2.1等式与不等式的性质（第1课时）（十一大题型提分练）

2.1等式与不等式的性质（第1课时）题型1：等式的性质1．下列式子中变形错误的是（

）A．，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】B【分析】根据等式的性质，逐项验证即可.【解析】对于选项，两边同时减，得到，故正确；对于选项，没有说明，故不正确；对于选项，在等式两边同时乘以，得到，故正确；对于选项，在等式两边同时乘以5得到，故正确；故选：.题型2：常用恒等式2．补全下列公式．（1）（平方差公式）；（2）（完全平方公式）；（3）（立方和公式）．【答案】【分析】略【解析】略题型3：方程的解集（不含参、含参）3．方程的解集是【答案】【分析】将方程通分化简整理后可得，即可求得方程得解集.【解析】方程可化为,去分母可得,整理可得，解得；所以该方程的解集为.故答案为：4．设，求关于的方程的解集．【答案】当时，方程的解集为空集Ø；当时，方程的解集为．【分析】去分母整理得,再分和两种情况求解即可.【解析】解：去分母得，，移项并整理得，当时，方程无实数根，方程的解集为空集Ø；当时，，方程的解集为．5．已知y＝1是方程2－13(m－y)＝2y的解，则关于x的方程m(x－3)－2＝m(2x－5)的解集为.【答案】{0}【分析】把y＝1代入方程2－13(m－y)＝2y中可求出m的值，再将m的值代入m(x－3)－2＝m(2x－5)中可求得结果【解析】因为y＝1是方程2－13(m－y)＝2y的解，所以2－13(m－1)＝2，即m＝1.所以方程m(x－3)－2＝m(2x－5)⇒(x－3)－2＝2x－5，解得x＝0.所以方程的解集为{0}.故答案为：{0}【点睛】此题考查方程的解，属于基础题6．已知且，求关于，的方程组的解集．【答案】【分析】直接解方程组即可.【解析】由，得（），得，所以，即所以方程组的解集为题型4：根据方程的解集求参数7．若关于，的方程组与的解集相等，则.【答案】/3.5【分析】由题可知方程组，代入即求.【解析】∵方程组与的解集相同，∴方程组的解也是它们的解，由得，∴即，∴.故答案为：8．设，若关于x与y的二元一次方程组的解集为空集，则.【答案】3【分析】两式相减，得到，进而分，两种情况讨论求解即可得答案.【解析】两式相减，得到，当时，方程无解，从而原方程组无解，其解集为空集．当时，方程的解为，解不是空集.综上，．故答案为：.题型5：根等式据恒成立求参数9．已知等式恒成立，其中为常数，则．【答案】【分析】首先将等式转化，然后根据等式恒成立,即可得出结果.【解析】因为等式恒成立，所以恒成立，则,即得故故答案为：.10．已知等式对任意实数都成立，则.【答案】【分析】根据等式对任意实数都成立，得对应项系数相等，求出可得结果.【解析】因为等式对任意实数都成立，所以，所以.故答案为：.11．若恒成立，则的值．【答案】5【解析】根据等式恒成立，对应项的系数相等可求得结果.【解析】因为，即恒成立，所以，所以.故答案为：5【点睛】关键点点睛：根据等式恒成立，对应项的系数相等求解是解题关键.题型6：求一元二次方程的解集12．用因式分解法求下列方程的解集：（1）；（2）；（3）.【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）根据题意，将方程化为，求解，即可得出结果；（2）根据题意，将方程化为，求解，即可得出结果；（3）根据题意，将方程化为，求解，即可得出结果.【解析】（1）由得，解得或；所以该方程的解集为；（2）由得，即，解得或，所以该方程的解集为；（3）由得，所以，解得或；所以该方程的解集为.【点睛】本题主要考查求一元二次方程的解集，属于基础题型.题型7：韦达定理13．已知一元二次方程的两根为，，求下列各式的值．(1)；(2)；(3)．【答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）（2）（3）由根与系数关系得，并用它们表示出各式求值即可.【解析】（1）由题设，则；（2）；（3）.14．