湖南省2024年数学中考第一轮复习第十五讲函数的实际应用课件

第十五讲函数的实际应用湖南2024年数学中考第一轮复习必备知识·夯根基高频考点·释疑难湘约中考·检成效必备知识·夯根基【课标要点】1.一次函数中的折线图象应用(1)先确定_________的坐标;

(2)求出对应线段的___________________;

(3)根据表达式求相关点的坐标(如交点坐标).2.应用一次函数求最值问题(1)根据题中数量的等量关系来列_____________表达式;

(2)由一元一次不等式求出自变量的取值范围;(3)由一次函数的___________确定最值.

拐点

一次函数表达式

一次函数

增减性

【对点练习】1.现代物流的高速发展,为乡村振兴提供了良好条件.某物流公司的汽车行驶30km后进入高速路,在高速路上匀速行驶一段时间后,再在乡村道路上行驶1h到达目的地.汽车行驶的时间x(单位:h)与行驶的路程y(单位:km)之间的关系如图所示.请结合图象,判断以下说法正确的是()A.汽车在高速路上行驶了2.5hB.汽车在高速路上行驶的路程是180kmC.汽车在高速路上行驶的平均速度是72km/hD.汽车在乡村道路上行驶的平均速度是40km/hD【课标要点】3.反比例函数的实际应用根据图象或表格确定___________函数表达式,再解决实际问题.【对点练习】2.已知蓄电池的电压为定值,使用蓄电池时,电流I(单位:A)与电阻R(单位:Ω)是反比例函数关系,它的图象如图所示.当电阻为3Ω时,电流是_______A.

反比例

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【课标要点】4.应用二次函数解决实际问题的方法(1)根据题意得出二次函数___________及自变量的取值范围;

(2)根据表达式确定顶点坐标,确定最值;或根据对称轴及增减性求取值范围内的最值.【对点练习】3.如图,用一段长为16m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形围栏(墙足够长),则这个围栏的最大面积为_______m2.

表达式

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高频考点·释疑难考点1

一次函数在行程问题中的应用【例1】(2023·怀化新晃期末)已知A,B两地之间有一条长450km的公路,甲车从A地出发匀速开往B地,甲车出发1小时后,乙车从A地出发,沿同路线匀速追赶甲车,两车相遇后,乙车原路原速返回A地.两车之间的距离y(km)与甲车行驶时间x(h)之间的函数关系如图所示,请解答下列问题:(1)甲车的速度是

km/h,乙车的速度是

km/h,m=

;

(2)求相遇后,乙车返回过程中,y与x之间的函数关系式;(3)当甲、乙两车相距100km时,甲车的行驶路程.【思路点拨】(1)根据题意和函数图象中的数据,可以先计算出甲车的速度,再根据2.5小时时两车相遇可以计算出乙车的速度,然后根据乙车原路原速返回A地,可以写出m的值;(2)根据(1)中的结果,可以写出当x=m时对应的y的值,从而可以求出乙车返回过程中,y与x之间的函数关系式;(3)将y=100代入(2)中的函数表达式,求出相应的x的值,再根据路程=速度×时间解答即可.

【方法技巧】一次函数求解行程问题的关键关键1:弄清各个点的含义,求出相应坐标;关键2:求出相关线段对应的一次函数表达式,借助一次函数表达式求关键点.【变式训练】1.(2023·永州模拟)永州作为湖南四大历史文化名城之一,雅称“潇湘”,每年吸引着大量游客前来观光.现有一批游客分别乘坐甲乙两辆旅游大巴同时从旅行社前往某个旅游景点.行驶过程中甲大巴停留一段时间后继续驶向景点,乙大巴全程匀速驶向景点.两辆大巴的行程s(km)随时间t(h)变化的图象(全程)如图所示.依据图中信息,下列说法错误的是

()A.甲大巴比乙大巴先到达景点B.甲大巴中途停留了0.5hC.甲大巴停留后用1.5h追上乙大巴D.甲大巴停留前的平均速度是60km/hC2.(2023·怀化期末)甲、乙两地相距300千米,一辆货车和一辆轿车分别从甲地开往乙地(轿车的平均速度大于货车的平均速度),如图,线段OA、折线BCD分别表示两车离甲地的距离y(单位:千米)与时间x(单位:小时)之间的函数关系.(1)求线段OA与折线BCD中,表示货车离甲地的距离y与时间x之间的函数关系式.(2)求线段CD的函数表达式;(3)货车出发多长时间两车相遇?

