中南大学版固体物理学习题及答案详解分析

第一章晶体结构

1.试述晶态、非晶态、准晶、多晶和单晶的特征性质。

解：晶态固体材料中的原子有规律的周期性排列，或称为长程有序。非晶态固体材料中

的原子不是长程有序地排列，但在几个原子的范围内保持着有序性，或称为短程有序。准晶

态是介于晶态和非晶态之间的固体材料，其特点是原子有序排列，但不具有平移周期性。

另外，晶体又分为单晶体和多晶体：整块晶体内原子排列的规律完全一致的晶体称为

单晶体；而多晶体则是由许多取向不同的单晶体颗粒无规则堆积而成的。

2.晶格点阵与实际晶体有何区别和联系？

解：晶体点阵是一种数学抽象，其中的格点代表基元中某个原子的位置或基元质心的位

置.也可以是基元中任意一个等价的点。当晶格点阵中的格点被具体的基元代替后才形成实

际的晶体结构。晶格点阵与实际晶体结构的关系可总结为：

晶格点阵+基元;实际晶体结构

3.晶体结构可分为Bravais格子和复式格子吗？

解：晶体结构可以分为Bravais格子和复式格子，当基元只含一个原子时，每个原子的

周围情况完全相同，格点就代表该原子，这种晶体结构就称为简单格子重Bravais格子；当

基元包含2个或2个以上的原子时，各基元中相应的原子组成与格点相同的网格，这些格子

相互错开一定距离套构在一起，这类晶体结构叫做复式格子。

4.图1.34所示的点阵是布喇菲点阵(格子)吗？为什么？如果是，指明它属于那类布喇菲格

子？如果不是，请说明这种复式格子的布喇菲格子属哪类？

(a)“面心+休心”立方;(b)“边心”立方;(c)“边心4休心”立方；(d)面心四方

解：(a)“面心+体心”立方不是布喇菲格子。

从“面心+体心”立方体的任一顶角上的格点看，与它最邻近的有12个格点；从面心

任一点看来，与它最邻近的也是12个格点；但是从体心那点来看，与它最邻近的有6个格

点，所以顶角、面心的格点与体心的格点所处的几何环境不同，即不满足所有格点完全等价

的条件，因此不是布喇菲格子，而是复式格子，此复式格子属于简立方右喇菲格子。

(b)“边心”立方不是布喇菲格子。

从“边心”立方体竖直边心任一点来看与它最邻近的点子有八个；从“边心”立方体

水平边心任一点来看，与它最邻近的点子也有八个。虽然两者最邻近的点数相同，距离相等,

但他们各自具有不同的排列。竖直边心点的最邻近的点子处于相互平行、横放的两个平面上,

而水平边心点的最邻近的点子处于相互平行、竖放的两个平面上，显然这两种点所处的几何

环境不同,即不满足所有格点完全等价的条件，因此不是布喇菲格子，而是复式格子，此复

式格子属于简立方布喇菲格子。

(c)“边心+体心''立方不是布喇菲格子。

从“边心+体心''立方任一顶点来看，与它最邻近的点子有6个；从边心任一点来看，

与它最邻近的点子有2个；从体心点来希，与它最邻近的点子有12个。显然这三种点所处

的几何环境不同，因而也不是布喇菲格了，而是属丁复式格了，此复式格了属丁简立方布喇

菲格子。

(d)“面心四方”

从“面心四方”任一顶点来看，与它最邻近的点子有4个，次最邻近点子有8个；从“面

心四方”任一面心点来看，与它最邻近的点子有4个，次最邻近点子有8个，并且在空间的

排列位置与顶点的相同，即所有格点完全等价，因此''面心四方”格子是布喇菲格子，它属

于体心四方布喇菲格子。

5.以二维有心长方晶格为例，画出固体物理学原胞、结晶学原胞，并说出它们各自的特点。

解：以下给出了了二维有心长方晶格示意图：

b

(a)(b)