若，是方程的两个根，试求下列各式的值：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)18(2)(3)28(4)【分析】利用根与系数关系求出，，再对各式变形，将与的值代入计算就可以得到答案.【解析】（1）根据根与系数的关系得，，，.（2）根据根与系数的关系得，，，.（3）根据根与系数的关系得，，，.（4）根据根与系数的关系得，，，.15．设，是方程的两个实数根，则．【答案】【分析】由根与系数关系及根的性质求目标式的值即可.【解析】由题设且，所以.故答案为：16．设是方程的两个实数根，则【答案】【分析】根据韦达定理得到，然后代入计算即可求解.【解析】因为是方程的两个实数根，由韦达定理得，所以，故，故答案为：.17．已知是方程的两根，则．【答案】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，结合一元二次方程根的判别式进行求解即可.【解析】因为一元二次方程的判别式，所以该方程有两个不相等的实数根，则有，因此，故答案为：题型8：根据韦达定理求参数18．关于的一元二次方程的两个实数根分别是，且，则的值是．【答案】【分析】利用韦达定理和已知等式可构造方程求得可能的取值，代回方程验证方程是否有两个实根即可确定结果.【解析】由题意知：，，，即，解得：或；当时，一元二次方程为，，方程有两个不等实根，满足题意；当时，一元二次方程为，，方程无解，不合题意；综上所述：.故答案为：.19．已知是关于的方程的两个实数根，若，则实数．【答案】【分析】本题考查根与系数的关系，设而不求的思想，注意检验实数根是否存在.【解析】有解，则有韦达定理代入得：，整理得：，解之或，经判别式检验知，故答案为：20．关于的一元二次方程：有实数根，若其中一个根为，则另一个根为（

）.A． B． C． D．【答案】D【分析】利用韦达定理求出方程的另一个根，再检验即可.【解析】因为为关于的一元二次方程的根，显然，且，不妨令，则，此时，方程可化为，经检验符合题意，即方程另一个根为.故选：D题型9：含绝对值问题21．已知方程组的解集为，且，则（

）A．1或 B．或 C．或 D．2或【答案】B【分析】由方程组可得，应用韦达定理有，，再由列方程求参数值即可.【解析】由题设，则，且，所以，，而，即，整理得，可得.故选：B22．方程的解集是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】原方程等价于，求解即可.【解析】解：因为，解得或(舍)，由，解得或，所以原方程的解集为.故选：C.题型10：充要条件的证明23．求证：方程有两个同号且不相等实根的充要条件是.【答案】证明见解析【分析】由，可得，且，证明充分性；令，解不等式组求出m的范围，可证明必要性.【解析】充分性：∵，∴方程的判别式，且，∴方程有两个同号且不相等的实根．必要性：若方程有两个同号且不相等的实根，则有，解得.综上，方程有两个同号且不相等的实根的充要条件是.24．已知a，，证明：“且”是“关于x的方程有实数根，且两根均小于2”的充分条件．【答案】证明见解析【分析】由且得到a与b的范围，以此讨论方程的根的情况，从而得到答案﹒【解析】由且，得，，则方程的判别式，所以该方程有两根，不妨设方程两根分别为、，因为，，所以且﹒题型11：解答综合题25．已知，是一元二次方程的两个实数根．(1)是否存在实数，使成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；(2)若的值为整数，求整数的值．【答案】(1)不存在，理由见解析(2)或或【分析】（1）由求出的取值范围，再列出韦达定理，由得到方程，解得即可；（2）由，代入韦达定理，得到，结合为整数，且，即可得解.【解析】（1）因为，是一元二次方程的两个实数根，所以且，解得，且，，若，则，即，解得（舍去），即不存在实数，使成立.（2）由题意，又当，即时，且，，故，由于为整数且为整数，故只能取、、，又，则或或，解得或或，故整数的值为或或.26．