人教版2024-2025学年八年级数学上册举一反三专题11.3三角形的内角和定理【十大题型】(学生版+解析)

专题11.3三角形的内角和定理【十大题型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1证明三角形内角和】 1【题型2由三角形内角和直接求角度】 3【题型3由三角形内角和判断三角形形状】 4【题型4三角形内角和与平行线的综合运用】 4【题型5三角形内角和与翻折的综合运用】 5【题型6三角形内角和与角平分线的综合运用】 7【题型7三角形内角和与三角板的综合运用】 8【题型8由三角形内角和定理探究角度之间的关系】 9【题型9由直角三角形的性质求角度】 11【题型10锐角互余的三角形是直角三角形】 12知识点1：三角形的内角和定理（1）三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于．（2）因为三角形三个内角的和等于，所以任何一个三角形中至少有两个锐角，最多有一个钝角或直角．【提示】（1）三角形内角和定理适用于任意三角形．（2）任何一个三角形中，至少有两个锐角，最多有一个钝角或直角．【题型1证明三角形内角和】【例1】（23-24八年级·河北邢台·阶段练习）在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中能证明“三角形的内角和是180°”的有（

）①如图1，过点C作EF∥②如图2，过AB上一点D分别作DE∥BC，③如图3，延长AC到点F，过点C作CE∥④如图4，过点C作CD⊥AB于点D．A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④【变式1-1】（23-24八年级·全国·课堂例题）如图，折叠一张三角形纸片，把三角形三个角拼在一起，就能验证一个几何定理．请写出这个定理的名称：．

【变式1-2】（23-24八年级·河北石家庄·阶段练习）下面是一道习题，需要填写符号处的内容，下列填写正确的是（

）已知：△ABC．求证：∠A+∠B+∠ACB=180°．证明：如图，过点C作DE∥AB．∵DE∥AB（已知），∴∠B=∠★，∠A=∠■（①）．∵∠1+∠2+∠ACB=180°（②），∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代换）．

A．★处填2 B．■处填1C．①内错角相等，两直线平行 D．②平角定义【变式1-3】（23-24·重庆忠县·八年级统考期末）三角形的内角和定理是初中数学学习中的一个重要定理，下面给出了该定理的一种证明方法．已知：如图，．求证：∠A+∠B+∠C=180°．证明：作BC的延长线CD，在△ABC外部，以CA为一边，作∠ACE=∠A．所以，CE∥AB所以，∠B=∠ECD（）．因为，∠ACB，∠ACE，∠ECD组成一个平角，所以，∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°（平角的定义），所以，∠ACB+∠A+∠B=180°（）．(1)请将上面的“已知”和推理“依据”补充完整；(2)该定理有多种证明方法，请再写出一种证明方法．【题型2由三角形内角和直接求角度】【例2】（23-24八年级·江苏宿迁·期末）如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的2倍，我们称这样的三角形为“倍角三角形”．若△ABC为倍角三角形，∠A=100°，则∠B=．【变式2-1】（23-24八年级·新疆巴音郭楞·期末）如图1是某款婴儿手推车，如图2是其侧面的示意图，若AB∥CD，∠1=130°，∠3=35°，则∠2的度数为【变式2-2】（23-24八年级·福建宁德·期末）将△ABC沿BC方向平移得到△DEF．若∠1=64°，∠2=52°，则∠A的度数是（

）

A．54° B．64° C．74° D．52°【变式2-3】（23-24八年级·江苏宿迁·期末）已知：如图，在四边形ABCD中，点E在AB上，∠2与∠3互余，且∠1=∠4，试猜想AB与BC的位置关系，并说明理由．【题型3由三角形内角和判断三角形形状】【例3】（23-24八年级·河北廊坊·期中）如图，当x=3y时，该三角形的形状是（

）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定【变式3-1】（23-24八年级·广西梧州·期中）△ABC中，若∠A−∠C=∠B，则△ABC的形状是（

）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角二角形 D．无法确定【变式3-2】（23-24八年级·安徽淮北·阶段练习）如果一个三角形的两个内角都小于30°，那么这个三角形的形状是（

）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定【变式3-3】（23-24八年级·重庆秀山·期中）△ABC中，∠A:∠B:∠C=4:5:9，请判断三角形的形状并证明．【题型4三角形内角和与平行线的综合运用】【例4】（23-24八年级·河南平顶山·期末）如图，△CEF中，∠E=70°，∠F=50°，且AB∥CF，AD∥CE，连接BC，CD，则∠A的度数是（

）

A．40° B．45° C．50° D．60°【变式4-1】（23-24八年级·四川成都·期末）如图，AB//CD，AC与BD相交于点O，若∠A＝25°，∠D＝45°，则∠AOB的大小为（）A．90° B．110° C．120° D．135°【变式4-2】（23-24八年级·陕西渭南·期中）如图，在三角形ABC中，点D，H，E分别是边AB，BC，CA上的点，连接DE，DH，F为DH上一点，连接EF，若∠1+∠2=180°，∠3=∠B=65°，∠C=52°．则∠FEC的度数为°．【变式4-3】（23-24八年级·湖北孝感·期中）如图，直线EF∥MN，点A，B分别是EF，MN上的动点，点G在MN上，∠ACB=m°，∠AGB和∠CBN的角平分线交于点D，若∠D=52°，则m的值为．

【题型5三角形内角和与翻折的综合运用】【例5】（23-24八年级·江苏扬州·期末）如图，M、N是△ABC边AB、AC上的点，△AMN沿MN翻折后得到△DMN，△BMD沿BD翻折后得到△BED，且点E在BC边上，△CND沿CD翻折后得到△CFD，且点F在边BC上，若∠A=70°，则∠1+∠2=（

）

A．65° B．70° C．75° D．85°【变式5-1】（23-24八年级·江苏连云港·期中）如图，将直角三角形纸片ABC沿CD（D是斜边AB上一点）折叠，使点B落在点B'处，若∠ACB'=α°，则∠ACD的度数是

【变式5-2】（23-24八年级·广西南宁·期中）如图，在折纸活动中，小李制作了一张△ABC的纸片，点D，E分别在边AB，AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A'重合，若∠1+∠2=130°，则∠A=.