考点2

应用一次函数的性质解最优化问题【例2】(2023·长沙模拟)2022年4月16日,神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆,任务取得圆满成功.航模店看准商机,推出了“神舟”和“天宫”模型.已知每个“天宫”模型的成本比“神舟”模型低20%,同样花费320元,购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多4个.(1)“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元?(2)该航模店计划购买两种模型共100个,且每个“神舟”模型的售价为34元,“天宫”模型的售价为26元.设购买“神舟”模型a个,销售这批模型的利润为w元.①求w与a的函数关系式(不要求写出a的取值范围);②若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的一半,则购进“神舟”模型多少个时,销售这批模型可以获得最大利润?最大利润是多少?【思路点拨】(1)设“神舟”模型成本为每个x元,则“天宫”模型成本为每个(1-20%)x=0.8x(元),根据同样花费320元,购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多4个.列出方程,解方程即可,注意验根;(2)①购买“神舟”模型a个,则购买“天宫”模型(100-a)个,根据总利润=两种模型利润之和列出函数关系式即可;②根据购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的一半求出a的取值范围,由函数的性质求最值即可.

【方法技巧】用一次函数的性质解决方案问题1.最优化问题就是利用一次函数的性质解决如何购买费用最少、如何出售利润最大等问题.2.构建一次函数,并确定其增减变化,根据自变量的范围,作出最优化判断.【变式训练】(2023·长沙开福区一模)某学校要购买甲、乙两种消毒液,用于预防流感.若购买9桶甲消毒液和6桶乙消毒液,则一共需要615元;若购买8桶甲消毒液和12桶乙消毒液,则一共需要780元.(1)每桶甲消毒液、每桶乙消毒液的价格分别是多少元?(2)若该校计划购买甲、乙两种消毒液共30桶,其中购买甲消毒液a桶,且甲消毒液的数量至少比乙消毒液的数量多5桶,又不超过乙消毒液的数量的2倍.怎样购买,才能使总费用W最少?并求出最少费用.

考点3

反比例函数图象的实际应用【例3】(2023·长沙岳麓区质检)为预防疫病,某校对教室进行“药熏消毒”.已知药物燃烧阶段,室内每立方米空气中的含药量y(mg)与燃烧时间x(min)成正比例;燃烧后,y与x成反比例(如图所示).现测得药物10分钟燃烧完,此时教室内每立方米空气含药量为8mg.根据以上信息,解答下列问题:(1)求药物燃烧时y与x的函数关系式;(2)求药物燃烧后y与x的函数关系式;(3)当每立方米空气中含药量低于1.6mg时,对人体无毒害作用.那么从消毒开始,经多长时间学生才可以返回教室?

【方法技巧】反比例函数实际应用的两大特点1.已知一个点的坐标,求表达式;2.应用表达式求另一个点的坐标解决问题.

C2.(2022·永州祁阳县期末)某蔬菜生产基地在气温较低时,用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜.如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后,大棚内的温度y(℃)与时间x(h)之间的函数关系,其中线段AB,BC表示恒温系统开启阶段,双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段.请根据图中信息解答下列问题:(1)求这天的温度y与时间x(0≤x≤24)的函数关系式;(2)若大棚内的温度低于10℃时,蔬菜会受到伤害.问这天内,恒温系统最多可以关闭多少小时,才能使蔬菜避免受到伤害?

考点4

应用二次函数解决面积最大问题【例4】某农场要建一个矩形养鸡场,鸡场的一边靠墙,另外三边用木栅栏围成.已知墙长25m,木栅栏长47m,在与墙垂直的一边留出1m宽的出入口(另选材料建出入门).求鸡场面积的最大值.