从上图(a)和(b)可以看出，在固体物理学原胞中，只能在顶点上存在结点，而在结

晶学原胞中，既可在顶点上存在结点，也可在面心位置上存在结点。

6.倒格子的实际意义是什么？一种晶体的正格矢和相应的倒格矢是否有一一对应的关系？

解：倒格子的实际意义是由倒格子组成的空间实际上是状态空间(波矢K空间)，在晶

体的X射线衍射照片上的斑点实际上就是倒格子所对应的点子。

设一种晶体的正格基矢为ai、az.a3,根据倒格子基矢的定义：

2

2D[a2-a3

bi

b：=-------<—

式中&是晶格原胞的体积，即&=ai㊉[a?•浜],由此可以唯一地确定相应的倒格子

空间。同样，反过来由倒格矢也可唯一地确定正格矢。所以一种晶体的正格矢和相应的倒格

矢有---对应的关系。

7.为什么说晶面指数（hxhi力3）和Miller指数（hkl）都能反映一个平行晶面族的方向？

解：晶面指数（hh%）是以固体物理学原胞的基矢a..a?、a,为坐标轴来表示面

指数的，而Miller指数（hkl）是以结晶学原胞的基矢a、b、C为坐标轴来表示面指数的,

但它们都是以平行晶面族在坐标轴上的截距的倒数来表示的，而这三个截距的倒数之比就等

于晶面族的法线与三个基矢的夹角余弦之比，从而反映了一个平行晶面族的方向。

8.试画出体心立方、面心立方的（100）,（110）和（111）面上的格点分布。

解：体心立方（100）,（110：1和（111）面上的格点分布为：

体心立方（100）面体心立方（110）面体心立方（111）面

面心立方（100）,（110）和（111）面上的格点分布为：

面心立方（110）面面心立方（111）面

9.一个物体或体系的对称性高低如何判断？有何物理意义？一个正八面体（见图1.35）有哪

些对称操作？

解：对于一个物体或体系，我们首先必须对其经过测角和投影以后，才可对它的对称规律，

进行分析研究。如果一个物体或体系含有的对称操作元素越多，则其对称性越高；反之，含

有的对称操作元素越少，则其对称性越低。

晶体的许多宏观物理性质都与物体的对称性有关，例如六角对称的晶体有双折射现象。

3

而立方晶体，从光学性质来讲，是各向同性

的。

正八面体中有3个4度轴，其中任意2个

位于同一个面内，而另一个则垂直于这个

面；6个2度轴；6个与2度轴垂直的对称

面；3个与4度轴垂直的对称面及一个对称

中心。

10.各类晶体的配位数(最近邻原子数)是多少？

解：7种典型的晶体结构的配位数如下表1.1所示：

晶体结构配位数晶体结构配位数

面心立方

12氯化钠型结构6

六角密积

体心立方8氯化铀型结构8

简立方6金刚石型结构4

11.利用刚球密堆模型，求证球可能占据的最大体积与总体积之比为

(1)简单立方—；(2)体心立方——；(3)面心立方---

686

(4)六角密积~.(5)金刚石'。

6

解：(1)在简立方的结晶学原胞中，设原子半径为R,则原胞的晶体学常数a=2R

则简立方的致密度(即球可能占据的最大体积与总体积之比)为：

44

1雪加1里口/?3口

a(2R)36

(2)在体心立方的结晶学原胞中，设原子半径为R.则原胞的晶体学常数a=4R里,

则体心立方的致密度为：

2g匚心24匚心行

?-(4/?/sy3~~

(3)在面心立方的结晶学原胞中，设原子半径为R.则原胞的晶体学常数a=.

则面心立方的致密度为：

(2血)36

4

(4)在六角密积的结晶学原胞中，设原子半径为R,则原胞的晶体学常数a=2R

c=(2q/3)a=(46〈3)R,则六角密积的致密度为：

6由DR6@□/?

(=^―

、3(2/?)

(5)在金刚石的结晶学原胞中，设原子半径为R,则原胞的晶体学常数。=(8/3次,

则金刚石的致密度为：

、3口

(8/S)R16

12.试证明体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子。

解：我们知体心立方格子的基矢为：

*a

Aai=2(Di+j+k)

♦az□j+k)

Aa3=-^(i+jnk)

根据倒格子基矢的定义，我们很容易可求出体心立方格子的倒格子基矢为：

*2闻⑶]2三―上+不

Abi=&a

2匚[asai]2口

相：：litl

&-

Ab=2—⑶•a?]=2U-(i+j)

&a

由此可知，体心立方格子的倒格子为一面心立方格子。同理可得出面心立方格子的倒

格子为一体心立方格子，所以体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子。

13.对于六角密积结构，固体物理学原胞基矢为

a.=yi+斗可

a、3.

ai=□

试求倒格子基矢。

解：根据倒格子基矢的定义可知：

5

(□i+—^j)(ck)

a2a3

bi=20-2C-------------------------------------------------------

ai®[a2-a?]