【变式5-3】（23-24八年级·福建漳州·期中）如图，在△ABC中，∠A=60°，∠ABC=70°，D是线段AC上一个动点，连接BD，把△BCD沿BD折叠，点C落在同一平面内的点E处，当DE平行于△ABC的边时，∠CDB的度数为．【题型6三角形内角和与角平分线的综合运用】【例6】（23-24八年级·江苏淮安·期末）如图，△ABC中，∠A=40°，∠B=80°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，则∠CDF的度数=．【变式6-1】（23-24八年级·江苏徐州·期中）如图，CD、BE是△ABC的角平分线，CD与BE交于点O，∠BOC=n，∠A=（用含n的代数式表示）.【变式6-2】（23-24八年级·辽宁营口·期中）如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠EAD+∠ABF=（

）．A．35° B．40° C．45° D．50°【变式6-3】（23-24八年级·江苏苏州·期中）新定义：在△ABC中，若存在一个内角是另外一个内角度数的n倍（n为大于1的正整数），则称△ABC为n倍角三角形．例如，∠A=80°,∠B=60°，可知∠A=2∠C，所以△ABC为2倍角三角形．(1)在△DEF中，∠E=40°,∠F=35°，则△DEF为倍角三角形．(2)如图1，直线MN与直线PQ相交于O，∠POM=30°；已知∠BAO、∠OBA的角平分线交于点C，在△ABC中，在△ABC中，如果有一个角是另一个角的2倍，请求出∠BAC的度数．(3)如图2，直线MN⊥直线PQ于点O，点A、点B分别在射线OP、OM上，已知∠BAO、∠OAG的角平分线分别与∠BOQ的角平分线所在的直线交于点E、F．若△AEF为3倍角三角形，试求∠ABO的度数．【题型7三角形内角和与三角板的综合运用】【例7】（23-24八年级·江西南昌·期末）将一副三角板的直角顶点重合按如图放置，∠C=45°，∠D=30°，小明得到下列结论：①如果∠2=30°，则AC∥②∠BAE+∠CAD=180°；③如果BC∥AD，则④如果∠CAD=150°，则∠4=∠C．其中正确的结论有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式7-1】（23-24八年级·安徽六安·期末）生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，将一副学生用三角板按如图所示的方式放置．若AE//BC，则∠AFD的度数是．【变式7-2】（23-24八年级·河北唐山·期末）如图，将一副三角板的直角顶点重合，且使AB∥CD，则∠DEB的度数是（A．15∘ B．20∘ C．65∘【变式7-3】（23-24八年级·湖北随州·期末）将一副学生用的三角板（一个锐角为30°的直角三角形，一个锐角为45°的直角三角形）如图叠放，则下列4个结论中正确的个数有（

）①∠AOC＋∠BOD＝90°；②∠AOC＝∠BOD；③∠AOC－∠CEA＝15°；④如果OB平分∠DOC，则OC平分∠AOBA．0 B．1 C．2 D．3【题型8由三角形内角和定理探究角度之间的关系】【例8】（23-24八年级·全国·单元测试）如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．

(1)求证：∠A+∠C=∠B+D；(2)如图2，若∠CAB和∠BDC的平分线AP、DP相交于点P，且与CD、AB分别相交于点M、N．①以线段AC为边的“8字型”有__________个，以点O为交点的“8字型”有__________个；②若∠B=100°,∠C=120°，求∠P的度数；③若角平分线中角的关系改为∠CAP=13∠CAB,∠CDP=13【变式8-1】（23-24八年级·江苏南京·期末）如图，△ABC中，∠B=50°，点D、E分别在边AB、AC上，∠CED=105°，则下面关于∠C与∠ADE的关系中一定正确的是（

）A．∠C+∠ADE=95° B．∠C−∠ADE=25°C．∠C−∠ADE=35° D．∠C=2∠ADE【变式8-2】（23-24八年级·江西南昌·期中）已知如图，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，若∠B=30°，∠C=50°

(1)求∠DAE的度数．(2)求∠DAE与∠B，∠C的关系，并说明理由．【变式8-3】（23-24八年级·江苏连云港·期末）如图1，过直线AB外一点C作MN∥AB，连接AC,BC，∠ACB=90°，∠BAC的平分线AD与MN交于点D，点E是线段AD上一动点（不与A,D重合），连接EC．(1)若∠ACM=50°，则∠BAD=_____________°，∠ABC=________________°；(2)若∠ECA=2∠EAB，求证：∠ECB=∠ABC；(3)如图2，∠CED的平分线EF与MN交于点F，连接EB，若∠EAB=22°，∠ECM=α,∠EBC=β,∠BEF=γ0°<γ<知识点2：直角三角形的性质与判定（1）直角三角形的两个锐角互余．（2）有两个角互余的三角形是直角三角形．【提示】直角三角形的性质和判定的应用思路：（1）见直角三角形，可得两锐角互余．（2）见两角互余，可得直角三角形．【题型9由直角三角形的性质求角度】【例9】（23-24八年级·河南郑州·期中）在直角三角形ABC中，∠A比∠B的3倍还多10°，则∠A的大小为．【变式9-1】（23-24八年级·河南南阳·期末）一副三角板按如图所示放置，点A在DE上，点F在BC上，若∠EAB=25°，则∠DFC=．【变式9-2】（23-24八年级·湖南株洲·期中）如图，在△ABC中，∠ACB=60°，∠BAC=75°，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE交于H，则∠ECH=．【变式9-3】（23-24八年级·四川成都·期末）如图，有一副三角板ABC与DEF，其中∠C＝∠F＝90°，∠A＝60°，∠D＝45°，在一平面内将这副三角板进行拼摆，使得点B、E重合，且点B、C、F三点在同一直线上，则∠ABD的度数是°．【题型10锐角互余的三角形是直角三角形】【例10】（23-24八年级·全国·课堂例题）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，E是AB边上一点，CE交AD于点M，且∠DCM=∠MAE．求证：△AEM是直角三角形．【变式10-1】（23-24八年级·江苏南京·期中）证明：有两个角互余的三角形是直角三角形．已知：如图，，求证：．证明：【变式10-2】（23-24八年级·河南周口·阶段练习）在下列条件中：①∠C=∠A+∠B，②∠A:∠B:∠C=3:2:1，③∠A=90°−∠B，④∠A=∠B−∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式10-3】（23-24八年级·全国·课后作业）如图AB∥CD，AC平分∠BAD，BD平分∠ADC，AC和BD交于点专题11.3三角形的内角和定理【十大题型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1证明三角形内角和】 1【题型2由三角形内角和直接求角度】 6【题型3由三角形内角和判断三角形形状】 8【题型4三角形内角和与平行线的综合运用】 10【题型5三角形内角和与翻折的综合运用】 13【题型6三角形内角和与角平分线的综合运用】 18【题型7三角形内角和与三角板的综合运用】 22【题型8由三角形内角和定理探究角度之间的关系】 26【题型9由直角三角形的性质求角度】 33【题型10锐角互余的三角形是直角三角形】 37知识点1：三角形的内角和定理（1）三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于．（2）因为三角形三个内角的和等于，所以任何一个三角形中至少有两个锐角，最多有一个钝角或直角．【提示】（1）三角形内角和定理适用于任意三角形．（2）任何一个三角形中，至少有两个锐角，最多有一个钝角或直角．【题型1证明三角形内角和】【例1】（23-24八年级·河北邢台·阶段练习）在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中能证明“三角形的内角和是180°”的有（

