第07讲直线的方程

第07讲直线的方程模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素.2．根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式．知识点1直线的点斜式方程与斜截式方程1.直线的点斜式方程：直线经过点，且斜率为，则直线的方程为：.这个方程就叫做直线点斜式方程.2.特别地，直线过点，则直线的方程为：.这个方程叫做直线l的斜截式方程.知识点2直线的两点式方程1.直线过两点其中，则直线的方程为：.这个方程叫做直线的两点式方程.当时，直线与轴垂直，所以直线方程为：；当时，直线与轴垂直，直线方程为：.2.特别地，若直线过两点，则直线的方程为：，这个方程叫做直线的截距式方程.知识点3直线的一般式方程关于的二元一次方程（A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程.由一般式方程可得，B不为0时，斜率，截距.B=0时，x=－eq\f(C,A),表示直线的斜率不存在，过点（－eq\f(C,A)，0）的直线.考点一：直线方程的点斜式例1.（2324高二上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，画出经过点，且斜率分别为3与的直线．【答案】见解析【分析】利用点斜式写出直线方程，然后画图即可.【详解】经过点，且斜率分别为3的直线，即化简得：经过点，且斜率分别为的直线即化简得：图像如下：

【变式11】（2324高二上·安徽马鞍山·阶段练习）过点，倾斜角为的直线方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】首先求出直线的斜率，再利用点斜式求出直线方程.【详解】由倾斜角为知，直线的斜率为，又直线过点，所以直线方程为，化简得.故选：C.【变式12】（2324高二上·陕西榆林·期中）直线过点，若的斜率为2，则在轴上的截距为【答案】【分析】由点斜式写出直线的方程，求出在轴上的截距即可.【详解】由题意知：直线的方程为，即，所以在轴上的截距为.故答案为：.【变式13】（2324高二下·上海·阶段练习）过点，且在轴上的截距是3的直线的方程是.【答案】【分析】利用斜率公式及直线的点斜式即可求解.【详解】由题意知直线经过两点，则直线的斜率为,故直线的方程是,即.故答案为：.考点二：直线方程的斜截式例2.（2324高二上·全国·课后作业）已知直线的倾斜角为，且在轴上的截距为，则直线的一般式方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由斜截式方程求解即可.【详解】由直线的倾斜角可得直线的斜率，所以直线的方程为，即直线的一般方程为：.故选：D.【变式21】（2324高二上·浙江台州·期末）直线的斜率等于（

