2022-2023学年浙江省宁波市余姚市高一下学期期末数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2浙江省宁波市余姚市2022-2023学年高一下学期期末数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个正确选项.1.若复数为纯虚数，则实数的值为（）A.2 B.2或 C. D.〖答案〗C〖解析〗因为复数为纯虚数，则有，解得，所以实数的值为.故选：C.2.在中，内角，，所对的边分别为，，.已知，若，则角的大小为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗已知，结合余弦定理得出，又，所以，已知，结合正弦定理得，则，所以，故.故选：A.3.已知正三角形边长为2，用斜二测画法画出该三角形的直观图，则所得直观图的面积为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗正三角形的高为，根据斜二测画法的知识可知，直观图的面积为.故选：B.4.已知平面向量，满足，且，若，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗依题意，即，又，且，所以，即，解得.故选：C．5.下列命题正确的是（）①平行于同一条直线的两条直线平行；②平行于同一条直线的两个平面平行；③平行于同一个平面的两条直线平行；④平行于同一个平面的两个平面平行.A.①② B.③④ C.①④ D.②③〖答案〗C〖解析〗①由平行线间的传递性可知，平行于同一条直线的两条直线平行，故①正确；②平行于同一条直线的两个平面平行或相交，故②错误；③平行于同一个平面的两条直线平行、相交或异面，故③错误；④根据平面平行的性质，平行于同一个平面的两个平面平行，故④正确.故选：C.6.某图书馆统计了某个月前8天纸质图书的借阅情况，整理数据得到如下折线图．根据折线图，下列结论正确的是（）A.这8天里，每天图书借出数的极差大于50B.这8天里，每天图书借出数的平均数大于105C.这8天里，每天图书借出数的中位数大于101D.前4天图书借出数的方差小于后4天图书借出数的方差〖答案〗C〖解析〗A：每天图书借出数的极差为，错；B：每天图书借出数的平均数，错；C：由数据从小到大排序为，则中位数为，对；D：前4天平均数，则方差为，后4天平均数，则方差为，所以前4天图书借出数的方差大于后4天图书借出数的方差，错.故选：C.7.在正四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面是腰长为的等腰三角形，则正四棱锥的外接球的体积为（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗如图所示：设外接球的球心为O，半径为R，底面中心为E，连接SE，BO，BE，因为在正四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面是腰长为的等腰三角形，所以，在中，，即，解得，所以外接球的体积为.故选：C.8.如图，在平面四边形ABCD中，．若点E为边CD上的动点（不与C、D重合），则的最小值为（）A. B. C. D.1〖答案〗B〖解析〗由于，如图，以D为坐标原点，以为轴建立直角坐标系，连接由于，则≌，而，故，则，则，设，则，，故，当时，有最小值.故选：B．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.每小题有多个正确选项，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.甲乙两台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床的正品率是0.8，乙机床的正品率为0.9，分别从它们制造的产品中任意抽取一件，则（）A.两件都是次品的概率为0.02B.事件“至多有一件正品”与事件“至少有一件正品”是互斥事件C.恰有一件正品的概率为0.26D.事件“两件都是次品”与事件“至少有一件正品”是对立事件〖答案〗ACD〖解析〗对于A，若取出的两件都是次品，其概率，故A项正确；对于B，事件“至多有一件正品”包含有两件次品、一件正品和一件次品，“至少有一件正品”包含有两件正品、一件正品和一件次品，所以两个事件不是互斥事件，故B项错误；对于C，恰有一件正品，其概率，故C项正确；对于D，“至少有一件正品”包含有两件正品、一件正品和一件次品，所以事件“两件都是次品”与事件“至少有一件正品”是对立事件，故D项正确.故选：ACD.10.已知复数z满足，则（）A.B.z满足方程C.D.z在复平面内对应的点位于第二象限〖答案〗AB〖解析〗因为，所以，对于A项，，故A项正确；对于B项，将代入得：，故B项正确；对于C项，，故C项错误；对于D项，，所以在复平面内对应的点为，故D项错误.故选：AB.11.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（）A.若，则为锐角三角形B.若，则C.若，则此三角形有2解D.若，则为等腰三角形〖答案〗BC〖解析〗对于A项，因为，所以，所以为锐角，但不一定是锐角三角形，故A项不成立；对于B项，因为，所以由正弦定理可知，，故B项正确；对于C项，如图所示，因为，所以此三角形有2解，故C项正确；对于D项，因为，，所以或，即：或，所以为等腰三角形或直角三角形，故D项不成立.故选：BC.12.已知正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，点M为侧棱上的动点（包括端点），平面．下列说法正确的有（）A.异面直线AM与可能垂直B.直线BC与平面可能垂直C.AB与平面所成角的正弦值的范围为D.