）①如图1，过点C作EF∥②如图2，过AB上一点D分别作DE∥BC，③如图3，延长AC到点F，过点C作CE∥④如图4，过点C作CD⊥AB于点D．A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④【答案】A【分析】本题主要考查三角形内角和的定理的证明，平行线的性质，熟练掌握转化的思想以及平角的定义是解决本题的关键．运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义逐一判断即可得答案．【详解】①∵EF∥∴∠ECA=∠A,∠FCB=∠B，∵∠ECA+∠ACB+∠FCB=180°，∴∠A+∠B+∠ACB=180°，故①符合题意，②∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B,∠BDF=∠A，∠C=∠AED,∠AED=∠EDF，∴∠C=∠EDF，∵∠ADE+∠EDF+∠BDF=180°，∴∠A+∠B+∠C=180°，故②符合题意，③∵CE∥∴∠FCE=∠A,∠ECB=∠B，∵∠FCE+∠ECB+∠ACB=180°，∴∠A+∠B+∠ACB=180°，故③符合题意，④∵CD⊥AB，∴∠CDB=∠CDA=90°，不能证明“三角形的内角和等于180°”故④不符合题意，故选：A．【变式1-1】（23-24八年级·全国·课堂例题）如图，折叠一张三角形纸片，把三角形三个角拼在一起，就能验证一个几何定理．请写出这个定理的名称：．

【答案】三角形内角和定理【分析】根据折叠前后的两个角相等，把三角形的三个角转化为一个平角，可以得到三角形内角和定理．【详解】解：根据折叠的性质，∠A=∠3，

∵∠1+∠2+∠3=180°，∴∠B+∠C+∠A=180°，∴定理为：三角形内角和定理．故答案为：三角形内角和定理．【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理的证明，熟练掌握翻折变换的性质是解题的关键．【变式1-2】（23-24八年级·河北石家庄·阶段练习）下面是一道习题，需要填写符号处的内容，下列填写正确的是（

）已知：△ABC．求证：∠A+∠B+∠ACB=180°．证明：如图，过点C作DE∥AB．∵DE∥AB（已知），∴∠B=∠★，∠A=∠■（①）．∵∠1+∠2+∠ACB=180°（②），∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代换）．

A．★处填2 B．■处填1C．①内错角相等，两直线平行 D．②平角定义【答案】D【分析】根据题意结合平行线的性质进行证明判断即可．【详解】证明：如图，过点C作DE∥AB．∵DE∥AB（已知），∴∠B=∠1，∠A=∠2（两直线平行，内错角相等）．∵∠1+∠2+∠ACB=180°（平角定义），∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代换）．

故选D【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理的证明，平行线的性质，正确理解题意是解题的关键．【变式1-3】（23-24·重庆忠县·八年级统考期末）三角形的内角和定理是初中数学学习中的一个重要定理，下面给出了该定理的一种证明方法．已知：如图，．求证：∠A+∠B+∠C=180°．证明：作BC的延长线CD，在△ABC外部，以CA为一边，作∠ACE=∠A．所以，CE∥AB所以，∠B=∠ECD（）．因为，∠ACB，∠ACE，∠ECD组成一个平角，所以，∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°（平角的定义），所以，∠ACB+∠A+∠B=180°（）．(1)请将上面的“已知”和推理“依据”补充完整；(2)该定理有多种证明方法，请再写出一种证明方法．【答案】(1)∠A、∠B、∠C是△ABC的三个内角；两直线平行，同位角相等；等量代换(2)见解析【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的判定与性质：（1）在△ABC外部，以CA为一边，作∠ACE=∠A．根据平行线的判定与性质及平角定义求解即可；（2）过点A作AD∥BC，根据平行线的性质【详解】（1）解：已知：如图，∠A、∠B、∠C是△ABC的三个内角．求证：∠A+∠B+∠C=180°．证明：如图，作BC的延长线CD，在△ABC外部，以CA为一边，作∠ACE=∠A．所以，CE∥所以，∠B=∠ECD（两直线平行，同位角相等）．因为，∠ACB，所以，∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°（平角的定义），所以，∠ACB+∠A+∠B=180°（等量代换）．（2）证明：如图，过点A作AD∥∵AD∥∴∠DAC=∠C（两直线平行，内错角相等）．∠BAD+∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补）．即∠BAC+∠DAC+∠B=180°．∴∠BAC+∠B+∠C=180°．【题型2由三角形内角和直接求角度】【例2】（23-24八年级·江苏宿迁·期末）如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的2倍，我们称这样的三角形为“倍角三角形”．若△ABC为倍角三角形，∠A=100°，则∠B=．【答案】50°或30°或160°3或【分析】该题主要考查了三角形内角和定理，解题的关键是分类讨论．根据“倍角三角形”定义分为当∠A=2∠B时，当∠A=2∠C时，当∠B=2∠C时，当∠C=2∠B时，结合三角形内角和定理求解即可；【详解】解：当∠A=2∠B时，∠B=1当∠A=2∠C时，∠C=12∠A=50°当∠B=2∠C时，∠A+∠B+∠C=100°+∠B+12∠B=180°当∠C=2∠B时，∠A+∠B+∠C=100°+∠B+2∠B=180°，解得：∠B=80°故答案为：50°或30°或160°3或80°【变式2-1】（23-24八年级·新疆巴音郭楞·期末）如图1是某款婴儿手推车，如图2是其侧面的示意图，若AB∥CD，∠1=130°，∠3=35°，则∠2的度数为【答案】85°/85度【分析】本题考查平行线的性质和三角形内角和定理，根据平行线的性质可得∠ABC=∠3=35°，利用三角形内角和定理得出∠AEB的度数，即可求解．【详解】解：如图，∵AB∥CD，∴∠ABC=∠3=35°，∵∠1=130°∴∠4=180°−130°=50°，∴∠AEB=180°−50°−35°=95°∴∠2=180°−∠AEB=85°，故答案为：85°．【变式2-2】（23-24八年级·福建宁德·期末）将△ABC沿BC方向平移得到△DEF．若∠1=64°，∠2=52°，则∠A的度数是（