）A． B．1 C．2 D．【答案】C【分析】由斜截式判定直线斜率即可.【详解】由直线的斜截式可知的斜率为.故选：C【变式22】（2324高二下·四川广元·开学考试）直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意可知直线的斜率，根据直线的斜率求解倾斜角即可.【详解】设直线的倾斜角为，，由题意可知，直线的斜率为，所以，即.故选：.【变式23】（2324高二上·全国·课后作业）倾斜角为且在轴上的截距是的直线方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由直线的斜截式方程求解即可得出答案.【详解】倾斜角为，直线的斜率为1，在轴上的截距是，直线方程.故选：B.考点三：直线方程的两点式例3.（2024高二上·全国·专题练习）已知三角形的顶点是，求这个三角形三边所在直线的方程.【答案】答案见解析【分析】根据已知条件作出图形，利用直线的两点式方程即可求解.【详解】由题意可知，作出图形如图所示直线过，其两点式方程为，整理，得，这就是边所在直线的方程.直线AC垂直于x轴，故AC边所在直线的方程为.直线BC平行于x轴，故BC边所在直线的方程为.【变式31】（2024高二上·全国·专题练习）一条光线从点射向轴，经过轴上的点反射后通过点，则点的坐标为．【答案】【分析】由题可得点关于轴的对称点，得到直线方程，进而求得点的坐标．【详解】由题可得关于轴的对称点为，则直线的方程为，可得，令，可得，所以点.故答案为：.【变式32】（2024高二·全国·专题练习）求经过两点和的直线方程．【答案】答案见解析【分析】根据两点式的特征即可求解.【详解】当时，直线垂直于y轴，方程为，当时，直线垂直于x轴，方程为.当且时，由两点式得直线方程为【变式33】（2024高二上·全国·专题练习）求经过点的直线的两点式方程，并把它化成点斜式、斜截式和截距式.【答案】答案见解析【分析】直接由直线的两点式写出，并转化为其它式.【详解】过A，B两点的直线的两点式方程是.化为点斜式为：，斜截式为：，截距式为：.考点四：直线方程的截距式例4.（2324高二下·河北·开学考试）过点且横截距是纵截距2倍的直线方程为．（写成一般式方程）【答案】或【分析】分类讨论，当直线过原点时直接求斜率即可得，当直线不过原点时设出截距式方程计算.【详解】当直线过原点时，直线的斜率为，此时直线的方程为，即；当直线不过原点时，设所求直线的方程为（），即，将点的坐标代入直线方程可得，解得，此时直线的方程为，因此，所求直线方程为或．故答案为：或.【变式41】（2324高二上·安徽安庆·阶段练习）当直线过点，当取得最小值时，直线的方程为：（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知得，根据基本不等式“”的代换可得的最小值，即取最小值时与的值，进而得解.【详解】由直线过点，则，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以直线方程为，即.故选：C.【变式42】（2024·陕西西安·一模）过点，在轴上的截距和在轴上的截距相等的直线方程为．【答案】或【分析】按直线是否过原点，结合直线的截距式方程求解即得.【详解】当直线过原点时，直线在轴上的截距和在轴上的截距相等，则直线方程为；当直线不过原点时，设直线方程为，则，解得，直线方程为，所以所求直线方程为或.故答案为：或【变式43】（2324高二上·江苏南京·阶段练习）若直线过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程为．【答案】或【分析】分截距为0和不为0两种情况，设出方程，代入求解即可.【详解】当截距为0时，设直线的方程为，将代入得，，解得，故直线的方程为，当截距不为0时，设直线的方程为，将代入得，，解得，故直线的方程为，故直线的方程为或.故答案为：或考点五：直线方程的一般式例5.（2324高二上·湖南长沙·期末）已知直线在两坐标轴上的截距相等，则.【答案】或【分析】利用截距的概念分类讨论计算即可.【详解】当时，直线方程为，不符合题意，当时，令时，令时，依题意有：，解得：或，综上：或，故答案为：或.【变式51】（2324高二下·江苏南京·阶段练习）已知直线在x轴和y轴上的截距之和为1，则实数m的值是（

