苏科版九年级数学上册专题1.8一元二次方程章末拔尖卷同步练习(学生版+解析)

第1章一元二次方程章末拔尖卷【苏科版】考试时间：60分钟；满分：100分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（2023春·安徽安庆·九年级安徽省安庆市外国语学校校考期末）下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（

）A．x2−3x−1=0 C．x2−4x+4=0 2．（3分）（2023春·山东威海·九年级统考期中）关于x的一元二次方程x2+ax−6=0的解为x1=2，x2A．1 B．0 C．−1 D．53．（3分）（2023春·浙江温州·九年级校考期中）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0有一个根是x=mA．x=m B．x=−m C．x=1m 4．（3分）（2023春·浙江·九年级期末）方程x2+4x−5=0的解是x1=1,xA．x1=1,x2=2 B．x15．（3分）（2023春·山西晋城·九年级校考期末）关于x的方程x2−2cx+a2+b2=0有两个相等的实数根，若a，A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形6．（3分）（2023春·福建福州·九年级福建省福州延安中学校考期末）已知x=a是方程x2+3x−1=0的一个根，则代数式a2A．4和5之间 B．3和4之间 C．2和3之间 D．1和2之间7．（3分）（2023春·河南郑州·九年级统考期末）为加快推动生态巩义建设步伐，形成“城在林中、园在城中、山水相依，林路相随”的生态格局，市政府计划在某街心公园的一块矩形空地上修建草坪，如图，矩形长为40m，宽为30m，在矩形内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为816m2，道路的宽度应为多少?设矩形地块四周道路的宽度为xm，根据题意，下列方程不正确的是（A．1200−80x+60x−4x2C．40−2x30−2x=816 8．（3分）（2023春·浙江·九年级期末）已知关于x的一元二次方程：x2①当a>−1时，方程有两个不相等的实根；②当a>0时，方程不可能有两个异号的实根；③当a>−1时，方程的两个实根不可能都小于1；④当a>3时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．以上4个结论中，正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．49．（3分）（2023春·福建厦门·九年级厦门市莲花中学校考期中）已知关于x的方程x2﹣（a+2b）x+1＝0有两个相等实数根．若在直角坐标系中，点P在直线l：y＝﹣x+12上，点Q(1A．342 B．24 C．110．（3分）（2023·浙江杭州·九年级）若四个互不相等的正实数a，b，c，d满足a2012−c2012a2012−A．−2012 B．−2011 C．2012 D．2011二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）（2023春·甘肃酒泉·九年级校考期中）若关于x的方程(k−1)x|k|+1−4x+5=0是一元二次方程，则12．（3分）（2023春·四川成都·九年级四川省蒲江县蒲江中学校考期中）已知x1,x2是一元二次方程4kx2−4kx+k+1=013．（3分）（2023春·上海静安·九年级上海市民办扬波中学校考期中）一个三角形的两边长分别为3和5，其第三边是方程x2−13x+40=0的根，则此三角形的周长为14．（3分）（2023春·重庆九龙坡·九年级重庆实验外国语学校校考期末）关于x的一元二次方程x2−2x+m=0的两实数根分别为x1、x2，且15．（3分）（2023春·上海杨浦·九年级校考期中）已知x为实数，若x2+1x216．（3分）（2023春·江苏宿迁·九年级沭阳县怀文中学校考期中）对于实数a、b，定义运算“*”；a∗b=a2−aba≤bb2−ab三．解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）（2023春·河北保定·九年级统考期中）解方程：(1)2(2)x+2(3)x−2(4)518．（6分）（2023春·北京石景山·九年级统考期末）已知关于x的一元二次方程x2(1)请判断这个方程根的情况；(2)若该方程有一个根小于1，求k的取值范围．19．（8分）（2023春·河北石家庄·九年级统考期中）如图为2022年10月的日历表，在其中用一个方框圈出4个数（如图中虚框所示），设这4个数从小到大依次为a，b，c，d．(1)若用含有a的式子分别表示出b，c，d，其结果应为：b=______；c=______；d=____；(2)按这种方法所圈出的四个数中，ab的最大值为_______________；(3)嘉嘉说：“按这种方法可以圈出四个数，使得bc的值为135．”