已知关于x的一元二次方程的两个实根分别为．(1)均为正根，求实数m的取值范围；(2)若满足：，求实数m的值．【答案】(1)(2)【分析】结合韦达定理列出式子，即可求；【解析】（1）由均为正根，得，解得，即；（2）由（1）得，解得（舍去）或，则27．关于的一元二次方程．(1)如果方程有实数根，求的取值范围；(2)如果是这个方程的两个根，且，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用判别式大于等于零求解即可；（2）由根与系数的关系可求解.【解析】（1）∵，∴，解得，；（2）由题意知，，，∵，∴，∴，解得，，∴的值为．一、填空题1．已知实数m、n满足m＋n＝4，，则以m、n为两根的一个一元二次方程可以是.【答案】（答案不唯一）【分析】根据立方和公式，结合配方法，利用韦达定理，可得答案.【解析】由，则，由，则，利用配方法，可得，由，解得，故答案为：（答案不唯一）.2．若，且，，则的值为．【答案】1【分析】由题意是方程的两个解，然后由根与系数的关系求解计算．【解析】由题意是方程的两个解，所以，，则，，故答案为：1．二、解答题3．若是方程，的两个根．(1)求实数的取值范围；(2)用表示．【答案】(1)或(2)【分析】（1）由判别式即可求解；（2）由韦达定理即可求解.【解析】（1）因为方程有两个根，所以，且有，即，解得：.综上：或.（2）由韦达定理得：，，所以.4．已知实常数a、b，满足，(1)证明：关于的方程有两个不同的实数解.(2)若关于的方程有两个不同的实数解，，求的值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据题意可将原方程等价为，易知恒成立，经检验可知该方程有两个不同的实数解；（2）结合（1）中的结论以及二次函数图像性质可知，即可得.【解析】（1）原方程可化为即方程因为所以有两个不同的实数解经检验所以，，，所以关于的方程有两个不同的实数解.（2）令，而二次函数图象开口向上，故，所以.5．设是不小于的实数，使得关于的方程有两个不相等的实数根.(1)若，求的值；(2)求的最大值.【答案】(1)(2)10【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根，利用韦达定理和已知条件求的值；（2）利用韦达定理化简算式，配方法求最大值.【解析】（1）方程有两个不相等的实数根，则有，解得，结合题意知：，，或，又，所以.（2），由，所以当时，取最大值为10.6．设函数，若，(1)求证：方程有实根.(2)若，、为方程的两实数根，求的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）推导出，再利用判别式法可判断出方程有实根；（2）利用韦达定理结合二次函数的基本性质可求得的取值范围.【解析】（1）证明：若，由可得，所以，，与已知条件矛盾，所以，，对于方程，，所以，方程必有实根.（2）解：由韦达定理可得，，因为，则，所以，，因此，.7．已知一元二次方程．(1)写出“方程有一个正根和一个负根”的充要条件；(2)写出“方程有一个正根和一个负根”的一个必要而不充分条件，并给予证明．【答案】(1)(2)方程有一个正根和一个负根的一个必要而不充分条件可以是，证明见解析【分析】（1）利用判别式及韦达定理即可得到不等式组，解出即可；（2）首先由（1）知其充要条件为，故可以选取作为其必要不充分条件，再证明即可.【解析】（1）若方程有一个正根和一个负根，则，即，．方程有一个正根和一个负根的充要条件是．（2）方程有一个正根和一个负根的一个必要而不充分条件是，证明：若方程有一个正根和一个负根，则由（1）知其充要条件为，从而，故必要性成立．若，则方程中，，，方程有两个同号根，充分性不成立，故是方程有一个正根和一个负根的一个必要而不充分条件．8．已知、是关于的一元二次方程的两个实根.(1)若，求实数的值；(2)是否存在实数，使成立？若存在，求出的值，若不存在，说明理