若且，则平面截正四棱柱所得截面多边形的周长为〖答案〗AD〖解析〗在正四棱柱中，底面正方形ABCD的边长为1，AA1=2，如图：选项A：当MC=时，在矩形BCC1B1中，，所以，又因AB⊥平面BCC1B1，所以AB⊥B1C，又因为，、平面，所以B1C⊥平面ABM，所以，故选项A正确；选项B：因为AM与BC是异面直线，所以AM与BC不可能平行，故与不可能垂直，故选项B错误；选项C：因为平面，AB是平面的斜线，则AB与平面所成角，所以，又因为当点M在棱CC1移动时，，所以，所以，故选项C错误；选项D：当M为CC1中点时，连接AB1，AD1，AC，MB1，MD1，BD1，如图所示，则有，，所以，所以AM⊥MB1，同理AM⊥MD1，又因为，、面，所以AM⊥平面MB1D1，所以平面截正四棱柱所得截面多边形为正△，所以其周长，故选项D正确.故选：AD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量，，且与共线，则________．〖答案〗〖解析〗向量，且与共线，得，，所以．故〖答案〗为：.14.在中，，，，则绕所在直线旋转一周所形成的几何体的表面积为______________.〖答案〗〖解析〗由题知该旋转体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，在中，，，，如下图所示，底面圆的半径为，则所形成的几何体的表面积为.故〖答案〗为：.15.如图所示，摩天轮的直径为，最高点距离地面的高度为，摩天轮按逆时针方向作匀速转动，且每转一圈．若游客甲在最低点坐上摩天轮座舱，则在开始转动后距离地面的高度为________m．〖答案〗〖解析〗由题意可知，距离地面的高度与时间所满足的关系式为，因为摩天轮的直径为，最高点距离地面的高度为，所以，解得，因为每转一圈，所以，，当时，，所以，所以可取，所以，所以当时，.故〖答案〗为：.16.中，，，，是边上的中线，，分别为线段，上的动点，交于点.若面积为面积的一半，则的最小值为______.〖答案〗2〖解析〗设，由向量共线的充要条件不妨设，则，即，又面积为面积的一半可得：，所以，，易知，当时，即重合时取得最小值.故〖答案〗为：2.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.为了纪念2017年在德国波恩举行的联合国气候大会，某社区举办《“环保我参与”有奖问答比赛》活动．某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题．已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是．若各家庭回答是否正确互不影响．（1）求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；（2）求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率．解：（1）记“甲家庭回答正确这道题”“乙家庭回答正确这道题”“丙家庭回答正确这道题”分别为事件A，B，C，则，，，即，，所以，，所以乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率为和.（2）有0个家庭回答正确的概率：，有1个家庭回答正确的概率：，所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率．18.如图，已知等腰中，，，点P是边BC上的动点.（1）若点P是线段BC上靠近B的三等分点，试用向量，表示向量；（2）求的值.解：（1）因为.（2）取中点，则，且，又因为，，所以，所以19.如图①，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为AB，BC，BB1，的中点．（1）求证：平面EFG⊥平面BB1D1D；（2）将该正方体截去八个与四面体B-EFG相同的四面体得到一个多面体(如图②)，若该多面体的体积是，求该正方体的棱长．解：（1）在正方体中，平而，而平面，则连接，如图，在中，分别为的中点，即，在正方形中，，于是得又因平面平面，从而得平面又平面，所以平面平面.（2）设正方体的棱长为，由（1）知，四面体的体积为，因此所得多而体的体积为，解得，所以该正方体的棱长为4．20.某校高一举行了一次数学竞赛，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100）作为样本（样本容量为）进行统计，按照，，，，的分组作出频率分布直方图，已知得分在，的频数分别为8，2．（1）求样本容量和频率分布直方图中的的值；（2）估计本次竞赛学生成绩的中位数；（3）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生，求所抽取的2名学生中至少有一人得分在内的概率．解：（1）由题意可知，样本容量n==50，，x=0.100﹣0.004﹣0.010﹣0.016﹣0.040=0.030.（2）设本次竞赛学生成绩中位数为m，则[0.016+0.03]×10+（m﹣70）×0.040=0.5，解得.（3）由题意可知，分数在[80，90）内的学生有5人，记这5人分别为a1，a2，a3，a4，a5，分数在[90，100]内的学生有2人，记这2人分别为b1，b2．抽取的2名学生的所有情况有21种，分别为：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，a5），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，a4），（a2，a5），（a2，b1），（a2，b2），（a3，a4），（a3，a5），（a3，b1），（a3，b2），（a4，a5），（a4，b1），（a4，b2），（a5，b1），（a5，b2），（b1，b2）．