）

A．54° B．64° C．74° D．52°【答案】B【分析】本题考查了平移的性质，掌握平移的性质是解题的关键．根据图形平移，图形的大小不变，对应角、对应边相等即可求解．【详解】解：根据题意，由平移的性质得：∠1=∠B=64°，∴∠A=180°−∠B−∠2=64°，故选：B．【变式2-3】（23-24八年级·江苏宿迁·期末）已知：如图，在四边形ABCD中，点E在AB上，∠2与∠3互余，且∠1=∠4，试猜想AB与BC的位置关系，并说明理由．【答案】AB⊥BC，理由见解析【分析】本题考查了垂线的定义，余角的定义，三角形内角和定理，根据∠2+∠3=90°，推出∠DEC=90°，进而得到∠1+∠BEC=90°，由∠1=∠4，得到∠4+∠BEC=90°，从而得到∠CBE=90°，推出AB⊥BC．【详解】解：AB⊥BC，理由见如下：∵∠2+∠3=90°，∴∠DEC=180°−∠2−∠3=90°，∴∠1+∠BEC=180°−∠DEC=90°，∵∠1=∠4，∴∠4+∠BEC=90°，∴∠CBE=180°−∠4+∠BEC∴AB⊥BC．【题型3由三角形内角和判断三角形形状】【例3】（23-24八年级·河北廊坊·期中）如图，当x=3y时，该三角形的形状是（

）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定【答案】B【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的分类．利用三角形内角和定理得到x+y=120，结合已知计算即可求解．【详解】解：如图x=3y，且x+y=180−60=120，∴3y+y=120，∴y=30，∴x=90，∴该三角形的形状是直角三角形，故选：B．【变式3-1】（23-24八年级·广西梧州·期中）△ABC中，若∠A−∠C=∠B，则△ABC的形状是（

）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角二角形 D．无法确定【答案】B【分析】本题主要考查三角形内角和定理，根据在△ABC中，∠A−∠C=∠B，∠A+∠B+∠C=180°可求出∠A的度数，即可得出结论，熟知三角形内角和是180°是解答本题的关键．【详解】解：∵在△ABC中，∠A−∠C=∠B，∴∠A=∠C+∠B，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴2∠A=180°，∴∠A=90°，∴△ABC是直角三角形．故选：B．【变式3-2】（23-24八年级·安徽淮北·阶段练习）如果一个三角形的两个内角都小于30°，那么这个三角形的形状是（

）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定【答案】C【分析】根据三角形的内角和定理即可得到结论．【详解】解：∵三角形的两个内角都小于30°，∴这两个内角的和小于60°，∵三个内角的和为180°，∴另一个角大于120°，∴这个三角形是钝角三角形，故选：C．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键．【变式3-3】（23-24八年级·重庆秀山·期中）△ABC中，∠A:∠B:∠C=4:5:9，请判断三角形的形状并证明．【答案】△ABC是直角三角形，证明见解析【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，设∠A=4x，∠B=5x，∠C=9x，根据三角形内角和为180度建立方程4x+5x+9x=180°，解方程求出【详解】解；△ABC是直角三角形，证明如下；∵∠A:∠B:∠C=4:5:9，∴可设∠A=4x，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴4x+5x+9x=180°，解得x=10°，∴∠A=40°，∴△ABC是直角三角形．【题型4三角形内角和与平行线的综合运用】【例4】（23-24八年级·河南平顶山·期末）如图，△CEF中，∠E=70°，∠F=50°，且AB∥CF，AD∥CE，连接BC，CD，则∠A的度数是（

）

A．40° B．45° C．50° D．60°【答案】D【分析】连接AC并延长交EF于点M．由平行线的性质得∠3=∠1，∠2=∠4，再由等量代换得∠BAD=∠3+∠4=∠1+∠2=∠FCE，先求出∠FCE即可求出∠A．【详解】连接AC并延长交EF于点M．

∵AB∥CF，∴∠3=∠1，∵AD∥CE，∴∠2=∠4，∴∠BAD=∠3+∠4=∠1+∠2=∠FCE，∵∠FCE=180°−∠E−∠F=180°−70°−50°=60°，∴∠BAD=∠FCE=60°，故选D．【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形的内角和定理，属于基础题型．【变式4-1】（23-24八年级·四川成都·期末）如图，AB//CD，AC与BD相交于点O，若∠A＝25°，∠D＝45°，则∠AOB的大小为（）A．90° B．110° C．120° D．135°【答案】B【分析】首先根据两直线平行，内错角相等得出∠B＝∠D＝45°，然后由△AOB的内角和为180°，求出∠AOB的大小．【详解】解：∵AB//CD，∴∠B＝∠D＝45°．∵∠A+∠AOB+∠B＝180°，∴∠AOB＝180°﹣25°﹣45°＝110°．故选：B．【点睛】本题考查了平行线的性质及三角形的内角和定理，根据平行线的性质得出∠B＝∠D＝45°是解题的关键，属于基础题型，比较简单．【变式4-2】（23-24八年级·陕西渭南·期中）如图，在三角形ABC中，点D，H，E分别是边AB，BC，CA上的点，连接DE，DH，F为DH上一点，连接EF，若∠1+∠2=180°，∠3=∠B=65°，∠C=52°．则∠FEC的度数为°．【答案】63【分析】由∠1+∠2=180°，∠1+∠DFE=180°，得到∠2=∠DFE，根据平行线的判定，得到AB∥FE，根据平行线的性质，得到∠FEC=∠A，根据三角形内角和定理，求出∠A的度数，即可求解，本题考查了，平行线的性质与判定，三角形内角和定理，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理．【详解】解：∵∠1+∠2=180°，∠1+∠DFE=180°，∴∠2=∠DFE，∴AB∥FE，∴∠FEC=∠A，∵∠A=180°−∠B−∠C=180°−65°−52°=63°，∴∠FEC=∠A=63°，故答案为：63．【变式4-3】（23-24八年级·湖北孝感·期中）如图，直线EF∥MN，点A，B分别是EF，MN上的动点，点G在MN上，∠ACB=m°，∠AGB和∠CBN的角平分线交于点D，若∠D=52°，则m的值为．

