高三高考数学复习课件8-8立体几何中的向量方法（二）求空间角和距离

§8.8立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离1．两条异面直线所成角的求法设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．(

)(2)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角．(

)【答案】

(1)×

(2)×

(3)√

(4)×

3．(2018·郑州模拟)如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC­A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1所成角的余弦值为(

)题型一求异面直线所成的角【例1】

如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.(1)证明：平面AEC⊥平面AFC；(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值．【解析】

(1)证明

如图所示，连接BD，设BD∩AC＝G，连接EG，FG，EF.【思维升华】

用向量法求异面直线所成角的一般步骤(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；(2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量；(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；(4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值．跟踪训练1

如图所示正方体ABCD­A′B′C′D′，已知点H在A′B′C′D′的对角线B′D′上，∠HDA＝60°.求DH与CC′所成的角的大小．【解析】

如图所示，以D为原点，DA为单位长度，建立空间直角坐标系D­xyz，题型二求直线与平面所成的角【例2】

(2018·深圳二调)如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，D为BC的中点，∠BAC＝90°，∠A1AC＝60°，AB＝AC＝AA1＝2.(1)求证：A1B∥平面ADC1；(2)当BC1＝4时，求直线B1C与平面ADC1所成角的正弦值．【解析】

(1)证明

连接A1C，与AC1相交于点E，连接ED.∵D，E分别为BC，A1C的中点，∴A1B∥ED，又A1B⊄平面ADC1，ED⊂平面ADC1，∴A1B∥平面ADC1.∴BA⊥平面A1ACC1，又∵BA⊂平面ABC，∴平面A1ACC1⊥平面ABC.如图，过点A在平面A1ACC1内作Az⊥AC，垂足为A.∵平面A1ACC1⊥平面ABC，平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，∴Az⊥平面ABC.如图，过点A1作A1O⊥AC，垂足为O，连接OD.∵AC＝AA1，∠A1AC＝60°，∴△A1AC为等边三角形，∴O为AC的中点．又∵D为BC的中点，∴OD∥AB，∴OD⊥OC.又∵平面A1ACC1⊥平面ABC，平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，∴A1O⊥平面ABC.【思维升华】

利用向量法求线面角的方法(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．跟踪训练2

在平面四边形ABCD中，AB＝BD＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥BD.将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图所示．(1)求证：AB⊥CD；(2)若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．【解析】

(1)证明

∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB⊂平面ABD，AB⊥BD，∴AB⊥平面BCD.又CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD.(2)过点B在平面BCD内作BE⊥BD，如图．题型三求二面角【例3】

(2017·全国Ⅰ卷，节选)如图，在四棱锥P­ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°.若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，求二面角A­PB­C的余弦值．【思维升华】

利用向量法计算二面角大小的常用方法(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小．(2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到