(++—6zj)©[(Bi4^-dj).(ck)]

、妞W.，.

~~；|+—J22

=2[-------:—(i+

a

、32、3

(ck)码十二0)

a3•ai

b2=2D=2D

ai®[32-33](++㊉心i+^句).(4)]

2

—i-

l=j------ft1—r——

>32?-1rv

=20:(ni+.j)

fl3

ac

(i+—^j)-(D4H-

-----纹-----------------------

ai32(―@㊉[⑶+^—

h=2口'=2D

ai©[32-33]

、32

ac

14.一晶体原胞基矢大小a=4•10iom,Z?=6-10io/n,<?=8-10io/n,基矢间夹角

〈二90。，(§)=90,,©=120r试求：

(1)倒格子基矢的大小；

(2)正、倒格子原胞的体积；

(3)正格子(210)晶面族的面间距。

解：(1)由题意可知，该晶体的原胞基矢为：

ai=ai

a?=b(

a3=ck

6

由此可知:

,.\3.1

bc(—1+-

a2a3筮?22：I.、

bi=20(,+

ai®[a2-a?]~3°

2

a3•ai2匚二三y

b：=2

ai©[a2*a?]卫成、3

2

,A3

ab—i

限上"口

b?=20_2_©k

ai$[a2-a?]^3,

——abc

所以

4二

—©h+(——=1.8138lO.ow।

|b，1=j=—=1.209210K,w1

61、3、功

工2口

卜3卜——©J?=一=0.7854-lOiow1

(2)正格子原胞的体积为：

[33

&二a]㊉⑶•a3]=(ai)㊉[@:i—j)(ck)]=彳—abc=1.6628-102sm3

倒格子原胞的体积为：

2012_?201603

&=b.©[b2-b3]=——(i+—jie|—(^―j)-——(k)]-———=1.4918lO^o/n3

fl、3。、3cA3abc

(3)根据倒格子矢量与正格子晶面族的关系可知，正格子(210)晶面族的面间距为：

22D2

DH

~|K7||2bi+lb2+0b3I,4口

1+(--------

L

-

-=1.4412-10iow

4:

15.如图1.36所示，试求：

(1)晶列ED,FD和OF的晶列指数；

(2)晶面AGK,FGIH和MNLK的密勒指数;

7

⑶画出晶面(1201,(131)。

图1.36

解：1）根据晶列指数的定义易求得晶列ED的晶列指数为［IIT］,晶列FD的晶列指数

为CHO］,晶列为尸的晶列指数为［011］。

（2）根据晶面密勒指数的定义

晶面AGK在X,1和z三个坐标轴上的截距依次为1,-1和1,则其倒数之比为

111_

晶面FGIH在x,y和z三个坐标轴上的截距依次为1/2,8和1,则其倒数之比为

111

晶面MNLK在x,），和z三个坐标轴上的截距依次为1/2,-1和%则其倒数之比为

—:―-=2:1:0,故该晶面的密勒指数为（2ID）。

8

16.矢量a.bc构成简单正交系。证明晶面族(hkl)的面间距为

1

解：由题意可知该简单正交系的物理学原胞的基矢为：

圣ai=ai

A

A33=ck

由此可求得其倒格子基矢为：

=(bci)=i

*

,,J

abcb

A20[a.-az]2D2D

▼I23

根据倒格子矢量的性质有：

2D20

dhkl=:

K/.W〃bi+kb2+/b3

2D_1

2hi+/2Ik1k

ab(1

ab

17.设有一简单格子，它的基矢分别为ai=3i,a2=3j.ax=1,5(i+j+o试求：

(1)此晶体属于什么晶系，属于哪种类型的布喇菲格子？

(2)该晶体的倒格子基矢；

(3)密勒指数为(121)晶面族的面间距；

(4)原子最密集的晶面族的密勒指数是多少？

(5)[111]与[111]晶列之间的夹角余弦为多少？

解：(1)由题意易知该晶体属于立方晶系，并属于体心立方布喇菲格子。

(2)由倒格子基矢的定义可知：

2r

4ai®[a2-as]

13.5

A2D[a.ai]2089k

2J

(iDk)(j匚k)

（3）根据倒格矢的性质，可求得密勒指数为（121）晶面族的面间距为

(++(-+()♦

♦a2=。j

♦b：=---------------

Aa<®[a?-a?]