【答案】76【分析】先由平行线的性质得到∠ACB=∠5+∠1+∠2，再根据三角形内角和定理和角平分线的定义求出m的值．【详解】解：过点C作CH∥MN，

∵CH∥MN，∴∠6=∠5，∠7=∠1+∠2，∵∠ACB=∠6+∠7，∴∠ACB=∠5+∠1+∠2，∵∠D=52°，∴∠1+∠5+∠3=180°−52°=128°，由题意可得GD为∠AGB的角平分线，BD为∠CBN的角平分线，∴∠1=∠2，∠3=∴m°=∠1+∠2+∠5=2∠1+∠5，∠4=180°−∠5+∠3∴∠3=∠4=∠1+52°，∴∠1+∠5+∠3=∠1+∠5+∠1+52°=2∠1+∠5+52°=m°+52°，∴m°+52°=128°，∴m=76．故答案为：76．【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质和三角形内角和定理是解题的关键．【题型5三角形内角和与翻折的综合运用】【例5】（23-24八年级·江苏扬州·期末）如图，M、N是△ABC边AB、AC上的点，△AMN沿MN翻折后得到△DMN，△BMD沿BD翻折后得到△BED，且点E在BC边上，△CND沿CD翻折后得到△CFD，且点F在边BC上，若∠A=70°，则∠1+∠2=（

）

A．65° B．70° C．75° D．85°【答案】D【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的内角和定理．根据折叠的性质以及三角形内角和定理得出∠1+∠2+∠3=125°，∠MDB+∠CDN+∠BDC+∠MDN=360°，将已知数据代入，即可求解．【详解】解：如图所示，

依题意，∠MBD=∠CBD=1∴∠BDC=180°−∠DBC−∠DCB=180°−=180°−1即∠1+∠2+∠3=125°，∠1+∠3=∠BDM，∠2+∠3=∠CDN，∵∠MDB+∠CDN+∠BDC+∠MDN=360°，∴∠1+∠2+2∠3+∠1+∠2+∠3+∠MDN=360°，∴3∠1+∠2+∠3∴3×125°−∠1+∠2∴∠1+∠2=85°，故选：D．【变式5-1】（23-24八年级·江苏连云港·期中）如图，将直角三角形纸片ABC沿CD（D是斜边AB上一点）折叠，使点B落在点B'处，若∠ACB'=α°，则∠ACD的度数是

【答案】45−【分析】本题考查了三角形折叠中的角度问题，根据角度间关系可得∠B'CD=α°+∠ACD，再根据折叠性质得到∠BCD=∠【详解】解：∵∠ACB∴∠B∵将直角三角形纸片ABC沿CD（D是斜边AB上一点）折叠，使点B落在点B'∴∠BCD=∠B∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=α°+2∠ACD，∵∠ACB=90°，∴2∠ACD=90°−α°，∴∠ACD=45−故答案为：45−1【变式5-2】（23-24八年级·广西南宁·期中）如图，在折纸活动中，小李制作了一张△ABC的纸片，点D，E分别在边AB，AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A'重合，若∠1+∠2=130°，则∠A=.

【答案】65°/65度【分析】本题考查折叠的性质，三角形内角和定理．由折叠可得∠AED=∠A'ED=12∠AEA'，【详解】解：∵将△ABC沿着DE折叠压平，A与A'重合，∴∠AED=∠A'ED=∴∠1+∠2=180°−∠AEA'+180°−∠AD∵∠AED+∠ADE+∠A=180°，∴∠AED+∠ADE=180°−∠A，∴∠1+∠2=360°−2180°−∠A∵∠1+∠2=130°，∴∠A=1故答案为：65°．【变式5-3】（23-24八年级·福建漳州·期中）如图，在△ABC中，∠A=60°，∠ABC=70°，D是线段AC上一个动点，连接BD，把△BCD沿BD折叠，点C落在同一平面内的点E处，当DE平行于△ABC的边时，∠CDB的度数为．【答案】65°或120°【分析】本题考查了平行线的性质，折叠问题，三角形的内角和等知识点，分两种情况，ED∥AB和ED∥BC，分别画出图形，再利用平行线的性质求解即可，正确分类并画出图形是解题的关键．【详解】由折叠的性质得：∠CDB=∠EDB，设∠EDB=∠CDB=xx>0∵∠A=60°,∠ABC=70°，∴∠C=50°，由题意，分以下两种情况：如图，当ED∥AB时，∵∠EDA=∠A=60°，∴∠ADB=∠EDB−∠EDA=x−60°，∵∠ADB+∠CDB=180°，∴x−60+x=180，解得x=120，即∠CDB=120°；如图，当ED∥BC时，∴∠EDA=∠C=50°，∵∠CDB+∠EDB+∠EDA=180°，∴x+x+50=180，解得x=65，即∠CDB=65°，综上，∠CDB的大小为65°或120°．故答案为：65°或120°．【题型6三角形内角和与角平分线的综合运用】【例6】（23-24八年级·江苏淮安·期末）如图，△ABC中，∠A=40°，∠B=80°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，则∠CDF的度数=．【答案】70°【分析】本题考查了三角形的内角和180°以及角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和180°以及角平分线的定义是解题的关键．首先根据三角形的内角和定理求得∠ACB的度数，根据角平分线的定义求得∠ACE的度数，则∠ECD可以求解，然后在△CDF中，利用内角和定理即可求得∠CDF的度数．【详解】∵∠A=40°，∠B=80°，∴∠ACB=180°−∠A−∠B=60°，∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=1∵CD⊥AB，∴∠CDA=90°，∠ACD=180°−∠A−∠CDA=50°，∴∠ECD=∠ACD−∠ACE=20°，∵DF⊥CE，∴∠CFD=90°，∴∠CDF=180°−∠CFD−∠DCF=70°．故答案为：70°．【变式6-1】（23-24八年级·江苏徐州·期中）如图，CD、BE是△ABC的角平分线，CD与BE交于点O，∠BOC=n，∠A=（用含n的代数式表示）.【答案】2n−180°【分析】此题考查了与角平分线有关的三角形内角和定理，先求出∠OBC+∠OCB=180°−n，再利用角平分线求出∠ABC+∠ACB=2180°−n【详解】解：∵∠BOC=n，∴∠OBC+∠OCB=180°−∠BOC=180°−n，∵CD、BE是△ABC的角平分线，∴∠ABC=2∠OBC,∠ACB=2∠OCB，∴∠ABC+∠ACB=2∠OBC+2∠OCB=2∠OBC+∠OCB∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠A=180°−∠ABC+∠ACB故答案为：2n−180°【变式6-2】（23-24八年级·辽宁营口·期中）如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠EAD+∠ABF=（