其中2名同学的分数都不在[90，100]内的情况有10种，分别为：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，a5），（a2，a3），（a2，a4），（a2，a5），（a3，a4），（a3，a5），（a4，a5）．∴所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90，100]内的概率.21.如图，在平面四边形ABCD中，，．（1）若，，，求△ACD的面积；（2）若，，求的最大值．解：（1）在中，，因为，所以，所以的面积.（2）设，，则，，在中，，则，在中，，则，所以，当时，取得最大值；综上，的面积为，的最大值.22.已知一圆形纸片的圆心为，直径，圆周上有、两点.如图，，，点是上的动点.沿将纸片折为直二面角，并连结，，，.（1）当平面时，求的长；（2）当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值.解：（1）因平面，平面内，平面平面，则有，因此，，而，则，所以的长是.（2）因，平面平面，平面平面，平面ABC，则平面，三棱锥的体积为：，因此，三棱锥体积最大，当且仅当，即，取PD中点M，连接OM，CM，由，，可得，如图，于是得，即是二面角的平面角，而，在中，，则，，所以二面角的余弦值是.浙江省宁波市余姚市2022-2023学年高一下学期期末数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个正确选项.1.若复数为纯虚数，则实数的值为（）A.2 B.2或 C. D.〖答案〗C〖解析〗因为复数为纯虚数，则有，解得，所以实数的值为.故选：C.2.在中，内角，，所对的边分别为，，.已知，若，则角的大小为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗已知，结合余弦定理得出，又，所以，已知，结合正弦定理得，则，所以，故.故选：A.3.已知正三角形边长为2，用斜二测画法画出该三角形的直观图，则所得直观图的面积为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗正三角形的高为，根据斜二测画法的知识可知，直观图的面积为.故选：B.4.已知平面向量，满足，且，若，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗依题意，即，又，且，所以，即，解得.故选：C．5.下列命题正确的是（）①平行于同一条直线的两条直线平行；②平行于同一条直线的两个平面平行；③平行于同一个平面的两条直线平行；④平行于同一个平面的两个平面平行.A.①② B.③④ C.①④ D.②③〖答案〗C〖解析〗①由平行线间的传递性可知，平行于同一条直线的两条直线平行，故①正确；②平行于同一条直线的两个平面平行或相交，故②错误；③平行于同一个平面的两条直线平行、相交或异面，故③错误；④根据平面平行的性质，平行于同一个平面的两个平面平行，故④正确.故选：C.6.某图书馆统计了某个月前8天纸质图书的借阅情况，整理数据得到如下折线图．根据折线图，下列结论正确的是（）A.这8天里，每天图书借出数的极差大于50B.这8天里，每天图书借出数的平均数大于105C.这8天里，每天图书借出数的中位数大于101D.前4天图书借出数的方差小于后4天图书借出数的方差〖答案〗C〖解析〗A：每天图书借出数的极差为，错；B：每天图书借出数的平均数，错；C：由数据从小到大排序为，则中位数为，对；D：前4天平均数，则方差为，后4天平均数，则方差为，所以前4天图书借出数的方差大于后4天图书借出数的方差，错.故选：C.7.在正四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面是腰长为的等腰三角形，则正四棱锥的外接球的体积为（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗如图所示：设外接球的球心为O，半径为R，底面中心为E，连接SE，BO，BE，因为在正四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面是腰长为的等腰三角形，所以，在中，，即，解得，所以外接球的体积为.故选：C.8.如图，在平面四边形ABCD中，．若点E为边CD上的动点（不与C、D重合），则的最小值为（）A. B. C. D.1〖答案〗B〖解析〗由于，如图，以D为坐标原点，以为轴建立直角坐标系，连接由于，则≌，而，故，则，则，设，则，，故，当时，有最小值.故选：B．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.每小题有多个正确选项，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.甲乙两台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床的正品率是0.8，乙机床的正品率为0.9，分别从它们制造的产品中任意抽取一件，则（）A.两件都是次品的概率为0.02B.事件“至多有一件正品”与事件“至少有一件正品”是互斥事件C.恰有一件正品的概率为0.26D.事件“两件都是次品”与事件“至少有一件正品”是对立事件〖答案〗ACD〖解析〗对于A，若取出的两件都是次品，其概率，故A项正确；对于B，事件“至多有一件正品”包含有两件次品、一件正品和一件次品，“至少有一件正品”包含有两件正品、一件正品和一件次品，所以两个事件不是互斥事件，故B项错误；对于C，恰有一件正品，其概率，故C项正确；对于D，“至少有一件正品”包含有两件正品、一件正品和一件次品，所以事件“两件都是次品”与事件“至少有一件正品”是对立事件，故D项正确.