淇淇说：“按这种方法可以圈出四个数，使最小数a与最大数d的乘积ad为84．”请你运用一元二次方程的相关知识分别说明二人的说法是否正确．解：∵一元二次方程x2−x−1=0的两个实数根分别为∴m+n＝1，则m2根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：(1)材料理解：一元二次方程2x2−3x−1=0的两个根为x1，(2)类比应用：已知一元二次方程2x2−3x−1=0的两根分别为m、n(3)思维拓展：已知实数s、t满足2s2−3s−1=0，2t2−3t−1=0第1章一元二次方程章末拔尖卷【苏科版】参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（2023春·安徽安庆·九年级安徽省安庆市外国语学校校考期末）下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（

）A．x2−3x−1=0 C．x2−4x+4=0 【答案】D【分析】逐项分析四个选项中一元二次方程根的判别式的符号，由此即可得出结论．【详解】解：A.在x2−3x−1=0中，B.在2x2−5x+2=0C.在x2−4x+4=0中，D.将4x−1x+3=−5整理得：4故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的根与Δ=b22．（3分）（2023春·山东威海·九年级统考期中）关于x的一元二次方程x2+ax−6=0的解为x1=2，x2A．1 B．0 C．−1 D．5【答案】D【分析】把x1=2代入方程x2+ax−6=0求得a，再解方程求得b，将a、【详解】解：将x1=2代入x2解得：a=1，∴x的一元二次方程x2解得：x1=2，x2将a=1，b=−3代入2a+b2023得：2a+b2023故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，熟练掌握方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．3．（3分）（2023春·浙江温州·九年级校考期中）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0有一个根是x=mA．x=m B．x=−m C．x=1m 【答案】D【分析】利用一元二次方程的解，可得出am2+bm+1=0，在等式的两边同时除以m2，可得出a+b⋅1【详解】∵关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0∴am在等式的两边同时除以m2得：a+b⋅∴方程x2+bx+a=0有一个根是故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，牢记“能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解”是解题的关键．4．（3分）（2023春·浙江·九年级期末）方程x2+4x−5=0的解是x1=1,xA．x1=1,x2=2C．x1=−1,x2【答案】B【分析】结合已知方程的解，利用换元法解一元二次方程即可得．【详解】解：(2x−1)2令y=2x−1，则方程可转化为y2由题意得：y1即2x解得x1故选：B．【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握换元法是解题关键．5．（3分）（2023春·山西晋城·九年级校考期末）关于x的方程x2−2cx+a2+b2=0有两个相等的实数根，若a，A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【分析】由关于x的方程x2−2cx+a2+b2【详解】解：∵关于x的方程x2∴△=−2c2−4∴△ABC是直角三角形，故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，勾股定理逆定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．6．（3分）（2023春·福建福州·九年级福建省福州延安中学校考期末）已知x=a是方程x2+3x−1=0的一个根，则代数式a2A．4和5之间 B．3和4之间 C．2和3之间 D．1和2之间【答案】D【分析】将a代入方程得a2+3a=1，然后整体代入得结果，最后根据【详解】解：∵x=a是方程x2∴将a代入方程，得：a2即：a2将上式代入a2+3a+3∵1<3∴2<1+3故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的根，判断无理数的范围，整体代入等知识点，整体代入的运用是解题关键．7．