）．A．35° B．40° C．45° D．50°【答案】A【分析】此题考查了三角形内角和定理及角平分线的性质，依据AD是BC边上的高，∠ABC=60°，即可得到∠BAD=30°，依据∠BAC=50°，AE平分∠BAC，即可得到∠EAD=5°，再依据BF是∠ABC的平分线，得到∠ABF=30°，可得∠EAD+∠ABF=35°，熟练掌握三角形内角和定理以及角平分线定义的运用是解题的关键．【详解】解：∵AD是BC边上的高，∴∠ADB=90°，∵∠ABC=60°，∴∠BAD=180°−∠ADB−∠ABC=30°，∵∠BAC=50°，AE平分∠BAC，∴∠BAE=25°，∴∠DAE=30°−25°=5°，∵BF是∠ABC的平分线，∴∠ABF=1∴∠EAD+∠ABF=35°故选：A．【变式6-3】（23-24八年级·江苏苏州·期中）新定义：在△ABC中，若存在一个内角是另外一个内角度数的n倍（n为大于1的正整数），则称△ABC为n倍角三角形．例如，∠A=80°,∠B=60°，可知∠A=2∠C，所以△ABC为2倍角三角形．(1)在△DEF中，∠E=40°,∠F=35°，则△DEF为倍角三角形．(2)如图1，直线MN与直线PQ相交于O，∠POM=30°；已知∠BAO、∠OBA的角平分线交于点C，在△ABC中，在△ABC中，如果有一个角是另一个角的2倍，请求出∠BAC的度数．(3)如图2，直线MN⊥直线PQ于点O，点A、点B分别在射线OP、OM上，已知∠BAO、∠OAG的角平分线分别与∠BOQ的角平分线所在的直线交于点E、F．若△AEF为3倍角三角形，试求∠ABO的度数．【答案】(1)3(2)50°或52.5°或25°或22.5°(3)45°或60°【分析】本题考查三角形的内角和定理，余角的意义等知识，读懂新定义n倍角三角形的意义和分类讨论是解决问题的基础和关键．（1）由∠E=40°，∠F=35°可知∠D=105°，再根据n倍角三角形的定义可得结论．（2）先求出∠CBA+∠CAB=75°，∠C=105°，然后分四种情形分别求解即可．（3）先证明∠EAF=90°，∠ABO=2∠E，然后分四种情形分别求解即可．【详解】（1）∵∠E=40°，∠F=35°，∴∠D=180°−40°−35°=105°，∴∠D=3∠F，∴△DEF为3倍角三角形，故答案为：3；（2）解：∵∠POM=30°，∴∠OAB+∠OBA=150°．又∵BC平分∠OBA，AC平分∠OAB，∴∠CBA+∠CAB=1∴∠C=105°．①当∠CBA=2∠CAB时，∵∠CBA+∠CAB=75°，∴∠BAC=25°；②当∠CAB=2∠CBA时，∵∠CBA+∠CAB=75°，∴∠BAC=50°；③当∠C=2∠CAB时，∵∠C=105°，∴∠BAC=1④当∠C=2∠CBA时，∵∠C=105°，∴∠CBA=1∴∠BAC=22.5°．综上，在△ABC中当一个角是另一个角的2倍时，∠BAC等于50°或52.5°或25°或22.5°；（3）∵AE平分∠BAO，AF平分∠OAG，∴∠BAE=∠EAO，∠OAF=∠GAF，∴∠EAF=∠EAO+∠OAF=90°，∴∠E+∠F=90°；又∵EF平分∠BOQ，∴∠EOQ=∠E+∠EAO=45°①，∠BOQ=∠ABO+∠BAO=90°②；①×2−②得：若△AEF为3倍角三角形：i)若∠F=3∠E，∵∠E+∠F=90°，∴∠E=22.5°，∴∠ABO=45°；ii)若∠E=3∠F，∴∠E=67.5°，∴∠ABO=135°（不符合题意，舍去）；iii)若∠EAF=3∠E，∴∠E=30°，∴∠ABO=60°；iv)若∠EAF=3∠F，∴∠F=30°，∠E=60°，∴∠ABO=120°（不符合题意，舍去）；综上所述，∠ABO等于45°或60°时，△AEF为3倍角三角形．【题型7三角形内角和与三角板的综合运用】【例7】（23-24八年级·江西南昌·期末）将一副三角板的直角顶点重合按如图放置，∠C=45°，∠D=30°，小明得到下列结论：①如果∠2=30°，则AC∥②∠BAE+∠CAD=180°；③如果BC∥AD，则④如果∠CAD=150°，则∠4=∠C．其中正确的结论有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据平行线的性质和判定和三角形内角和定理逐个判断即可．【详解】解：∵∠2＝30°，∠CAB＝90°，∴∠1＝60°，∵∠E＝60°，∴∠1＝∠E，∴AC∥DE，故①正确；∵∠CAB＝∠DAE＝90°，∴∠BAE+∠CAD＝90°﹣∠1+90°+∠1＝180°，故②正确；∵BC∥AD，∠∴∠3＝∠B＝45°，∵∠2+∠3＝∠DAE＝90°，∴∠2＝45°，故③错误；∵∠CAD＝150°，∠BAE+∠CAD＝180°，∴∠BAE＝30°，∵∠E＝60°，∴∠BOE＝∠BAE+∠E＝90°，∴∠4+∠B＝90°，∵∠B＝45°，∴∠4＝45°，∵∠C＝45°，∴∠4＝∠C，故④正确；所以其中正确的结论有①②④共3个，故选：C．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．【变式7-1】（23-24八年级·安徽六安·期末）生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，将一副学生用三角板按如图所示的方式放置．若AE//BC，则∠AFD的度数是．【答案】75°【分析】首先根据三角形内角和为180°，求得∠C的度数，又由AE∥BC，即可求得∠CAE的值，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得∠AFD的度数．【详解】解：∵AE//BC，∴∠E=∠EDC=45°，∵∠C=30°∴∠AFD=∠C+∠EDC=75°，故答案为75°【点睛】本题考查三角形内角和定理，熟练掌握计算法则是解题关键.【变式7-2】（23-24八年级·河北唐山·期末）如图，将一副三角板的直角顶点重合，且使AB∥CD，则∠DEB的度数是（A．15∘ B．20∘ C．65∘【答案】A【分析】根据平行线的性质，有同位角相等，即∠ABE=∠CFE，进而求出∠EFD，根据三角形内角和定理即可求出∠DEB．【详解】如图：∵AB∴∠ABE=∠CFE=45∴∠DFE=180∴∠DEB=∠180故答案选A【点睛】本题考查平行线的性质、两角互补与三角形内角和定理，找到∠ABE=∠CFE为关键．【变式7-3】（23-24八年级·湖北随州·期末）将一副学生用的三角板（一个锐角为30°的直角三角形，一个锐角为45°的直角三角形）如图叠放，则下列4个结论中正确的个数有（