Ab3=a®[a•a]=abc(abk)=ck

(++(巨+()2-

，邛间工州口）______________

a例13.5

2D[aj-a1]_2口$4.5。匚k)

4b?=a0[a•a]=13.5=1.5k

2口2D

J_:

K12|1㊉b+2b2db3

_2a=3_30

:(i+2j5k3010

(4)由于面密度®=〉d,其中1是面间距，〉是体密度。对布喇菲格子，〉等于常

数。因此，我们可设原子最密集的晶面族的密勒指数为(〃小2加)则该晶面族的面间距dhihihi

应为最大值，所以有

2D2口

dhihsto=

Khih:h)Aibi+h2b?+力3b3

2J3

：=max

-的i+小j+(2/n□田口比川//ii+/nj+(2/z3)Jiil/12)k

由此可知，对面指数为(100)、(010)s(101)、(011)和(111)有最大面间距3/2,

因而这些面即为原子排列最紧密的晶面族。

(5)［111］与［111］晶列之间的夹角余弦为

,RinRm(a)+a?+33)0(a>+a?□a?)

〈=arccos

㊉

Rm0RHIai+a2+a3ai+a2□a3

=arccos(的+4.与+1.5k)9(L5i+1.5江L5k)..

4.5i+4.5j+1.5k©1.5i+1.5j□1.5k

18.已知半导体GaAs具有闪锌矿结构，Ga和As两原子的最近距离d-2/5xlO-iom。试求：

(1)晶格常数；

(2)固体物理学原胞基矢和倒格子基矢；

(3)密勒指数为(110)晶面族的面间距；

(4)密勒指数为(110)和(111)晶面法向方向间的夹角o

解：(1)由题意可知，GaAs的晶格为复式面心立方晶

格，其原胞包含一个Ga原子和一个As原子，其中Ga原

子处于面心立方位置上，而As原子则处于立方单元体对角

线上距离Ga原子1/4体对角线长的位置上，如左图所示：

由此可知：

•—Ga原子fj—As原子

10

故4=—d=-----2.45IDiom=5.59•10io/?z

、3、3

(2)由于GaAs的空间点阵为面心立方结构，故其固体物理学原胞基矢为：

*Fio,...

Aai=2(j+k)=2.79510")

—瞪+i)=2.79510...(k+i)

.a3=.(i+j)=2・795・10io(i+j)

♦2

其倒格子基矢为：

*2口io

Ab.=7(bi+j+k)=1.124.10(Di+j+k)

♦b=一(^□j4-k)=1.12410>o(iDj+k)

42a

Ab=—(i+jQk)=1.124lOmo(i+jOk)

东—a

(3)密勒指数为(110)晶面族的面间距为：

2Q2D

Jiio=]------7-]-------------------------r-=2.79510iom

|KHOI|1④bi+lObz+OSb,

(4)根据倒格子矢的性质可知，密勒指数为(110)和(111T晶面法同方向间的夹角即为倒格

子矢Kno和Km之间的夹角，设为〈，则有：

KUOOKIH(1㊉％+1㊉bz+o㊉ba)㊉(1㊉biU1㊉b2+1©bs)

〈=arccos

|Kiio,|cnr||1〶bi+1㊉+㊉1㊉biOl㊉b}+l㊉bs

=arccos(Z0.3015)=107.55°

19.如图L37所示，设二维正三角形晶格相邻

原子间距为a,试求：

(1)正格子基矢和倒格子基矢；

(2)画出第一布里渊区，并求出第一布里渊区

的内接圆半径。

解：(1)取该二维正三角形晶格中任意相邻的两边为基矢，并使ai的方向和i的方向相

同，于是有：

*ai=ai

♦ay3a

Ava：=2i+2j

那么有：

ii

12.',

2

㊉

)