（3分）（2023春·河南郑州·九年级统考期末）为加快推动生态巩义建设步伐，形成“城在林中、园在城中、山水相依，林路相随”的生态格局，市政府计划在某街心公园的一块矩形空地上修建草坪，如图，矩形长为40m，宽为30m，在矩形内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为816m2，道路的宽度应为多少?设矩形地块四周道路的宽度为xm，根据题意，下列方程不正确的是（A．1200−80x+60x−4x2C．40−2x30−2x=816 【答案】B【分析】根据要使草坪的面积为816m【详解】解：可列方程40−2x30−2x故C选项不符合题意，变形后，可得1200−80x+60x−4x2故A选项不符合题意，D选项不符合题意，40−x30−x故B选项符合题意，故选：B．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意是解题的关键．8．（3分）（2023春·浙江·九年级期末）已知关于x的一元二次方程：x2①当a>−1时，方程有两个不相等的实根；②当a>0时，方程不可能有两个异号的实根；③当a>−1时，方程的两个实根不可能都小于1；④当a>3时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．以上4个结论中，正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根据一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的求根公式对每个选项进行一一判断即可．【详解】解：∵x2∴Δ＝4+4a，∴①当a>−1时，Δ＞0，方程有两个不相等的实根，故①正确，②当a>0时，两根之积=−a<0，方程的两根异号，故②错误，③方程的根为x＝2±4+4a∵a>−1，∴方程的两个实根不可能都小于1，故③正确，④当a>3时，由（3）可知，两个实根一个大于3，另一个小于3，故④正确，故选：C．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，一元二次方程的求根公式，熟练掌握一元二次方程的相关知识是解题的关键．9．（3分）（2023春·福建厦门·九年级厦门市莲花中学校考期中）已知关于x的方程x2﹣（a+2b）x+1＝0有两个相等实数根．若在直角坐标系中，点P在直线l：y＝﹣x+12上，点Q(1A．342 B．24 C．1【答案】A【分析】先利用根判别式得到△＝（a+2b）2﹣4＝0，则a+2b=2或a+2b=-2，即点Q的坐标为（1-b，b）或（-1-b，b），如图：当点Q在直线y=-x-1上，EF为两直线的距离，最后求出EF得到PQ的最小值即可【详解】解：∵关于x的方程x2﹣（a+2b）x+1＝0有两个相等实数根，∴△＝（a+2b）2﹣4＝0，∴a+2b＝2或a+2b＝﹣2，∵点Q（12∴点Q所在的直线为y＝﹣x+1或y＝﹣x﹣1，∵点Q（12a，b）在直线y＝﹣x+1∴点Q在直线y＝﹣x﹣1上，如图，EF为两直线的距离，∵OE＝24，OF＝2∴EF＝32∴PQ的最小值为32故选：A．【点睛】本题主要考查了根的判别式和垂线段最短，掌握一元二次方程的根的判别式△与根的关系：当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程无实数根是解答本题的关键.10．（3分）（2023·浙江杭州·九年级）若四个互不相等的正实数a，b，c，d满足a2012−c2012a2012−A．−2012 B．−2011 C．2012 D．2011【答案】A【分析】根据题意可将a2012与b2012看做方程（x-c2012）（x-d2012）=2012的两个解，把所求的式子被减数利用积的乘方逆运算变形后换为x1x2，把方程整理后，利用根与系数的关系表示出x1x2，代入整理后的式子中，即可求出所求式子的值．【详解】解：设a2012与b2012看做方程（x-c2012）（x-d2012）=2012的两个解，方程整理得：x2-（c2012+d2012）x+（cd）2012-2012=0，则（ab）2012-（cd）2012=x1x2−(cd)2012，又x1x2=（cd）2012-2012，则（ab）2012-（cd）2012=x1x2−(cd)2012=（cd）2012-2012-（cd）2012=-2012．故选：A．【点睛】此题考查了根与系数的关系的运用，利用了方程的思想，其中当一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有解，即b2-4ac≥0时，设方程的两个根分别为x1，x2，则有x1+x2=−ba，x1x2=二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）（2023春·甘肃酒泉·九年级校考期中）若关于x的方程(k−1)x|k|+1−4x+5=0是一元二次方程，则【答案】-1【分析】根据一元二次方程的定义得出k−1≠0且|k|＋1＝2，再求出k即可．