）①∠AOC＋∠BOD＝90°；②∠AOC＝∠BOD；③∠AOC－∠CEA＝15°；④如果OB平分∠DOC，则OC平分∠AOBA．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】根据同角的余角相等可得∠AOC=∠BOD；根据三角形的内角和即可得出∠AOC-∠CEA=15°；根据角平分线的定义可判定OC平分∠AOB．【详解】解：∵∠DOC=∠AOB=90°，∴∠DOC-∠BOC=∠AOB-∠COB，即∠BOD=∠AOC，故②正确；如图，AB与OC交于点P，∵∠CPE=∠APO，∠C=45°，∠A=30°，∠CEA+∠CPE+∠C=∠AOC+∠APO+∠A=180°，∴∠AOC-∠CEA=15°．故③正确；如果OB平分∠DOC，则∠DOB=∠BOC=45°，则∠AOC=∠BOC=45°，故OC平分∠AOB，故④正确；由②知：∠AOC＝∠BOD，故当∠AOC=∠BOD=45°时，∠AOC＋∠BOD＝90°成立，否则不成立，故①不正确；综上，②③④正确，共3个，故选：D．【点睛】本题考查了余角以及三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知余角的性质以及三角形内角和是180°是解答此题的关键．【题型8由三角形内角和定理探究角度之间的关系】【例8】（23-24八年级·全国·单元测试）如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．

(1)求证：∠A+∠C=∠B+D；(2)如图2，若∠CAB和∠BDC的平分线AP、DP相交于点P，且与CD、AB分别相交于点M、N．①以线段AC为边的“8字型”有__________个，以点O为交点的“8字型”有__________个；②若∠B=100°,∠C=120°，求∠P的度数；③若角平分线中角的关系改为∠CAP=13∠CAB,∠CDP=13【答案】(1)见解析(2)①3；4；②∠P=110°③3∠P=∠B+2∠C【分析】（1）根据三角形内角和定理得出∠A+∠C=180°−∠AOC，∠B+∠D=180°−∠BOD，又因为∠AOC和∠BOD是对顶角，进而得出结论；（2）①根据题目给的8字型定义，在图2中查图形的数量即可得出答案；②根据角平分线的定义得到∠BAP=∠CAP,∠CDP=∠BDP，再根据三角形内角和定理得出∠P+∠CDP=∠C+∠CAP和∠P+∠BAP=∠B+∠BDP，两式相加，最后得出2∠P=∠B+∠C，然后把∠B=100°,∠C=120°代入计算即可得到答案；③根据∠CAP=13∠CAB，∠CDP=13∠CDB得到∠BAP=23∠CAB，∠BDP=【详解】（1）证明：∵∠A+∠C=180°−∠AOC，∠B+∠D=180°−∠BOD，∠AOC=∠BOD，∴∠A+∠C=∠B+D；（2）解：①以线段AC为边的“8字型”有：以△ACM和△MDP共点M组成的图形ACMDP；以△AOC和△DON共点O组成的图形ACODN；以△AOC和△BOD共点O组成的图形ACODB；共有3个；

以点O为交点的“8字型”有：以△AOC和△DON共点O组成的图形ACODN；以△AOC和△BOD共点O组成的图形ACODB；以△AOM和△BOD共点O组成的图形AMODB；以△AOM和△DON共点O组成的图形AMODN；共有4个；故答案为：3；4；②以点M为交点的“8字型”ACMDP中，有∠P+∠CDP=∠C+∠CAP，以点N为交点的“8字型”APNDB中，有∠P+∠BAP=∠B+∠BDP，∴2∠P+∠BAP+∠CDP=∠B+∠C+∠CAP+∠BDP，∵AP、DP分别平分∠CAB和∠BDC，∴∠BAP=∠CAP,∠CDP=∠BDP，∴2∠P=∠B+∠C，∵∠B=100°,∠C=120°，∴∠P==1③3∠P=∠B+2∠C∵∠CAP=13∠CAB∴∠BAP=23∠CAB以点M为交点的“8字型”ACMDP中，有∠P+∠CDP=∠C+∠CAP，以点N为交点的“8字型”APNDB中，有∠P+∠BAP=∠B+∠BDP，∴∠C−∠P=∠CDP−∠CAP=∠P−∠B=∠BDP−∠BAP=2∴2∠C−∠P∴3∠P=∠B+2∠C；【点睛】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180度，也考查了角平分线的定义，灵活运用所学知识是关键．【变式8-1】（23-24八年级·江苏南京·期末）如图，△ABC中，∠B=50°，点D、E分别在边AB、AC上，∠CED=105°，则下面关于∠C与∠ADE的关系中一定正确的是（