3

⑵根据第一布里渊区的定义，可作图如下所示:

2n/a

上图中的阴影部分即为第一布里渊区，且由图中可以求出第一布里渊区的内接圆半径为：

b2口

r-2-

23a

20.试求面心立方结构、体心立方结构和金刚石结构的几何结构因子；并讨论其衍射相消条

件。

解：（1）在面心立方结构的原胞中包含有4个原子，其坐标为

000.-0,1IL0U

22222

由此可知，其几何结构因子为

i2L〃(力“/♦4vj

Aw=□力e

=/1+€Ln(lnk)+^iJn<W)+Ci』”")

4Abi=2口㊉a㊉(a•k)=a(iQ

a>40

♦b：=2J

由于h、k、/和〃都为整数，所以上式中的正弦项为0。于是有

12

H

{[1+cos□??(/?+A)+cosQn(h+/)+cos\Jn(k+/)]

+[sinJn(h+k)+sin口〃(力+/)+sinDn(k+/)]

|=/：[1+cos口?(力+k)+cosUn(h+/)+cos\Jn(k+Z)]

由此可知，当nh、nk和nl奇偶混杂时，即nh、nk.和nl不同为奇数或偶数时，此时

2

\Fm|=o,即出现衍射相消。

(2)在体心立方结构的原胞中包含有2个原子,其坐标为

000和山

222

由此可知，其几何结构因子为

)

Fw=□力e=口加12n(hu^kvj)

/I[+以上出*“)]

・'.卜阳「=/2{[l+cosUn(h+k+l)\2+[sinJn(h+k+/)]2)

由于h、k、/和〃都为整数，所以上式中的正弦项为0。于是有

|FW|'=/2[1+cosnn(/j+/:+/)]

由此可知，当〃(力+4+Q为奇数时，此时有n阈『=°.即出现衍射相消。

(3)在金刚石结构的原胞中含有8个原子，其坐标为

11111111I33331313

000,A0,.I一，oA-

44422222444444444

由此可知，其几何结构因子为

r-i12LW1hu)+kvf)

Fhu=□力e=Uf}€

YXh-k^t>W)03朴i*加k3+37)/

=广1+62+ein(ink)++e>«<*-+/)+ei+eioo

<

Yin(ln-k+i)/

tn(h^k)....|

=f'l+62001++e「n(h+n+Ci

22*r□

rw/I=/1.」+cos~2n(h+A+/)co+fsin-刈+k+l1+COS□«(/：+A)+

AV<

+cos\Jn(h+/)+cosDn(k+/)]+[sin□〃(力+左)+sin2n(h+/)+sinUn(k+/)]

由于〃、k、/和〃都为整数，所以上式中的正弦项为0。二是有

2

।pY□<2

I=f2、+cosyn(h+k+lW)1+cos\Jn(h+k)+cos□〃(力+/)+cos\2n(k+/)]

