 D.或〖答案〗D〖解析〗因为，所以，解得或.故选：D.5.在中，已知．若最长边的长为，则最短边的长为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗∵在中，，，，，即为最大角，与都为锐角，，，即为最小角，为最小边，，，由正弦定理得：，解得.故选：B.6.将函数的图象向右平移个单位长度后得到曲线．若曲线关于原点对称，则的最小值是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗将函数的图象向右平移个单位长度后函数〖解析〗式为：，即，又因为曲线关于原点对称，所以，，解得，，因为，所以当时，取得最小值，的最小值是.故选：C.7.已知，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，则，再分子分母同时除以可得：，即，所以.故选：C.8.在中，，，是以为直径的圆上任意一点，则的最大值是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如图：以中点为原点，建立平面直角坐标系，则，，设，，所以，，所以，因为，（其中且），所以，从而.故选：A.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.设是三个非零向量，则下列命题正确的有（）A. B.C.不与垂直 D.〖答案〗BD〖解析〗对于A：因为表示与共线的向量，表示与共线的向量，当与不共线，且时，故A错误；对于B：，故B正确；对于C，，所以与垂直，故C错误；对于D：当、不共线时，所以、、组成三角形的三边，所以，当、同向时，当、反向时，又，，所以，故D正确.故选：BD.10.已知，是关于的方程的两根，其中，．若（为虚数单位），则（）A. B.C. D.〖答案〗AB〖解析〗A、B：由题意可得，即，所以，故，故A、B正确；C：利用AB〖解析〗可得，故C错误；D：利用AB〖解析〗由可得，所以，而，故D错误.故选：AB.11.在锐角中，角的对边分别为，且满足，，则下列说法正确的有（）A.外接圆面积是 B.面积的最大值是C.周长的取值可以是 D.内切圆半径的取值范围是〖答案〗ABD〖解析〗由，结合正弦定理，可得：，因为在锐角三角形中，，所以.由，又为锐角，所以，对A：设的外接圆半径为，由，所以，所以外接圆面积为：，故A正确；对B：由余弦定理，当且仅当时取“”，所以，故B正确；对C：因为为锐角三角形，所以，，，所以，由正弦定理：，所以，，所以，因为，所以，所以，所以周长的取值范围为，因为，故C错误；对D：设内切圆半径为，则，又，，，所以，由，所以，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.函数的零点为______．〖答案〗〖解析〗由.故〖答案〗：.13.某人在高出海面的山顶处，测得海面上的航标A在正东方向，俯角为，航标B在南偏东的方向上，俯角为，若航标A、B间的距离为400米，则山的海拔高度为_____米．〖答案〗〖解析〗如图，设山在海平面处为，由题意可得，设山的海拔高度为，则，在中，由余弦定理得，即，解得，即山的海拔高度为米.故〖答案〗为：.14.已知中，，，在边上，且，是边上的中点.若与交于点，则______．〖答案〗〖解析〗设，则，设，可得，所以，而，由，可得，解得，所以，，由，设，则，可得，在中，由余弦定理，可得，因为，所以，即，可得.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤．15.已知点，且点满足．（1）若点在直线上，求的值；（2）若，求．解：（1）因为点在直线上，故可设点，所以，，，由得，，即，解得.（2）由已知，由已知，所以，因为，所以，解得，所以，因此，．16.已知锐角，满足，．（1）求的值；（2）求的值．解：（1）因为，，所以，所以，，因为，所以.（2）因为，所以，又因为，所以.17.已知满足．（1）求；（2）若为的角平分线，，，求的周长.解：（1）在中，由正弦定理：，则，，，因为，所以，即，由余弦定理：，因为，所以.（2）设边上的高为，因为为的角平分线，所以，所以面积：，的面积：，因此，又，，所以，在中，由余弦定理：，所以，而，，所以，又因为，即，解得，所以的周长为：．18.已知向量，，设函数．（1）求函数的最小正周期；（2）解不等式；（3）若对，都有成立，求实数的取值范围．解：（1）由题意可得：，所以函数的最小正周期.（2）由可得，令，解得，所以的解集为.（3）由题意可得：，由可得，即对成立，因为，则，可得，令，可知问题转化为对恒成立，可得对成立，又因为，当且仅当时，等号成立，可知，所以实数的取值范围为.19.已知中，角，，的对边为，，，是边上的中点．（1）若．（i）求；（ii）若，，求的面积；（2）若，，，试探究存在时满足的条件．解：（1）（i）在中，因为，由正弦定理可得，，所以，因为得，所以，故.（ii）在中，由余弦定理得，即，①因为是边上的中点，所以，②①②得，所以的面积为.（2）（法一）如图1，在中，由余弦定理得，即①；因为是边上的中线，所以，两边平方有②，将①式代入②得，与同号，当时，，存在；当时，，由②得，因为，所以，即③，当为锐角时，，，，③式为，令，，知在上单调递减，所以；当为钝角时，，，，③式为，令，，知在上单调递增，所以，所以，当时，，存在；当为锐角时，，存在；当为钝角时，，存在.（法二）当为直角时，即时，；已知角和对边，当为锐角时（如图2），点在优弧上移动，当点位于点时，（为圆心，为边中点），因为，所以，即，又，所以在和中，由余弦定理得：，故，当为钝角时（如图3），点在劣弧上移动，当点位于点时，（为圆心，为边中点），因为，所以，即，又，所以在和中，由余弦定理得：，.