）.A．－2 B．－ C． D．2【答案】D【分析】分别求出直线在x轴和y轴上的截距，由题意列式求解，即得答案.【详解】对于直线，令，则，令，则，故，则，故选：D【变式52】（2324高二上·全国·课后作业）已知直线不经过第一象限，且，，均不为零，则有（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】将直线化为，分析即可得出答案.【详解】由不经过第一象限，且，，均不为零，化为，，，与必然同号，.故选：D.【变式53】（2324高二下·广东茂名·阶段练习）与直线关于轴对称的直线的方程为.【答案】【分析】根据题意，求得对称直线的斜率，再由直线直线与的交点，结合直线的点斜式方程，即可求解.【详解】由直线的斜率为，可得直线关于的对称直线的斜率为，又因为直线与的交点为，所以对称直线的方程为，即对称直线的方程为.故答案为：.考点六：直线与坐标轴围成图形的面积问题例6.（2223高二上·浙江台州·阶段练习）已知直线与两坐标轴正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则面积的最小值为【答案】【分析】先由题意及直线的几何意义可推得，再分别令与求得在两坐标轴的截距，由此利用三角形面积与基本关系式即可求得面积的最小值.【详解】因为直线与两坐标轴正半轴分别交于A，B两点，所以由化为，得，即，故，令，则；令，则，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以，即面积的最小值为.故答案为：..【变式61】（2324高二上·内蒙古赤峰·期末）纵截距为4，与两坐标轴围成的三角形面积为10的直线的一般式方程为．【答案】或．【分析】先设直线的截距式，结合已知条件求出直线方程后，化为一般式即可．【详解】由题意可设直线方程为，则，即，所以直线方程为或，所以直线的一般式方程或．故答案为：或．【变式62】（2024高二上·全国·专题练习）已知直线l经过点和点．(1)求直线l的两点式方程，并化为截距式方程；(2)求直线l与两坐标轴围成的图形面积．【答案】(1)，；(2)16【分析】（1）根据两点式直线写出直线方程，再转化为截距式；（2）由（1）得出直线在两坐标轴上的截距，然后直接计算三角形面积．【详解】（1）由已知得直线l的两点式方程为，即，整理得．所以截距式方程为．（2）由（1）知直线l在两坐标轴上的截距分别为4和8，所以围成的图形的面积为．【变式63】（2324高二下·上海静安·阶段练习）设直线l的方程为．(1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；(2)若，直线l与x、y轴分别交于M、N两点，求△OMN面积取最值时，直线l的方程．【答案】(1)或(2)【分析】（1）根据题意，求出在两个坐标轴上的截距，求出，表达出来直线方程；（2）由（1）和，利用△OMN面积取最值，求出的值，表达直线方程.【详解】（1）由，令，令，由直线方程在两坐标轴上的截距相等，则，解得或，故直线方程：或（2）由（1）可知，，当且仅当，即取等号.即直线方程：.考点七：直线方程与图形的辨析问题例7.（多选）（2324高二上·甘肃白银·期中）同一坐标系中，直线与大致位置正确的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】结合各选项分析直线的斜率与在轴上的截距，从而得以判断.【详解】因为，，对于A，由图可得直线的斜率，在轴上的截距；而的斜率，矛盾，故A错误；对于B，由图可得直线的斜率，在轴上的截距；而的斜率，在轴上的截距，即，符合题意，故B正确；对于C，由图可得直线的斜率，在轴上的截距；而的斜率，在轴上的截距，即，符合题意，故C正确．对于D，由图可得直线的斜率，在轴上的截距；而的斜率，矛盾，故D错误.故选：BC.【变式71】（2020·山东·统考高考真题）已知直线的图像如图所示，则角是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】D【分析】本题可根据直线的斜率和截距得出、，即可得出结果.【详解】结合图像易知，，，则角是第四象限角，故选：D.【变式72】（2122高二·全国·课后作业）已知，，则下列直线的方程不可能是的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据直线斜率与轴上的截距的关系判断选项即可得解.【详解】，直线的方程在轴上的截距不小于2，且当时，轴上的截距为2，故D正确，当时，,故B不正确，当时，或，由图象知AC正确.故选：B【变式73】（2324高二上·全国·课后作业）如图所示，直线与的图象只可能是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据两直线分别经过第几象限，对应的一次项系数和常数项需要满足的条件对选项一一判断即可得出答案.【详解】对A，由经过第一，四，三象限，可知，，由过第一，二，三象限知，，故本选项错误；对B，由经过第一，二，四象限，可知，，由过第一，二，三象限知，，故本选项错误；对C，由经过第一，三，四象限，可知，，由过第一，三，四象限知，，故本选项错误；对D，由经过第一，二，四象限，可知，，由过第一，二，四象限知，，故本选项正确；故选：D.考点八：直线的方向向量、法向量与直线方程例8.（2324高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知平面直角坐标系内两点，，则过点且以为法向量的直线的方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意可求得，即可确定l的斜率，即可求得直线l的点斜式方程，化为一般式，即得答案.【详解】由题意知，，则，则，所以直线的斜率为，所以直线方程为，即，故选：A【变式81】（2324高二上·安徽马鞍山·阶段练习）直线l的方向向量，且过点，则直线l的方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据方向向量可求出直线的斜率，利用点斜式方程即可求得直线的方程.【详解】由直线l的方向向量可得直线l的斜率为，所以直线l的方程为，即．故选：D.【变式82】（2324高二上·河北邢台·期末）已知经过点的直线的一个方向向量为，则的方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由题意得与共线，为直线上的点，且不与重合，由此即可得解.【详解】设直线上任意与点不重合的一点为，由题意有与共线，所以，整理得的方程为，又点在直线上，且点满足方程，综上所述，的方程为.故选：B.【变式83】（多选）（2324高二上·四川成都·阶段练习）已知直线，下列说法正确的是（