）A．∠C+∠ADE=95° B．∠C−∠ADE=25°C．∠C−∠ADE=35° D．∠C=2∠ADE【答案】B【分析】先求出∠AED=180°−∠CED=75°，再根据三角形内角和定理可得∠C=180°−∠B−∠A=130°−∠A，∠ADE=180°−∠A−∠AED=105°−∠A，从而可得∠C−∠ADE=（130°−∠A）−（∠105°−∠A）=25°，即可求解．【详解】解：∵∠CED=105°，∴∠AED=180°−∠CED=75°，∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A+∠ADE+∠AED=180°，∴∠C=180°−∠B−∠A=130°−∠A，∠ADE=180°−∠A−∠AED=105°−∠A，∴∠C−∠ADE=（130°−∠A）−（∠105°−∠A）=25°，故选：B．【点睛】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是正确利用△ABC和△ADE的内角关系．【变式8-2】（23-24八年级·江西南昌·期中）已知如图，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，若∠B=30°，∠C=50°

(1)求∠DAE的度数．(2)求∠DAE与∠B，∠C的关系，并说明理由．【答案】(1)10°(2)∠DAE=【分析】（1）先利用三角形的内角和求得∠BAC=100°，再利用角平分线的定义和直角三角形的两锐角互余求得∠CAE=50°，∠CAD=40°，进而求解即可；（2）利用三角形的内角和定理、角平分线的定义和直角三角形的两锐角互余求得∠CAE=12∠BAC=【详解】（1）解：∵在△ABC中，∠B=30°，∠C=50°，∴∠BAC=180°−∠B−∠C=100°，∵AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，∴∠CAE=∠BAE=12∠BAC=50°∴∠DAE=∠CAE−∠CAD=50°−40°=10°；（2）解：∵AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，∴∠CAE=12∠BAC=∴∠DAE=∠CAE−∠CAD==90°−=1【点睛】本题考查三角形的内角和定理、三角形的角平分线和高的定义，熟练掌握三角形的内角和定理和角平分线的定义是解答的关键．【变式8-3】（23-24八年级·江苏连云港·期末）如图1，过直线AB外一点C作MN∥AB，连接AC,BC，∠ACB=90°，∠BAC的平分线AD与MN交于点D，点E是线段AD上一动点（不与A,D重合），连接EC．(1)若∠ACM=50°，则∠BAD=_____________°，∠ABC=________________°；(2)若∠ECA=2∠EAB，求证：∠ECB=∠ABC；(3)如图2，∠CED的平分线EF与MN交于点F，连接EB，若∠EAB=22°，∠ECM=α,∠EBC=β,∠BEF=γ0°<γ<【答案】(1)25，40；(2)见解析(3)γ+β−12【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线的定义即可求出∠BAD，根据三角形的内角和定理即可求出∠ABC；（2）由AD平分∠BAC得到∠CAB=2∠EAB，从而∠CAB=∠ECA，再根据等角的余角相等即可得证；（3）分两种情况讨论求解：①点E在线段BC的左侧，②点E在线段BC的右侧．【详解】（1）解：∵MN∥AB，∴∠CAB=∠ACM=50°，∵AD平分∠CAB，∴∠BAD=1∵∠ACB=90°，∴∠ABC=180°−∠ACB−∠BAC=180°−90°−50°=40°；故答案为：25，40（2）证明：∵AD平分∠BAC，∴∠CAB=2∠EAB，∵∠ECA=2∠EAB，∴∠CAB=∠ECA，∵∠ACB=90°∴∠ECB+∠ECA=90°∵∠CAB+∠CBA=90°∴∠ECB=∠ABC；（3）解：①当点E在线段BC的左侧时，如图，

∵∠CAB=2∠EAB,∠EAB=22°，∴∠CAB=44°,∠CAE=∠EAB=22°，∵MN∥AB，∴∠MCA=∠CAB=44°，∵∠ECM=α，∴∠ACE=∠ECM−∠MCA=α−44°，∴∠CED=∠CAE+∠ACE=α−44°+22°=α−22∵EF平分∠CED，∴∠CEF=∠DEF=1∵∠ACB=90°,∠CAB=44°，∴∠ABC=46°，∵∠EBC=β，∴∠ABE=∠ABC−∠EBC=46°−β，∵∠BEF=γ0°<γ<180°∴∠BED=∠BEF−∠FED=γ−1∵∠BED=∠EAB+∠ABE，∴γ−1∴γ+β−1②当点E在线段BC的右侧时，如图，

∵∠CAB=2∠EAB,∠EAB=22°，∴∠CAB=44°,∠CAE=∠EAB=22°，∵MN∥AB，∴∠MCA=∠CAB=44°，∵∠ECM=α，∴∠ACE=∠ECM−∠MCA=α−44°，∴∠CED=∠CAE+∠ACE=α−44°+22°=α−22°．∵EF平分∠CED，∴∠CEF=∠DEF=1∵∠ACB=90°,∠CAB=44°，∴∠ABC=46°，∵∠EBC=β∴∠ABE=∠ABC+∠EBC=46°+β，∵∠BEF=γ0°<γ<180°∴∠BED=∠BEF−∠FED=γ−∵∠BED=∠EAB+∠ABE，∴γ−∴γ−β−1综上，α,β,γ之间的等量关系为：γ+β−12【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，角的和差，三角形的内角和定理，综合运用相关知识，掌握分类讨论思想是解题的关键．知识点2：直角三角形的性质与判定（1）直角三角形的两个锐角互余．（2）有两个角互余的三角形是直角三角形．【提示】直角三角形的性质和判定的应用思路：（1）见直角三角形，可得两锐角互余．（2）见两角互余，可得直角三角形．【题型9由直角三角形的性质求角度】【例9】（23-24八年级·河南郑州·期中）在直角三角形ABC中，∠A比∠B的3倍还多10°，则∠A的大小为．【答案】90°或70°【分析】本题主要考查了直角三角形两锐角互余，解题的关键是注意进行分类讨论，分两种情况：当∠A为直角时，当∠C为直角时，分别求出结果即可．【详解】解：当∠A为直角时，∠A=90°，当∠C为直角时，∠A+∠B=90°，∵∠A比∠B的3倍还多10°，∴∠A=3∠B+10°，∴3∠B+10°+∠B=90°，∴∠B=20°，∴∠A=70°，故答案为：90°或70°．【变式9-1】（23-24八年级·河南南阳·期末）一副三角板按如图所示放置，点A在DE上，点F在BC上，若∠EAB=25°，则∠DFC=．【答案】110°/110度【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，对顶角的性质，余角性质，邻补角的性质，由直角三角形两锐角互余可得∠BFM+∠BMF=90°，∠EAM+∠AME=90°，进而由余角性质可得∠BFM=∠EAM=25°，即可得到∠BFD=25°+45°