由此可知，当nh、nk和nl奇偶混杂时，即nh、nk和nl不同为奇数或偶数时或者当

13

2

吐、"2和"/全为偶数，且〃（力+4+/）=4（2阳+1）（其中m为整数）时，有有Fhu||=0,

即出现衍射相消。

21.用把靶K〈X射线投射到Na。晶体上，测得其一级反射的掠射角为5.9。，已知Na。晶胞

中Na'与C1的距离为2.82xlO-iom,晶体密度为2.16g/cm3o求：

（1）X射线的波长；

（2）阿伏加德罗常数。

解：⑴由题意可知Na。晶胞的晶胞参数。=2•2.82•10」o=5.64•10iom,又应

为NaCl晶胞为面心立方结构,根据面心立方结构的消光规律可知，其一级反射所对应的晶

面族的面指数为（111）,而又易求得此晶面族的面间距为

a5.64-10io

=--------------------------------------=3.26-10iom

\1+1+1、3

又根据布拉格定律可知：

L=sin"2•3.26」0iosin5.9。=6.702109m

（2）由题意有以下式子成立

-仇、

Ml@q-〉=M.NaCI

..4MNOCI4・58.5

NA=-----^―=6.0381023

a3)(5.6410巧2.16106

14

第二章晶体的结合

1.试述离子键、共价键、金属键、范德瓦尔斯和氢键的基本特征。

解：（1）离子键：无方向性，键能相当强；（2）共价键：饱和性和方向性，其键能也非

常强；（3）金属键：有一定的方向性和饱和性，其价电子不定域于2个原子实之间，而是在

整个晶体中巡游，处于非定域状态，为所有原子所“共有"；（4）范德瓦尔斯键：依靠瞬时

偶极距或固有偶极距而形成，其结合力一般与r成反比函数关系，该键结合能较弱；（5）

氢键：依靠氢原子与2个电负性较大而原子半径较小的原子（如O,F,N等）相结合形成

的。该键也既有方向性，也有饱和性，并且是一种较弱的键，其结合能约为50kJ/mole

2.有人说“晶体的内能就是晶体的结合能二对吗？

解：这句话不对，晶体的结合能是指当晶体处于稳定状态时的总能量（动能和势能）与

组成这晶体的N个原子在自由时的总能量之差，即E』,=ENDE。。（其中Eb为结合能，EN

为组成这晶体的N个原子在自由时的总能量，昌为晶体的总能量）。而晶体的内能是指晶

体处于某一状态时（不一定是稳定平衡状态）的，其所有组成粒子的动能和势能的总和。

3.当2个原子由相距很远而逐渐接近时，二原子间的力与势能是如何逐渐变化的？

解：当2个原子由相距很远而逐渐接近时，2个原子间引力和斥力都开始增大，但首先

引力大于斥力，总的作用为引力，/（r）＜0,而相互作用势能〃（「）逐渐减小；当2个原子

慢慢接近到平衡距离ro时，此时，引力等于斥力，总的作用为零，/（r）=0,而相互作用

势能u（r）达到最小值；当2个原子间距离继续减小时，由于斥力急剧增大，此时，斥力开

始大于引力，总的作用为斥力，/（r）＞0,而相互作用势能〃（广）也开始急剧增大。

4.为什么金属比离子晶体、共价晶体易于进行机械加工并且导电、导热性良好？

解：由于金属晶体中的价电子不像离子晶体、共价晶体那样定域于2个原子实之间，而

是在整个晶体中巡游，处于非定域状态，为所有原子所“共有”，因而金属晶体的延展性、

导电性和导热性都较好。

5.有一晶体，在平衡时的体积为％,原子之间总的相互作用能为U。，如果原子间相互作用

能由下式给出：

“（,）=口L2_,

r

试证明弹性模量可由『。|卜加（9%）］绐出。

解：根据弹性模量的定义可知

□dPH□diU□

K=\2DV□=rQV-77-T...........⑴

dU

上式中利用了尸二口7的关系式。

设系统包含N个原子，则系统的内能可以写成

又因为可把N个原子组成的晶体的体积表示成最近邻原子间距r的函数，即

V=Nv=N®n（3）

上式中®为与晶体结构有关的因子（如面心立方结构，®=2/2）。

又因为

41"_N

(洲=3®Nr2(企)吁2山2.........(4

~r□3N®r~

□

m

<

n

®

□

1

diU

(2加=㊉♦

dVdr，3N®”2rrfT

1JVY〃：2〈n?@,3m(3〃®/

r°+00.........⑸

9取2<rowMHim

考虑平衡条件(器试

dVHIro

ddJ1-"2®/13丫皿〃®/

2)%=2㊉，..

22<rorof

m{/A)/

1JV

=2㊉2㊉’1一"‘+"8=

2

Y

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n

r

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mn

岫

□

U

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一（□肃千।）一

)

6

）

将（6）式代入（1）式得：

一itifl'w+£I!n

K=%90Uo

9VO2

6.上题表示的相互作用能公式m且两原子构成稳定分子时间距为

dV।希

3-10iom,离解能为4eV,试计算〈和®之值。

解:在平衡位置时有a

(®

|什)二口2=□EK........(1)

)R»KI

)«=0,得k”一那么(5)式可化为

du(r)2(10@(2)

N工机2〈dr冷门

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"9K2<r。rof9Vo0

代入(1)和(2)式可得：

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