）A．倾斜角为 B．倾斜角为C．方向向量可以是 D．方向向量可以是【答案】A【分析】根据直线的一般式可得斜率，进而根据选项即可逐一求解.【详解】因为直线的方程为，所以直线的斜率，又，所以直线的倾斜角为，故A正确，B错误;对于C，若直线l的方向向量为，则斜率为，与题意矛盾，故C错误;对于D，若直线l的方向向量为，则斜率为，与题意矛盾，故D错误;故选：A1．（2223高二上·吉林·阶段练习）下列说法中，错误的是（

）A．直线在轴上的截距为B．直线的一个方向向量为C．过点且在，轴上的截距相等的直线方程为D．，，三点共线【答案】C【分析】由截距判断A，由直线的方向向量判断B，分截距为与不为两种情况讨论判断C，计算出斜率，即可判断D.【详解】对于A：直线在轴上的截距为，故A正确；对于B：直线的斜率，所以其一个方向向量为，故B正确；对于C：当在，轴上的截距都为时直线方程为，当在，轴上的截距都不为时，设直线方程为，则，所以直线方程为，故过点且在，轴上的截距相等的直线方程为或，故C错误；对于D：因为，，所以，所以，，三点共线，故D正确.故选：C2．（2324高二上·江西·阶段练习）若直线的一个方向向量，且在轴上的截距为2，则的方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由方向向量求出直线的斜率，进而得到直线方程.【详解】由直线的一份方向向量，得的斜率，又在轴上的截距为2，所以的方程为，即.故选：A.3．（多选）（2324高二上·山东枣庄·期末）已知直线，则（

）A．直线的倾斜角为B．点在直线的右上方C．为直线的一个方向向量D．直线在轴上的截距为【答案】BC【分析】求出直线的斜率，进而求出该直线的倾斜角，可判断A选项；数形结合可判断B选项；利用直线方向向量的定义可判断C选项；利用直线截距的定义可判断D选项.【详解】对于A选项，直线的斜率为，设该直线的倾斜角为，则，则，故，A错；对于B选项，因为，所以，点在直线的右上方，B对；对于C选项，因为直线的斜率为，所以，为直线的一个方向向量，C对；对于D选项，在直线的方程中，令可得，所以，直线在轴上的截距为，D错.故选：BC.4．（2024高二上·全国·专题练习）的三个顶点为，则AC边上的中线所在直线的方程为.【答案】【分析】求出线段中点坐标，由两点式写出直线方程，再化简即得．【详解】，，∴边中点为，∴中线方程为，即．故答案为：.5．（2324高二·全国·课堂例题）方程与方程有什么不同？【答案】答案见解析【详解】前者表示的直线不含点，后者表示的是“过点，且斜率为k的直线，包含点”．6．（2324高二·全国·课堂例题）一次函数的解析式与直线的斜截式方程有何异同？【答案】答案见解析【详解】一次函数中x的系数，否则就不是一次函数了；直线的斜截式方程中的k可以为0．相同点是k都表示直线的斜率，b是直线在y轴上的截距．7.（2324高二·全国·课堂例题）直线，在x轴，y轴上的截距是多少？【答案】答案见解析【详解】当A，B，C均不为0时，一般式方程可化为，此时在x轴，