【详解】解：∵关于x的方程(k−1)x∴k−1≠0且|k|＋1＝2，解得：k＝−1，故答案为：−1．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元一次方程的定义是解此题的关键，只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．12．（3分）（2023春·四川成都·九年级四川省蒲江县蒲江中学校考期中）已知x1,x2是一元二次方程4kx2−4kx+k+1=0【答案】−2或−3或−5【分析】根据一元二次方程根的判别式及根与系数的关系可进行求解．【详解】解：由题意得：Δ=b2解得：k<0，由一元二次方程根与系数的关系可得：x1+x∴x1∴k+1=1或−1或2或−2或4或−4，∴k=0或−2或1或3或−3或−5，∵k<0，∴k=−2或−3或−5；故答案为−2或−3或−5．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．13．（3分）（2023春·上海静安·九年级上海市民办扬波中学校考期中）一个三角形的两边长分别为3和5，其第三边是方程x2−13x+40=0的根，则此三角形的周长为【答案】13【分析】因式分解法解方程可求得三角形的第三边，再根据三角形三边关系进行取舍即可求得答案．【详解】解：解方程x2−13x+40=0可得x=5或当第三边为5时，则三角形的三边长为3、5、5，满足三角形三边关系，其周长为13；当第三边为8时，则三角形的三边长为3、5、8，不满足三角形三边关系，舍去．则此三角形的周长为13．故答案为：13．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法及三角形三边关系，求得方程的两根是解题的关键，注意分类讨论．14．（3分）（2023春·重庆九龙坡·九年级重庆实验外国语学校校考期末）关于x的一元二次方程x2−2x+m=0的两实数根分别为x1、x2，且【答案】5【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到x+x2=2，结合已知求出x【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2−2x+m=0的两实数根分别为∴x+x∵x1∴x+x∴x2把x2=13代入解得：m=5故答案为：59【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，若一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）的两根为x1，x215．（3分）（2023春·上海杨浦·九年级校考期中）已知x为实数，若x2+1x2【答案】2或3【分析】将原方程变形为x+1x2−5x+【详解】解：∵x2∴x2∴x+1∴x+1∴x+1解解，x+1故答案为：2或3．【点睛】本题主要考查了配方法，用因式分解法解一元二次方程，正确将原方程进行变形运用因式分解法求解是解答本题的关键．16．（3分）（2023春·江苏宿迁·九年级沭阳县怀文中学校考期中）对于实数a、b，定义运算“*”；a∗b=a2−aba≤bb2−ab【答案】−3<t<−2【分析】根据新定义的运算，分两种情况得出两个关于x的一元二次方程，再由关于x的方程2x∗x−1=t+3恰好有三个实数根，得到关于x【详解】解：由新定义的运算可得关于x的方程为：当2x≤x−1时，即x≤−1时，有2x2即：2x2+2x−t−3=0当2x>x−1时，即x>−1，时，有x−12即：x2要使关于x的方程2x∗x−1=t+3恰好有三个不相等的实数根，则x∴−t−2≥02t+7≥0∴−7（1）当−t−2=0时，即t=−2时，方程x2=−t−2x>−1∵当t=−2时，2t+7=∴−1+32>0∴此时方程2x∴t=−2不符合题意；（2）当−3<t<−2时，方程x2=−t−2x>−1∵当−3<t<−2时，1<2t+7∴−1+2t+72>0∴方程2x∴当−3<t<−2时，2x∗（3）∵当−7t≤t≤−3时，方程x2=−t−2∴此时方程x2∵−12≤∴当−7t≤t≤−3∴当−7t≤t≤−3综上分析可知，t的取值范围是−3<t<−2．故答案为：−3<t<−2．【点睛】本题考查了新运算及利用一元二次方程根的情况求字母的取值范围，读懂题意，进行分类讨论，是解题的关键．三．解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）（2023春·河北保定·九年级统考期中）解方程：(1)2(2)x+2(3)x−2(4)5【答案】(1)x1=3(2)x1=−2(3)x1=(4)x1=0【分析】（1）先求解b2（2）先移项，再利用因式分解的方法解方程即可；（3）将原方程化为一般形式，得3x（4）先移项，再利用因式分解的方法解方程即可．