江苏省连云港市东海县2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗复数与分别表示向量与，因为，所以表示向量的复数为.故选：C.2.中，“”是“”（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗C〖解析〗因为，由大角对大边可得，由正弦定理得，且，所以，故，充分性成立，同理当时，，，由正弦定理可得，由大边对大角可得，必要性成立，“”是“”的充要条件.故选：C.3.设，，，则（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗，，，所以.故选：A.4.设为实数，向量，，且，则的值为（）A. B. C.或 D.或〖答案〗D〖解析〗因为，所以，解得或.故选：D.5.在中，已知．若最长边的长为，则最短边的长为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗∵在中，，，，，即为最大角，与都为锐角，，，即为最小角，为最小边，，，由正弦定理得：，解得.故选：B.6.将函数的图象向右平移个单位长度后得到曲线．若曲线关于原点对称，则的最小值是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗将函数的图象向右平移个单位长度后函数〖解析〗式为：，即，又因为曲线关于原点对称，所以，，解得，，因为，所以当时，取得最小值，的最小值是.故选：C.7.已知，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，则，再分子分母同时除以可得：，即，所以.故选：C.8.在中，，，是以为直径的圆上任意一点，则的最大值是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如图：以中点为原点，建立平面直角坐标系，则，，设，，所以，，所以，因为，（其中且），所以，从而.故选：A.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.设是三个非零向量，则下列命题正确的有（）A. B.C.不与垂直 D.〖答案〗BD〖解析〗对于A：因为表示与共线的向量，表示与共线的向量，当与不共线，且时，故A错误；对于B：，故B正确；对于C，，所以与垂直，故C错误；对于D：当、不共线时，所以、、组成三角形的三边，所以，当、同向时，当、反向时，又，，所以，故D正确.故选：BD.10.已知，是关于的方程的两根，其中，．若（为虚数单位），则（）A. B.C. D.〖答案〗AB〖解析〗A、B：由题意可得，即，所以，故，故A、B正确；C：利用AB〖解析〗可得，故C错误；D：利用AB〖解析〗由可得，所以，而，故D错误.故选：AB.11.在锐角中，角的对边分别为，且满足，，则下列说法正确的有（）A.外接圆面积是 B.面积的最大值是C.周长的取值可以是 D.内切圆半径的取值范围是〖答案〗ABD〖解析〗由，结合正弦定理，可得：，因为在锐角三角形中，，所以.由，又为锐角，所以，对A：设的外接圆半径为，由，所以，所以外接圆面积为：，故A正确；对B：由余弦定理，当且仅当时取“”，所以，故B正确；对C：因为为锐角三角形，所以，，，所以，由正弦定理：，所以，，所以，因为，所以，所以，所以周长的取值范围为，因为，故C错误；对D：设内切圆半径为，则，又，，，所以，由，所以，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.函数的零点为______．〖答案〗〖解析〗由.故〖答案〗：.13.某人在高出海面的山顶处，测得海面上的航标A在正东方向，俯角为，航标B在南偏东的方向上，俯角为，若航标A、B间的距离为400米，则山的海拔高度为_____米．〖答案〗〖解析〗如图，设山在海平面处为，由题意可得，设山的海拔高度为，则，在中，由余弦定理得，即，解得，即山的海拔高度为米.故〖答案〗为：.14.已知中，，，在边上，且，是边上的中点.若与交于点，则______．〖答案〗〖解析〗设，则，设，可得，所以，而，由，可得，解得，所以，，由，设，则，可得，在中，由余弦定理，可得，因为，所以，即，可得.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤．15.已知点，且点满足．（1）若点在直线上，求的值；（2）若，求．解：（1）因为点在直线上，故可设点，所以，，，由得，，即，解得.（2）由已知，由已知，所以，因为，所以，解得，所以，因此，．16.已知锐角，满足，．（1）求的值；（2）求的值．解：（1）因为，，所以，所以，，因为，所以.（2）因为，所以，又因为，所以.17.已知满足．（1）求；（2）若为的角平分线，，，求的周长.解：（1）在中，由正弦定理：，则，，，因为，所以，即，由余弦定理：，因为，所以.（2）设边上的高为，因为为的角平分线，所以，所以面积：，的面积：，因此，又，，所以，在中，由余弦定理：，所以，而，，所以，又因为，即，解得，所以的周长为：．18.已知向量，，设函数．（1）求函数的最小正周期；（2）解不等式；（3）若对，都有成立，求实数的取值范围．解：（1）由题意可得：，所以函数的最小正周期.（2）由可得，令，解得，所以的解集为.（3）由题意可得：，由可得，即对成立，因为，则，可得，令，可知问题转化为对恒成立，可得对成立，又因为，当且仅当时，等号成立，可知，所以实数的取值范围为.19.已知中，角，，的对边为，，，是边上的中点．（1）若．（i）求；（ii）若，，求的面积；（2）若，，，试探究存在时满足的条件．解：（1）（i）在中，因为，由正弦定理可得，，所以，因为得，所以，故.（ii）在中，由余弦定理得，即，①因为是边上的中点，所以，②①②得，所以的面积为.（2）（法一）如图1，在中，由余弦定理得，即①；