【方法技巧】应用二次函数解决面积最大问题的思路1.根据图形面积公式,列出二次函数表达式.2.由配方法或顶点法,求得最大值.提醒:注意最大值不一定是顶点的纵坐标,需注意自变量的取值范围.【变式训练】在美化校园的活动中,某兴趣小组想借助如图所示的直角墙(两边足够长),用30米长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB,BC两边),设AB=x米.(1)求花园的面积S与x的函数关系式;(2)在P处有一棵树与墙CD,AD的距离分别是16米和6米,要将这棵树围在花园内:(含边界,不考虑树的粗细)①若花园的面积为216平方米,求x的值;②求花园面积S的最大值.

考点5

应用二次函数解决利润问题【例5】(教材原题·湘教版九年级下册·P32T3)某工艺厂设计了一款成本为10元/件的产品,并投放市场进行试销.经过调查,发现每天的销售量y(件)与销售单价x(元)存在一次函数关系y=-10x+700.(1)销售单价定为多少时,该厂每天获取的利润最大?最大利润为多少?(2)若物价部门规定,该产品的最高销售单价不得超过35元,那么销售单价如何定位才能获取最大利润?【思路点拨】(1)根据题意,可以写出利润与销售单价之间的函数关系式,然后根据二次函数的性质,即可得到销售单价定为多少时,该厂每天获取的利润最大,最大利润为多少;(2)根据(1)中利润与单价之间的函数关系式和物价部门规定,该产品的最高销售单价不得超过35元,可以得到当单价为多少时,才能获得最大利润.【自主解答】(1)设销售利润为w元,w=(x-10)(-10x+700)=-10(x-40)2+9000,∴当x=40时,w取得最大值,此时w=9000,答:销售单价定为40元时,该厂每天获取的利润最大,最大利润为9000元;(2)∵w=-10(x-40)2+9000,x≤35,∴当x=35时,w取得最大值,此时w=8750,答:销售单价为35元时,才能获取最大利润.【方法技巧】应用二次函数解决利润问题1.列出此类二次函数的依据:利润=单件利润×销售数量或利润=总售价-总成本.2.有时根据函数图象所求的一次函数表达式就是销售数量,而此类问题也与一次函数有关.【变式训练】1.(中考初级变)将进货单价为70元的某种商品按零售价100元一个售出时,每天能卖出20个.若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元,其日销售量就增加1个,则能获取的最大利润是()A.600元

B.625元

C.650元

D.675元B2.(中考升级变)某公司研发了一款成本为50元的新型玩具,投放市场进行试销售.其销售单价不低于成本,按照物价部门规定,销售单价不低于成本不高于95元.市场调研发现,在一段时间内,每天销售数量y(个)与销售单价x(元)符合一次函数关系,如图所示.(1)求出y与x的函数关系式;(2)该公司要想每天获得3000元的销售利润,销售单价应定为多少元?(3)销售单价为多少元时,每天获得的利润最大?最大利润是多少元?

常规题型组

精练湖南14地市、州必考题1.(2023·长沙雨花区月考)如图,一边靠墙(墙有足够长),其他三边用12m长的篱笆围成一个矩形(ABCD)花园,这个花园的最大面积是

()A.16m2

B.12m2C.18m2

D.以上都不对湘约中考·检成效C

R(Ω)100200220400I(A)2.21.110.55

4

3.(2022·衡阳中考)冰墩墩(BingDwenDwen)、雪容融(ShueyRhonRhon)分别是2022年北京冬奥会、冬残奥会的吉祥物.冬奥会举办后,冰墩墩、雪容融玩偶畅销全国.小雅在某网店选中两种玩偶.决定从该网店进货并销售.第一次小雅用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5个,已知购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元,销售时每个冰墩墩玩偶可获利28元,每个雪容融玩偶可获利20元.(1)求两种玩偶的进货价分别是多少;(2)第二次小雅进货时,网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍.小雅计划购进两种玩偶共40个,应如何设计进货方案才能获得最大利润,最大利润是多少元?

创新题型组

感悟湖南14地市、州新考法4.(2022·湘潭中考)为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》,某校准备在校园里利用围墙(墙长