故选：ACD.10.已知复数z满足，则（）A.B.z满足方程C.D.z在复平面内对应的点位于第二象限〖答案〗AB〖解析〗因为，所以，对于A项，，故A项正确；对于B项，将代入得：，故B项正确；对于C项，，故C项错误；对于D项，，所以在复平面内对应的点为，故D项错误.故选：AB.11.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（）A.若，则为锐角三角形B.若，则C.若，则此三角形有2解D.若，则为等腰三角形〖答案〗BC〖解析〗对于A项，因为，所以，所以为锐角，但不一定是锐角三角形，故A项不成立；对于B项，因为，所以由正弦定理可知，，故B项正确；对于C项，如图所示，因为，所以此三角形有2解，故C项正确；对于D项，因为，，所以或，即：或，所以为等腰三角形或直角三角形，故D项不成立.故选：BC.12.已知正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，点M为侧棱上的动点（包括端点），平面．下列说法正确的有（）A.异面直线AM与可能垂直B.直线BC与平面可能垂直C.AB与平面所成角的正弦值的范围为D.若且，则平面截正四棱柱所得截面多边形的周长为〖答案〗AD〖解析〗在正四棱柱中，底面正方形ABCD的边长为1，AA1=2，如图：选项A：当MC=时，在矩形BCC1B1中，，所以，又因AB⊥平面BCC1B1，所以AB⊥B1C，又因为，、平面，所以B1C⊥平面ABM，所以，故选项A正确；选项B：因为AM与BC是异面直线，所以AM与BC不可能平行，故与不可能垂直，故选项B错误；选项C：因为平面，AB是平面的斜线，则AB与平面所成角，所以，又因为当点M在棱CC1移动时，，所以，所以，故选项C错误；选项D：当M为CC1中点时，连接AB1，AD1，AC，MB1，MD1，BD1，如图所示，则有，，所以，所以AM⊥MB1，同理AM⊥MD1，又因为，、面，所以AM⊥平面MB1D1，所以平面截正四棱柱所得截面多边形为正△，所以其周长，故选项D正确.故选：AD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量，，且与共线，则________．〖答案〗〖解析〗向量，且与共线，得，，所以．故〖答案〗为：.14.在中，，，，则绕所在直线旋转一周所形成的几何体的表面积为______________.〖答案〗〖解析〗由题知该旋转体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，在中，，，，如下图所示，底面圆的半径为，则所形成的几何体的表面积为.故〖答案〗为：.15.如图所示，摩天轮的直径为，最高点距离地面的高度为，摩天轮按逆时针方向作匀速转动，且每转一圈．若游客甲在最低点坐上摩天轮座舱，则在开始转动后距离地面的高度为________m．〖答案〗〖解析〗由题意可知，距离地面的高度与时间所满足的关系式为，因为摩天轮的直径为，最高点距离地面的高度为，所以，解得，因为每转一圈，所以，，当时，，所以，所以可取，所以，所以当时，.故〖答案〗为：.16.中，，，，是边上的中线，，分别为线段，上的动点，交于点.若面积为面积的一半，则的最小值为______.〖答案〗2〖解析〗设，由向量共线的充要条件不妨设，则，即，又面积为面积的一半可得：，所以，，易知，当时，即重合时取得最小值.故〖答案〗为：2.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.为了纪念2017年在德国波恩举行的联合国气候大会，某社区举办《“环保我参与”有奖问答比赛》活动．某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题．已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是．若各家庭回答是否正确互不影响．（1）求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；（2）求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率．解：（1）记“甲家庭回答正确这道题”“乙家庭回答正确这道题”“丙家庭回答正确这道题”分别为事件A，B，C，则，，，即，，所以，，所以乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率为和.（2）有0个家庭回答正确的概率：，有1个家庭回答正确的概率：，所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率．18.如图，已知等腰中，，，点P是边BC上的动点.（1）若点P是线段BC上靠近B的三等分点，试用向量，表示向量；（2）求的值.解：（1）因为.（2）取中点，则，且，又因为，，所以，所以19.如图①，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为AB，BC，BB1，的中点．（1）求证：平面EFG⊥平面BB1D1D；（2）将该正方体截去八个与四面体B-EFG相同的四面体得到一个多面体(如图②)，若该多面体的体积是，求该正方体的棱长．解：（1）在正方体中，平而，而平面，则连接，如图，在中，分别为的中点，即，在正方形中，，于是得又因平面平面，从而得平面又平面，所以平面平面.（2）设正方体的棱长为，由（1）知，四面体的体积为，因此所得多而体的体积为，解得，所以该正方体的棱长为4．20.某校高一举行了一次数学竞赛，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100）作为样本（样本容量为）进行统计，按照，，，，的分组作出频率分布直方图，已知得分在，的频数分别为8，2．（1