【详解】（1）解：2∵a=2，b=−5∴b2∴x=x1=3（2）解：x+2∴x+2移项得：x+2∴x+2即x+2∴x+2=0，x−1=0解得：x1=−2，（3）解：x−2将原方程化为一般形式，得3这里a=3，b=−11，c=9．∵∴x=∴x1（4）解：5原方程可变形为5x∴x∴x=0或5x−4=0解得：x1=0，【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握公式法与因式分解法解一元二次方程是解本题的关键．18．（6分）（2023春·北京石景山·九年级统考期末）已知关于x的一元二次方程x2(1)请判断这个方程根的情况；(2)若该方程有一个根小于1，求k的取值范围．【答案】(1)有两个实数根(2)k<1【分析】（1）根据根的判别式即可求出答案；（2）求出方程的两根，根据该方程有一个根小于1列出不等式，解不等式即可得到答案．【详解】（1）解：根据题意得：△=b∵无论k取何值时，△=4k−1∴原方程有两个实数根；（2）解：∵x=2k±x1=2k∵该方程有一个根小于1，∴2k−1<1，∴k<1．【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况，公式法解一元二次方程，解题的关键是熟练运用根的判别式．19．（8分）（2023春·河北石家庄·九年级统考期中）如图为2022年10月的日历表，在其中用一个方框圈出4个数（如图中虚框所示），设这4个数从小到大依次为a，b，c，d．(1)若用含有a的式子分别表示出b，c，d，其结果应为：b=______；c=______；d=____；(2)按这种方法所圈出的四个数中，ab的最大值为_______________；(3)嘉嘉说：“按这种方法可以圈出四个数，使得bc的值为135．”淇淇说：“按这种方法可以圈出四个数，使最小数a与最大数d的乘积ad为84．”请你运用一元二次方程的相关知识分别说明二人的说法是否正确．【答案】(1)a+1，a+7，a+8(2)552(3)嘉嘉的说法不正确，淇淇的说法正确【分析】（1）4个数从小到大依次为a，b，c，d，日历表中同一行，左右相差1，同列，上下相差7，由此即可求解；（2）根据a+8≤31，b=a+1，可知a≤23，b≤24，由此即可求解；（3）由（1）的结论即可用含a的式子表示bc，ad的值，解一元二次方程，根据方程的解和日历表结合比较即可求解．【详解】（1）解：同一行，左右相差1，同列，上下相差7，∴b=a+1，c=a+7，d=a+7+1=a+8，∴答案是：a+1，a+7，a+8．（2）解：∵a+8≤31，∴a≤23，∵b=a+1，∴b≤24，∴ab≤23×24=552，即ab的最大值为552．（3）解：由（1）可知b=a+1，c=a+7，d=a+8，∴嘉嘉的说法是：bc=(a+1)(a+7)，使得bc的值为135，∴(a+1)(a+7)=a2+8a+7=135，解方程得，a则虚框圈出的四个数应为，它在日历表中不存在，所以嘉嘉的说法不正确；淇淇的说法是：ad=a(a+8)=84，即a2+8a−84=0，解方程得，a1则虚线圈出的四个数为，在日历表中存在，所以淇淇的说法正确．【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，根据日历表的图示分析同行相邻两数，同列上下两数的关系，由此列出一元二次方程，比较方程的解与日历表是解题的关键．20．（8分）（2023春·河北唐山·九年级统考期末）我们定义：如果关于x的一元二次方程ax(1)请判断方程x2(2)若是x−8x−n=0倍根方程，则【答案】(1)是，理由见解析(2)4或16【分析】（1）根据题意和题目中的方程，求得方程的解，据此即可判定；（2）根据题目中的方程和题意，利用分类讨论的方法可以求得n的值．【详解】（1）解：方程x2理由如下：由方程x2解得x1=4，∵x∴方程x2（2）解：由方程x−8x−n解得x1=8，∵方程是x−8x−n∴x1=2得8=2n或n=2×8=16，故n=4或n=16，故答案为：4或16．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，正确理解“倍根方程”的定义是解题的关键．21．（8分）（2023春·河南·九年级校联考期末）第22届世界杯足球赛已于2022年11月20日在卡塔尔开幕，其吉祥物“拉伊卜”也深受人们的喜爱．河南某超市在2022年9月份售出20个“拉伊卜”，随着世界杯开幕的临近，“拉伊卜”在之后两个月的销售量持续走高，在售价不变的基础上，11月份的销售量达到了180个．(1)求“拉伊下”在10，11两个月销售量的月平均增长率；(2)若每个“拉伊卜”的进价为40元，原售价为70元，该超市计划在2022年12月进行降价促销，经调查发现，若“拉伊卜”的价格在原售价的基础上每降价1元，销售量可在11月份的基础上增加10个，当每个“拉伊卜”降价多少元时，在12月份出售“拉伊卜”可获利3200元？【答案】(1)200(2)22元【分析】（1）设“拉伊下”在10，11两个月销售量的月平均增长率为x，根据增长率问题列出一元二次方程，解方程即可求解．（2）设“